Trờng đại học vinh Khoa toán ----------- Nguyễn thị thuý hằng về dạng vi phân và phơng trình cấu trúc của E n Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Vinh,5/2006 mục lục 1 Lời nói đầu 1 Đ1. Dạng vi phân bậc một trong E n .2 1. Dạng vi phân .2 2. Vi phân của hàm số .2 Đ2. Dạng vi phân bậc hai trong E n .12 I. Dạng vi phân bậc hai .12 II. Tích ngoài của các 1 - dạng .14 III. Vi phân ngoài của dạng vi phân bậc 1 .16 IV. ánh xạ đối tiếp xúc .20 Đ3. Dạng liên kết và phơng trình cấu trúc của E n trong một trờng mục tiêu trực chuẩn 25 I. Dạng liên kết và phơng trình cấu trúc .25 II. ứng dụng 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo .38 Lời nói đầu Dạng liên kết- phơng trình cấu trúc trên mặt là một trong các đặc trng mô tả các tính chất hình học nội tại của mặt,đợc nhiều tác giả quan tâm và trình bày trong nhiều tài liệu nh [1], [2], Trong luận văn này,chúng tôi trình bày và chứng minh cụ thể các tính chất về dạng vi phân và phơng trình cấu trúc trong E n ,ứng dụng của nó để tính độ cong của mặt trong E 3 . Luận văn đợc chia làm 3 mục: Đ1.Dạng vi phân bậc một trong E n Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa,tính chất của dạng vi phân bậc 1 trên một tập mở trong E n và chỉ ra cách tìm trờng mục tiêu đối ngẫu của tr- ờng mục tiêu. 2 Đ2. Dạng vi phân bậc hai trong E n Trong mục này , trình bày định nghĩa , tính chất của dạng vi phân bậc 2 trên một tập mở trong E n , vi phân ngoài của dạng vi phân bậc 1 và ánh xạ đối tiếp xúc. Đ3.Dạng liên kết và phơng trình cấu trúc của E n trong một trờng mục tiêu trực chuẩn. Trong mục này chúng tôi trình bày công thức dạng liên kết và phơng trình cấu trúc của trờng mục tiêu bất kỳ trong E n .Từ đó áp dụng nó vào việc tìm độ cong trung bình,độ cong Gauss của mặt trong E 3 Luận văn đợc thực hiện tại Khoa Toán - Trờng Đại học Vinh, với sự hớng dẫn của thầy giáo , PGS -TS Nguyễn Hữu Quang . Nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn sự hớng dẫn của thầy giáo, PGS- TS Nguyễn Hữu Quang, cùng các thầy cô giáo trong khoa Toán và xin cảm ơn các bạn bè cùng khoa đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này . Vinh , tháng 4 năm 2006 Sinh viên Nguyễn Thị Thuý Hằng Đ1. Dạng vi phân bậc 1 trên tập mở trong E n Ta ký hiệu : U là tập mở trong E n .( E n vơi tôpô tự nhiên) TpU là không gian các vectơ tiếp xúc của U tại điểm p U. B(U) là tập các trờng vectơ khả vi trên U. F (U) là tập các hàm số khả vi trên U. I. Dạng vi phân bậc 1. 1.1 Định nghĩa i) Dạng vi phân bậc 1 (hay là 1- dạng vi phân ) trên U là ánh xạ : p p ; p U , trong đó p là ánh xạ tuyến tính . p : TpU R 3 Xp p (Xp) , Xp TpU ii) Dạng vi phân bậc một trên U là khả vi nếu mọi trờng véctơ X khả vi trên U thì hàm số (X) khả vi trên U. Từ nay trở đi ta chỉ xét với những khả vi. Ta ký hiệu 1 (U) = { / là dạng vi phân khả vi trên } U . 1.2. Các phép toán trên 1 (U) Giả sử 1 , 2 1 (U), F (U), R khi đó, trên 1 (U) xác định bởi các phép toán. Phép cộng 1 + 2 : P 1 (p) + 2 (p) ; Up (1) Phép nhân 1 p (p) 1 p ; Up (2) Nếu là hằng số = thì 1 : p 1 p ; Up (3) Nhận xét i) 1 (U) với hai phép toán (1) và (3) lập thành một không gian vectơ . ii) 1 (U) với hai phép toán (1) và (2) lập thành modun trên vành F (U) iii) Giả sử X, Y là các trờng véctơ khả vi trên U, F (U), 1 (U) Thì : (X + Y) = (X) + (Y) ( .X) = (X) Thật vậy, với mọi p U ta có [ (X + Y)] (p) = p (X+ Y) p = p(Xp+Yp) = p(Xp) + p (Yp) (do p là ánh xạ tuyến tính) = (X)(p)+ (Y)(p) = ( (X) + (Y)) (p) ; với mọi p U . Vậy : (X + Y) = (X) + (Y) . * ( X) (p) = p ( X)p = p ( (p)Xp) = (p) p(Xp) (do p là ánh xạ tuyến tính) = (p) (X)(p) = ( (X ))(p) ; Với mọi p U 4 Vậy ( X) = (X) 1.3. Định nghĩa Giả sử { } nU i i ,1 = là trờng mục tiêu trên U , là họ các 1 - dạng vi phân thuộc 1 (U) thoả mãn i (U j ) = ij khi đó { } n i i ,1 = đợc gọi là trờng mục tiêu đối ngẫu của trờng mục tiêu { } n i i U ,1 = . 1.4. Mệnh đề Giả sử { } n i i U ,1= và { } n i i U ,1 ' = là hai trờng mục tiêu trên tập mở U trong E n . { } n i i ,1 = và { } n i i ,1 ' = là các trờng mục tiêu đối ngẫu tơng ứng của { } n i i U ,1 = và { } nU i i ,1 ' = Ký hiệu U =[ n UUU 21 ] , U' = [ '' 2 ' 1 n UUU ] = n . 2 1 = n ' . ' ' 2 1 ' C = (C ij ) n x n là ma trận chuyển từ trờng mục tiêu U sang U' ; C ij F (U). Khi đó ' = C -1 . (trong đó C -1 là ma trận nghịch đảo của C) Chứng minh : Vì C là ma trận chuyển từ mục tiêu từ U sang U' nên det C 0 từ đó suy ra luôn tồn tại C -1 5 Gọi = nnnn n n CCC CCC CCC C . . . . 21 22221 11211 Theo giả thiết U' = UC. Tức là [ ] [ ] nn UUUUUU 21 '' 2 ' 1 = nnnn n n CCC CCC CCC . . . . 21 22221 11211 +++= +++= +++= nnnnnn nn nn UCUCUCU UCUCUCU UCUCUCU . . . 2211 ' 2222112 ' 2 1221111 ' 1 Gọi = . ' (*) trong đó : = nnnn n n . . . 21 22221 11211 Ta có (*) tơng đơng với 6 = n . 2 1 nnnn n n . . . 21 22221 11211 ' ' 2 ' 1 . n ++= ++= ++= '' 22 ' 11 ' 2 ' 222 ' 1212 ' 1 ' 212 ' 1111 . . . nnnnnn nn nn Ta sẽ chứng minh = C Thật vậy, i, j = n,1 ta có : i ( ) = ' j U ( i1 '1 + i2 ' 2 + . . . in ' n ) ( ) ' j U = ij i ( ) ' j U = i (C 1j U 1 + C 2j U 2 + + C nj U n ) = C ij Suy ra : ij = C ij , i, j = n,1 Hay = C Thay vào (*) ta đợc = C. ' hay ' = C -1 1.5. Mệnh đề ánh xạ : 1 (U) x B(U) F (U) ( , X ) ( ,X) = (X) là song tuyến tính. Chứng minh *) tuyến tính đối với biến thứ nhất. Với mọi 1 , 2 R, 1 , 2 1 (U), cố định X B(U) Ta có : ( 1 1 + 2 2 , X) = ( 1 1 + 2 2 ) (X) = ( 1 1 (X) + 2 2 (X)) = 1 ( 1 ,X) + 2 ( 2 , X) 7 Suy ra : ( 1 1 + 2 2 , X) = 1 ( 1 ,X) + 2 ( 2 , X). *) tuyến tính đối với biến thứ hai. Với mọi X, Y B(U), cố định 1 (U); 1 , 2 R Ta có : ( , 1 X + 2 Y) = ( 1 X + 2 Y) = 1 (X) + 2 (X) = 1 ( ,X) + 2 ( ,Y) Suy ra : ( , 1 X + 2 Y) = 1 ( ,X) + 2 ( ,Y). II. Vi phân của hàm số 1.6. Định nghĩa : Vi phân của hàm số F (U) là 1 - dạng vi phân d 1 (U ) đợc xác định bởi : d (X) = X [ ] ; X B(U). Nhận xét: Giả sử X(X 1 , X 2 , X n ) thì X [ ] = = n i i i x X 1 1.7. Mệnh đề: Giả sử , 1 (U) ; X, Y B(U). Khi đó ta có: (X + Y) [ ] = X [ ] + Y [ ] X [ + ] = X [ ] + X [ ] X [ ] = .X [ ] + X [ ] X [ ] = X [ ] Chứng minh Giả sử X(X i ) , Y(Y i ) ; i = n,1 . *) (X + Y) [ ] = = + n i i ii x YX 1 )( = == + n i i i n i i i x Y x X 11 = X [ ] + Y[ ] . *) X [ + ] = === + = + n i i i n i i i n i i i x X x X x X 111 )( = X [ ] + X [ ] . *) X [ . ] = = n i i i x X 1 ).( = = + n i i i x X 1 8 = ϕ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∑∑ == n i i n i i i xx X 11 ϕ ψ ψ ϕ .X [ ψ ] + ψ .X [ ϕ ] VÝ dô: i) Cho X(x,y,z) , Y(y, z, x) ϕ : E 3 → R (x, y, z)  x + yz TÝnh X [ ϕ ]; X [X.Y]; Y[X 2 ]; (X ^ Y) [ ϕ ] *) X [ ϕ ] = z z y y x x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕϕϕ . = x.1 + y.z + z.y = x + 2yz *) X.Y = xy + yz + zx X [X.Y] = x(y+z) + y(x+z) + z(y+x) = 2(xy + yz + zx) *) X 2 = (x 2 + y 2 + z 2 ) Y[X 2 ] = y.2x + z.2y + x.2z = 2(xy + yz + zx) *) X ^ Y = (xy - z 2 , yz - x 2 , xz - y 2 ) X ^ Y [ ϕ ] = (xy - z 2 )1 + (yz - x 2 )z + (xz -y 2 ) y = xy + yz 2 + xyz - z 2 - x 2 z - y 3 ii) Cho E 1 , E… n lµ trêng môc tiªu tù nhiªn TÝnh E 1 [ ϕ ] , E 2 [ ϕ ] ,E… n [ ϕ ] Gi¶i : E 1 (1, 0, . . . 0) E 2 (0, 1, . . . 0) … E n (0, 0, . . . 1) E 1 [ ϕ ] = 121 0.1 xxxx n ∂ ∂ = ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕϕϕϕ E 2 [ ϕ ] = 221 .0 1.0 xxxx n ∂ ∂ = ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕϕϕϕ E n [ ϕ ] = nn xxxx ∂ ∂ = ∂ ∂ ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕϕϕϕ .1 0.0 21 9 Nh vậy E i [ ] = i x 1.8. Mệnh đề . Giả sử { } n EEE , ., 21 là trờng mục tiêu tự nhiên của E n và các hàm số x i : U R p(p 1 , p 2 , ,p n ) P i với mọi ni ,1 = . Khi đó { } n dxdxdx , .,, 21 là trờng đối mục tiêu của { } n EEE , .,, 21 và { } ndx i i ,1 = là cơ sở của môdun 1 (U) Chứng minh *) dx i (E j ) = (E j ) [x i ] = ij j i x x = Vậy dx i (E j ) = ij *) Hệ { } n dxdxdx , .,, 11 độc lập tuyến tính. Giả sử 1 , 2 , , n R thoả mãn = = n i ii dx 1 0 = = n i jjii EEdx 1 )(0)( ; j = n,1 j = 0 ; j = n,1 *) Hệ { } n dxdxdx , .,, 21 là hệ sinh Lấy bất kỳ thuộc 1 (U), X B (U), X = X 1 E 1 + X 2 E 2 + + X n E n (X) = == = n i ii n i ii EXEX 11 )( do là ánh xạ tuyến tính) = i n i i XE )( 1 = = )()( 1 XdxE i n i i = = ))()(( 1 XdxE i n i i = , X B (U). Vậy = i n i i dxE )( 1 = . 10