Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán . LI CM N Nghiờn cu khoa hc l mt ch hp dn nhiu ngi quan tõm, c bit l vi sinh viờn nm cui. Vỡ thụng qua quỏ trỡnh tự nghiờn cu, chỳng tôi cú th hiểu rõ hơn về bộ môn, nâng cao đợc nhận thức về bức tranh vật lý và b- ớc đầu tập nghiên cứu khoa học m rng v nõng cao tm nhỡn, tm hiu bit ca mỡnh. Trong sut quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh khoỏ lun ny, tụi ó nhn c s ch bo, hng dn v giỳp ht sc tn tỡnh ca thy giỏo- tin s Trn Thỏi Hoa. Bờn cnh ú tụi cng ó nhn c s gúp ý chõn thnh ca cỏc thy cụ giỏo trong khoa vt lý núi chung v cỏc thy cụ giỏo trong t vt lý lý thuyt núi riờng. Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti cỏc thy cụ giỏo ó giỳp tụi bc u lm quen vi vic nghiờn cu khoa hc, chc chn iu ú s rt b ớch cho tụi trờn con ng hc tp v cụng tỏc sau ny. Xuân Ho , tháng 6 n m 2009 Ngời thực hiện: NguyễnTh Nga 1 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán . LI CAM OAN Khoỏ lun ny l kt qu lao động ca bn thõn tôi trong quỏ trỡnh hc tp v nghiờn cu. Bờn cnh ú tôi c s quan tõm to iu kin ca thy giỏo, cụ giỏo trong khoa vt lý c bit l s hng dn ca thy giỏo - Tin s Trn Thỏi Hoa. Trong khi nghiờn cu hon thnh bn khoỏ lun ny tụi cú tham kho mt s ti liu ó ghi trong phn ti liu tham kho. Vỡ vy, tôi xin khng nh kt qu ca ti: Dao ng t iu ho. Cỏc bi toỏn v dao ng t iu ho khụng cú s trựng lp vi kt qu ca ti khỏc. Sinh viờn thc hiờn: Nguyn Th Nga 2 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán . Mục lục Nội dung Trang Lời cảm ơn 1 Lời cam đoan 2 Phần mở đầu 4 Phần nội dung 6 + Lý thuyết cơ bản về dao động tử điều hoà 6 + Bài toán cơ bản của dao động tử điều hoà 15 + Bài tập tham khảo 36 Kết luận 38 Tài liệu thamkhảo 39 3 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán . PHN M U I. Lý do chn ti Vt lý c in l mt mụn khoa hc xõy dng trờn vic ỳc kt cỏc kt qu thc nghim, khi nghiờn cu cỏc hin tng vt lý xy ra i vi h cỏc nguyờn t; tc l nghiờn cu cỏc tớnh cht, s tng tỏc v dch chuyn ca cỏc h v mụ trong khụng gian. C hc lng t l mt trong nhng phn c bn ca vt lý lý thuyt. Nú l môn khoa học giỳp con ngi tỡm hiu v chinh phc th gii vi mụ. Da trờn tớnh cht lng tớnh súng ht ca vt cht cỏc nh vt lý nh: Schrodinger, Dirac, Heisenberg, ó nghiờn cu v gii thớch tớnh cht, hin tng xy ra trong khụng gian các hạt có kích thớc nhỏ cỡ nguyên tử ( ) 13 6 10 10 cm . i tng ch yu ca c hc lng t l cỏc nguyờn t, phõn t v cỏc ht c bn. Cụng c toỏn hc ca c hc lng t phn ln l cỏc toỏn t tỏc ng trong khụng gian Hilbert. S ra i ca thuyt lng t ó lm thay i t duy con ngi v cỏc hin tng v quỏ trỡnh vt lý trong th gii cỏc ht c bn v nguyờn t, phõn t. Có rt nhiu vn c bn cần nghiờn cu trong cơ học lợng tử. Mt trong s vn có tính chất kinh điển là bài toán dao động tử điều hoà. giải quyết vấn đề tìm năng lợng và trạng thái của dao động tử điều hoà, ta cần giải phơng trình Schrodinger cho dao động tử điều hoà với thế năng điều hoà. Bài toán này có một số tính chất cần quan tâm. Chính vì vậy đề tài của tôi có tên là: Dao ng t iu ho. Cỏc bi toỏn v dao ng t iu ho. Đề tài này sẽ liên quan đến các vấn đề nh thế về dao động tử điều hoà. 4 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán . II. Mc ớch nghiờn cu Giải bài toán v dao ng t iu ho. Trên cơ sở ấy rốn c k nng gii phng trỡnh Schrodinger, bit kt hp cỏc công c toỏn hc vo gii cỏc bi toỏn. III. Nhim v nghiờn cu Gii thiu, lp phng trỡnh Schrodinger cho dao dng t iu hoà. Dựa vào các đòi hỏi của hàm sóng và đòi hỏi của phơng trình Schrodinger để giải bài toán về dao động tử điều hoà Gii thiu mt s dng bi toỏn c bn v dao ng t iu ho và cỏch gii IV. Đối tợng nghiên cứu Dao động tử điều hoà và các hệ điều hoà trong cơ học lợng tử. V. Phơng pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu. Đọc tài liệu. Sử dụng phơng pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán. 5 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán . PHN NI DUNG I. Lý thuyt c bn v dao ng t iu ho I.1. Cỏc kin thc c bn I.1.1. Phng trỡnh Schrodinger tổng quỏt Trong quá trình giải bài tập cơ học lợng tử phi tơng đối tính cần giải ph- ơng trình Schrodinger. Tuỳ thuộc điều kiện từng bài toán khác nhau mà nghiệm phơng trình Schrodinger có dạng khác nhau. Nh vậy khi nghiên cứu chuyển động của hạt hoặc hệ hạt trong trờng thế nào đó ta sẽ biết đợc năng lợng ( ) E và hàm sóng ( ) tơng ứng ở những trạng thái khác nhau. Khi xác định đợc năng l- ợng và hàm sóng của hạt ở trạng thái nào đó ta có thể tính toán đợc các yếu tố ứng với phép đo đại lợng F nào đó của hệ lợng tử nh mật độ xác suất, xác suất, trị trung bình, Đối với hạt chuyển động trong trờng lực tổng quát W , có năng lợng biến đổi theo thời gian thì phơng trình Schrodinger tổng quát có dạng: ( ) ( ) t,z,y,xH t,z,y,x t i = trong đó W m2 H 2 2 += Nghiệm của phơng trình Schrodinger tổng quát là: ( ) ( ) = = 0n tE i n n ez,y,xt,z,y,x trong đó E n là năng lợng và ( ) z,y,x n là hàm sóng chỉ phụ thuộc không gian của hạt ở trạng thái lợng tử n. i vi ht có khối lợng m chuyn ng trong trờng thế ( ) z,y,xU phng trỡnh Schrodinger cú dng: ( ) ( ) [ ] ( ) 0z,y,xz,y,xUE m2 z,y,x 2 == (1) Phng trỡnh Schrodinger ny là phơng trình Schrodinger dừng khụng ph thuc vo thi gian m ch ph thuc khụng gian. 6 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán . I.1.2. Dao ng t iu ho Chúng ta sẽ nghiên cứu chuyển động của hạt trong trờng thế U(x) Trong khụng gian này ht chuyn ng thc hin nhng dao ng bộ quanh v trớ cõn bng x 0 =0 của nó vì vậy ta có thể khai triển thế năng này dới dạng: ( ) .x x U !n 1 .x x U 2 1 x x U UxU n n n 2 2 2 0 + ++ + += (2) Do dao ng bộ quanh v trớ cõn bng nờn cỏc s hng ứng vi 3n,x n ta cú th b qua và do thế năng điều hoà nên 0 x U = . Khi đó ta chỉ ly 2 s hng u tiên ta sẽ có: ( ) 2 2 0 2 1 U U x U x 2 x = + (3) V ngời ta gi một ht thc hin nhng dao ng iu ho nh vy l dao ng t iu hũa. I.2. Thit lp phng trỡnh Schrodinger ca dao ng t iu ho. Gi s xột một ht cú khi lng m, chuyn ng theo trục ox quanh v trớ cõn bng di tỏc dng ca lc n hi x F kx= M: = gradUF 2 x x dU x F U F dx kxdx k C dx 2 = = = = + Chn U 0,x 0= = nờn C 0= 2 2 2 1 1 U kx m x 2 2 = = 7 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán . (vi k m = : l tn s gúc ca dao ng). Nhìn vào phơng trình (3) ta thấy hạt chuyển động trong trờng thế 22 xm 2 1 U = đang xét trên là dao động tử điều hoà. T phng trỡnh Schrodinger cho ht chuyn ng 1 chiu ( ) ( ) ( ) 2 2m '' x E U x x 0 + = h Ta cú phng trỡnh Schrodinger cho dao ng t iu ho ( ) ( ) ( ) ( ) xExx 2 m xm2 0x 2 xm E m2 x'' nnn 22 2 22 22 2 = + = + Ta dựng ch s n kớ hiu th t ca mc nng lng (n l s nguyờn dng hoc bng khụng). ( ) n x : l nghim ng vi mc nng lng n E I.3. Gii phng trỡnh ca dao ng t iu ho Trong c hc c in ngời ta thấy rằng phổ nng lng ca dao ng t iu hũa cú th nhn cỏc giỏ tr liờn tc. Vy kt lun ny trong c hc lng t cú cũn ỳng khụng ta s i kim nghim iu ú bng cỏch i gii phng trỡnh Schrodinger của dao động tử điều hoà: ( ) ( ) 2 2 n n 2 2m m x '' x E x 0 2 + = h (4) 8 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà. Các bài toán . Phơng trình (4) là phơng trình vi phân có thứ nguyên với: [ ] [ ] s.j: M:m L:x Đt cỏc bin s khụng th nguyờn cú dng: = m x , = 2 1 E trong đó , là các biến không thứ nguyên Ta có: ( ) ( ) x = 2 2 2 2 m x x m x = = = h h Thay vào (4) ( ) ( ) 2 '' n n 2 m 2m 0 2 2 + = ữ h h h h ( ) ( ) ( ) '' 2 n n m m 0 + = h h ( ) ( ) ( ) 2 n n '' 0 + = (5) (5) là phơng trình vi phân không thứ nguyên. Phơng trình này có một kì dị ở . Ta phải khử điểm kì dị này tức là tỡm dỏng iu ( ) n lõn cn im . Khi rt ln ( ) thỡ 2 << ta cú th b qua s hng ( ) n trong v trỏi (5) ta đợc: ( ) ( ) 0'' n 2 n = (6) Nghim ca (6) l: ( ) 2 exp 2 ữ . 9 NguyÔn ThÞ Nga K31B - lý Dao ®éng tö ®iÒu hoµ. C¸c bµi to¸n . Để nghiÖm có ý nghĩa vật lý tức là khi ∞→ξ thì ( ) ψ ξ hữu hạn nên ta chọn nghiệm ( ) ( ) 2 y exp 2   ξ ψ ξ = ξ −  ÷   (7) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' ' 2 2 2 2 '' '' ' 2 y exp y exp 2 2 y exp 2 y exp yexp yexp 2 2 2 2     ξ ξ ⇒ ψ ξ = ξ − − ξ ξ −  ÷  ÷             ξ ξ ξ ξ ⇒ ψ ξ = − − ξ − + ξ − − −  ÷  ÷  ÷  ÷         Thay ( ) ξψ vµo (6) ta có phương trình cho hàm ( ) y ξ là: ( ) y'' 2 y' 1 y 0− ξ + ε − = (8) Phương trình (5) có nghiệm dưới dạng chuỗi như sau: ( ) ( ) k k 0 1 k k k 0 k 1 k 1 1 2 k k k 1 k 2 k 2 2 3 k k k 2 y a a . a . a y' a 2a . ka . a k y'' 2a 6a . k k 1 a . k 1 ka ∞ = ∞ − − = ∞ − − =  = + ξ + + ξ + = ξ    = + ξ + + ξ + = ξ    = + ξ + + − ξ + = − ξ   ∑ ∑ ∑ (9) Thay (9) vào (8) ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] 0a1ka2a1k2k 0a1ka2a1k2k 0a 1ka2ka1k k 0k kk2k 0k 0k k k k k 0k k 2k 2k 1k 0k k k 1k k 2k k =ξ−ε+−++⇔ =ξ−ε+ξ−ξ++⇔ =ξ −ε+ξξ−ξ− ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∞ = + ∞ = ∞ = ∞ = + ∞ = ∞ = ∞ = −− Muốn cho phương tr×nh lu«n thoả mãn thì các hệ số bên cạnh c¸c luỹ thừa k ξ đều phải triệt tiêu tức là: ( ) ( ) ( ) k 2 k k k 2 k 1 a 2ka 1 a 0 + + + − + ε − = 10 [...]... dao động tử nằm ở trạng thái đợc mô tả bởi số lợng tử n = 0 b, Tính xác suất để đo đợc giá trị p x của xung lợng của dao động tử nằm ở trạng thái có số lợng tử n = 0 Lời giải: a, Hàm sóng của dao động tử điều hoà ở trạng thái có số lợng tử n = 0 là: 22 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà Các bài toán 1 m 4 m 2 0 ( x ) = x ữ exp h 2h Xác suất tìm thấy giá trị x của toạ độ của dao. .. thức bất định ta thấy năng lợng thấp nhất có thể có của dao động tử điều hoà một chiều là: 1 E min = h 2 III Bài toán tham khảo III.1 Bài 1: Tìm động năng trung bình của dao động tử điều hoà một chiều? III.2 Bài 2: Tìm sự phụ thuộc thời gian của toạ độ và xung lợng trung bình của dao động tử điều hoà một chiều? III.3 Bài 3: Xét dao động tử điều hoà tuyến tính với 0 và 1 là các hàm riêng thực, chuẩn hoá... exp 2 mh 2mh Vậy xác suất đo đợc giá trị p x của xung lợng của dao động tử điều hoà ở trạng thái có số lợng tử n = 0 là: W ( p ) = c px 2 p2 1 1 = exp x 4 mh mh II.5 Bài 5: Tìm năng lợng và hàm sóng của dao động tử một chiều dới tác dụng của điện trờng không đổi đặt dọc theo phơng dao động ox Lời giải 24 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà Các bài toán Giả sử hạt có khối lợng là m... exp H n ( ) 2 (14) Nu i t bin v bin x thỡ hm súng ca dao ng t iu ho l hm: 13 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà Các bài toán 1 m 4 1 m 2 m ( x) = exp x Hn x ữ ữ h 2n n! 2h h (15) Hm ny chn l cựng vi n , cũn h s chun hoỏ tỡm t iu kin: + ( x ) dx = 1 2 II Cỏc bi toỏn c bn v dao ng t iu ho II.1 Bi tp 1: Hm súng ca dao dng t iu ho mt chiu cú dng: n ( ) = Ane 2 2 H n (... e2 2 2m2 h2 d 2 1 + m2 X 2 ( x ) = E ' ( x ) 2 2 2m dX (2) m thỡ từ (2) ta thu đợc hàm sóng của dao động tử h một chiều dới tác dụng của điện trờng không đổi là: Nếu đặt =X 25 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà Các bài toán 1 n ( ) = A n exp 2 H n ( ) 2 và năng lợng của dao động tử tìm đợc từ (2) là: 1 E 'n = h n + ữ 2 2 2 1 e E n = h n + ữ 2 2m2 Trong đó A n là... 2 1 E = U( x ) + Wd E = U( x ) + Wd = n + 2 II.10 Bài 10: Dùng hệ thức bất định đánh giá năng lợng của dao động tử ở trạng thái cơ bản Lời giải: ở trạng thái cơ bản, năng lợng của dao động tử điều hoà có dạng: E= p2 1 2 x + kx 2m 2 (1) 33 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Với: ( p2 = p x p x x Dao động tử điều hoà Các bài toán ) 2 x 2 = ( x ) + x 2 + p x = ( p x ) + p x 2 2 2 2 ở trạng thái cơ bản nh... hạt có khối lợng là m Điện tích của hạt là e Do đó thế năng của lực tĩnh điện là: U d ( x ) = Fdx = e dx = e x Vậy thế năng của dao động tử dới tác dụng của điện trờng không đổi dọc theo phơng dao động ox là: 1 U ( x ) = m2 x 2 e x 2 Phơng trình Schrodinger của dao động tử một chiều có dạng sau: h2 d 2 1 + m2 x 2 e x ( x ) = E ( x ) 2 2 2m dx e Đặt X = x m2 (1) d2 d2 khi đó: 2 = dx... trạng thái kích thích đầu tiên Hàm sóng của dao động tử ở thời điểm nào đó có dạng: 34 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà Các bài toán = A 0 + B1 ,trong đó A và B là các số thực Chứng tỏ rằng trị trung bình của x ở trạng thái này kháckhông Tìm giá trị A, B để x đạt cực đại và cực tiểu III.4 Bài 4: Hàm sóng ở thời điểm t = 0 của hạt trong trờng thế dao động điều 1 hoà V = kx 2 có dạng: 2 ... 12 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà Các bài toán iu kin ( ) trit tiờu bt buc y phi tr thnh a thc, ngha l chui (9) phi ngt k max = n no ú Ngha l a o (hoc a1 ) , ,a k , ,a k max = a n 0, cũn a n + 2 ,a n + 4 , 0 T (10) suy ra a n + 2 = 0 v: = 2n + 1 = n = 2E n T õy rỳt ra biu thc ca nng lng: 1 E n = h n + ữ 2 ( n = 0,1,2, ) (11) Nh vy năng lng ca dao ng t b lng t hoỏ, nú ph... dỏng iu ging hm a 0 exp 2 tức: 11 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà Các bài toán 1 y = a k k ~ a 0 2k ~ a 0 exp 2 k =0 k =0 k! Tng t xột chui (9) l chui l khi ú trong (10) thay k bi 2k 1 ta cú: a 2k +1 = 2 ( 2k 1) + 1 a ( 2k 1 + 1) ( 2k 1 + 2 ) 2k 1 a 2k +1 = 4k 1 a ( 2k + 1) 2k 2k 1 12 Nguyễn Thị Nga K31B - lý Dao động tử điều hoà Các bài toán Khi k ln thỡ: a 2k +1 ~ . Chính vì vậy đề tài của tôi có tên là: Dao ng t iu ho. Cỏc bi toỏn v dao ng t iu ho. Đề tài này sẽ liên quan đến các vấn đề nh thế về dao động tử điều. + Lý thuyết cơ bản về dao động tử điều hoà 6 + Bài toán cơ bản của dao động tử điều hoà 15 + Bài tập tham khảo 36 Kết luận 38 Tài liệu thamkhảo 39 3 Nguyễn