Chơng 3: Động lực học hệ 1.CáC KHáI NIệM 1.1 Di chun kh¶ dÜ vμ sè bËc tù hệ - Chuyển động hệ thờng bị buộc điều kiện hình học v động học định tập hợp điều kiện gọi l liên kết Tập hợp di chuyển vô bé bảo ton liên kết hệ gọi l di chun kh¶ dÜ cđa hƯ VÝ dơ: Sè di chuyển điểm M r r r1 = kδr2 r r r δri = k1δr1 + k 2δr2 Di chuyển độc lập r r r1 = kδ r2 r r r δri = k1δ r1 + k 2δ r2 Sè bËc tù cđa c¬ hƯ số di chuyển độc lập 1.2 Toạ độ suy rộng hệ - Tập hợp thông số đủ để xác định vị trí hệ hệ quy chiếu xác định gọi l toạ độ suy rộng hệ ký hiệu: q1, q2, q3, qm - Toạ độ đề chất điểm biểu diễn qua toạ độ suy rộng - Nếu toạ độ suy rộng l ®éc lËp ⇒ to¹ ®é suy réng ®đ (q1, q2, qn) - Nếu không ta có toạ độ suy rộng d (qn+1, qn+2, qm), m>n - Số toạ độ suy rộng d số phơng trình liên kết Ví dụ: - Khảo sát hai liên kết lề loại với v với giá nh hình vẽ: - Vị trí của chúng xác định nh sau: {, } - Số toạ độ suy rộng đủ {xA, yA, xB, yB} m-n = Phơng trình liên kÕt: 2 x A + y A = OA2 ( xB − x A ) + ( y B − y A ) 2 = AB Trong trờng hợp phơng trình liên kết không chứa vận tốc suy rộng liên kết hình học Nếu không chứa thời gian liên kết dừng Trong phạm vi giáo trình ta khảo sát hệ chịu liên kết hình học v dừng 1.3 Các đặc trng hình học khối vật rắn 1.3.1 Khối tâm vật rắn - Vị trí khối tâm vật rắn đợc xác định nh sau: r r lim N →∞ ∑ mk rk r rc = = N ∫ r dm M v lim N →∞ ∑ mk k =1 - Chiếu phơng trình ny lên trục toạ độ toạ độ (xc, yc, zc) khối tâm 1.3.2 Mô men quán tính vật rắn - Mô men quán tính vật rắn trục z ký hiệu Iz, l đại lợng vô hớng xác định theo công thức: N I z = lim N →∞ ∑ mk ρ = ∫∫∫ ρ dm - Trong tr−êng hỵp k −1 k v 1.4 Các lực tác dụng lên hệ - Lực tác dụng lên chất điểm hệ thay đổi theo thời gian, phơ thc vμo vÞ trÝ vμ vËn tèc cđa chÊt điểm chịu lực m phụ thuộc vo vị trí v vận tốc tất chất điểm thuộc hệ r - Gọi Fk l lực tác dụng lên chất điểm Mk r r r r r r r r Fk = Fk (t , r1 , r2 , , rn , v1 , v2 , , ) Lực tác dụng lên hệ gồm: - Ngoại lực: Lực từ bên ngoi tác dụng lên chất điểm Mk cđa r c¬ hƯ ký hiƯu Fck - Nội lực: Lực r chất điểm thuộc hệ t¸c dơng lÉn ký hiƯu Fik r - Lùc liªn kÕt: Ký hiƯu Rk , lμ lùc liên kết tác dụng lên chất điểm thuộc hệ - Lực hoạt động l lực không phụ thuộc vo loại lực liên kết 1.5 Lực suy rộng 1.5.1 Biểu thức công r di chuyển r lùc ∑ δAk = ∑ Fkδrk = ∑ (Fkxδxk + Fkyyk + Fkzzk ) - Giả sử số toạ độ suy rộng đủ hệ l:q1, q2, q3, qn Vì xk l hm số qi nên: xk xk = ∑ δqi k =1 ∂qi n ∂yk ∂z k δyk = ∑ δqi δz k = ∑ δqi k =1 ∂qi k =1 ∂qi - Thay vμo biÓu thøc cña ∑ δAk ta cã: n ⎡ n ⎛ ∂xk ∂yk ∂z k ⎞⎤ n ∑ δAk = ∑ ⎢∑ ⎜ Fkx ∂q + Fky ∂q + Fkz ∂q ⎟⎥ = ∑ Qiδqi ⎜ ⎟ i =1 ⎣ k =1 ⎝ i =1 i i i ⎠⎦ n n 1.5.2 Lùc suy réng n r ⎛ ⎞ n r ∂rk - Đại lợng: Qi = Fkx xk + Fky ∂yk + Fkz ∂z k ⎟ = ∑ Fk ⎜ ∂qi ⎟ k =1 ∂qi ∂qi ∂qi k =1 ⎝ ⎠ - Thø nguyªn cđa lùc suy réng phơ thuộc vo thứ nguyên toạ độ suy rộng (lực mômen) 1.6 Liên kết lý tởng L liên kết m tổng công lực liên kết di chuyển 0, thực tế bỏ qua ma sát v tính đn hồi liên kết sau đây: - Các vật rắn tự l hệ chịu liên kết lý tởng; - Hai vật rắn tựa vo (bỏ qua ma sát); - Dây mềm không dÃn vắt qua ròng rọc (ma sát trục, trợt); - Hai vật lăn không trợt với r r ∂rk - DÔ dμng thÊy: =0 QR = R i ∑ k ∂qi Nguyªn lý di chun 2.1 Nguyên lý di chuyển - Đối với hệ chịu liên kết hình học, dừng, v lý tởng điều kiện cần v đủ để hệ cân vị trí xét l tổng công nguyên tố lực hoạt động di chuyển hệ từ vị trí xét triệt tiêu r r Ak = ∑ Fkδrk = r - Fk lμ lùc hoạt động (hợp lực) tác dụng lên chất điểm Mk r - r l di chuyển điểm Mk k 2.2 Điều kiện cân hệ toạ độ suy rộng đủ Từ nguyên lý di chun kh¶ dÜ ta cã: n r r ∑ δAk = ∑ Fkδrk = ∑ Qiδqi =0 i =1 - Do toạ độ suy rộng đủ độc lập với nên qi độc lập VËy: Qi = (i = 1, 2, …n) Định lý: Điều kiện cần v đủ để hệ chịu liên kết hình học, dừng v lý tởng cân vị trí l lực suy rộng lực hoạt động ứng với toạ độ suy rộng đủ phải đồng thời triệt tiêu r r * rk nguyên lý di chuyển viết - Nếu đặt:V = k * dt dới dạng: k k - Phơng trình ny gọi l phơng trình công suất DCKD 2.3 Ví dụ rr F v = Nguyên lý Đa lăm be 3.1 Nguyên lý Đa lăm be chất điểm - Các lực thực đặt vo chất điểm lực quán tính chất điểm tạo thnh hệ lực cân - Theo đinh luật ĐLH (Niu tơn 2): - Biến đổi ta có: r r F = ma r r r r F − (ma ) = F + Fqt = 3.2 Nguyên lý Đa lăm be hệ - Khảo sát chất ®iĨm thø k thc c¬ hƯ: e i k k k qt - LÊy tỉng hai vÕ tõ ®Õn n (hƯ lùc ph¼ng) ta cã: r r r r r F − (ma ) = F + F + F = re r ∑ Fk + Rqt = n k =1 ( ) re ∑ mo Fk + M o qt = n k =1 3.3 Thu gọn hệ lực quán tính 3.3.1 Vật rắn chuyển ®éng tÞnh tiÕn n r r r Rqt = ∑ − mk ak = − Mac k =1 - Hỵp lực quán tính đặt khối tâm vật 3.3.2 Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định - Thu gọn hệ lực quán tính O ta đợc n r r r Rqt = ∑ − mk ak = − Mac ( ) ( ) n rτ rn rτ = ∑ mo Fkqt + ∑ mo Fkqt = ∑ mo − mk ak = − J z ε n M o qt k =1 n k =1 k =1 ( k =1 3.3.3 Vật rắn chuyển động song phẳng - Thu gọn hệ lực quán tính khối tâm C ta đợc r r RCqt = Mac 3.4 VÝ dô M Cqt = − J Cz ε c ) 4.Động lực học vật rắn 4.1 Phơng trình vi phân chuyển động vật rắn 4.1.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến - Theo nguyên lý Đa lăm be: r r r ∑ Fk + Rqt = N N r r d rc M = M&& = ∑ Fk rc dt k =1 N k =1 k =1 N k =1 r M&&C = ∑ Fky y r M&&C = ∑ Fkx x 4.1.2 VËt rắn chuyển động quay quanh trục cố định ( ) r ∑ mo Fk + M o qt = N k =1 ( ) r && J zϕ = ∑ mo Fk N r k =1 Fk lμ c¸c lực ngoi kể phản lực liên kết - Trong ®ã 4.1.3 Chun ®éng song ph¼ng cđa tÊm ph¼ng - Trong hệ toạ độ đề các: N r M&&C = ∑ Fkx x N k =1 r M&&C = ∑ Fky y k =1 - Trong ®ã: xC vμ yC l toạ độ khối tâm C ( ) r && J Czϕ = ∑ mo Fk N k =1 4.2 Phơng trình vi phân chuyển động hệ Phơng trình Lagrange loại - Khảo sát hệ chịu liên kết hình học v lý tởng có vị trí xác định nhờ n toạ độ suy rộng đủ: q1, q2, q3qn - Theo nguyên lý Đa lăm be: r r r r r r r qt r qt r qt F1 , F2 FN , R1 , R2 RN , F1 , F2 FN ≡ - Do liªn kết lý tởng nên lực liên kết triệt tiêu nên điều kiện cân l: F qt Trong ®ã: i = 1, 2…n Qi + Qi = -Từ biểu thức động T hệ theo toạ độ suy rộng v vận tốc suy réng cã thÓ chøng minh: ⎡ d ∂T ∂T ⎤ − Q = −⎢ ⎥ & ⎣ dt ∂qi ∂qi ⎦ qt i & & & T = T (q1 , q2 , qn , q1 , q2 , qn ) QiF L lực suy rộng lực hoạt động - Thay vo phơng trình điều kiện cân ⎡ d ∂T ∂T ⎤ = QiF − ⎢ ⎥ & dt qi qi - Đây l phơng trình Lagrange II mô tả chuyển động hệ - Nếu lực hoạt động gồm lực với hm v lực hoạt động khác không có lực suy rộng Q*i phơng trình Lagrange loại II viết nh sau: VÝ dô ⎡ d ∂T ∂T ⎤ ∂Π + Qi* =− − ⎢ ⎥ & ∂qi ⎣ dt ∂qi ∂qi ⎦ i = 1, 2,…n ... - Nội lực: Lực r chất điểm thuộc hệ t¸c dơng lÉn ký hiƯu Fik r - Lùc liªn kÕt: Ký hiƯu Rk , lμ lùc liên kết tác dụng lên chất điểm thuộc hệ - Lực hoạt động l lực không phụ thuộc vo loại lực liên... QiF L lực suy rộng lực hoạt động - Thay vo phơng trình điều kiện cân ⎡ d ∂T ∂T ⎤ = QiF − ⎢ ⎥ & dt qi qi - Đây l phơng trình Lagrange II mô tả chuyển động hệ - Nếu lực hoạt động gồm lực với... Vật rắn chuyển động song phẳng - Thu gọn hệ lực quán tính khối tâm C ta đợc r r RCqt = Mac 3.4 VÝ dô M Cqt = − J Cz ε c ) 4 .Động lực học vật rắn 4.1 Phơng trình vi phân chuyển động vật rắn 4.1.1