1 Mục lục Trang Mục lục ……………………………………… Mở đầu …………………………………………………… Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành mơđun địa phương hố………………………… 1.2 Phổ, giá, độ cao chiều Krull môđun…………… 1.3 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun………… 1.4 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic… 1.5 Hệ tham số hệ tham số thu gọn…………… 1.6 Dãy quy………………………… 10 1.7 Môđun đối đồng điều địa phương…………… 11 1.8 Môđun Cohen-Macaulay………………… 11 1.9 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng…… 12 Chương Môđun lọc 2.1 Định nghĩa môđun lọc………………… .……… 13 2.2 Một số tính chất đặc trưng môđun lọc……… 15 2.3 Điều kiện để môđun lọc môđun Cohen-Macaulay suy rộng 20 2.4 Tính chất môđun lọc không môđun Cohen-Macaulay suy rộng 23 Kết luận…………… ………… .… 27 Tài liệu tham khảo…… 28 Mở đầu Cho  R, m vành giao hoán, địa phương, Noether M R  môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M  d Năm 1978, N T Cường, P Schenzel N V Trung [5] lần đưa khái niệm dãy quy lọc môđun sau: Một dãy phần tử  x1 , , xr  iđêan cực đại m gọi dãy quy lọc M (hay gọi f  dãy M ) xi �p, p�Ass  M /  x1 , , xi 1  M  \  m , với i  1, , r Khái niệm mở rộng trực tiếp khái niệm dãy quy mà ta biết từ lâu Dãy quy lọc ngày có nhiều ứng dụng chứng tỏ cơng cụ hữu ích Đại số giao hốn Trong luận văn này, dựa vào tài liệu tham khảo chúng tơi nghiên cứu lớp mơđun thoả mãn tính chất: Mọi hệ tham số dãy quy lọc Lớp mơđun gọi mơđun lọc hay cịn gọi f  môđun Môđun Cohen-Macaulay lớp môđun quan trọng Đại số giao hoán M gọi môđun Cohen-Macaulay hệ tham số M dãy quy Nếu M mơđun Cohen-Macaulay M mơđun lọc Thậm chí M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng M mơđun lọc Như lớp môđun lọc chứa thực lớp môđun CohenMacaulay suy rộng Tuy nhiên lớp môđun lọc có nhiều tính chất tốt gần với mơđun Cohen-Macaulay mơđun Cohen-Macaulay suy rộng Mục đích luận văn dựa vào tài liệu tham khảo mà chủ yếu tài liệu [8] [10] để trình bày lại tính chất mơđun lọc Ngồi phần Mở đầu; Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức sở Đại số giao hốn có sử dụng luận văn Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương 2: Môđun lọc Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa, số tính chất đặc trưng môđun lọc, đồng thời xét mối quan hệ lớp môđun lọc lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Luận văn hoàn thành vào tháng 11 năm 2010 trường Đại học Vinh hướng dẫn cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cơ, người hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc suốt trình học tập nghiên cứu Cũng tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán khoa Sau đại học giúp đỡ suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn anh chị, bạn lớp Cao học khoá 16 - Đại số - Lý thuyết số - Thanh Hoá giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hồn thiện Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành môđun địa phương hoá 1.1.1 Vành thương Cho S tập nhân đóng vành R Trên tích Đề , , , , R x S ta xét quan hệ hai ngôi:  r , s  :  r , s  � t �S : t  rs  sr   Khi  quan hệ tương đương R x S Với (r,s)  R x S, ký hiệu r/s lớp tương đương chứa (r,s) S-1R tập thương R x S theo quan hệ tương đương : S-1R = {r/s | r R, s S} Trên S-1R trang bị hai phép toán phép cộng phép nhân, S-1R trở thành vành gọi vành thương R theo tập nhân đóng S Mỗi iđêan vành R có dạng S-1I = {a/s | a I, s S}, I iđêan I S R Ta có S-1I = S-1R �ǹ� Do S-1I iđêan thực S-1R I �S  � Cho p iđêan nguyên tố vành R Khi S  R \ p tập nhân đóng vành R Vành S-1R trường hợp vành địa phương, 1 ký hiệu Rp , với iđêan cực đại pRp  S p   a / s a�p, s� R \ p nên gọi vành địa phương hoá vành R iđêan nguyên tố p 1.1.2 Môđun thương Cho S tập nhân đóng vành R Khi ta có vành thương S-1R Trên tích Đề M x S ta xét quan hệ hai ngôi:  m, s  :  m , s  � t �S : t  ms  sm   Khi  quan hệ tương đương , , , , M x S Do M x S chia thành lớp tương đương, ta ký hiệu tập thương M x S theo quan hệ tương đương  S-1M ký hiệu lớp tương đương chứa (m,s) m/ s Như S-1 M = { m/ s | m M, s S} Trên S-1M trang bị phép cộng phép nhân với vô hướng: m/ s  m'/ s'   s'm sm' / ss', m/ s; m'/ s' �S1M r / t.m/ s  rm/ ts, r / t �S1R, m/ s�S1M Khi S1M có cấu trúc S1R môđun gọi môđun thương M theo tập nhân đóng S S1M xem R-mơđun với phép nhân vô hướng sau: r.x / s  rx / s, với r �R, x / s�S1M Cho p iđêan nguyên tố vành R S  R \ p Khi mơđun S1M gọi mơđun địa phương hố M iđêan nguyên tố p, ký hiệu Mp Như Mp xem Rp -mơđun R-môđun 1.2 Phổ, giá, độ cao chiều Krull môđun 1.2.1 Phổ vành Ký hiệu Spec R tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi Spec R gọi phổ vành R Với iđêan I R ta ký hiệu V (I )   p�SpecR p �I  1.2.2 Độ cao iđêan Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R : p0 �p1 � �pn gọi xích ngun tố có độ dài n Cho p�Spec R , cận tất độ dài xích nguyên tố với p0  p gọi độ cao p, ký hiệu ht  p Nghĩa là: ht  p = sup {độ dài xích nguyên tố với p0  p} Cho I iđêan R, độ cao iđêan I định nghĩa: ht  I   inf  ht  p p�Spec R, p �I  1.2.3 Chiều Krull mô đun Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R , ký hiệu dim R Cho M R  mơđun Khi dim  R / Ann R M  gọi chiều Krull � môđun M , ký hiệu dim M Chú ý dim M  dim M  1.2.4 Giá môđun Tập Supp M  p SpecR Mp  Spec R gọi giá môđun M Với x�M ta ký hiệu AnnR x   a�R ax  0 ; AnnR M   a�R aM  0   a�R ax  0, x�M Ta có AnnR x AnnR M (hoặc Ann x Ann M không để ý đến vành R) iđêan M Ann M gọi linh hố tử mơđun M Hơn M R-mơđun hữu hạn sinh Supp M  V(AnnR M )   p�SpecR p �AnnR M Supp M gọi catenary cho cặp iđêan p, q�SuppR M mà p �q, chiều dài tối đa chuỗi xích p q ht p/ q Supp M gọi đẳng chiều dim R / p= dim R M với iđêan cực tiểu p�SuppR (M ) 1.2.5 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương: (i) SuppR M catenary; (ii) ht p/ q  dimR / q dimR / p với cặp p �q SuppR M ; (iii) dimR / q= dimR / p với cặp p �q SuppR M mà ht p/ q  1; (iv) dimR / q= dimR / p với cặp p �q SuppR M \  m mà ht p/ q  1.3 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun 1.3.1 Định nghĩa Cho M R  môđun ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết M hai điều kiện tương đương sau thoả mãn: (i) Tồn phần tử x�M cho Ann x = p; (ii) M chứa môđun đẳng cấu với R / p Tập iđêan nguyên tố liên kết M ký hiệu Ass R M Ass M không để ý đến vành R Như AssM   p�SpecR p= Ann x, v� i x�M 1.3.2 Mệnh đề Ass M �Supp M phần tử tối tiểu Supp M thuộc Ass M 1.3.3 Mệnh đề Nếu M R  môđun Noether Ass M tập hợp hữu hạn Ký hiệu Assh R M   p�Ass R M dim R R / p= dim R M  Khi ta có định nghĩa 1.3.4 Định nghĩa (i) M gọi không trộn lẫn (unmixed) Ass R M  Assh R M (ii) M gọi không trộn lẫn yếu (weak-unmixed) M / Hm(M ) khơng trộn lẫn Nói cách khác AssR (M ) \  m �AsshR (M ) 1.4 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic Cho  R, m vành địa phương Ta xét R vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan mt , với t = 0,1,2 Chú ý sở lân cận phần tử tuỳ ý r �R gồm lớp ghép r  mt với t = 0, 1,2 � định nghĩa Khi vành đầy đủ theo tôpô m adic R ký hiệu R cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy sau: Một dãy Cauchy R dãy  rn  phần tử R cho với t > 0, tồn số tự t nhiên n0 để rn  rm �m với n, m  n0 Dãy  rn  gọi hội tụ dãy không với t > tồn số tự t nhiên n0 để rn   rn �m với n  n0 Hai dãy Cauchy  rn   sn  gọi hai dãy tương đương, ký hiệu  rn  :  sn  dãy  rn  sn  dãy khơng Khi quan hệ  tập � tập lớp tương dãy Cauchy quan hệ tương đương Ta ký hiệu R đương dãy Cauchy Chú ý  rn   sn  dãy Cauchy dãy  rn  sn  ,  rn sn  dãy Cauchy lớp tương đương dãy  rn  sn  ,  rn sn  không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp tương , , đương dãy  rn   sn  , tức  rn  :  rn   sn  :  sn   rn  sn  : r , n � trang bị hai phép toán  sn,   rn sn  :  rn, sn,  Vì R � lập thành vành hai + đồng thời với hai phép toàn này, R Mỗi phần tử r �R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà 10 tất phần tử dãy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành � R � R r a  r,  r  dãy mà tất phần tử r Định nghĩa tương tự cho môđun M với sở lân cận phần tử  m M  Khi M� t � -môđun với phép nhân vô hướng sau: cho R � , x   x , x ,  �M � Ta có ax   a x ,a x ,  �M � a   a1,a2 ,  �R 1 2 1.5 Hệ tham số hệ tham số thu gọn 1.5.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m; M R  môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M  d  (i) Một hệ gồm d phần tử x :  x1 , , xd  m gọi hệ tham số M l  M /  x1, , xd  M   � (ii) Iđêan sinh hệ tham số gọi iđêan tham số (iii) Nếu x :  x1 , , xd  hệ tham số môđun M hệ phần tử x1, , xi gọi phần hệ tham số với i = 1,…,d-1 Sau số tính chất hệ tham số cần dùng luận văn 1.5.2 Mệnh đề (i) Mọi hoán vị hệ tham số môđun M hệ tham số M 15 (d) 0:M a �H m  M  x� �x (ii)  x1, , xr  dãy quy lọc M � , , r �trong 1� �1 Rp M p  dãy, p�Supp M \  m (iii)  x , , x  r mà x1, , xr �p dãy quy lọc M xi �p, p� Ass  M /  x1 , , xi 1  M  \  m 2.1.3 Mệnh đề (i)  x1, , xr  dãy quy lọc M dãy quy lọc môđun thương M / H m  M  (ii) Giả sử  x1, , xr  dãy quy lọc M Khi với n �1 ln tồn phần tử y �mn cho  x1, , xr , y dãy quy lọc M (iii) Nếu  x , , x  r dãy quy lọc M dimM /  x1, ., xr  M  sup dimM  r;0 Chứng minh: (i) hiển nhiên (ii) Nếu H m  M   M ta chọn tuỳ ý phần tử y �mn 0 0 Nếu H m  M  �M H m  M / H m  M    Suy depth M / H m  M   Do tồn phần tử y �mn M / H m  M   quy, từ (i) suy điều cần phải chứng minh (iii) Trường hợp r = hiển nhiên dimM /  x1, , xr  M  sup{ dimM  r; 0} =d Với r > Nếu dimM =0 dimM /  x1, , xr  M  sup{dimM  r;0} =0 Nếu dim M  x1 phần tử quy M / H m  M  Khi 16 Ass M / H m  M   Ass M \  m , điều x1 không thuộc tất iđêan nguyên tố tối tiểu M Đặt M ' : M / x1M dim M '  dim M  dễ dàng quy nạp kết sau: dimM /  x1, , xr  M  dimM '/  x1, , xr  M   sup{dimM ' (r  1); 0}=sup{dimM  r; 0} W 2.1.4 Mệnh đề Cho M R  môđun Noether,  x1, , xr  phần hệ tham số M tồn  y1, , yr  dãy quy lọc M cho  x1, , xr  R   y1, , yr  R Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo r Với r = hiển nhiên Giả sử r �1  x1, , xr 1  R   y1, yr 1  R , với  y , , y  r 1 dãy quy lọc M Bây chọn yr � x1, , xr  R \ m x1, , xr  R cho yr �p với p�Ass R  M / ( y1 , ., yr 1 ) M  \  m Suy  x1, , xr  R   y1, , yr  R □ 2.1.5 Định nghĩa Một R  mơđun hữu hạn sinh M có chiều dương gọi mơđun lọc hay cịn gọi f  môđun hệ tham số M dãy quy lọc M Vành địa phương R gọi vành lọc hay cịn gọi f-vành R mơđun lọc 2.2 Một số tính chất đặc trưng môđun lọc Ta biết x :  x1 , , xd  hệ tham số M x hệ tham số M / H m0  M  Vì từ Mệnh đề 2.1.3 ta có hệ sau 17 2.2.1 Hệ M môđun lọc M / H m  M  môđun lọc 2.2.2 Định lý Cho M R  môđun Noether với chiều dim M  d  Các điều kiện sau tương đương: (i) M môđun lọc; (ii) Mỗi phần hệ tham số  x1, , xr  không trộn lẫn đến thành phần m- nguyên sơ, nghĩa là, p�Ass  M /  x1 , , xr  M  \  m ta có dim R / p= d  r ; (iii) Với p�Supp M \  m ta có dim R M  dim R / p depth Rp M p ; (iv) Với p�Supp M \  m ta có dim R M  dim R / p dim Rp M p dim Rp M p=depth Rp M p ; (v) Supp M catenary, đẳng chiều M p môđun Cohen-Macaulay với p�Supp M \  m Chứng minh (i ) � (ii) Ký hiệu  x1, , xr  R  x , giả sử tồn phần hệ tham số  x , , x  r cho có phần tử p�Ass R M / xM với  dim R / p  d  r Khi chọn y �p cho x1, , xr , y phần hệ tham số Theo giả thiết (i) ta có xM : M y / xM � �xM : M m/ xM Ass M / xM �Supp R / yR �Ass M / xM � m � m Điều mâu thuẫn p�Ass M / xM �Supp R / yR Vậy p�Ass R M /  x1 , , xr  M \  m có dim R / p= d  r (ii ) � (iii ) Lấy p�Supp R M \  m Ta chọn số tự nhiên r lớn cho có dãy phần tử x1, , xr p phần hệ tham số 18 M Bởi tính lớn r nên có p�Ass R M /  x1 , , xr  M Từ điều kiện khơng trộn lẫn ta có i=1,…,r, nghĩa  x1 , , xi 1  M p : M p xi   x1 , , xi 1  M p với r �depth Rp M p = dim Rp M p Theo (ii) ta có dim M  dim R / p+ r Suy dim R / p= dim M  r , kết luận điều cần chứng minh (iii ) � (ii ) Giả sử (ii) khơng Khi ta có  x1, , xr  phần hệ tham số với r nhỏ cho điều giả sử sai tức tồn p�AssM /  x1 , , xr  M \  m mà dimR / p  d  r Đặt  x1, , xr  R  x p�Ass R M / xM với  dim R / p  dim M  r Do r �dim Rp M p Từ tính nhỏ r có x1 x , , r dãy quy M p với 1 chiều dài cực đại Do depth Rp M p  r Suy dim R / p= r Vậy ta có (ii) (ii ) � (i) hiển nhiên Nhận xét 2.1.2 Dễ thấy Mệnh đề (iv) (v) tương đương với (iii) Vậy Định lý chứng minh □ Hệ sau định lý cho ta ví dụ môđun lọc 2.2.3 Hệ Mọi môđun Cohen-Macaulay suy rộng môđun lọc Chứng minh Nếu M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng theo Mệnh đề 1.9.3, M thoả mãn điều kiện (ii) Định lý 2.2.2 Do từ Định lý 2.2.2 suy M f  môđun □ 2.2.4 Bổ đề Cho M R  môđun Noether x �m Giả sử hai điều kiện sau thoả mãn: 19 x�q với q�AssR M \  m ; (i) (ii) Cho p phần tử tối tiểu AssR R /  q' xR với q'�AssR M \  m Khi p�AssR M / xM Chứng minh Cho N : H q'  : M q' M �M Từ Supp N / xN  Supp N �V  xR   V  q' �V  xR   V  q'  xR  p tối tiểu V  q'  xR  kéo theo p�AssR N / xN Từ : M / N x  suy phép nhúng N �M cảm sinh đồng cấu: N / xN � M / xM Do p�AssR M / xM , suy điều phải chứng minh □ 2.2.5 Định lý Cho M R  môđun Noether với dim M  d �1 , điều kiện sau tương đương: (i) M môđun lọc; (ii) Mỗi hệ tham số M thu gọn, nghĩa với hệ tham số  x , , x  d ta có xi �p với p�AssR M /  x1, , xi 1  M mà dim R / p � d  i với i  1, , d ; (iii) Mỗi phần hệ tham số M có d-2 phần tử không trộn lẫn đến thành phần m nguyên sơ Chứng minh (i ) � (ii ) suy từ (ii) Định lý 2.2.2 (ii ) � (iii ) hiển nhiên Do ta cần chứng minh (iii ) � (i ) Không tính tổng qt ta giả sử d �3 Theo Mệnh đề 2.1.4, cần chứng minh phần hệ tham số  x1, , xr  M không trộn lẫn đến m nguyên sơ 20 Phát biểu trường hợp r  d  2, r  d  , giả sử �r �d  ,  x , , x  r phần hệ tham số mơđun M / x1M có chiều d  Điều kiện (iii) với M / x1M , chứng minh quy nạp  x1, , xr  M không trộn lẫn thành phần m nguyên sơ Để hoàn thành bước quy nạp ta phải điều khẳng định r  Giả sử iđêan nguyên tố p�AssR M với  dim R / p d Sau ta chọn phần tử tham số x M cho x�q với q�Ass R M \  m Tiếp theo ta chọn q'�Ass R R /  p xR  với dim R / q'  dim R /  p xR   dim R / p Theo Bổ đề 2.2.4 ta có q'�Ass M / xM với  dim R / q'  d  Điều kiện giả thiết quy nạp cho M / xM Hơn tồn phần tử p�AssR M với dim R / p  , ta chọn phần tử tham số x M p Ta có pRp � AssR Mp depthR Mp  Cho n ? điều dẫn đến depthR Mp / p p p xnMp  p�AssR M / xnM , điều kiện giả thiết quy nạp cho M / xnM Vậy phép chứng minh quy nạp hoàn thành □ 2.2.6 Mệnh đề Các phát biểu sau � môđun lọc vành R � M mơđun lọc vành R (i) Nếu M � môđun lọc (ii) Nếu R vành thương vành Cohen-Macaulay M � M môđun lọc vành R R 21 Chứng minh (i) Giả sử  x1, , xr  phần hệ tham số M Khi � Từ phần hệ tham số M   x , , x r 1 �: M � M  xr �M   x1, , xr 1  M : M xr ta suy (i) chứng minh   �\ m � iđêan nguyên tố, đặt p:  �R Vì R (ii) Giả sử  �Spec R � đồng cấu vành thương vành Cohen-Macaulay nên vành k  p �R  � vành Cohen-Macaulay Từ tắc Rp � R  �   dim M  dim k  p �R � , dim R�  M Rp p  �   depth M +depth k  p �R � , depth R�  M Rp p  Ta suy �   depth M �   dim M  depth M dim R�  M � Rp p Rp p R   � \ m � Cohen-Macaulay Vì � vành catenary Từ giả thiết ta có Supp R� M R � đẳng chiều nên theo Định lý 2.2.2 ta cần chứng minh Supp R� M �  U � tối tiểu Vì Ass � M Giả sử  �Supp R� M R p�Ass R M � / p.R � Ass R� R ta có � / p.R � với p   �R tối tiểu Supp M Vì R vành thương  �Ass R� R � /   dim R �/p.R � với vành Cohen-Macaulay nên ta có dim R �/p.R � Do dim R/p  dim M suy tính đẳng chiều Supp M �  �Ass R� R � R chứng minh □ 22 2.3 Điều kiện để môđun lọc môđun Cohen-Macaulay suy rộng 2.3.1 Định lý Giả sử R ảnh đồng cấu vành Cohen-Macaulay địa phương, M R-môđun Noether với dim M  d �1 Khi M môđun Cohen-Macaulay suy rộng M môđun lọc Chứng minh Nếu M môđun Cohen-Macaulay suy rộng M mơđun lọc (theo Hệ 2.2.3) Nếu M môđun lọc ta cần chứng minh M môđun Cohen-Macaulay suy rộng Giả sử B vành địa phương Gorenstein với iđêan cực đại c mà bao � R vành thương B Do R ảnh đồng cấu đầy đủ m- adic R vành Cohen-Macaulay, giả thiết Mệnh đề không thay đổi ta thay M   i � �  M �R R � R R � Ta có H ci  M   H m M � M   i � H m � M  � Điều dẫn đến H mi  M  �R R      l  H  M�    l  H  M�    l  H � lB Hci M i � m B � R i � m R i m M Do khơng tính tổng qt ta giả thiết R vành địa phương Gorenstein Đặt n : dim R , lấy p�Supp M với dim R / p  Giả sử có j số nguyên j cho n  d �j �n p�Supp Ext R  M , R  , p� Supp Ext iR  M , R  , i  j Từ tính chất vành địa phương ta có    HpnRpdimR / pi  Mp   HomRp ExtiRp  Mp, Rp  , I  HomRp ExtiR  M, R p , I v� i i  j, � =� v� i i  j, � I bao nội xạ trường thặng dư Rp / p.Rp Rp Do n  dim R / p j  depth M p  dim M p  d  dim R / p  23 Vì M môđun lọc, theo Định lý 2.2.2, (i)  (v) ta có M p Coheni Macaulay Vì j = n – d; nói cách khác Supp Ext R  M , R  � m với i i > n – d, điều có nghĩa Ext R  M , R  có độ dài hữu hạn với i  nd Do tính đối ngẫu địa phương ta có H mi  M   Hom R  Ext nRi  M , R  , E  (trong E bao nội xạ trường i thặng dư R / m) nên l  H m  M    �, M mơđun Cohen-Macaulay □ suy rộng Từ định lý ta có hệ sau 2.3.2 Hệ Các điều kiện sau tương đương � R �  môđun Cohen-Macaulay suy rộng; (i) M � môđun lọc R � ; (ii) M (iii) M R  mơđun Cohen-Macaulay suy rộng Chứng minh Vì vành đầy dủ vành thương vành quy, mà vành quy vành Cohen-Macaulay Do (i)(ii) hệ hiển nhiên Định lý 2.3.1 (i)(iii) tính chất mơđun Cohen-Macaulay suy rộng □ � ) 2.3.3 Hệ Nếu R vành đầy đủ theo tôpô m adic (tức R  R M môđun lọc M môđun Cohen-Macaulay suy rộng 2.3.4 Định lý Cho M R  mơđun hữu hạn sinh có chiều dương Khi diều kiện sau tương đương: (i) M R  môđun Cohen-Macaulay suy rộng (ii) M môđun lọc R đẳng thức sau thoả mãn � / pR � = dimR � /   depth R � / pR � , dimR �   R  24   �) \ m � , p:  �R với  �SuppR (M � Chứng minh (i ) � (ii ) Do Hệ 2.2.3 nên ta cần chứng minh nửa sau   �) \ m � đặt p:  �R Vì � Cohencủa (ii) Lấy  �SuppR (M M � � R �  môđun lọc Theo Macaulay suy rộng nên theo Hệ 2.3.2 ta có M Định lý 2.2.2 ta có dim R M  dim R / p depth Rp M p �  dim R� M � /   depth M � Vì đồng cấu R � R � hồn tồn phẳng nên ta dim R �  p  R  có: �  depth M  depth R � / pR � depth R� M �  Rp p   R   Từ kiện ta � / pR �  dim R / p  dim M  depth M dim R R Rp p �  depth M �  depth R � / pR �  dim R� M � �    R R   � /   depth R � / pR �  dim R �   R  � R �  môđun lọc (ii ) � (i ) Do Hệ 2.3.2 nên ta cần M   �) \ m � đặt p:  �R , p �m Từ đồng cấu Lấy  �SuppR (M � � hoàn toàn phẳng ta có Rp � R  �  depth M  depth R � / pR � depth R� M �  Rp p   R   Vì M môđun lọc nên theo Định lý 2.2.2 ta có dim R M  dim R / p depth Rp M p Hơn nữa, giả thiết (ii) ta có � / pR �  dim R � /   depth R � / pR � Kết hợp cơng thức ta có dim R �   R  25 �  dim M  dim R / p+ depth M dim R� M R Rp p � / pR � +depth M � - depth R � / pR �  dim R � �      R R   � /   depth M �  dim R �  R  � R �  mơđun lọc Vậy Định lý Vì theo Định lý 2.2.2 ta có M □ chứng minh 2.4 Tính chất mơđun lọc khơng phải mơđun CohenMacaulay suy rộng Trong tiết trước ta thấy môđun Cohen-Macaulay suy rộng môđun lọc Tuy nhiên điều ngược lại đúng, nghĩa tồn môđun lọc môđun Cohen-Macaulay suy rộng Lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng trở nên quen biết Đại số giao hoán Trong tiết tìm hiểu tính chất môđun môđun lọc môđun Cohen-Macaulay suy rộng Các kết tham khảo từ báo [4] Nguyễn Tự Cường Trước hết ta có khái niệm sau 2.4.1 Định nghĩa (i) Một phần hệ tham số  x1, , xj  M gọi p- dãy tồn số tự nhiên n0 cho x n1 , , xin1  M : xin  i 1 i   x1n , , xin1  M : xin , với n1, ,nj �n0 i=1,…,j (ở ta đặt x0=0) i 1 (ii) Dãy x1, x2, , xj gọi p- dãy khơng điều kiện, ký hiệu gọn updãy, p- dãy với hoán vị thứ tự dãy Khái niệm p- dãy p- dãy khơng điệu kiện Nguyễn Tự Cường đưa với mục đích nghiên cứu tính đa thức hàm độ dài l  M /(x1n , , xdn )M  theo biến n1, ,nd d 26 2.4.2 Vấn đề mở R Y Sharp Cho x   x1, , xd  hệ tham số M n   n1, ,nd  d số nguyên dương Khi xem l  M /(x1n , , xdn )M  hàm theo biến n1, ,nd Hàm nhận giá trị d tập số nguyên không âm Năm 1985, Sharp đưa câu hỏi mở sau [7]: n n Khi hàm độ dài l  M /(x1 , , xd )M  đa thức theo n với n ? 0? d n n Chú ý e x1 , , xd ; M   n1, ,nde x; M  Vậy vấn đề Sharp d phát biểu lại sau: Khi hàm số I M (n; x)  l  M /(x1n , , xdn )M   n1, ,nde x; M  d đa thức theo n với n ? 0? Dùng khái niệm p- dãy không điều kiện Nguyễn Tự Cường [4] đưa câu trả lời trọn vẹn cho vấn đề mở R Y Sharp sau n n 2.4.3 Mệnh đề Hàm số l  M /(x1 , , xd )M  đa thức theo n với d dãy n ? hệ tham số x   x1, , xd  up dãy lúc đầu đưa với mục đích giải Khái niệm upvấn đề Sharp Về sau, khái niệm ứng dụng nhiều vào lĩnh vực khác Đại số giao hoán Đặc biệt nghiên cứu môđun dãy sử dụng công cụ thương suy rộng Sharp, up hữu hiệu để tính độ dài thương suy rộng Sau thấy updãy dùng để đặc trưng cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng 2.4.4 Bổ đề Một R-môđun M Cohen-Macaulay suy rộng tồn dãy dãy quy lọc hệ tham số upChứng minh Điều kiện cần Bổ đề hiển nhiên Ta cần chứng minh điều kiện đủ Giả sử x   x1, , xd  dãy quy lọc Khi áp dụng cơng thức Auslander-Buchsbaum, với ý e xi 1, , xd 27 ; x1, , xi 1  M : xi /  x1, , xi 1  M   0, x dãy quy lọc, ta nhận  n n n n n lM  n, x  l  x1 , , xd1  M : xd /  x1 , , xd1  M d1 d d1  đa thức với n ? Vậy ta suy đa thức khơng phụ thuộc vào nd Hốn vị thứ tự dãy x   x1, , xd  ta tiếp tục suy lM  n, x không phụ thuộc vào n   n1, ,nd  n ? Như lM  n, x hàm n ? 0, điều □ chứng tỏ M môđun Cohen-Macaulay suy rộng 2.4.5 Định lý Cho M môđun lọc giả sử M khơng mơđun Cohen dãy Macaulay suy rộng Khi hệ tham số M up dãy Theo giả Chứng minh Giả sử hệ tham số x   x1, , xd  M upthiết x dãy quy lọc Vậy theo Định lý 2.4.4 M mơđun Cohen-Macaulay suy rộng Điều trái với giả thiết nên x up dãy □ 2.4.6 Chú ý Tồn môđun môđun lọc môđun Cohen-Macaulay suy rộng Như biết, mơđun lọc có tính chất tốt như: Nếu M mơđun lọc M p Cohen-Macaulay với iđêan nguyên tố p �m Hơn nữa, R vành thương vành CohenMacaulay R-mơđun lọc mơđun Cohen-Macaulay suy rộng Mặc dù có tính chất tốt Định lý 2.4.5 cho ta thấy môđun lọc không môđun Cohen-Macaulay suy rộng khơng tồn dãy hệ tham số up- 28 Kết luận Tóm lại, luận văn dựa vào tài liệu tham khảo chúng tơi tìm hiểu, tổng hợp từ trình bày lại kết mơđun lọc Cụ thể chúng tơi hồn thành việc sau Trình bày định nghĩa mơđun lọc Trình bày số tính chất đặc trưng môđun lọc Xét mối quan hệ môđun lọc môđun Cohen-Macaulay suy rộng 29 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Phượng (2009), Về dãy quy lọc, luận văn thạc sỹ Tốn học, trường Đại học Vinh [2] Ngô Sỹ Thuỷ (2005), Một số tính chất mơđun giả Cohen Macaulay môđun giả Cohen Macaulay suy rộng, luận văn thạc sỹ Toán học, trường Đại học Vinh [3] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết môđun, Nhà xuất đại học sư phạm Tiếng Anh [4] Nguyen Tu Cuong (1990), On the length of the powers of systems of parameters in local ring, Nagoya Math J Vol 120, 77-88 [5] Nguyen Tu Cuong, P Schenzel and Ngo Viet Trung (1978), Verallgemeinerte Cohen-Macaulay module, Math Nachr 85, pp.57-75 [6] P Schenzel (2004), On the dimension and Cohen-Macaulay filtered modules, J Algebra, 751-770 [7] R Y Sharp and M A Hamieh (1985), Length of certaineneralized fractions, J Pure Appl Algebra, 38, 323-336 [8] J Stückrad and W Vogel (1986), Buchsbaum rings and Applications, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, Newyork [9] Ngo Viet Trung (1986), Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay modules, Nagoya Math J.Vol.102 [10] K Yamagishi (1992), Recent aspect of the theory of Buchsbaum modules preprint (unpublished) ... Mơđun lọc Chương nội dung luận văn Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa, số tính chất đặc trưng mơđun lọc, đồng thời xét mối quan hệ lớp môđun lọc lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Luận văn. .. lọc Ngồi phần Mở đầu; Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm chương 4 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở Đại số giao hoán có sử dụng luận văn. .. mơđun lọc Trình bày số tính chất đặc trưng môđun lọc Xét mối quan hệ môđun lọc môđun Cohen-Macaulay suy rộng 29 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Phượng (2009), Về dãy quy lọc, luận văn