Chuyên đề đại số ồ Văn Hoàng 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Chuyển vế :  a + b = c  a = c – b; ab = c  0 0 / b c b a c b             ;  a/b = c  0 a bc b      ;  2 1 2 1 n n a b a b      ;  2 2 n n a b a b    ;  2 2 0 n n b a a b a         ; 0 b a a b a          0, 0 0 / ; 0 / b c b a c b a b c a c b ab c b a c b                            2. Giao nghiệm : max{ , } ; min{ , } x a x a x a b x a b x b x b               ; p G x a p q x b G q G                            a < x < b(neáu a < b) VN (neáu a b) Nhiều dấu V: vẽ trục để giao nghiệm. 3. Đổi biến : a. Đơn giản: 2 , 0, 0, 0, 0, log x a t ax b R t x t x t x t a t x R              b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f. c. Lượng giác:t = sinx, cosx, tgx, cotx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t. d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên. 4. Xét dấu : a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu. b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0. c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f. 5. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với  : f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a  0) * S = x 1 + x 2 = – b/a ; P = x 1 x 2 = c/a Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x 1 ,x 2 ) = 0 không đối xứng, giải hệ pt: 1 2 1 2 0 . g S x x P x x          . Biết S, P thỏa S 2 – 4P  0, tìm x 1 , x 2 từ pt : X 2 – SX + P = 0  Dùng , S, P để so sánh nghiệm với 0 : x 1 < 0 < x 2  P < 0,  0 < x 1 < x 2  0 0 0 P S          ;  x 1 < x 2 < 0  0 0 0 P S          6. Phương trình bậc 3 : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 a. Viet : A = x 1 + x 2 + x 3 = – b/a , B = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = c/a , C = x 1 .x 2 .x 3 = – d/a x 1 , x 2 , x 3 là 3 nghiệm phương trình : x 3 – Ax 2 + Bx – C = 0 b. Số nghiệm phương trình bậc 3 :  x =   f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a  0) : 3 nghiệm phân biệt  0 ( ) 0f        2 nghiệm phân biệt  0 0 ( ) 0 ( ) 0f f                1 nghiệm    = 0 < 0 hay f = 0         7. Bất phương trình, bất đẳng thức :  Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của , . , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu tích A.B  Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều; số âm: có đổi chiều (Chia bất phương trình : tương tự).  Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.  Bất đẳng thức Côsi : a, b  0 : 2 a b ab   . Dấu = xảy ra chỉ khi a = b. a, b, c  0 : 3 3 a b c abc    . Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.  Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd) 2  (a 2 + b 2 ).(c 2 + d 2 ); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 8. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung. Nếu có điều kiện của x  I, lập BBT của f với x  I. 9.Tìm m để bpt vô nghiệm, luôn có nghiệm, có nghiệm xI Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x  I f(x)  m : (C) dưới (d) (hay cắt); f(x)  m : (C) trên (d) (hay cắt) ủ đề : Hệ phương trình phương trình đại số 1. Hệ phương trình bậc 1 : ' ' ' ax by c a x b y c        . Tính : D = ' ' a b a b , D x = ' ' c b c b , D y = ' ' a c a c D  0 : nghiệm duy nhất x = D x /D , y = D y /D. D = 0, D x  0  D y  0 : VN D = D x = D y = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết). 2. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy. ĐK : S 2 – 4P  0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S 2 – 4P  0; Thế S, P vào pt : X 2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y. (, ) là nghiệm thì (, ) cũng là nghiệm; Nghiệm duy nhất   =   m = ? Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không. 3. Hệ phương trình đối xứng loại 2 : Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0. Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1. 4. Hệ phương trình đẳng cấp : 2 2 2 2 ' ' ' ' ax bxy cy d a x b xy c y d          Xét y = 0. Xét y  0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x  0, đặt y = tx. 1. Hệ đối xứng I 2 2 11 1) 30         xy x y x y xy ; 11 . 30        p s hpt p s 5; 6 5; 6      s p hay p s . ĐS: (2; 3);(3;2);(1;5);(5;1) Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng 2 2) 2 2 3 3 30 5; 6 :(2;3); (3;2) 35             x y xy hpt s p KQ x y 4 4 2 2 1 11 1 (0;1) 3) ; 0; 2 (1;0) 1 ( 2 ) 2 1                        x y p s s hpt p p x y s p p 3 . 30 125 5 6. KQ: (4;9),(9;4) 3 3 35 30 4) : ; 0; ; . . 35                           p s hpt s s p s sp x y y x HD x y s x y p x y x x y y 5) Cho: 5( ) 4 4 1           x y xy x y xy m a) Tìm m để hpt có nghiệm. (HD: Giải hệ S; P ta được S = 4m; P = 5m −1;ĐK: S 2 − 4P  0  1 1 4   m m ) b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. ĐS: m = 1/4, m = 1. 6) a) Cmr: Hệ 2 2 2 2 1          x y xy m x y xy m m có nghiệm với mọi m. b) Tìm m hpt có nghiện duy nhất . a)Hệ  1 1 2 2 2 2 1 ; 1 1; .                 P S m S m P m S m P m P S m m ĐS: hệ S 1 , P 1 vn; 2 2 2 2 4 ( 1) 0   S P m .Vậy Hệ có nghiệm m b) Hệ có nghiệm duy nhất  2 2 2 4 0 S P  2 ( 1) 0 m 1 m . Suy ra x = y = 1 Vậy : (1;1). 2. Hệ đối xứng II 3 3 3 8 1) 3 8          x x y y y x ; 2) 3 4 3 4            y x y x x y x y ; 3) 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2            x x y y y x HD:1) 2 2 3 3 ( )( 5) 0 . 3 8 3 8                    x y x y x y xy x x y x x y ĐS: (0;0),( 11; 11),( 11; 11) 2) ĐK:x  0; y  0. Hệ  2 2 ( )( 4) 0 6 4( ) 0             x y x y x y xy x y ĐS(-2;-2) 3)Lấy (1) − (2) có 3(x − y)(x + y −1) = 0  y = x hoặc y = 1 − x. Kết hợp (1) khi y = x : (1;1) ; (2;2); khi y = 1 − x VN . 4) 1 3 2 1 1 2            x y x y x y 3. Hệ nửa đối xứng VD. Giải hệ 3 1 1 2 1           x y x y y x 2 2 3 3 . 0 1 1 0 2 1 2 1                        x y x y x y x y xy x y y x y x  3 . 0 ( )( 1) 0 2 1            x y x y xy y x 3 4 . 0 . 0 1 ( ) ( ) 2 1 0 2 0                          x y x y x y I y II x x x x x + Ta có I): 3 1 . 0 1 5 ( ( ) 2 2 1 0 1 5 2                               x y x y x y I x y x x x y + Ta có II) : 2 2 2 . 0 1 ( ) 1 1 3 ( ) ( ) 0;( ) 2 2 2                   x y II y x x x VN 4. Hệ đẳng cấp VD. Cho hệ phương trình : 2 2 2 4 (1) 3 4 (2)           x xy y m y xy a) Giải hệ pt` với m = 1; b) Tìm a để hệ có nghiệm Cách 1: Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt. Đặt x = ty, ta có : Hệ  2 2 2 2 2 2 4 3 4           t y ty y m y ty  2 2 2 ( 4 1) (1 3 ) 4           y t t m y t  2 2 4 1 1 3 4 (1 3 ) 4            t t m t y t (I) Do y  0 nên từ y 2 (1 - 3t) = 4  1 - 3t > 0  t < 1 3 a) Với m = 1 ta có hệ : 2 2 4 1 1 1 3 4 (1 3 ) 4            t t t y t . kq : (1 ; 4), (-1 ; -4). b) Ta có :(I)  2 2 4( 4 1) (1 3 ) (1 3 ) 4            t t m t y t  2 2 4 (16 3 ) 4 0 (*) (1 3 ) 4             t m t m y t .Đặt f(t) = 4t 2 −(16−3m)t+4−m thì hệ có nghiệm  (*) có nghiệm thoả mãn t < 1 3 . Ta lại có 1 8 ( ) 0 3 9   af  m nên hệ luôn có nghiệm thoả mãn t 1 < 1 3 < t 2 . Vậy hệ luôn có nghiệm với m. Cách 2 : Khử một ẩn. Hệ  2 2 4 3 4           x xy m y xy  2 4 2 2 4 2 (8 ) (4 ) 0 (*)              x m y x x m x m (x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4). Với m  4 đặt : f(t) = 2t 2 + (8 - m)t - (4 - m) 2 ta có f(0) = -(4 - m) 2 < 0 nên phương trình f(t) = 0 luôn có nghiệm t > 0 hay phương trình (*) luôn có nghiệm với m. Các bài tập luyện tập : Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản 1) Cho hệ phương trình 2 2 ( 1)( 1) 8           xy x y m x y x y a) Giải hệ khi m=12. b)Tìm m để hệ có nghiệm 2) Cho hệ phương trình 2 2 2 1 1 2           a x y x y a HD: Lấy (1) − (2) có (x − y)(2 + 4/xy ) = 0  y = x ; y = −2/x  y = x : (1;1) ; (-1;-1) ;  y = -2/x : ( 2; 2);( 2, 2)  Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng 3 Tìm a để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt 3) Tìm m để hệ có nghiệm 2 2 2 2 1 3 2            x xy y x xy y m 4) 2 2 2 2            x y y x 5) 1 1 3 1 1 1 1                  x y x y y x x y m a) Giải hệ khi m = 6. b)Tìm m để hệ có nghiệm Bài 2: 2 2 2 2 2 3 2 3            y y x x x y (B 2003) Bài 3: 2 2 3 3 2 15 8 35          x y xy x y HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S=2x+y và P= 2x.y Đs : (1,3) và (3/2 , 2) Bài 4: 3 3 6 6 3 3 (1) 1 (2)           x x y y x y .HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 Xét hàm số:   3 3 f t t t trên [-1,1] áp dụng vào ph trình (1) Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 2 2 2 2 2            a x y y a y x x HD: 3 2 2 2       x y x x a xét 3 2 ( ) 2 f x x x lập BBT Bài 6: 2 2 2 2            x y y x HD Bình phương 2 vế,đối xứng loại 2 Bài 7: 2 2 ( 1) ( 1)            xy x a y xy y a x xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8 Bài 8: 2 2 10 20 (1) 5 (2)           xy x xy y HD : Rút ra 2 5 5    y x y y y . Cô si 5 2 5  x y y . 2 20x theo (1) 2 20x suy ra x,y Bài 9: 3 (1) 2             x y x y x y x y (KB 2002) HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2) Bài 10: 1 2 3            x y a x y a Tìm a để hệ có nghiệm HD: từ (1) đặt 1, 2   u x v y được hệ dối xứng với u, - v Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2 nghiệm trái dấu. Bài 10: 1) 3 3 2 2 7( ) 2             x y x y x y x y HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm 2) 2 3 3 ( ) . 2 19          x y y x y đặt t = x/y có 2 nghiệm 3) 2 ( 2)(2 ) 9 4 6          x x x y x x y đặt X=x(x+2) và Y=2x+y 4) 2 2 2 2 2 (1) 4              x y x y x y x y đổi biến theo v,u từ ph trình số (1) 5) 3 3 3 2 2 1 19 6           x y x y xy x Đặt x =1/z thay vào được hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2) Chủ đề:Phương trình và bất phương trình phương trình đại số 1) Bất phương trình bậc hai ; Định lý về dấu của tam thức bậc hai; Phương pháp hàm số. 2) Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối 2 2 2 2 0 ; ;                        B A B A B A B A B A B A B A B B A B A B 3) Phương trình, bất phương trình chứa căn thức *PT chứa căn thức: 2 0 0( 0) * ; * 0 * 0 2                             B A hayB A B A B A B A B A A B C B A B AB C * Bất phương trình chứa căn thức: 2 2 2 2 0 0 * 0 * 0 0 0 0 0 * * 0 0                                                           A A A B B A B B A B A B A A B B A B A B B B A B A B Ví dụ 1 1) 2 2 4 3   x x x . Hd : chia khoảng . 2) 1 3 2 1 3     x x . HD: 1 ; 0 3: 2; 4      x t t t x 3) 2 2 2 6 8 1 30    x x x 4) 3x 2 - 3x > 9x –2.Chia hai trường hợp : x>3 ; x< 3 . 5) Giải 2 2 3 3 3   x x x . Áp dụng :             A B A B B A B A B Hpt  2 5 x . Ví dụ 2: Bình phương hai vế : a) x 2 + 1 1x   .Hd: pt                        4 2 0 1 1 1 2 0 1 5 2 x x x x x x x b)pt: 5 1 3 2 1 0.     x x x ĐK: x ≥ 1 Chuyển vế, bình phương 2 vế : x = 2; x = 2/11( loại ). Vậy x = 2 c) 9 5 2 4x x    ĐK x ≥ − 2 Bình phương hai lần ta có :ĐS x = 0 . d) 16 9 7 : 0; 7x x KQ x      e) 2 2 (4 1) 9 2 2 1x x x x     ĐK x ≥ ¼ Bình phương hai lần ta có :ĐS x = 4/3 Ví dụ 3: Đặt ẩn số phụ : HD: TH1 x=y suy ra x=y=1 TH2 chú ý: x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng 4 a) 2 2 3 3 3 6 3x x x x      .Đặt : t = x 2 − 3x +3 ≥ ¾ Phương trình  3 3 1. : 1;2t t t KQ x      b) 2 2 1 1 3 x x x x     . ĐK 0 ≤ x ≤ 1 Đặt : 2 2 1 1 ; 0 2 t t x x t x x         pt  t 2 − 3t +2 = 0  t =1 V t = 2 Vn. t =1 <. x = 0 V x = 1 . c) 2 2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x        1;x   2 3 1 0t x x     2 2 3 4 2 2 5 3t x x x      5 3.pt t x    d) 2 2 2 7 2 3 3 19x x x x x x        . Đặt 2 2 7 / 4.t x x    5 3 13 4. : 1; 2pt t t t t KQ x x          Ví dụ 4: 1 3 ( 1)(3 )x x x x m       a) Giải pt khi m=2 . b) Tìm m để pt có nghiệm . ĐK: −1 ≤ x ≤ 3. Đặt 1 3 2 2 2t x x t       (vì     2( )a b a b a b ) a) 2 0( ) 2 : 2 0 . KQ: 1, 3 2 t l m t t x x t             b) Xét f(t) = − t 2 / 2 + t + 2 = m (1) . Lập bảng biến thiên : Tacó : 2 2 2 2.m   Ví dụ 5: 1) 2 9 9x x x x m      . ĐK 0 ≤ x ≤ 9 Bình phương : Đặt t = (9 ) 0 9 / 2x x t    KsHS 2 9 9 ( ) 2 9; 0 . KQ: 10 2 4 f t t t t m         2) 4 4 4 4 4 6x x m x x m      Đặt : 4 4 2 3 4 0; : 6 0 2 t l t x x m pt t t t               4 4 4 4 2 4 16x x m m x x        Lập BBT : m >19 VN; m =19: 1 ngh; m< 19 2 ngh. Ví dụ 5: 1) 2 2 3 3 3 (2 ) (7 ) (7 )(2 ) 3x x x x       -Đặt :          3 3 2 7 u x v x . Pt            2 2 3 3 3 9 u v uv u v        3 2 u v uv      1; 2. KQ: 1; 6u v x x 2) 3 2 1 1x x    .ĐK : x 1 3 3 2 1 2 0;1; 2; 1;0;3. 1 1; 0 KQ: 1;2;10 u v u x u v u v v x v x                        Bất phương trình Bài 1: Tìm m để 2 ( 1)( 3)( 4 6)x x x x m     Tìm m để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi x HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m ≤ −2 Bài 2: Tìm a để x: 2 ( ) ( 2) 2 3f x x x a     ĐS a≥4Va ≤ 0. Bài 3: Giải các phương trình ,bất phương trình sau 1) 2 8 6 1 4 1 0x x x     2) 4 1 1 2x x x     ĐS: x = 0 3) 2 2 2( 2 ) 2 3 9 0x x x x      ĐS: 1 5x   4) 2 2 1 1 2x x x x      tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải 5) 2 2 ( 3 ) 3 2 0x x x x    KD 2002 Bài 4: Tìm m để hệ có nghiệm 2 2 10 9 0 2 1 0 x x x x m             ĐS m ≥ 4 Bài 5: Giải bất phương trình 2 1 2 2x x x     HD nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT  Biến đổi về BPT tích Chú ý ĐK Bài 6: Giải bất phương trình 3 1 3 2 7 2 2 x x x x     HD Đặt    1 , 2 2 t x t x AD BĐT cô si suy ra ĐK Bài 7: Giải bất phương trình 2 2 4 (1 1) x x x     HD Xét 2 trường hợp chú ý ĐK x ≥ −1 Trong trường hợp x ≥4 tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT Bài 8: Tìm m để ptrình 2 9 9x x x x m      có nghiệm HD Bình phương 2 vế chú ý ĐK . Đặt t= tích 2 căn t.Tìm ĐK t. Sử dụng BBT suy ra KQ Bài 9: Giải bất ptrình 2 2( 16) 7 3 3 3 x x x x x        (KA 2004) Bài tập áp dụng 1) 2 2 2 1 0 x y x x y a          Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. Tìmnghiệm duy nhất ĐS a = −1 và a=3 2) Tìm m để bất p trình 4 2 16 4x x m    có nghiệm 3) a) 2 4 4 2 12 2 16x x x x       . b) 12 3 2 1x x x     4) 2 2 2(1 ) 2 1 2 1x x x x x      HD: đặt 2 2 1t x x   coi là phương trình bậc hai ẩn t. 5) 2 ( 1) (2 ) 2x x x x x    6) 3 2 1 ( 2) 1 2 x x x x x        7) Cho phương trình 4 4 4x x x x m       a) Giải phương trình khi m=6. b) Tìm m để phương trình có nghiệm 8) a) 2 51 2 1 1 x x x     . b) 2 3 4 2 3 2 0x x x      Chủ đề:PHƯƠNG TRÌNH − BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa và lôgarit 2. Tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit 3. Các phương trình, bất phương trình cơ bản:  Với m > 0, 0 < a  1 thì:  a x = m  x = log a m  a x > m  log ;( 1) log ;(0 1) a a x m a x m a          a x  0 với mọi x  R  Với mọi số thực m và 0 < a  1 thì:  log a x = m  x = a m  log a x > m  ; 1 0 ; 0 1 m m x a a x a a          MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1) Phương pháp đưa về cùng cơ số Với 0 < a  1 thì:  a f(x) = a g(x)  f(x) = g(x);  a f(x) > a g(x)  f(x) > g(x) nếu a > 1 hay f(x) < g(x) nếu 0 < a <1  log a f(x) = log a g(x)          ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) f x g x f x g x Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng 5  log a f(x) > log a g(x)          ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) f x g x f x g x ; nếu a > 1  log a f(x) > log a g(x)          ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) f x g x f x g x ; nếu 0 < a < 1. Ví dụ 1. Giải PT: 2 x+1 .5 x = 2.10 2x+5 (1) LG: (1)  10 x = 10 2x+5  x = 2x +5  x = - 5. Ví dụ 2. Giải PT: log 3 (2x+1) - 1 3 log (1 )x (2) Đkiện 2x+1 > 0 và 1- x > 0    1 1 2 x . (2) log 3 (2x+1)=  1 3 1 log 1 x     1 2 1 1 x x     2 2 0x x  x=0; x=2(loại). PT có nghiệm duy nhất x = 0. Ví dụ 3. Giải BPT: log 5 (4 x +144) – 4log 5 2 < 1+ log 5 (2 x-2 +1) (3) LG: Đkiện: x R  (3)  log 5 (4 x +144) < log 5 80(2 x-2 +1) 4 x -20.2 x +64 < 0  4 < 2 x < 16  2< x < 4. Ví dụ 4. Giải BPT: 1 1 1 ( 5 2) ( 5 2) x x x       (4) LG: Do 1 5 2 ( 5 2)     , (4)    1 1 1 5 2 ( 5 2) x x x        1 1 0 5 2 1 1 x x do x         x  1 hoặc − 2  x < −1. 2) Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 5. Giải PT: 3.49 x + 2.14 x – 4 x = 0 (5) HD: Chia hai vế PT cho 4 x rồi đặt t = 7 . 2 x       7 2 : log 3KQ x   Ví dụ 6. Giải PT: 5 x - 3 5 x = 20 (6) LG: Đkiện x  0, do phương trình chứa căn, đặt t = 5 1 x  (5) t − 125 t − 20 = 0 t 2 – 20t −125 = 0  t = −5 (l), t = 25 t = 25 2 5 25 5 2 4. x x x       Ví dụ 7. Giải BPT: 4 x – 2.5 2x < 10 x HD: Chia hai vế cho 10 x , ta được 2 5 2. 1 5 2 x x               , Đặt t = 2 , 0 5 x t        . BPT  2 2 0 t t t    Với đkiện t > 0 ta có 0 < t < 2  2 5 2 0 2 log 2 5 x x           , (Chú ý do cơ số < 1). Ví dụ 8. Giải BPT: 2 2 2 6 4 3 log 2 log x x   (8) HD: Đkiện 0 < x  1/2 và 1. Đặt t = log 2 x , t  0 (8) 2 1 1 3 5 2 0 3 (1 ) 0 2 t t t t t t                  ; Suy ra tập nghiệm của (8) là :   3 1 1 ; 1;4 . 2 2        * Dạng       ( ) ( ) ( ) f x f x A a b B a b c nếu(a+ b )(a- b )=1, đặt t =    ( )f x a b * Dạng au 2f(x) +b(uv) f(x) +cv 2f(x) = 0, nên chia hai vế cho v 2f(x) , đặt t =       ( )f x u v 3) Phương pháp logarit hoá Ví dụ 9. Giải PT: 2 3 8 6 x x x  (9) LG: Đkiện x  -2 . Lôgarit cơ số 3 hai vế ta có 3 3 3 2log 2 3 log 2 1 log 2 ( 1) 1 0 2 2 x x x x x                 x = 1 hoặc x = − (1+log 3 2). Ví dụ 10. Giải BPT: 2 log 4 32 x x   (10). Đkiện x > 0. LG: Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta có : (log 2 x +4)log 2 x < 5, Đặt t = log 2 x PT t 2 +4t −5 < 0 −5 < t < 1 −5 < log 2 x < 1  2 -5 < x < 2. 4) Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số a > 1, thì a f(x) > a b  f(x)>b ; log a f(x) > log a b  f(x) > b >0 0<a<1, thì a f(x) > a b  f(x)<b ; log a f(x) > log a b  0<f(x) < b Ví dụ 11. Giải PT: 3 x = 3 – log 5 x (11) LG: Ta có x = 1 là một nghiệm của phương trình (11) Với x > 1 thì 3 x > 3 1 = 3 và - log 5 x < log 5 1 = 0  3 x > 3 – log 5 x. Với x < 1 thì 3 x < 3 1 = 3 và - log 5 x > log 5 1 = 0  3 x < 3 – log 5 x. Vậy x =1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 12. GPT: 3 x + 2 x = 3x +2 LG: Dễ thấy rằng PT có nghiệm x = 0 , x = 1. (PT không có nghiệm duy nhất) Xét hàm số: f(x) = 3 x + 2 x – 3x+2 ta có : f’(x) = 3 x ln3 + 2 x ln2 – 3 f’’(x) = 3 x ln 2 3 + 2 x ln 2 2 > 0 R  hàm số đồng biến trên R. Mặt khác hàm số f’(x) liên tục trên R và f(-1).f(1) < 0  PT f’(x)=0 có nghiệm duy nhất x 0 (-1; 1). Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có không quá 2 nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0; x = 1. 5) Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và lôgarit Chú ý : Ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình , hệ bất phương trình như đối với hệ hữu tỉ đã biết và kết hợp với các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit để giải hệ PT, Hệ BPT mũ và lôgarit. Ví dụ 13 (ĐH K B-2005). Giải HPT: 2 3 9 3 1 2 1 (1) 3log (9 ) log 3 (2) x y x y            Đkiện x > 0 và 0 < y  2 (2)  3(1+ log 3 x) – 3log 3 y = 3  log 3 x = log 3 y  x = y. Thay x = y vào phương trình (1) ta có (1)  (x-1)(2-x) = 0  x = 1 ; x = 2. Từ đó  HPT có hai nghiệm là (1 ; 1) và (2; 2). Ví dụ 14 (ĐH KD-2002 ).Giải HPT: 3 2 1 2 5 4 (1) 4 2 (2) 2 2 x x x x y y y            LG: Từ PT(2)  2 x = y, y > 0; Thế vào PT(1) ta được PT :y 3 -5y 2 +4y = 0  y = 0, y = 1, y = 4 Hệ PT có nghiệm (0; 1) ; (2; 4). 6) Các bài toán tổng hợp (Hay và khó) Ví dụ 15. (996). Tìm nghiệm dương của PT: 2 2 log 3 log 5 .x x x  HD: Biến đổi PT về dạng: 2 2 2 log log log 2 3 5 . x x x   Đặt t = log 2 x, PT  2 t + 3 t = 5 t . Bằng phương pháp hàm số có nghiệm t = 1  x = 2. Ví dụ 16. (ĐH KA-2002). Cho PT: 2 2 3 3 log log 1 2 1 0x x m     (16) (m là tham số) 1. Giải PT khi m =2. 2. Tìm m để PT (16) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 3 1;3     Đk x > 0, Đặt t = 2 3 log 1x   1 ta có PT  t 2 +t-2m-2 = 0 (*) (16) có nghiệm thuộc 3 1;3      (*) có nghiệm thuộc [1; 2]. Xét hàm số f(t) = t 2 +t trên [1; 2] ta được PT (16) có nghiệm  3 1;3      m  [0 ; 2] Ví dụ 17.(ĐHQGHN-1997) Giải và BL BPT theo tham số a: log ( ) 4 ( ) . a ax x ax (17) HD: Điều kiện a > 0, a  1, x > 0. Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng 6 Với 0 < a < 1. Lấy lôgarit cơ số a hai vế PT  (1+log a x)log a x  4(1+log a x)  (log a x+1)(log a x-4)  0  -1  log a x  4  a 4  x  a -1 . Với a > 1, Biến đổi như trên với chú ý cơ số > 1 ta được (log a x+1)(log a x-4)  0 4 1 log 1 0 log 4 a a x x a x x a                   Ví dụ 18.(ĐHQG HN - 2000) Giải PT: 2 2 log log 2 (2 2) (2 2) 1 x x x x     HD: Đkiện x > 0, đặt t = log 2 x  x = 2 t , ta có PT: 2 (2 2) 2 (2 2) 1 2 t t t t      Nhân cả hai vế với (2 2) t  sau đó biến đổi ta có: [ (2 2) t  -4 t ][ (2 2) t  -1] = 0  t = 0  x = 1. Ví dụ 19. Giải PT: 3 2 1 3 2 2 8 2 2 log (4 4 4) x x x x       (19) HD: Ta có 4x 2 – 4x+4 = (2x-1) 2 + 3  3  log 3 (4x 2 -4x+4)  1, Suy ra VP  8. Mặt khác theo BĐT Cô-si, ta có: VT  8 (19)              3 2 1 3 2 2 2 2 8 8 8 log (4 4 4) x x x x giải hệ ta có nghiệm là x = 1 2 Ví dụ 20.(ĐH KD - 2006) Chứng minh rằng với a > 0, hệ sau có nghiệm duy nhất: ln(1 ) ln(1 ) (1) (2) x y e e x y y x a           Đkiện x > -1, y > -1. Thế (2) y = x+a vào (1) ta có PT: e x+a - e x +ln(1+x) – ln(1+a+x) (3) với x > -1, a >0. hệ có nghiệm duy nhất (3) có nghiệm duy nhất x > -1. Xét hàm số f(x) = e x+a - e x +ln(1+x) – ln(1+a+x)  ĐPCM. C. BÀI TẬP TỔNG HỢP I. Các bài toán trong đề thi đại học từ năm 2002 đến 2008 Bài 1. (A. 2008) Giải PT: log 2x-1 (2x 2 +x-1) + log (x+1) (2x-1) 2 = 4. ĐS: x = 2; x = 5/4 Bài 2. (B.2008) Giải BPT: 2 0,7 6 log log 0 4 x x x          . ĐS: x  (-4; -3)  (8; +  ) Bài 3. (D.2008) Giải BPT: 2 1 2 3 2 log 0 x x x          . ĐS: x (2 2;1) (2;2 2 2 )    Bài 4. (A07) Giải   3 1 3 2log (4 3) log 2 3 2x x    . ĐS:       3 ;3 4 Bài 5. (B.2007) Giải BPT: ( 2 -1) x + ( 2 +1) x - 2 2 = 0. ĐS: x = 1; x = -1 Bài 6. D.2007) Giải BPT: 2 2 1 log (4 15.2 27) log 0 4.2 3 x x x            . ĐS: x = log 2 3 Bài 7. (A.2006) Giải PT: 3.8 x +4.12 x -18 x -2.27 x = 0. ĐS x = 1 Bài 8. (B.2006) Giải BPT: log 5 (4 x +144)-4.log 5 2 < 1+ log 5 (2 x-2 +1). ĐS: x  (2; 4) Bài 9. (A.2004) Giải HPT: 1 4 4 2 2 1 log ( ) log 1 25 y x y x y           . ĐS:(3; 4) Bài 10. (D.2003) Giải PT: 2 2 2 2 2 3 x x x x     .ĐS: x= -1; x =2 Bài 11. (B.02) Giải BPT: log x (log 3 (9 x -72))  1ĐS: log 9 73 < x  2 II. Các bài toán trong đề thi đại học trước năm 2002 Bài 1. (HVQHQT-1999) Giải PT: 2 2 2 3 2 6 5 2 3 7 4 4 4 1 x x x x x x         . ĐS: x  {-5; -1; 1; 2} Bài 2. (ĐHQG-KD.2000) Giải PT: 8.3 x + 3.2 x = 24 +6 x . ĐS: x = 1; x = 3 Bài 3. (ĐHQG-KB.1998) Giải PT: 125 x +50 x = 2 3x+1 . ĐS: x = 0 Bài 4. (ĐHQG-1997) Giải PT: 3 (5 21) 7.(5 21) 2 x x x     . ĐS: x = 0 ; x = 5 21 2 log 7  Bài 5. (ĐH Y-2000) Giải PT: 3 3( 1) 1 12 2 6.2 1 2 2 x x x x     ĐS:x= 1 Bài 6. (ĐHTL 2000) Giải PT: 2 2 2 1 2 2 2 9.2 2 0 x x x x      . ĐS: x = -1; x = 2 Bài 7. (ĐHTCKT-1997) 25 x -2(3-x)5 x + 2x -7 = 0. ĐS: x = 1 Bài 8. (ĐH NT-1997) Giải PT: 2 x+1 – 4 x = x-1. ĐS: x =1 Bài 9. (ĐHSP 2001) Giải PT: 3 x + 5 x = 6x+2. ĐS: x = 0; x =1 Bài 10. (ĐHNNHN-2000) Cho phương trình: (m+3).16 x + (2m-1).4 x +m +1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. ĐS: 3 1 4 m    Bài 11. (ĐHQG TPHCM.1996) Cho phương trình: (2+ 3 ) x + (2- 3 ) x = m . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. m > 2 Bài 12. (ĐH NT -1998) Tìm m để pt 2 | 4 3| 4 2 1 1 5 x x m m            . có 4 nghiệm phân biệt ĐS: m  (-1 ; 1)\ {0} Bài 13. (QGHN- 1995) Giải HPT: 2 2 2 2 ( )( 2) 2 x y y x xy x y          . ĐS: (1; 1); (-1 ; -1) Bài 14. (ĐHGT -1998) Giải BPT: 3 1 1 3 ( 10 3) ( 10 3) x x x x        . ĐS: x  (-3; - 5 ) (1; 5) Bài 15. (ĐH Dược HN -1997) Giải BPT: 2 2 2 2 1 2 4 .2 3.2 .2 8 12 x x x x x x x       . ĐS:(- 2 ; -1) ( 2; 3) Bài 16. (ĐHQG HN-1996) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn phương trình : 2 2 sin s 8 8 1 x co x   +cos2y. ĐS: ( ; ) 2 2 k m     Bài 17. (ĐHQG HN-1999) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất PT sau có nghiệm: 2 2 2 sin s sin 2 3 .3 x co x x m  . ĐS: m  4 Bài 18. (ĐHSP TPHCM-2000) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất PT sau có nghiệm: 1 4 .2 3 2 0 x x m m      . ĐS: m  1 Bài 19. (ĐH BKHN-1999) Giải PT: 2 log10 log log100 4 6 2.3 x x x   . (Chia 4 logx )ĐS: x = 10 -2 Bài 20. (ĐH THHN-1994) Giải PT: 8 2 3log log 2. 2. 5 0 x x x x     . Bài 21. (ĐH SPHN-1994) Giải PT: ĐS: x = 1/ 2 ; x=2 2 2 3 3 log ( ) log ( ) 3x x x x     . ĐS: x = 3 Bài 22. (ĐHSPHN-1990) Giải PT: 2 2 2 5 5 1 log (1 ) log (1 ) 2.log ( ) 5 2x x x       .ĐS:         1 11 1 (3 29) 2 Bài 23. (ĐH Mỏ ĐC -1993) Giải BPT: 2 5 log (1 2 ) 1 log ( 1)x x    . ĐS:    2 1 5 2 x Bài 24. (ĐH Luật HN-1997) Giải BPT: 2 3 2 3 2 log ( 1) log ( 1) 0 3 4 x x x x       . ĐS: -1 <x< 0; x > 4 Bài 25. (ĐH YHN-1997) Giải BPT: 2 2 log 64 log 16 3 x x   . ĐS: x  1 3 1 ( ;2 ] (1;4] 2   Bài 26. (ĐH BKHN 2000) Giải PT: log 4 (x+1) 2 +2 = 3 3 2 log 4 log (4 )x x   . x  {2,2– 24 } Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng 7 Bài 27. (ĐH SPHN-2000) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để mọi x  [0; 2] đều thoả mãn bất phương trình 2 2 2 4 log 2 4 log ( 2 ) 5x x m x x m      . ĐS: m  [2; 4] Bài 28. (ĐH Mỏ ĐC -1999) Giải hệ: 2 2 4 4 4 2 4 4 4 log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 ) log ( 1) log (4 2 2 4) log 1 x y x x y x xy y y x y                        . ĐS: (a ; a), a > 0; (2; 1) Bài 29. (ĐH SPHN-1991) Giải hệ: 2 2 4 4 log log 1 log log 1 y x y x y          . ĐS: (8; 2); (2; 1 2 ) ĐS: (2; 1), 2 ( ; 2) 2 Bài 30. (ĐHSPNN-1998) Giải hệ: 2 2 2 2 log log log ( ) log ( ) log .log 0 x y xy x y x y         .  . x  {2,2– 24 } Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng 7 Bài 27. (ĐH SPHN-2000) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để mọi x  [0; 2] đều thoả mãn bất phương. HD: Điều kiện a > 0, a  1, x > 0. Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng 6 Với 0 < a < 1. Lấy lôgarit cơ số a hai vế PT  (1+log a x)log a x  4(1+log