Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Lê thị xinh Về môđun tựa liên tục Luận văn thạc sĩ toán học Nghệ an 2011 1 MỤC LỤC Trang Mục lục 1 Danh mục các ký hiệu và chữ cái viết tắt 2 Lêi nãi ®Çu 3 Chương 1: Kiến thức cơ bản 1.1.Định nghĩa và ví dụ 5 1.2.Một số tính chất của môđun con cèt yÕu 9 Chương 2: 2.1. Một số tính chất của môđun tựa liên tôc 15 2.2. Một số tính chất của lớp CS-môđun và (1-C 1 )-môđun. 18 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 2 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU A ⊕ B: Tổng trực tiếp của môđun A và môđun B i I∈ ⊕ M i : Tổng trực tiếp các môđun M i với tập chỉ số I i I ∈ ∑ M i : tổng các môđun con M i , i ∈ I N ⊆ M: N là môđun con của môđun M N e ⊆ M: N là môđun con cốt yếu của môđun M N ⊕ ⊆ M: N là hạng tử trực tiếp của môđun con M Z : vành các số nguyên (là Z-môđun Z) ¤ : nhóm cộng các số hữu tỷ (là z-môđun ¤ ) Z(M): là môđun con suy biến của M Hom R (A,B): tập tất cả các đồng cấu từ môđun A đến môđun B : kết thúc một chứng minh 3 Lời nói đầu Trong quá trình phát triển của toán học, vấn đề nghiên cứu các lớp môđun đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm và đã đạt đợc nhiều kết quả sâu sc. Năm 1960, Utumi đã nhận xét, vành chính quy liên tục là mở rộng của vành chính quy tựa nội xạ, ông đã suy rộng khái niệm liên tục, tựa liên tục cho vành bất kỳ. Mohamed và Bouhy đã suy rộng khái niệm liên tục của vành cho các môđun. Năm 1977, Charttes A.W và Hajarnavis đã đa ra khái niệm Extending Module (còn gọi là CS - môđun). Sự ra đời của lớp các CS-môđun đã có những ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết vành. Đặc biệt Đinh Văn Huỳnh, P.F.Smith, Nguyễn Việt Dũng . là những ngời nghiên cứu và đạt đợc nhiều kết quả về CS- môđun. Lp mụun ta liờn tc l m rng ca lp mụun liờn tc v hin nay c nhiu nh toỏn hc quan tõm v nghiờn cu.Da vo ti liu [3] v ti liu [5] lun vn tp trung h thng li khỏi nim v mt s tớnh cht ca lp mụun ta liờn tc,ú cng l lý do chỳng tụi chọn đề tài Về môđun tựa liên tục. Lun vn c chia lm hai chng cùng vi phn m u, kt lun, danh mc các ký hiu v ti liu tham kho. Chng 1.Kiến thức cơ bản Trình by các nh ngha, ví d v các tính cht c bn có liên quan n lun vn. Chng 2. Về môđun tựa liên tục Trình by mt s tính cht ca môun tựa liên tục, lp CS-môun, (1-C 1 )- môun v c trng ca môun ta liên tục bi tính cht (1-C 1 )- môun. Lun vn bt u t tháng 2 nm 2011, c thc hin v hon thnh ti trng i hc Vinh di s hng dn ca PGS.TS.Ngô S Tùng. 4 Tác gi xin c by t lòng bit n chân thnh sâu sc n thy giáo hng dn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, ngi ã trc tip ng viên, dìu dt tn tình, ch bo nghiêm túc trong sut quá trình hc tp, nghiên cu v hon thnh lun vn, giúp cho tác gi t tin hn trong quá trình c lp sáng to, tu dng v rèn luyn kh nng tp dt nghiên cu khoa hc. Trong quá trình hc tp v vit lun vn, tác gi cng nhn c s giúp tn tình ca các thy giáo cô giáo trong t i s trng i hc Vinh. Cng trong dp ny, tác gi xin c cm n n PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS Nguyễn Thành Quang ,TS. Nguyễn Thị Hồng Loan,TS. Mai Văn T ,TS. Đào Thị Thanh Hà cùng các thy giáo, cô giáo trong khoa Toán, Khoa Sau i hc trng i hc Vinh v các bn lp cao hc khoá 17 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, ó là nguồn ng viên v giúp lun vn c hon thnh úng k hoch. Cui cùng, do kh nng còn nhiu hn ch nên không tránh khi nhng sai sót, tác gi rt mong nhn c nhng góp ý chân tình ca quý thy giáo, cô giáo cùng tt c các bn. Nghệ An, tháng 10 nm 2011 Tác gi 5 CHNG 1 Kiến thức cơ bản Trong luận văn này vành luôn đợc hiểu là vành kết hợp, có đơn vị và các môđun là môđun phải unita trên một vành cố định R nào đó nếu không nói gì thêm. 1.1. Một số định nghĩa và ví dụ 1.1.1. nh ngha môđun con cốt yếu Cho môun M v N M. Môun con N c gi l ct yu trong M, ký hiu N e M, nu N K 0 vi mi môun con khác không K ca M. Nu N l môđun con ct yu ca M, thì ta nói rng M l m rng ct yu ca N. ví d: Môun M e M với mọi môđun M; n Z e Z , 0n (xét là Z -môđun). 1.1.2. nh ngha môđun đều Môun U c gi l u nu U 0 và bt k môun con A v B khác 0 ca U thì A B 0, hay mi môđun con khác không ca U l môđun ct yu trong U. Nhận xét. Môđun con của một môđun đều hoặc là môđun 0 hoặc là môđun đều. Ví d: a) Z -môun Z l u với bt k 0 A, B Z thì A = n Z , B = m Z , vi m, n Ô khi đó A B=[m,n] Z 0, ([m,n] l bi s chung nh nht ca m, n). b) Z -môđun Ô là đều ( Ô là môđun trên vành Z : Nhóm cộng các số hữu tỉ). Vì giả sử 0 A, B Ô tồn tại a b A; m k B ta có: 6 am = bm a m ka b k = suy ra: am A I B; am 0 (vì bm a b A; ka m k B) 1.1.3. nh ngha môđun con đóng Cho môđun M v N M. Môđun N đc gi l óng trong M nu N không có mt m rng cốt yếu thc s trong M. Nói khác i N c gi l óng trong M nu vi mi môđun con K 0 ca M m N e K thì K=N. Ví d: A v B l hai môđun con ca M thoả mãn M=A B thì môđun A và môđun B l đóng trong M. 1.1.4. nh ngha môđun nội xạ, tựa nội xạ Cho hai môđun A v M, môđun M đc gi l A-ni x (A-injective) nu vi mọi X là môđun con của A v vi mi đng cu môđun f: X M thì tồn tại mt đng cu môđun g: A M sao cho biểu đồ giao hoán g.i = f (i) là phép nhúng đồng nhất). Nếu M là A- nội xạ, với mọi môđun phải A trên vành R thì ta nói môđun M là nội xạ. Môđun M đc gi l ta ni x (quasi-injective) nu M l M- ni x Ví d: i) Z -môđun Ô là nội xạ ii) Z -môđun Z không là ni x 1.1.5. nh ngha môđun liên tục, tựa liên tục, CS-môđun, (1-C 1 )-môđun 7 M X A f i g * Các điều kiện (C i ), i = 1, 2, 3; (1-C 1 ). Cho môđun M, xét các iu kin sau: (C 1 ) Mi môđun con ca M l ct yu trong hng t trc tip ca M. Núi cỏch khỏc, mi môđun con đúng trong M l mt hng t trc tip ca M. (C 2 ) Nu M 1 v M 2 l cỏc môđun con ca M đng cu vi nhau v M 1 l mt hng t trc tip ca M thỡ M 2 cng l hng t trc tip ca M. (C 3 ) Nu nhng mụun con M 1 , M 2 của M mà M 1 và M 2 l cỏc hng tử trc tip ca M v M 1 M 2 = 0 thỡ M 1 M 2 cng l hng t trc tip ca M. (1-C 1 ) Mi mụun con u ca M l ct yu trong mt hng t trc tip ca M. * nh ngha. Môđun M c gi l CS-mụun (Extending) nu M tha món iu kin (C 1 ). Mụun M c gi l (1-C 1 )-mụun nu M tha món iu kin (1-C 1 ). Mụun M c gi l liờn tc (continuous) nu M tha món cỏc iu kin (C 1 ) v (C 2 ). Mụun M c gi l ta liờn tc (quasi-continuous) nu M tha món cỏc iu kin (C 1 ) v (C 3 ). Mệnh đề: Nếu môđun M thoả mãn điều kiện (C 2 ) thì cũng thoả mãn điều kiện (C 3 ). Chứng minh: Thật vậy do M 1 M nên M =M 1 M 1, với M 1 * là môđun con nào đó của M Xét phép chiếu : M 1 M 1 * M 1 * x 1 + x 1 * x 1 * * Ta chứng minh M 1 M 2 = M 1 M 2 (1) Lấy x 1 + x 2 (M 1 M 2 ) do x 2 M 2 M x 2 =m 1 +m 1 * (M 1 M 1 * ) ( x 2 ) = m 1 * x 1 + x 2 = x 1 + m 1 + m 1 * =(x 1 + m 1 )+ m 1 * (M 1 + M 2 ) 8 do (x 1 +m 1 ) M 1 , m 1 * = (x 2 ) M 2 (M 1 M 2 ) (M 1 M 2 ) Lấy y 1 + (y 2 ) (M 1 + (M 2 )) vì y 2 M 2 y 2 = k 1 +k 1 * (M 1 M 1 * ) k 1 * = y 2 -k 1 y 1 + (y 2 )= y 1 +k 1 * = y 1 +y 2 k 1 = (y 1 - k 1 ) + y 2 (M 1 M 2 ) (do (y 1 - k 1 ) M 1 , y 2 M 2 ) (M 1 M 2 ) (M 1 M 2 ) M 1 M 2 = M 1 M 2 . * Ta có Ker = M 1 mà M 1 M 2 = 0 2 M : đơn cấu (M 2 ) M 2 mà M 2 M (M 2 ) M * Ta chỉ cần chứng minh (M 1 M 2 ) M do (1) ta có M = (M 2 ) N (a) với N M M = M 1 M 1 (b) Do (M 2 ) M 1 từ (a) dùng luật Mođular đối với M 1 ta có: M 1 = (M 2 ) +(N M 1 ) thay M 1 vào (b) ta có: M = (M 2 ) M 1 (N M 1 ) ( (M 2 ) M 1 ) M. Ta có các phép kéo theo sau là đúng đối với các lớp môđun Nội xạ Tựa nội xạ Liên tục Tựa liên tục CS (1- C 1 ) Chiều ngợc lại của dãy kéo theo trên nói chung không đúng(đã có các ví dụ trong[5]). 1.1.6. nh ngha tổng trực tiếp. Mụun A c gi l tng trc tip trong ca mt h cỏc mụun con (A i i I) nu cỏc iu kin sau c tha món: (1) A = ;A i i I (2) 0, .A A j I j i i j = 9 1.1.7. nh ngha môđun không phân tích đợc. Một môđun M đợc gọi là không phân tích đợc trong trờng hợp nó khác không và không có những hạng tử trực tiếp không tầm thờng 1.1.8. nh ngha hạng tử trực tiếp địa phơng. Mt h {A i i I} cỏc mụun con ca M c gi l hng t trc tip a phng ca M nu A i i I l tng trc tip v A i i J l hng t trc tip ca M vi mi tp con hu hn J ca I. 1.2. Một số tính chất của môđun con cốt yếu. 1.2.1. Mệnh đề. Cho M là một R-môđun, khi đó: a) Với N là môđun con của M thì N e M khi và chỉ khi 0 ,x M xR N 0. b) Nếu K N, N M thì K e M e K N và N e M. c) Nếu A i e B i , i = 1,n , A i , B i M thì 1 n i = I A i e 1 n i = I B i . Đặc biệt, nếu A i e M thì 1 n i = I A i e M. d) Với K N, N M. Nếu N/K e M/K thì N e M. e) Nếu f: B C là đồng cấu môđun và A e C thì f -1 (A) e B. f) Cho M= i I M i , A = i I A i , A i và M i là các môđun con của M, i I, trong đó A i e M i , i I. Khi đó tồn tại i I M i và i I A i e i I M i Chứng minh: a) * Điều kiện cần xR Giả sử N e M. Với 0 x M ta có xR 0. Theo định nghĩa ta có xR N 0. 10