PHẦN MỞ ĐẦU Hình học tổ hợp phận hình học nói chung Đó tốn vấn đề phủ hình, bao hình, chiếu sáng vật thể, lưới mặt phẳng Những toán phát biểu đơn giản để giải lại cần kiến thức hình học tổ hợp Nhưng hình học tổ hợp chưa đưa vào giảng dạy rộng rãi nhà trường phổ thông Đề tài giới thiệu số kiến thức hình học tổ hợp đưa vào giảng dạy nhà trường phổ thông dành cho học sinh giỏi Vì kinh nghiệm nghiên cứu, tài liệu chưa phong phú, vốn kiến thức chưa sâu sắc nên hẳn đề tài cịn nhiều thiếu sót Kính mong thầy giáo, bạn sinh viên góp ý để đề tài hoàn chỉnh Chương I HÌNH LỒI I-Lý thuyết Hình lồi khái niệm liên quan • Một hình gọi lồi với hai điểm A B thuộc đoạn thẳng AB nằm hồn tồn Ví dụ: + Đoạn thẳng, tam giác, hình trịn, đa giác lồi, hình elip, hình đa diện lồi, hình cầu, hình lồi + Hình hình vẽ khơng phải hình lồi • Một hình lồi gọi đóng chứa tất điểm giới hạn Một hình lồi gọi bị chặn phủ hình trịn đủ lớn (tức tồn hình trịn chứa hình lồi đó) Các hình lồi đóng bị chặn gọi oval Ngồi ra, cịn có hình lồi khơng bị chặn nửa mặt phẳng, phần mặt phẳng giới hạn đường parabol • Một điểm gọi điểm hình lồi tồn hình trịn nhận làm tâm nằm hồn tồn trịn hình lồi cho Ví dụ: Các điểm đoạn thẳng điểm đoạn thẳng trừ hai đầu mút đoạn thẳng Một điểm gọi điểm biên hình lồi hình trịn nhận làm tâm chứa điểm khơng thuộc hình cho Nếu F hình lồi đóng tập hợp tất điểm biên đường liên tục gọi biên F Các oval có biên đường khép kín Ví dụ: Biên hình trịn tập hợp tất điểm nằm đường trịn • Một đường thẳng qua điểm F không qua điểm F gọi đường thẳng tựa F • Bao lồi hình hình lồi bé chứa hình Ví dụ: Bao lồi hình gồm điểm khơng thẳng hàng tam giác có đỉnh điểm cho Giao khác rỗng hình lồi a Định lí Một họ I đoạn thẳng AiBi đường thẳng cho trước có giao khác rỗng giao hai đoạn chúng khác rỗng Chứng minh: • Nếu giao họ đoạn thẳng khác rỗng hiển nhiên giao hai đoạn chúng khác rỗng • Giả sử giao hai đoạn thẳng họ đoạn thẳng khác rỗng Ta chứng minh giao họ đoạn thẳng khác rỗng Chọn hệ trục toạ độ Ox đường thẳng chứa đoạn thẳng cho với O điểm nằm Giả sử Ai(ai); Bi(bi) với i thuộc I Khơng tính tổng qt giả sử ≤ bi với i thuộc i Với i,j thuộc I ta có: AiBi ∩ AjBj ≠ Φ ⇔ [ai,bi] ∩ [aj,bj] ≠ Φ ≤ aj ≤ bj ≤ bi aj ≤ ≤ bi ≤ bj ⇔ ≤ aj ≤ bi ≤ bj a j≤ ≤ bj ≤ bi ⇔ min{bi,bj} ≥ max{ai,aj} ⇒ inf{bi}iЄI ≥ sup{ai}iI Như tồn điểm C(c) cho inf{bi}iЄI ≥ c ≥ sup{ai}iЄI Khi bi ≥ c ≥ với i Є I Suy c Є [ai,bi] với i Є I hay C Є AiBi với i Є I Vậy C thuộc giao họ đoạn thẳng cho hay họ đoạn thẳng giao khác rỗng b Định lí Giao họ hữu hạn hình lồi mặt phẳng khác rỗng giao ba hình chúng khác rỗng Chứng minh: Giả sử ta có họ hữu hạn hình lồi mặt phẳng {F1, F2, , Fn} với n ≥ Giao ba hình chúng khác rỗng Ta chứng minh định lí phương pháp quy nạp theo n • Với n = Khi ta có họ hình lồi {F1, F2, F3, F4} giao ba hình khác rỗng Đặt F4' = F1 ∩ F2 ∩ F3 F3 ' = F ∩ F ∩ F F2 ' = F ∩ F ∩ F 4 F1 ' = F ∩ F ∩ F Chúng ta dễ dàng chứng minh giao khác rỗng hữu hạn hình lồi hình lồi Như Fi hình lồi nên Fi' hình lồi với i =1,2,3,4 Gọi Ai điểm thuộc Fi' Xét trường hợp: Trường hợp 1: Nếu bao lồi hình gồm điểm A1, A2, A3, A4 tứ giác lồi Khơng tính tổng qt giả sử tứ giác A1A2A3A4 A1 A2 O A3 A4 Gọi O giao điểm A1A3 A2A4 Vì A1 Є F1' nên A1 Є F2 ∩ F4 Tương tự A3 Є F2 ∩ F4 Mặt khác F2 ∩ F4 hình lồi nên đoạn thẳng A1A3 nằm F2 ∩ F4 Suy O Є F2 ∩ F4.(1) Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có O Є F1 ∩ F3.(2) Từ (1) (2) suy O thuộc giao họ hình lồi {Fi}i=1,4 hay họ hình lồi khác rỗng Trường hợp 2: Nếu bao lồi hình tạo bới điểm A 1, A2, A3, A4 tam giác Không tính tổng qt giả sử tam giác A 1A2A3 điểm A4 nằm tam giác Vì A1, A2, A3 Є F4 nên bao lồi hình tạo điểm nằm F Suy A4 nằm F4 Mặt khác A4 thuộc F4' = F1 ∩ F2 ∩ A1 A4 A3 A2 F3 Như A4 thuộc giao họ hình lồi {Fi}i=1,4 hay giao họ khác rỗng • Giả sử kết luận cho n tức giao ba hình số n hình lồi mặt phẳng khác rỗng giao họ n hình lồi khác rỗng Ta chứng minh kết luận với (n+1) Xét họ hình lồi {F1, F2, , Fn, Fn+1} giao hình chúng rỗng Đặt Fi' = Fi với i < n Fn' = Fn ∩ Fn+1 Xét họ hình lồi {F1', F2', , Fn'} Vì giao hình họ {Fi}i=1,n+1 khác rỗng nên giao hình họ {Fi'}i=1,n khác rỗng Theo giả thiết quy nạp ta có giao họ {F i'}i=1,n khác rỗng hay giao họ {Fi}i=1,n+1 khác rỗng II-Một số tập: Bài1: Chứng minh giao khác rỗng hình lồi hình lồi Khẳng định cho hợp hình lồi hay khơng? Giải: • Giả sử {Fi}iЄI họ hình lồi Ta chứng minh F=∩iЄIFi hình lồi Thật vậy, gọi A B hai điểm F Suy A B thuộc F i với i Є I Vì Fi hình lồi nên đoạn thẳng AB nằm Fi với i ЄI hay AB nằm F Vậy F hình lồi • Khẳng định khơng cho hợp hình lồi Ta lấy ví dụ phản chứng hình vẽ Bài 2: Chứng minh bao lồi hình ln tồn Giải: Gọi {Fi}iЄI tập tất hình lồi chứa F • Đặt B = ∩iЄIFi Theo ta có B hình lồi B chứa F Vì hình lồi chứa F chứa B nên B hình lồi bé nhát chưa F hay B bao lồi F Vậy bao lồi F ln ln tồn • Giả sử B' bao lồi F Vì B B' hình lồi bé chứa F nên B chứa B' B' chứa B Suy B = B' Vậy bao lồi hình ln tồn Bài 3: Trên mặt phẳng cho n điểm phân biệt Chứng minh bao lồi đoạn thẳng đa giác lồi với đỉnh số điểm n điểm cho Giải: • Nếu n điểm cho thẳng hàng bao lồi đoạn thẳng với hai đầu mút hai số n điểm cho • Nối hai điểm với ta đoạn thẳng Vì bao lồi hình lồi nên chứa đoạn thẳng Như có đa giác lồi bao lồi hình tạo đoạn thẳng Đa giác lồi bao lồi n điểm cho Bài 4: Trên mặt phẳng cho số điểm không nằm đường thẳng Chứng minh tồn ba điểm cho đường tròn qua khơng chưa điểm cho bên Giải: Vì điểm khơng nằm đường thẳng nên bao lồi đa giác lồi Ta chứng minh bổ đề: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn (O) Một điểm D nằm nửa mặt phẳng chứa cung ACB có bờ AB Chứng minh D nằm hình trịn (O) ACB < ADB E C O D A • B Giả sử D nằm hình tròn (O) Gọi E giao điểm thứ hai cát tuyến BD với đường trịn (O) Vì D nằm hình trịn (O) nên D nằm E D Suy ADB góc ngồi đỉnh D ∆ AED Ta có: ADB = DAE + AED > AED = ACB • Giả sử ACB < ADB Gọi E giao điểm thứ hai cát tuyến BD với đường tròn (O) Suy AEB = ACB ⇒ ADB > AEB Vì E D nằm mặt phẳng bờ AB nên D nằm đoạn thẳng ED Suy D nằm hình trịn (O) Trở lại với toán: Gọi M, N hai đỉnh liên tiếp đa giác lồi bao lồi điểm cho Khi tất điểm lại nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng MN Gọi P điểm cịn lại cho P nhìn MN góc lớn Theo bổ đề tất điểm cịn lại khơng nằm hình trịn ngoại tiếp ∆MNP hay đường trịn khơng chứa điểm cho bên Bài 5: Trên mặt phẳng cho số hữu hạn điểm Chứng minh ln tìm điểm cho gần có khơng q ba điểm cho Giải: Gọi d khoảng cách bé số khoảng cách hai điểm hữu hạn điểm cho Gọi M tập hợp tất điểm số điểm cho cho tồn điểm khoảng cách d Gọi G bao lồi M Như G đoạn thẳng đa giác lồi • Nếu G đoạn thẳng Với điểm đầu mút đoạn thẳng tồn khơng q điểm cách khoảng d hay tồn khơng q điểm gần • Nếu G đa giác lồi Gọi A đỉnh G Giả sử có điểm gần nhất, gọi điểm B 1, B2, B3, B4 Suy AB1 = AB2 = AB3 = AB4 = d Khơng tính tổng qt giả sử tia AB nằm hai tia AB AB3, tia AB3 nằm hai tia AB2 AB4 ⇒ B1AB4 = B1AB2 + B2AB3 + B3AB4 (1) Xét ∆ B1AB2 có AB1 = AB2 = d ≤ B1B2 Suy B1AB2 góc lớn tam giác ∆ B1AB2 Vì B1AB2 ≥ 600 Hồn tồn tương tự: B2AB3 ≥ 600, B3AB4 ≥ 600 Kết hợp với (1) ta có: B1AB4 ≥ 600 + 600 + 600 = 1800 vơ lí B1AB4 4=1 4 Theo định lí chương III suy M’ chứa hai điểm phân biệt (x 1, y1), (x2, y2) mà hiệu x1-x2 y1-y2 số nguyên Vì M đối xứng qua O nên M’ đối xứng qua O Suy điểm (-x1,-y1) nằm M’ Mặt khác M tập lồi nên M’ tập lồi Do đoạn thẳng có hai đầu mút (-x1, -y1) (x2, y2) thuộc M’ Suy trung điểm đoạn thẳng ((x2-x1)/2;(y2-y1)/2) thuộc M’ Suy tạo ảnh điểm qua phép vị tự tâm O tỉ số thuộc M hay điểm (x2-x1, y2-y1) thuộc M Mà điểm có toạ độ nguyên nên nút lưới Suy điều phải chứng minh Bài 3: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng cạnh nhau Với số tự nhiên tồn n-giác có đỉnh nằm đường thẳng này? Giải: 38 Gọi O tâm n-giác có đỉnh nằm đường thẳng song song Xét phép quay tâm O góc quay 2π biến n-giác thành nó, n n đường thẳng song song biến thành n đường thẳng song song khác Hai họ đường thẳng song song tạo thành lưới mặt phẳng đỉnh n-giác nút lưới Áp dụng định lí suy n=3,4,6 Bài 4: Với I đoạn thẳng nguyên n số tự nhiên thì: k(nI)=n(k(I)-1)+1 Giải: Gọi tất điểm có toạ độ nguyên I theo thứ tự A 1, A2, …, Ap Gọi A1’, A2’, …, Ap’ ảnh tương ứng A1, A2, …, Ap qua phép vị tự tâm O hệ số n Khi A1’, A2’, …, Ap’ điểm có toạ độ nguyên nI Ta chia đoạn thẳng A1’A2’ thành n phần có điểm A 1’=B1, B2, …, Bn+1=A2’ Khi B2 đỉnh thứ tư hình bình hành A 1A2A1’B2 suy B2 có toạ độ nguyên Tương tự, ta có B3, B4, …, Bn điểm có toạ độ nguyên Tương tự cho đoạn cịn lại ta có bất đẳng thức cần phải chứng minh Bài 5: Trong bàn cờ vua cỡ x 8, quân vua cho ô lần ô trùng với ô cuối Đường thẳng gấp khúc nối trọng tâm ô mà quân vua qua không tự giao (cạnh ô vuông bàn cờ 1) a.Tìm độ dài lớn mà đường gấp khúc có qn vua qua b.Tìm diện tích hình giới hạn đường gấp khúc Giải: Xét lưới chứa tâm ô vuông bàn cờ Đa giác bị chặn đường gấp khúc nối đường qn vua khơng chứa nút lưới, cịn cạnh có 64 nút Theo cơng thức Pick, diện tích đa giác 39 64 − = 31 a Quân vua thực 64 bước tương ứng với đường gấp khúc gồm đoạn thẳng có độ dài Nếu đoạn thẳng có độ dài phần đường gấp khúc đường nối đường chéo hình vng Một nửa số hình vng nằm ngồi bị giới hạn đường gấp khúc Ngồi ra, hình vng nằm hình vng x Vì diện tích đa giác 31, tổng diện tích nửa hình vng khơng lớn 49-31=18, suy có nhiều 36 đoạn thẳng có độc dài Hình đường quân vua sau: Quân vua 36 bước có độ dài Độ dài đường gấp khúc 28 + 36 b.Diện tích hình giới hạn đường gấp khúc nói 30 CHƯƠNG V CHIẾU SÁNG MỘT VẬT THỂ I-Các khái niệm: 40 • Cho F hình lồi bị chặn l tia cho trước mặt phẳng Điểm biên A F gọi chiếu sáng theo phương l có khoảng mở chứa A chiếu sáng Nếu đường thẳng qua A song song với tia l đường thẳng tựa F ta khơng coi A chiếu sáng theo phương l Như điểm A gọi chiếu sáng theo phương l khi: (i)Đường thẳng a qua A song song với l đường thẳng tựa F (ii)Điểm A điểm ta gặp dọc theo a • Ta gọi hướng l1, l2, …, lm đủ chiếu sáng F với điểm A tùy ý F chiếu sáng phương l 1, l2, …, lm Gọi c(F) số tự nhiên m nhỏ cho tồn m tia l1, l2, …, lm đủ chiếu sáng F II-Các định lí: Ta chứng minh với F hình phẳng c(F) ≥ Thật vậy, gọi l l2 hai phương Dựng hai đường thẳng tựa F song song với l 1, hai đường thẳng qua hai điểm biên F A B Khi A, B khơng thể chiếu sáng theo phương l1 theo phương l2 chiếu sáng A B Như với hai phương chiếu sáng F 1.Định lí 1: Cho F hình lồi bị chặn Nếu F khơng phải hình bình hành c(F)=3, cịn F hình bình hành c(F)=4 Chứng minh: Xét trường hợp: Trường hợp 1: Nếu F khơng có đỉnh Chọn l1, l2, l3 ba hướng hai hướng tạo với góc 1200 Gọi A điểm biên F Qua A kẻ đường thẳng a đường thẳng tựa F 41 Gọi AL1, AL2, AL3 ba đoạn thẳng có hướng song song với l 1, l2, l3 Khi A nằm tam giác L 1L2L3 Đường thẳng a chia tam giác L 1L2L3 thành hai phần Không tính tổng quát giả sử L3 nằm phía với F so với a (Như hình vẽ) L1 A L2 L3 a Vì A có đường thẳng tựa F qua nên đường thẳng AL đường thẳng tựa F nên đường thẳng AL3 cắt F điểm B khác điểm A uuur Dọc tia AB A điểm F mà ta gặp nên theo phương l chiếu sáng điểm A Suy c(F) ≤ Mà c(F) ≥ Vậy c(F)=3 Trường hợp 2: Nếu F có đỉnh Gọi A đỉnh F Kẻ hai tiếp tuyến F qua A Kẻ hai đường thẳng tựa F song song với hai tiếp tuyến nói Bốn đường thẳng tạo nên hình bình hành ABCD a.Nếu đỉnh C hình bình hành khơng nằm F 42 Gọi M N điểm gần C cạnh CB CD mà thuộc F Các điểm M, N chia biên F thành hai phần: phần chứa A phần không chứa A Chọn P, Q phần biên khơng chứa đỉnh A hình vẽ cho chúng nằm biên F theo thứ tự M, P, Q, N Các điểm nằm hình bình hành ABCD • Nếu B, D, P, Q thẳng hàng tức B≡M D≡F F tam giác Khi ta chiếu F phương, phương tia vng góc với cạnh tam giác hướng tam giác uuur uuu r uuur • Nếu B, D, P, Q khơng thẳng hàng ba phương QD , PB , AP ba phương chiếu sáng F Đường thẳng QD cắt F hai điểm, hai uuur điểm Q nên Q chiếu sáng QD Suy tất điểm đường uuur biên từ Q tới A chiếu sáng phương QD Tương tự suy toàn điểm biên từ P tới A (có chứa Q) chiếu sáng uuu r phương PB Như trừ điểm A tất điểm biên khác F uuur uuu r chiếu sáng phương QD PB Dễ thấy điểm A chiếu sáng uuur phương AP Vậy c(F)=3 b.Nếu C nằm F có đỉnh khác hình bình hành ABCD chẳng hạn B không nằm F uuu r uuur Nếu phương CB , CD tiếp tuyến F ta dựng tiếp tuyến đường thẳng tựa F qua C Khi hình bình hành 43 A’B’CD’ phủ F mà A’ khơng nằm F Đổi vai trị A C ta đưa trường hợp a Như F chiếu sáng ba phương c.Nếu bốn đỉnh hình bình hành ABCD nằm F Vì F uuu r uuur uuur uuur hình lồi nên F ABCD Ta thấy phương OA , OB , OC OD (với O tâm hình bình hành ABCD) chiếu sáng hình bình hành ABCD Suy c(F) ≤ Vì phương khơng thể chiếu sáng đồng thời hai đỉnh hình bình hành nên với ba phương tuỳ ý có đỉnh hình bình hành khơng chiếu sáng hay với ba phương khơng thể chiếu sáng hình bình hành Vậy c(F)=4 2.Định lí 2: Cho F hình lồi bị chặn mặt phẳng Khi ta có: b(F)=c(F) Chứng minh: a Ta chứng minh c(F) ≥ b(F) Giả sử phủ hình lồi bị chặn F m hình đồng dạng thu nhỏ F F1, F2, …, Fm với tâm đồng dạng tương ứng O 1, O2, …, Om tỉ số đồng dạng tương ứng k1, k2, …, km với ki dương nhỏ Gọi A điểm tuỳ ý F khác O1, O2, …, Om Ta chứng minh F chiếu sáng theo m phương O1A, O2A, …, OmA Gọi B điểm biên tuỳ ý F Khi B nằm trong hình F 1, F2, …, Fm Khơng tính tổng qt giả sử B nằm F1 Gọi C tạo ảnh B qua phép đồng dạng tâm O1 tỉ số k1 44 Nếu O1≡B≡C A≡C khẳng định hiển nhiên Ngược lại, gọi D điểm thuộc đoạn AC cho AD: AC=k1 Vì O1B:O1D=AD:AC nên theo định lí Thalet suy BD // O1A Vì C nằm F A điểm F nên D điểm F Vì đường thẳng BD qua điểm F nên khơng phải đường thẳng tự F Do B chiếu sáng theo phương O1A Suy điểm biên F chiếu sáng phương phương O 1A, O2A, …, OmA Vậy c(F)≥b(F) b Bây ta chứng minh b(F)≥c(F) Giả sử biên F chiếu sáng m phương l 1, l2, …, lm Với i=1,…,m ta xét cặp đường thẳng tựa F song song với l i Gọi Ai, Bi hai điểm ta gặp đường thẳng Rõ ràng trừ Ai Bi điềm biên F từ Ai tới Bi chiếu sáng phương li Gọi tập hợp tất chiếu sáng phương li cung ∆i (trừ hai điểm Ai Bi) Mỗi cung khoảng mở Điểm Ai không chiếu sáng phương li nên Ai phải chiếu sáng phương lj Khi có khoảng mở chứa A i chiếu sáng lj Suy khoảng ∆i ∆j giao khác rỗng đôi Tương tự điểm Bi phủ khoảng mở ∆k Vì khoảng mở ∆1, ∆2, …, ∆m có giao khác rỗng phủ biên F Thu nhỏ khoảng thành ∆ 1’, ∆2’, …, ∆m cho chúng phủ biên F Gọi điểm đầu mút ∆ i’ tương ứng Ai’ Bi’ Khi Ai’ Bi’ chiếu sáng phương li’ Suy đường thẳng qua Ai’ Bi’ song song với li qua điểm F 45 Gọi M điểm biên F cho khoảng cách từ M tới đường thẳng Ai’Bi’ nhỏ Qua M kẻ đường thẳng song song với A i’Bi’ Các đường thẳng vừa dựng tạo với hình bình hành Ai’BiCD Hình bình hành nằm hồn tồn F Suy ảnh ∆i qua phép tịnh tiến theo véctơ Ai’D nằm hoàn toàn F Như F’ ảnh F qua phép tịnh tiến theo véctơ A i’D phủ toàn ∆i’ Trong Fi’ chọn điểm Oi’ tuỳ ý ln tồn tỉ số dương k i’ nhỏ cho ảnh Fi’’ Fi’ qua phép đồng dạng tâm Oi’ tỉ số ki’ phủ ∆i’ Gọi O điểm F.Chọn h i khoảng cách nhỏ khoảng cách nhỏ O tới biên F Khi F i’ chứa O Chọn Oi≡O tỉ số ki gần với cho Fi’’ chứa O Các đoạn thẳng OA i’, OBi’ với cung ∆i’ tạo thành hình quạt Gi Vì hình lồi Fi’’ chứa O, Ai’, Bi’ nên Fi’’ chứa Gi 46 Mà hình quạt phủ F cung ∆i’ phủ biên F Suy họ Fi’’ hình đơng dạng thu nhỏ F phủ F Suy ra: b(F)≤c(F) Từ chứng minh hai ý ta có b(F)=c(F) Từ định lí ta nhận thấy vấn đề chiếu sáng hình F tương đương với vấn đề phủ đồng dạng hình F MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC TỔ HỢP 47 Bài 1: Tính cạnh tam giác bé nội tiếp nửa tam giác cạnh Bài 2: Chứngminh từ điểm mặt phẳng khơng có ba điểm thẳng hàng tồn điểm đỉnh ngũ giác lồi Bài 3: Tìm n để cắt n-giác lồi theo đường chéo không cắt cho đỉnh n-giác lồi có số chẵn đường chéo sử dụng phần cắt tam giác Bài 4: Tìm điểm khơng gian có khoảng cách tới đỉnh hình lập phương cạnh số nguyên Bài 5: Chứng minh hình chữ nhật x n (với n≥3) vng đóng thước thợ dạng: Bài 6: Chứng minh hình chữ nhật x n (với n lẻ) vng đóng thước thợ Bài 7: Tìm m, n cho hình chữ nhật m x n vng đóng thước thợ Bài 8: Có đài phát vô tuyến với công suất 500km để phủ sóng tồn quốc đường kính Việt Nam 2000km Bài 9: Cho k số tự nhiên tuỳ ý, m n số nguyên dương Chứng minh không tồn hàm số f(m,n) với 1 n =1 Với tốn ta giải cách chuyển tốn tương đương sau: Xét hình chữ nhật m xn ô vuông Tô ô vuông màu đen trắng Như hàng cột có nửa số màu Gọi hàng (hay cột) đen (trắng) có q nửa số đen (trắng) Khi f(m0,n0)=1 đen, f(m0,n)=-1 trắng Bài 10: Cho lưới ô vuông vô hạn; k,m,n số nguyên dương tuỳ ý Chứng minh tơ màu cho với hình chữ nhật m x n có k tơ Bài 11: Trong hình chữ nhật kích thước x ta lấy 6n + điểm với n số nguyên dương Chứng minh tồn hình trịn bán kính chứa khơng n số điểm lấy Bài 12: Trong hình trịn có diện tích ta lấy 17 điểm bất kỳ, khơng có điểm thẳng hàng Chứng minh có điểm lập thành tam giác có diện tích nhỏ Tổng quát cho trường hợp lấy n điểm? Bài 13: Cho đa giác lồi 34 đỉnh có diện tích 1, đa giác lồi lấy tùy ý 34 điểm cho đỉnh đa giác điểm vừa lấy khơng có điểm thẳng hàng Chứng minh có tam giác với đỉnh điểm số điểm lấy có diện tích khơng lớn 49 100 Bài 14: Trong hình chữ nhật có diện tích có hình chữ nhật, diện tích hình chữ nhật Chứng minh có hai hình chữ nhật số hình chữ nhật nhỏ mà diện tích phần chung chúng khơng nhỏ Bài 15: Người ta đánh dấu đỉnh đa giác 2n+1 cạnh (n>2) màu xanh đỏ Chứng minh tồn đỉnh tam giác cân đánh dấu màu Bài 16: Chứng minh hình trịn bán kính khơng thể chọn q điểm mà khoảng cách hai điểm lớn Bài 17: Một hình vng cạnh a chia thành n2 hình vng nhỏ đường thẳng song song với cạnh hình vng Trong hình vng nhỏ vẽ hình trịn nội tiếp Chứng minh diện tích phần hình vng ban đầu khơng bị phủ hình trịn khơng phụ thuộc vào cách chia Bài 18: Chứng minh đa giác lồi chia thành hữu hạn tứ giác không lồi Bài 19: Chứng minh tồn hình trịn bán kính a phủ kín đa giác có chu vi a Bài 20: Xét hình hình vng x vng bỏ hai hai góc đối diện Hỏi lấp kín hình hình chữ nhật có kích thước x hay khơng? 50 Tài liệu tham khảo [1] Một số kiến thức sở hình học tổ hợp – Vũ Đình Hồ – NXB Giáo dục [2] Một số chuyên đề hình học tổ hợp - Nguyễn Hữu Điển – NXB Giáo dục [3] Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn - Tập 4: Hình học phẳng – NXB Giáo dục [4] Các tốn hình học tổ hợp – Vũ Hữu Bình – NXB Giáo dục [5] Các tốn hình học phẳng – NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh 51 ... lồi, hình cầu, hình lồi + Hình hình vẽ khơng phải hình lồi • Một hình lồi gọi đóng chứa tất điểm giới hạn Một hình lồi gọi bị chặn phủ hình trịn đủ lớn (tức tồn hình trịn chứa hình lồi đó) Các hình. .. hình trịn bán kính d Hình trịn có bán kính khơng lớn Vẽ hình trịn đồng tâm bán kính Hình trịn phủ n-giác lồi Bài 5: Chứng minh F hình lồi G ⊆ F hình bị phủ F ln tồn số dương k cho: 1.Tồn hình. .. rỗng hình lồi hình lồi Khẳng định cho hợp hình lồi hay khơng? Giải: • Giả sử {Fi}iЄI họ hình lồi Ta chứng minh F=∩iЄIFi hình lồi Thật vậy, gọi A B hai điểm F Suy A B thuộc F i với i Є I Vì Fi hình