Về mở rộng của trờng các lớp thặng d Trần Thị Tình Lớp 41E1 - Khoa Toán- ĐH Vinh ______________________________________________________________________ G iải phơng trình đại số là bài toán cơ bản của toán học, đợc gắn liền với bài toán mở rộng trờng, đặc biệt là các mở rộng của trờng Z p các số nguyên modp. Tổng quát hơn có thể chứng minh đợc rằng, mọi trờng có đặc số nguyên tố p đều chứa trờng Z p . Với ý nghĩa trên, khoá luận tập trung nghiên cứu về lớp các mở rộng của trờng Z p ; tìm tính chất đặc trng của các mở rộng trên Z p . Chơng 1 về mở rộng trờng 1.10. Định lý. Giả sử K là một trờng, P là trờng con nguyên tố của K. Khi đó, nếu K có đặc số p thì .0,,1 1 = xPxx p 1.11. Mệnh đề. Nếu P là trờng con nguyên tố của trờng K và là một tự đẳng cấu của trờng K, thì bất động trên P: (a) = a, a P. 1.12. Hệ quả. Mọi tự đẳng cấu của trờng nguyên tố P là tự đẳng cấu đồng nhất. 2.8. Mệnh đề. Cho K là một trờng, a K. Khi đó u là phần tử đại số trên K khi và chỉ khi u + a là phần tử đại số trên K. 2.9. Mệnh đề. Phần tử u đại số trên trờng K khi và chỉ khi phần tử u 2 đại số trên trờng K. 1 3. 4. Mệnh đề. Trên trờng Z 3 các số nguyên mod3, cho đa thức q(x) = x 2 + 2x + 2. Giả sử u là một nghiệm của f(x) và ký hiệu Z 3 (u) là mở rộng đơn của Z 3 sinh bởi u. Khi đó, nhóm Galois của mở rộng Z 3 (u) là một nhóm cấp 2. 3.5. Mệnh đề. Tồn tại duy nhất sai khác một đẳng cấu một mở rộng trờng bậc hai của trờng Z 2 các số nguyên môđun2. Chơng 2 Lớp thặng d chính phơng 2.1. Định nghĩa. Ta xét phơng trình: )(mod 2 pax (1) trong đó p là số nguyên tố lẻ . Số nguyên a đợc goị là một thặng d bậc hai môđun p nếu ( a , p ) = 1 và phơng trình (1) có nghiệm. Ngợc lại, ta nói a là bất thặng d bậc hai môđun p . 2.2. Bổ đề. Giả sử p là số nguyên tố lẻ, a là số nguyên không chia hết cho p. Khi đó, phơng trình đồng d x 2 a(modp) hoặc vô nghiệm hoặc có đúng hai nghiệm. Bằng công cụ thuần tuý số học ta sẽ chứng tỏ đợc 2.3. Định lý. Trong mỗi hệ thặng d thu gọn có đúng 2 1 p thặng d bậc hai modp tơng ứng cùng lớp với các thặng d 2 22 2 1 , .,2,1 p . 2.4. Hệ quả. Nếu p là số nguyên tố lẻ thì trong các số 1,2, . . . , p 1 có đúng 2 1 p thặng d bậc hai modp. 2.5. Định lý. i) Số nguyên a là thặng d bậc hai pmod khi và chỉ khi 2 ).(mod1 2 1 pa p ii) Số nguyên a là bất thặng d bậc hai pmod khi và chỉ khi ).(mod1 2 1 pa p Cho p là số nguyên tố lẻ và số nguyên a sao cho ( a , p ) = 1. 3.1. Định nghĩa. Lớp thặng d a thuộc trờng Z p đợc gọi là một lớp thặng d chính phơng nếu = kka , 2 Z p . Nhận xét. Số nguyên a là một thặng d bậc 2 theo môđun nguyên tố p khi và chỉ khi lớp thặng d a là một lớp thặng chính phơng của trờng Z p . Dùng công cụ đồng cấu nhóm, khoá luận tìm đợc số các lớp thặng d chính phơng của trờng Z p : 3.2. Mệnh đề. Có cả thảy 2 1 p lớp thặng d chính phơng. 3.3. Định lý. Lớp thặng d * p Zx là lớp thặng d chính phơng khi và chỉ khi: ( ) 1x 2 1p = , hay 1x 2 1p (mod p). 3.4. Định lý. Giả sử p là số nguyên tố lẻ, và * p Zx . Khi đó: x không phải là lớp thặng d chính phơng khi và chỉ khi 1x 2 1p = hay 1x 2 1p (mod p). 3.5. Hệ quả. 1 là lớp thặng d chính phơng trong Z p p = 4k + 1. Kết luận Các kết quả chính thu đợc của khoá luận này là đa ra đợc một số kết quả và một số cách chứng minh mới so với tài liệu hiện có, để khẳng định rằng: Trên trờng Z 3 các số nguyên mod3, cho đa thức 3 q(x) = x 2 +2x +2. Giả sử u là một nghiệm của f(x) và ký hiệu Z 3 (u) là mở rộng đơn của Z 3 sinh bởi u. Khi đó, nhóm Galois của mở rộng Z 3 (u) là một nhóm cấp 2. Tồn tại duy nhất sai khác đẳng cấu một mở rộng bậc hai của trờng Z 2 Giả sử p là số nguyên tố lẻ. Khi đó, có 2 1 p lớp thặng d chính ph- ơng. Giả sử p là số nguyên tố lẻ, Khi đó, x là lớp thặng d chính phơng trong Z p khi và chỉ khi 1x 2 1p (mod p). Giả sử p là số nguyên tố lẻ, Khi đó, x không là lớp thặng d chính ph- ơng trong Z p khi và chỉ khi 1x 2 1p (mod p). Lớp 1 là lớp thặng d chính phơng trong Z p p= 4k + 1. Đặc biệt trong khóa luận, đã giới thiệu đợc hai phơng pháp chứng minh (số học thuần tuý và sử dụng công cụ đồng cấu nhóm) để tìm số các lớp thặng d chính phơng trong trờng Z p . 4 5