Đang tải... (xem toàn văn)
hình học 10 phần 1
Lượng giác Trần Sĩ Tùng I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác Cho OA OM( , ) α = . Giả sử M x y( ; ) . ( ) x OH y OK AT k BS k cos sin sin tan cos 2 cos cot sin α α α π α α π α α α α π α = = = = = = ≠ + ÷ = = ≠ Nhận xét: • , 1 cos 1; 1 sin 1 α α α ∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤ • tanα xác định khi k k Z, 2 π α π ≠ + ∈ • cotα xác định khi k k Z, α π ≠ ∈ • ksin( 2 ) sin α π α + = • ktan( ) tan α π α + = kcos( 2 ) cos α π α + = kcot( ) cot α π α + = 2. Dấu của các giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác I II III IV cosα + – – + sinα + + – – tanα + – + – cotα + – + – 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π π 3 2 π 2 π 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 –1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − –1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3− –1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3 − –1 0 Trang 56 CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC cosin O cotang sin tang H A M K B S α T Lượng giác Trần Sĩ Tùng 4. Hệ thức cơ bản: 2 2 sin cos 1 α α + = ; tan .cot 1 α α = ; 2 2 2 2 1 1 1 tan ; 1 cot cos sin α α α α + = + = 5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau cos( ) cos α α − = sin( ) sin π α α − = sin cos 2 π α α − = ÷ sin( ) sin α α − = − cos( ) cos π α α − = − cos sin 2 π α α − = ÷ tan( ) tan α α − = − tan( ) tan π α α − = − tan cot 2 π α α − = ÷ cot( ) cot α α − = − cot( ) cot π α α − = − cot tan 2 π α α − = ÷ Góc hơn kém π Góc hơn kém 2 π sin( ) sin π α α + = − sin cos 2 π α α + = ÷ cos( ) cos π α α + = − cos sin 2 π α α + = − ÷ tan( ) tan π α α + = tan cot 2 π α α + = − ÷ cot( ) cot π α α + = cot tan 2 π α α + = − ÷ II. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = + sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = + tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b + + = − tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b − − = + Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan π α π α α α α α + − + = − = ÷ ÷ − + 2. Công thức nhân đôi sin 2 2 sin .cos α α α = 2 2 2 2 cos2 cos sin 2 cos 1 1 2sin α α α α α = − = − = − 2 2 2 tan cot 1 tan 2 ; cot 2 2 cot 1 tan α α α α α α − = = − Trang 57 Trần Sĩ Tùng Lượng giác Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2 α α α α α α α − = + = − = + 3 3 3 2 sin3 3sin 4sin cos3 4 cos 3 cos 3tan tan tan3 1 3tan α α α α α α α α α α = − = − − = − 3. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2 cos .cos 2 2 a b a b a b + − + = cos cos 2sin .sin 2 2 a b a b a b + − − = − sin sin 2sin .cos 2 2 a b a b a b + − + = sin sin 2 cos .sin 2 2 a b a b a b + − − = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b + + = sin( ) tan tan cos .cos a b a b a b − − = sin( ) cot cot sin .sin a b a b a b + + = b a a b a b sin( ) cot cot sin .sin − − = sin cos 2.sin 2.cos 4 4 π π α α α α + = + = − ÷ ÷ sin cos 2 sin 2 cos 4 4 π π α α α α − = − = − + ÷ ÷ 4. Công thức biến đổi tích thành tổng Trang 58 Lượng giác Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau: a) A = 0 0 sin 50 .cos( 300 )− b) B = 0 21 sin 215 .tan 7 π c) C = 3 2 cot .sin 5 3 π π − ÷ d) D = c 4 4 9 os .sin .tan .cot 5 3 3 5 π π π π Bài 2. Cho 0 0 0 90 α < < . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = 0 sin( 90 ) α + b) B = 0 cos( 45 ) α − c) C = 0 cos(270 ) α − d) D = 0 cos(2 90 ) α + Bài 3. Cho 0 2 π α < < . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = cos( ) α π + b) B = tan( ) α π − c) C = 2 sin 5 π α + ÷ d) D = 3 cos 8 π α − ÷ Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau: a) A = A B Csin sin sin+ + b) B = A B Csin .sin .sin c) C = A B C cos .cos .cos 2 2 2 d) D = A B C tan tan tan 2 2 2 + + Bài 5. a) VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết. I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 1. Cho biết sin α , tính cos α , tan α , cot α • Từ 2 2 sin cos 1 α α + = ⇒ 2 cos 1 sin α α = ± − . – Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2 cos 1 sin α α = − . – Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2 cos 1 sin α α = − − . • Tính sin tan cos α α α = ; 1 cot tan α α = . 2. Cho biết cos α , tính sin α , tan α , cot α • Từ 2 2 sin cos 1 α α + = ⇒ 2 sin 1 cos α α = ± − . – Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2 sin 1 cos α α = − . – Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2 sin 1 cos α α = − − . • Tính sin tan cos α α α = ; 1 cot tan α α = . Trang 59 Trần Sĩ Tùng Lượng giác 3. Cho biết tan α , tính sin α , cos α , cot α • Tính 1 cot tan α α = . • Từ 2 2 1 1 tan cos α α = + ⇒ 2 1 cos 1 tan α α = ± + . – Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2 1 cos 1 tan α α = + . – Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2 1 cos 1 tan α α = − + . • Tính sin tan .cos α α α = . 4. Cho biết cot α , tính sin α , cos α , tan α • Tính 1 tan cot α α = . • Từ 2 2 1 1 cot sin α α = + ⇒ 2 1 sin 1 cot α α = ± + . – Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2 1 sin 1 cot α α = + . – Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2 1 sin 1 cot α α = − + . II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức • Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức. • Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi: A B A B AB 2 2 2 ( ) 2+ = + − A B A B A B 4 4 2 2 2 2 2 ( ) 2+ = + − A B A B A AB B 3 3 2 2 ( )( )+ = + − + A B A B A AB B 3 3 2 2 ( )( )− = − + + IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình • Đặt t x t 2 sin , 0 1= ≤ ≤ ⇒ x t 2 cos = . Thế vào giả thiết, tìm được t. Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính. • Thiết lập phương trình bậc hai: t St P 2 0− + = với S x y P xy;= + = . Từ đó tìm x, y. Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với: a) a a 0 0 4 cos , 270 360 5 = < < b) 2 cos , 0 2 5 π α α = − < < c) a a 5 sin , 13 2 π π = < < d) 0 0 1 sin , 180 270 3 α α = − < < e) a a 3 tan 3, 2 π π = < < f) tan 2, 2 π α α π = − < < g) 0 cot15 2 3= + h) 3 cot 3, 2 π α π α = < < Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: Trang 60 Lượng giác Trần Sĩ Tùng a) a a A khi a a a a cot tan 3 sin , 0 cot tan 5 2 π + = = < < − ĐS: 25 7 b) a a B khi a a a a 2 0 0 8tan 3cot 1 1 sin , 90 180 tan cot 3 + − = = < < + ĐS: 8 3 c) a a a a C khi a a a a a 2 2 2 2 sin 2sin .cos 2 cos cot 3 2sin 3sin .cos 4 cos + − = = − − + ĐS: 23 47 − d) a a D khi a a a 3 3 sin 5cos tan 2 sin 2 cos + = = − ĐS: 55 6 e) a a a E khi a a a 3 3 3 8cos 2sin cos tan 2 2 cos sin − + = = − ĐS: 3 2 − g) a a G khi a a a cot 3tan 2 cos 2 cot tan 3 + = = − + ĐS: 19 13 h) a a H khi a a a sin cos tan 5 cos sin + = = − ĐS: 3 2 − Bài 3. Cho a a 5 sin cos 4 + = . Tính giá trị các biểu thức sau: a) A a asin .cos = b) B a asin cos = − c) C a a 3 3 sin cos= − ĐS: a) 9 32 b) 7 4 ± c) 41 7 128 ± Bài 4. Cho a atan cot 3− = . Tính giá trị các biểu thức sau: a) A a a 2 2 tan cot= + b) B a atan cot= + c) C a a 4 4 tan cot= − ĐS: a) 11 b) 13± c) 33 13± Bài 5. a) Cho x x 4 4 3 3sin cos 4 + = . Tính A x x 4 4 sin 3cos= + . ĐS: 7 A 4 = b) Cho x x 4 4 1 3sin cos 2 − = . Tính B x x 4 4 sin 3cos= + . ĐS: B = 1 c) Cho x x 4 4 7 4sin 3cos 4 + = . Tính C x x 4 4 3sin 4 cos= + . ĐS: C C 7 57 4 28 = ∨ = Bài 6. a) Cho x x 1 sin cos 5 + = . Tính x x x xsin , cos , tan , cot . b) Cho x xtan cot 4+ = . Tính x x x xsin , cos , tan , cot . ĐS: a) 4 3 4 3 ; ; ; 5 5 3 4 − − − b) 1 2 3 ; ; 2 3; 2 3 2 2 2 3 − + − − hoặc 2 3 1 2 3; 2 3; ; 2 2 2 3 − − + − Bài 7. a) Trang 61 Trần Sĩ Tùng Lượng giác VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết). Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau: a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550 b) 7 13 5 10 5 11 16 13 29 31 9 ; 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 4 4 3 3 3 3 6 6 4 π π π π π π π π π π π π − − − − Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) A x x xcos cos(2 ) cos(3 ) 2 π π π = + + − + + ÷ b) B x x x x 7 3 2 cos 3cos( ) 5sin cot 2 2 π π π = − − + − + − ÷ ÷ c) C x x x x 3 2sin sin(5 ) sin cos 2 2 2 π π π π = + + − + + + + ÷ ÷ ÷ d) D x x x x 3 3 cos(5 ) sin tan cot(3 ) 2 2 π π π π = − − + + − + − ÷ ÷ Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau: a) A 0 0 0 0 0 0 sin( 328 ).sin 958 cos( 508 ).cos( 1022 ) cot 572 tan( 212 ) − − − = − − ĐS: A = –1 b) B 0 0 0 0 0 sin( 234 ) cos216 .tan36 sin144 cos126 − − = − ĐS: B 1= − c) C 0 0 0 0 0 cos20 cos 40 cos60 . cos160 cos180= + + + + + ĐS: C 1 = − d) D 2 0 2 0 2 0 2 0 cos 10 cos 20 cos 30 . cos 180= + + + + ĐS: D 9 = e) E 0 0 0 0 0 sin 20 sin 40 sin 60 . sin 340 sin360= + + + + + ĐS: E 0= f) x x x x 0 0 0 0 2sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 )+ + − + + − ĐS: F x1 cos = + Bài 4. a) VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác. Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức. Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì: A B C π + + = và A B C 2 2 2 2 π + + = Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) x x x 4 4 2 sin cos 1 2 cos− = − b) x x x x 4 4 2 2 sin cos 1 2 cos .sin+ = − c) x x x x 6 6 2 2 sin cos 1 3sin .cos+ = − Trang 62 Lượng giác Trần Sĩ Tùng d) x x x x x x 8 8 2 2 4 4 sin cos 1 4sin .cos 2 sin .cos+ = − + e) x x x x 2 2 2 2 cot cos cos .cot− = f) x x x x 2 2 2 2 tan sin tan .sin− = g) x x x x x1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )+ + + = + + h) x x x x x x x x 2 2 sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot+ + = + i) x x x x x x sin cos 1 2 cos 1 cos sin cos 1 + − = − − + k) x x x 2 2 2 1 sin 1 tan 1 sin + = + − Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) a b a b a b tan tan tan .tan cot cot + = + b) a a a a a a a a 2 2 sin cos 1 cot sin cos cos sin 1 cot + − = − − − c) a a a a a a 2 2 sin cos 1 sin .cos 1 cot 1 tan − − = + + d) a a a a a a a a 2 2 sin sin cos sin cos sin cos tan 1 + − = + − − e) a a a a a 2 2 1 cos (1 cos ) 1 2 cot sin sin + − − = f) a a a a a a a 2 2 4 2 2 2 2 tan 1 cot 1 tan . 1 tan cot tan cot + + = + + g) a a a a a 2 2 1 sin 1 sin 4 tan 1 sin 1 sin + − − = ÷ − + h) a b a b a b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 tan tan sin sin tan .tan sin .sin − − = i) a a a a a 2 2 6 2 2 sin tan tan cos cot − = − k) a a a a a a a a 3 3 3 3 2 2 tan 1 cot tan cot sin .cos sin cos − + = + Bài 3. Cho x a vôùi a b a b a b 4 4 sin cos 1 , , 0.+ = > + Chứng minh: x x a b a b 8 8 3 3 3 sin cos 1 ( ) + = + . Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau: a) x x x 2 2 2 (1 sin )cot 1 cot− + − b) x x x x 2 2 (tan cot ) (tan cot )+ − − c) x x x x x x 2 2 2 2 2 2 cos cos .cot sin sin .tan + + d) x a y a x a y a 2 2 ( .sin .cos ) ( .cos .sin )− + + e) x x a x 2 2 2 2 sin tan cos cot − − f) x x x x x x 2 2 4 2 2 4 sin cos cos cos sin sin − + − + g) x x x x 2 2 sin (1 cot ) cos (1 tan )+ + + h) x x x x x 1 cos 1 cos ; (0, ) 1 cos 1 cos π + − − ∈ − + i) x x x x x 1 sin 1 sin ; ; 1 sin 1 sin 2 2 π π + − + ∈ − ÷ − + k) x x x x 2 2 3 cos tan sin ; ; 2 2 π π − − ∈ ÷ Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: a) x x x x 4 4 6 6 3(sin cos ) 2(sin cos )+ − + ĐS: 1 b) x x x x x 8 8 6 6 4 3(sin cos ) 4(cos 2 sin ) 6sin− + − + ĐS: 1 c) x x x x 4 4 2 2 (sin cos 1)(tan cot 2)+ − + + ĐS: –2 d) x x x x x 2 2 2 2 2 cos .cot 3cos cot 2 sin+ − + ĐS: 2 e) x x x x x 4 4 6 6 4 sin 3cos 1 sin cos 3cos 1 + − + + − ĐS: 2 3 Trang 63 Trần Sĩ Tùng Lượng giác f) x x x x x x 2 2 2 2 2 2 tan cos cot sin sin cos − − + ĐS: 2 g) x x x x 6 6 4 4 sin cos 1 sin cos 1 + − + − ĐS: 3 2 Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) B A Csin sin( )= + b) A B Ccos( ) cos+ = − c) A B C sin cos 2 2 + = d) B C A Ccos( ) cos( 2 )− = − + e) A B C Ccos( ) cos 2+ − = − f) A B C A 3 cos sin 2 2 − + + = − g) A B C C 3 sin cos 2 + + = h) A B C C2 3 tan cot 2 2 + − = Bài 7. a) VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = + sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = − cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = + tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b + + = − tan tan tan( ) 1 tan .tan a b a b a b − − = + Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan π α π α α α α α + − + = − = ÷ ÷ − + Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau: a) 0 0 0 15 ; 75 ; 105 b) 5 7 ; ; 12 12 12 π π π Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết: a) khi 3 tan sin , 3 5 2 π π α α α π + = < < ÷ ĐS: 38 25 3 11 − b) khi 12 3 cos sin , 2 3 13 2 π π α α α π − = − < < ÷ ĐS: (5 12 3) 26 − c) a b a b khi a b 1 1 cos( ).cos( ) cos , cos 3 4 + − = = ĐS: 119 144 − d) a b a b a bsin( ), cos( ), tan( )− + + khi a b 8 5 sin , tan 17 12 = = và a, b là các góc nhọn. ĐS: 21 140 21 ; ; . 221 221 220 e) a b a btan tan , tan , tan+ khi a b a b0 , , 2 4 π π < < + = và a btan .tan 3 2 2= − . Từ đó Trang 64 Lượng giác Trần Sĩ Tùng suy ra a, b . ĐS: 2 2 2− ; a b a btan tan 2 1, 8 π = = − = = Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau: a) A = o o o2 2 2 sin 20 sin 100 sin 140+ + ĐS: 3 2 b) B = o o o2 2 cos 10 cos110 cos 130+ + ĐS: 3 2 c) C = o o o o o o tan 20 .tan 80 tan 80 .tan140 tan140 .tan 20+ + ĐS: –3 d) D = o o o o o o tan10 .tan 70 tan 70 .tan130 tan130 .tan190+ + ĐS: –3 e) E = o o o o o cot 225 cot 79 .cot 71 cot 259 cot 251 − + ĐS: 3 f) F = o o2 2 cos 75 sin 75− ĐS: 3 2 − g) G = o 0 1 tan15 1 tan15 − + ĐS: 3 3 h) H = 0 0 tan15 cot15+ ĐS: 4 HD: 0 0 0 0 0 0 40 60 20 ; 80 60 20= − = + ; 0 0 0 0 0 0 50 60 10 ; 70 60 10= − = + Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau: a) x y x y x y 2 2 sin( ).sin( ) sin sin+ − = − b) x y x y x y x y 2sin( ) tan tan cos( ) cos( ) + + = + + − c) x x x x x x 2 2 tan .tan tan .tan tan .tan 3 3 3 3 3 π π π π + + + + + + = − ÷ ÷ ÷ ÷ d) x x x x 3 2 cos .cos cos .cos (1 3) 3 4 6 4 4 π π π π − + + + + = − ÷ ÷ ÷ ÷ e) o o o o (cos70 cos50 )(cos230 cos290 )+ + o o o o (cos 40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0+ + + = f) x x x x x x 2 2 2 2 tan 2 tan tan .tan3 1 tan 2 .tan − = − Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) a a b khi b a cos a b2 tan tan( ) sin sin . ( )= + = + b) a a b khi b a b2 tan tan( ) 3sin sin(2 )= + = + c) a b khi a b a b 1 tan .tan cos( ) 2 cos( ) 3 = − + = − d) k a b b khi a b k a k 1 tan( ).tan cos( 2 ) cos 1 − + = + = + HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh: a) C A B B Asin sin .cos sin .cos= + b) C A B A B A B 0 sin tan tan ( , 90 ) cos .cos = + ≠ c) A B C A B C A B C 0 tan tan tan tan .tan .tan ( , , 90 )+ + = ≠ d) A B B C C Acot .cot cot .cot cot .cot 1 + + = Trang 65