3 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.1 Định nghĩa Cho R vành Một tập M gọi R–môđun trái, hay cịn gọi mơđun trái vành R, điều kiện sau thỏa mãn: (i) M nhóm Abel cộng (ii) Tồn ánh xạ R×M → M ( x, m)  xm gọi phép nhân vơ hướng cho tính chất sau thỏa mãn phần tử tùy ý x, y ∈ R m, m1 , m2 ∈ M : (+) Kết hợp: (xy)m = x(ym) ; (+) Phân phối: x(m + m ) = xm + xm (x +y)m = xm + ym ; (+) Unitar: 1m = m Nếu R trường R–mơđun gọi khơng gian vectơ trường Tương tự, ta có định nghĩa cho R–môđun phải cách xét phép nhân với vô hướng bên phải Tuy nhiên đơn giản ta xét R–môđun trái suốt khóa luận gọi tắt R–mơđun 1.1.2 Ví dụ a) Một vành R ln xem mơđun với phép nhân với vơ hướng phép nhân vành b) Mọi nhóm Abel G xem mơđun vành số nguyên ¢ Với a ∈ G n ∈ ¢ tùy ý, phép nhân với vơ hướng c xỏc nh l: Â ìG G (n, a )  na = a + a+   + a n −lan c) Giả sử R vành giao hoán với đơn vị X = {a = [ aij ] n×n | aij ∈ R} tập hợp ma trận vuông cấp n với phần tử R Trên X ta xác định hai phép tốn: (i) Phép cộng: X × X → X ( a, b )  a + b = [cij ] n×n , với cij = aij + bij (ii) Phép nhân với vơ hướng: R × X → X ( λ, a)  λa = [d ij ] n×n , với d ij = λaij Khi X trở thành môđun vành R gọi môđun ma trận cỡ n × n R 4) Giả sử R vành giao hoán với đơn vị Khi n   R[ x ] =  f ( x ) = ∑ x i \ ∈ R  với phép cộng đa thức thông thường phép i =0   n i nhân cho λf ( x ) = ∑ λai x môđun gọi môđun đa thức ẩn i =0 x với hệ số thực 1.2 Môđun con, môđun đơn, môđun thương 1.2.1 Định nghĩa Cho M R–môđun N tập khác rỗng M Khi N gọi R–môđun (hay gọi tắt môđun con) R–môđun M N R–môđun với phép toán M hạn chế N 1.2.2 Tiêu chuẩn môđun Cho M R–môđun N tập khác rỗng M Khi ba điều kiện sau tương đương: (i) N môđun M (ii) x + y ∈ N , ∀x, y ∈ N ax ∈ N , ∀x ∈ N , ∀a ∈ R (iii) ax + by ∈ N , ∀x, y ∈ N , ∀a, b ∈ R 1.2.3 Định nghĩa Môđun N môđun M gọi môđun cực đại N ≠ M không tồn môđun P cho P ⊂ M P ⊃ N 1.2.4 Định nghĩa Cho M R–mơđun Khi M gọi môđun đơn M ≠ M có hai mơđun M 5 1.2.5 Định nghĩa Cho M R–mơđun N mơđun M Khi N nhóm chuẩu tắc nhóm cộng abel M Do tồn nhóm thương M N ( ) = {x + N \ x ∈ M} M ,+ nhóm abel N Xét phép nhân với vơ hướng R: R×M N →M ( r, x )  N rx = rx + N Khi M N R–môđun với phép cộng phép nhân với vơ hướng nói Mơđun gọi môđun thương M theo môđun N 1.2.6 Mệnh đề Cho M R–môđun G môđun M Khi ' (i) Nếu G ' mơđun M mà G ' ⊇ G G G môđun M G " (ii) Mỗi mơđun M G có dạng G G môđun G " M mà G " ⊇ G (iii) Cho G1 ,G2 mơđun M mà chứa G Khi G1 ⊆ G2 G1 G ⊆ G2 G 1.3 Đồng cấu môđun 1.3.1 Định nghĩa Cho M N hai R–môđun Một ánh xạ f :M → N gọi đồng cấu môđun hay cịn gọi R–đồng cấu, thỏa mãn hai điều kiện sau phần tử x, y ∈ M r ∈ R : f(x+y) = f(x)+f(y) f(rx) =rf(x) Đồng cấu f gọi đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu f tương ứng đơn ánh, tồn ánh hay song ánh Hai mơđun M N đẳng cấu với tồn ánh xạ đẳng cấu f: M → N Kí hiệu M ≅ N 6 1.3.2 Định lý Giả sử f : M → N đồng cấu từ môđun M đến môđun N , p : M → M Kerf tồn cấu tắc từ mơđun M đến mơđun thương M Kerf Khi có đồng cấu cho tam giác: M f N p f M Kerf giao hoán 1.3.3 Hệ Giả sử f : M → N đồng cấu từ môđun M đến môđun N Khi M Kerf ≅ Im f 1.3.4 Định lý Giả sử N P hai môđun R–mơđun M Khi ( N + P) ≅P N N ∩P 1.3.5 Định lý Giả sử N P hai môđun R–môđun M, N mơđun P Khi M P = M N P N 1.3.6 Mệnh đề Cho R–môđun M Ký hiệu S M tập hợp tất môđun M Cho f : M → M ' tồn cấu R–mơđun Khi ánh xạ θ : { G ∈ S M : G ⊇ Kerf } → S M G ' f (G )  −1 ' −1 ' ' song ánh θ (G ) = f (G ), ∀G ∈ S M ' 1.4 Dãy khớp, môđun Noether, môđun Artin 1.4.1 Định nghĩa Cho f f ( ξ )  →  M i −1 → Mi i−2 i −1 fi f i +1 → M i +1 →  dãy R–môđun R–đồng cấu (i)Dãy ( ξ ) gọi phức R–môđun, Imf i ⊆ Kerf i +1 , ∀i (ii)Dãy ( ξ ) gọi dãy khớp, Imf i = Kerf i +1 , ∀i (iii) Một dãy khớp có dạng : f g → M’ → M → M” → gọi dãy khớp ngắn 1.4.2 Định nghĩa Cho M R–mơđun Khi M gọi mơđun Noether, cách xác thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) Khi ( Gi ) i∈N họ môđun M mà G1 ⊆ G2 ⊆ ⊆ Gi ⊆ Gi +1 ⊆ tồn k ∈ ¥ để Gk = Gk +1 , ∀i ∈ ¥ (ii) Mọi tập khác rỗng mơđun M ln chứa phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm) 1.4.3 Định nghĩa Cho M R–môđun Khi M gọi mơđun Artin cách xác thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) Khi ( Gi ) i∈¥ họ môđun M mà G1 ⊇ G2 ⊇ ⊇ Gi ⊇ Gi +1 ⊇ tồn k ∈ ¥ để Gk = Gk +1 , ∀i ∈ ¥ (ii) Mọi tập khác rỗng mơđun M ln chứa phần tử cực tiểu (theo quan hệ bao hàm) 1.4.4 Định lý Cho f g 0→ L → M → N →0 dãy khớp ngắn R–môđun R–đồng cấu (i) R–môđun M Noether L N Noether (ii) R–môđun M Artin L N Artin 1.4.5 Mệnh đề Cho M M đẳng cấu R–mơđun Khi (i) M Noether M môđun Noether (ii) M Artin M môđun Artin 8 CHƯƠNG II DÃY HỢP THÀNH CỦA MÔĐUN Ta ln xét R vành giao hốn có đơn vị kí hiệu 2.1 Định nghĩa ví dụ 2.1.1 Định nghĩa Cho M R–môđun Xét hai xích hữu hạn mơđun M α : ⊆ M ⊆ M ⊆ ⊆ M k −1 ⊆ M k = M β : ⊆ M 0' ⊆ M 1' ⊆ ⊆ M l'−1 ⊆ M l' = M Kí hiệu I = {0,1,……k}, J = {0,1,…….l} gọi tập hợp I tập số xích α , J tập số xích β Khi đó: (i) Số tự nhiên k gọi độ dài xích α , ký hiệu l( α ) = k (ii) Môđun thương { M1 M0 , , Mk Mi M i −1 gọi thương thứ i tập R–môđun M k −1 } gọi tập thương xích α (iii) Ta nói hai xích α β đẳng cấu với nhau, ký hiệu α ≅ β , tồn song ánh hai tập số φ : I → J cho Mi M i −1 ≅ M φ' ( i ) M φ' (i ) −1 , ∀i = 1, .k (iv) Xích α gọi dãy hợp thành môđun M, M i −1 môđun cực M đại M i , ∀i = 1,……,k Điều tương đương với điều kiện i M , i = 1, i −1 … ,k môđun đơn 2.1.2 Chú ý (i) Giả sử α ≅ β đẳng cấu hai xích mơđun M với số i ta có M i −1 = M i Vì Mi M i −1 = nên thương Mi M φ' ( i ) M i −1 M =0= ' φ ( i ) −1 M φ' ( i ) ' ' ' = 0, tức M φ (i )−1 = M φ (i ) Vậy bỏ M i M φ (i ) M φ' (i ) −1 bị bỏ đi, thương khác hai xích giữ nguyên Từ suy xích sau bỏ M i M φ' (i ) đẳng cấu với Hơn nữa, ta thấy định nghĩa (iii) đẳng cấu quan hệ tương tập hợp xích mơđun M Điều cho phép giả thiết mà khơng tính tổng qt xích α M thỏa mãn M i −1 ≠ M i , ∀i (ii) Trong trường hợp khơng thể mở rộng xích (tăng ngặt) đưa vào số hạng đặc biệt làm cho xích có độ dài n + Khi xích (tăng ngặt) mơđun M dãy hợp thành M xích (tăng ngặt) cực đại 2.1.3 Ví dụ (a) Cho V K–không gian vectơ n chiều với { x1 , x , ., x n } sở Khi xích : n ⊂ x1 K ⊂ x1 K + x2 K ⊂ ⊂ ∑ xi K = V i =1 dãy hợp thành V có độ dài n Thật vậy, Xét môđun thương x1 K Ta có x1 K khơng gian vectơ V có số chiều Do x1 K có hai mơđun x1 K Suy x1 K môđun đơn hay x1 K môđun đơn Xét môđun thương ( x1 K + x K ) x1 K Theo Định lý 1.3.4 ta có: ( x1 K + x K ) x1 K ≅ x2 K ( x1 K ∩ x K ) Mặt khác x1 K ∩ x K = (Vì x1 , x độc lập tuyến tính) Khi Do x2 K ( x1 K ∩ x K ) ( x1 K + x K ) x1 K = x K , mà x K môđơn môđun đơn Bằng cách chứng minh tương tự quy nạp ta có 10 n ∑x K i =1 i n −1 ∑x K i =1 môđun đơn i Theo Định nghĩa 2.1.1(iv) suy V có dãy hợp thành n ⊂ x1 K ⊂ x1 K + x K ⊂ ⊂ ∑ x1 K = V i =1 độ dài n (b) Xét ¢ ¢ –mơđun Khi ¢ khơng có dãy hợp thành Thật vậy, giả sử = A0 ⊂ A1 ⊂ ⊂ ¢ dãy mơđun ¢ Ta có Ai mơđun ¢ Ai iđêan ¢ Giả sử A1 = n ¢ (Vì A1 iđêan ¢ nên ∃n ∈ ¢ cho A1 = n ¢ ) Khi ln tồn mơđun nằm A1 Chẳng hạn A1' = n ¢ thỏa mãn ⊂ A1' = n Z ⊂ A1 Điều suy = A0 khơng phải môđun cực đại A1 Theo Định nghĩa 2.1.1.(iv) suy ¢ khơng có dãy hợp thành (c) Xột Ô l Ô mụun Khi ú Ô có chuỗi hợp thành với độ dài Thật vy, Ta cú mi mụun ca Ô l mt iờan ca Mt khỏc Ô l mt trng nờn ¤ có hai iđêan ¤ Do ú Ô cú dóy hp thnh l ¤ có độ dài Sau số kết dãy hợp thành 2.2 Độ dài dãy hợp thành 2.2.1 Định nghĩa Cho M R–mơđun có dãy hợp thành : = M ⊂ M ⊂ … ⊂ M n −1 ⊂ M n = M Ta gọi độ dài dãy hợp thành số mắt xích nó, có nghĩa độ dài bé thua số số hạng dãy đơn vị 2.2.2 Định lý Cho M R–môđun giả sử M có dãy hợp thành có độ dài n Khi (i) Khơng có xích (tăng ngặt) mơđun M có độ dài lớn n 11 (ii) Mọi dãy hợp thành M có độ dài n (iii) Mỗi xích (tăng ngặt) mơđun M có độ dài n’ ≤ n mở rộng thành dãy hợp thành M cách đưa thêm vào xích n-n’ số hạng (iv) Mọi xích (tăng ngặt) mơđun M có độ dài n dãy hợp thành M Chứng minh Chúng ta giả thiết n > Cho R–môđun M, kí hiệu l(M) độ dài nhỏ dãy hợp thành M M có dãy hợp thành l(M) = ∞ M dãy hợp thành Bước chứng minh rằng: A môđun thực M l(A) < l(M) Cho l(M) = t = M ⊂ M ⊂ … M t −1 ⊂ M t = M dãy hợp thành cho M với độ dài t Với i = 0,….,t , cho Ai = A ∩ M i Theo Hệ 1.3.3 : Với i = 1, …,t hợp thành R–đồng cấu Mi f g A i = A ∩ M i → M i → M i −1 (mà ánh xạ f đồng cấu bao hàm g toàn cấu tắc) có hạt nhân A ∩ M i ∩ M i −1 = A ∩ M i −1 = A i −1 cảm sinh R- đơn cấu ϕ Khi Ai Vì vậy, Ai i : Ai −1 → Mi M i −1 a + Ai −1  a + M i −1 Ai −1 đẳng cấu tới mơđun Mi Mặt khác Do Ai Mi M i −1 môđun đơn Ai −1 đơn Ai ϕ Ai −1 đơn i đẳng cấu Khi bỏ vài số hạng lặp lại = A ⊆ A ⊆ … ⊆ A i −1 ⊆ A t = A ∩ M t = A M i −1 12 thu dãy hợp thành A Khi l(A) ≤ l(M) Hơn phải có l(A) < l(M), mặt khác trình phải dẫn tới A ⊂ A ⊂ … ⊂ A t −1 ⊂ A t dãy hợp thành A, với Ai Ai ∩ M i −1 = Ai Ai −1 ≠ ∀i =1,……,t Từ A i = = M i , kéo theo trình tự A = M , A = M ,……….,A t = M t , mâu thuẫn với thực tế có A ⊂ M Khi chứng tỏ l(A) < l(M) Chú ý chứng tỏ mơđun M có dãy hợp thành (i) Bây cho = M '0 ⊂ M 1' ⊂ M '2 ⊂ ⊂ M 'r −1 ⊂ M 'r = M xích (tăng ngặt) mơđun M Ta có l(0) = áp dụng kết chứng minh ta có = l(M '0 ) < l(M 1' ) < …… < l(M 'r −1 ) < l(M 'r ) = l(M) Từ r ≤ l(M) ≤ n (Vì M có dãy hợp thành với độ dài n mà phần đầu chứng minh ta kí hiệu l(M) độ dài nhỏ dãy hợp thành) Vậy khơng có xích mơđun M có độ dài lớn n (ii) Giả sử M có dãy hợp thành với độ dài n Theo cách kí hiệu phần đầu chứng minh ta có l ( M ) ≤ n1 Mặt khác theo cách chứng minh phần (i) ta có l ( M ) ≥ n1 (vì dãy hợp thành trường hợp đặc biệt xích ngặt) Do l (M ) = n1 Theo giả thiết M có dãy hợp thành với độ dài n Lí luận tương tự ta có l (M ) = n Từ ta có l ( M ) = n = n1 Như dãy hợp thành M có độ dài n (iii), (iv) Được suy từ phần (i) (ii) ý 2.1.2(ii): xích ngặt mơđun M với độ dài n ' < n = l(M) dãy hợp thành 13 M, từ phần (ii): tất dãy hợp thành M có độ dài n mở rộng xích ngặt có độ dài n ' +1 đưa vào số hạng hai số hạng mà thương chúng chưa phải môđun đơn Chẳng hạn Mi ' M i −1 môđun đơn tồn mơđun M cho M i ⊃ M ' ⊃ M i −1 M i ≠ M ' ≠ M i −1 Khi ta đưa vào mơđun M ' vào M i −1 M i Mở rộng dãy có độ dài n ta thu dãy hợp thành Thật giả sử chưa dãy hợp thành ta lại chèn tiếp số hạng vào hai môđun mà thương chúng chưa phải môđun đơn Suy độ dài lớn n Mâu thuẫn với phần (i) Ngược lại xích ngặt mơđun M có độ dài n phải dãy hợp thành M mở rộng xích ngặt mơđun M có độ dài n + Mâu thuẫn với phần (i) Chú ý chứng minh l(M) chưa phải kí hiệu độ dài dãy hợp thành Sau ta đưa kí hiệu độ dài dãy hợp thành định nghĩa 2.3 2.2.3 Định nghĩa Giả sử M R–mơđun Ta nói M có độ dài hữu hạn M có dãy hợp thành Khi độ dài M kí hiệu l(M) hay l R (M) (nếu muốn nhấn mạnh R vành sở) độ dài dãy hợp thành M Chúng ta biết Định lý 2.2.2 tất dãy hợp thành M có độ dài Khi M khơng có độ dài hữu hạn có nghĩa M khơng có dãy hợp thành ta kí hiệu l(M) = ∞ 2.2.4 Vớ d (1) l Ô ( Ô ) = (Ở ví dụ 2.1.3 nêu) (2) l ¢ ( ¢ ) = ∞ (Ở ví dụ 2.1.3 nêu) (3) l ¢ ( ¢ 6¢ ) = Thật vậy, Mỗi mơđun ¢ 6¢ có dạng X 6¢ X mơđun ¢ chứa ¢ 14 Khi X có dạng n ¢ với n ước Suy n = 1, 2, 3, Ta có mơđun ¢ 6¢ 0, ¢ 6¢ , 2¢ 6¢ , 3¢ 6¢ Vậy ¢ 6¢ có hai dãy hợp thành là: ⊂ 2¢ 6¢ ⊂¢ 6¢ ⊂ 3¢ 6¢ ⊂¢ 6¢ có độ dài ( ) Do l¢ ¢ 6¢ = 2.2.5 Mệnh đề Cho M R–mơđun Khi M có độ dài hữu hạn M vừa Noether vừa Artin nghĩa M thỏa mãn chuỗi điều kiện tăng giảm cho mơđun Chứng minh ⇒ : Giả sử M có độ dài hữu hạn l(M) Khi từ Định lý 2.2.2 có vài xích tăng mơđun M khơng thể có nhiều l(M) bao hàm ngặt cuối phải dừng Đồng thời vài xích giảm mơđun M cuối phải dừng Theo Định nghĩa 1.4.2 vàsuy M vừa môđun Noether vừa môđun Artin ⇐ : Giả sử M môđun Noether Artin Từ định nghĩa môđun Noether Artin M thỏa mãn điều kiện môđun cực đại cực tiểu Chúng ta giả sử M khơng có dãy hợp thành tìm mâu thuẫn Khi θ ={A : A môđun M l(A) = ∞ } Tập θ khơng rỗng M ∈ θ , theo điều kiện cực tiểu, θ có phần tử cực tiểu gọi H Vì mơđun M có dãy hợp thành Theo định nghĩa θ suy ∉ θ Mặt khác H ∈ θ Do H ≠ Khi theo điều kiện cực đại tập mơđun thực H có thành viên cực đại gọi H ' 15 Bằng lựa chọn H thực tế H ' ⊂ H, H phần tử cực tiểu nên H ' ∉ θ H ' có dãy hợp thành Cho = H '0 ⊂ H 1' ⊂ … ⊂ H t' −1 ⊂ H t' = H ' dãy hợp thành H ' l( H ' ) = t Từ H ' môđun cực đại thực H, kéo theo H H ' có hai mơđun đơn Từ H '0 ⊂ H 1' ⊂ … ⊂ H t' −1 ⊂ H t' ⊂ H dãy hợp thành cho H Đây mâu thuẫn (vì H khơng có dãy hợp thành) Từ M phải có dãy hợp thành Chúng ta có định lý 2.2.2 hai chuỗi hợp thành cho môđun hữu hạn chiều vành giao hốn có độ dài Thực tế hai dãy hợp thành có điểm tương đồng mạnh mẽ liên quan tới mà người ta gọi họ thương hợp thành Những điểm tương đồng cụ thể hóa giả thuyết tiếng Jordan-Holder mà đưa mục 2.3.3 2.3 Định lý Jordan-Holder 2.3.1 Định nghĩa Cho M R–môđun giả sử M có độ dài hữu hạn Gọi = M ⊂ M ⊂ ⊂ M n−1 ⊂ M n = M dãy hợp thành M Khi ta gọi họ R–mơđun đơn ( Mi M i −1 ) i = 1, n họ thương hợp thành dãy hợp thành (Tất nhiên họ rỗng M = 0) Bây giả sử M ≠ có = M '0 ⊂ M 1' ⊂ ⊂ M n' −1 ⊂ M n' = M dãy hợp thành thứ hai M (ở sử dụng điều chứng minh định lý 2.2.2 hai dãy hợp thành tuỳ ý môđun M có độ dài nhau) Ta nói hai dãy hợp thành M đẳng cấu nều tồn hoán vị φ tập {1,…n} n số nguyên dương cho với i =1,…,n ta có 16 Mi M i −1 ≅ M φ' ( i ) M φ' (i ) −1 2.3.2 Bổ đề Cho M R–môđun A, A ' môđun M, A ≠ A ' M A M A' đơn Từ : M A ≅ A' M ≅A A ∩ A' A' A ∩ A' Chứng minh Đầu tiên A ⊂ A + A' Nếu trường hợp, giả sử A = A + A ' Mặt khác A ≠ A' , ta có A ' ⊂ A ⊂ M Từ suy A A ' môđun M A ' Mâu thuẫn với thực tế M A' đơn (Vì mơđun đơn có hai mơđun nó) Do A ⊂ A+A ' ⊆ M (vì A, A ' môđun M) Mà M A đơn hay A môđun cực đại M Khi A+A ' = M Vì theo Định lý 1.3.4 ta có M A = ( A + A' ) A ≅ A' ( A ∩ A' ) Những đẳng cấu khác tuân theo đảo ngược vai trò A A ' 2.3.3 Định lý (Jordan-Holder) Cho M R–môđun khác khơng có độ dài hữu hạn Khi cặp dãy hợp thành cho M đẳng cấu với Chứng minh Từ M ≠ 0, có n : = l(M) ≥ Chúng ta sử dụng phương pháp quy nạp n Rõ ràng n = Chúng ta giả thiết n > có kết chứng minh cho giá trị nhỏ n.Cho = M ⊂ M ⊂ ⊂ M n −1 ⊂ M n = M = M 0' ⊂ M 1' ⊂ ⊂ M n' −1 ⊂ M n' = M hai dãy hợp thành M Ta chia bước quy nạp thành hai trường hợp 17 Trường hợp M n−1 = M 'n−1 Khi có Mn M n −1 M n' = M n' −1 = M ⊂ M ⊂ ⊂ M n −1 ⊂ M n = M = M 0' ⊂ M 1' ⊂ ⊂ M n' −1 ⊂ M n' = M hai dãy hợp thành M n−1 = M 'n−1 Bởi l(M n−1 ) = n - nên áp dụng giả thiết quy nạp cho hai dãy hợp thành M n −1 kết mong muốn trường hợp dễ dàng suy Trường hợp thứ hai M n −1 ≠ M n' −1 Khi có tập H = M n −1 ∩ M n' −1 theo Bổ đề 2.3.2 ta có Mn M n −1 ≅ M n' −1 H M n' M n' −1 ≅ M n −1 H Vì bốn mơđun số mơđun đơn Vi vậy, H = (vì M n −1 M n' −1 đơn n = 2), đạt kết luận mong muốn Giả sử H ≠ Trong trường hợp ⊂ H ⊂ M n −1 ⊂ M n dãy tăng ngặt môđun M = M n , Mn M n −1 M n −1 H đơn Theo Định lý 2.2.2(iii), dãy ngặt mở rộng đưa vào số hạng tới dãy hợp thành M Như dãy hợp thành M phải có độ dài n Nó kéo theo l(H) = n - Đặc biệt có dãy hợp thành H là: = H ⊂ H ⊂ ⊂ H n −3 ⊂ H n −2 = H Do chứng tỏ có hai dãy hợp thành H ⊂ H ⊂ ⊂ H n −3 ⊂ H n − ⊂ M n −1 ⊂ M n H ⊂ H ⊂ ⊂ H n −3 ⊂ H n − ⊂ M n' −1 ⊂ M n' 18 M đẳng cấu Bây áp dụng lý thuyết quy nạp (trên hai dãy hợp thành M n −1 ) thấy có hai dãy hợp thành M ⊂ M ⊂ ⊂ M n−1 ⊂ M n H ⊂ H ⊂ ⊂ H n−3 ⊂ H n− ⊂ M n−1 ⊂ M n M đẳng cấu Tương tự hai dãy hợp thành H ⊂ H ⊂ ⊂ H n −3 ⊂ H n −2 ⊂ M n' −1 ⊂ M n' M 0' ⊂ M 1' ⊂ ⊂ M n' −1 ⊂ M n' đẳng cấu hồn thành bước quy nạp 2.3.4 Ví dụ Xét ¢ –mơđun M = ¢ 6¢ Theo Ví dụ 2.4 : M có hai dãy hợp thành (1) ⊂ 2¢ 6¢ ⊂ ¢ 6¢ (2) ⊂ 3¢ 6¢ ⊂ ¢ 6¢ Khi dãy (1) (2) đẳng cấu với Thật vậy, xét môđun thương Theo Định lý 1.3.5 ta có Mặt khác 3¢ Do ¢ 6¢ 6¢ 2¢ = 3¢ 6¢ ≅ 3¢ 6¢ Tương tự ta có ¢ 6¢ ¢ ¢ 6¢ ≅¢ 6¢ 2¢ 2¢ 2¢ 6¢ ≅¢ 6¢ 2¢ 6¢ 3¢ ≅ 2¢ 6¢ 6¢ Vì dãy (1) (2) đẳng cấu 2.3.5 Định lý Cho R vành giao hoán f g M → N →0 → L → 19 dãy khớp ngắn R–môđun R–đồng cấu (i) R–mơđun M có độ dài hữu hạn L N có độ dài hữu hạn (ii) Khi L, N, M tất có độ dài hữu hạn l(M) = l(L) + l(N) Chứng minh (i) Điều dễ dàng từ Định lý1.4.4 Định lý 2.2.5 Theo Định lý 2.2.5: R–môđun M có độ dài hữu hạn vừa Noether vừa Artin Theo Định lý 1.4.4: M Noether L N Noether M Artin L N Artin Theo Định lý 2.2.5: L vừa Noether vừa Artin L có độ dài hữu hạn, N vừa Noether vừa Artin N có độ dài hữu hạn Do M có độ dài hữu hạn L N có độ dài hữu hạn ii) Ta có L ≅ Imf = Kerg theo Hệ 1.3.3 có M Kerg ≅ N Khi l(N) = l( M Kerg ) l(L) = l(Kerg), Kerg M Kerg có độ dài hữu hạn Do ta chứng minh A môđun R–mơđun M (và M có độ dài hữu hạn) l(M) = l(A) + l( M A ) Rõ ràng hai A = A = M đẳng thức hiển nhiên Bây ta giả sử ⊂ A ⊂ M Theo Định lý 2.2.2 dãy ngặt mơđun M bổ sung số hạng để dãy hợp thành M = M ⊂ M ⊂ ⊂ M n −1 ⊂ M n = M n = l(M) Giả sử M t = A Khi = M ⊂ M ⊂ ⊂ M t = A dãy hợp thành A, từ Mệnh đề 1.2.6 có Mt A ⊂ M t +1 A ⊂ ⊂ Mn A dãy hợp thành cho M A Từ l(A) + l( M A ) = t +(n-t) = l(M), yêu cầu 20 2.3.6 Ví dụ (( ) ( (a) Tìm l¢ ¢ 20¢ ⊕ ¢ 27¢ )) dãy hợp thành ¢ -mơđun ( ¢ 20¢ ) ⊕ ( ¢ 27¢ ) Trước hết xác định dãy hợp thành độ dài ¢ –mơđun ¢ 20¢ Ta có mơđun ¢ 20¢ có dạng X 20¢ , X mơđun ¢ chứa 20¢ Mặt khác X có dạng n ¢ với n ước 20 Do mơđun ¢ 20¢ là: 0, ¢ 20¢ , 2¢ 20¢ , 4¢ 20¢ , 5¢ 20¢ ,10¢ 20¢ Vậy ¢ 20¢ có ba dãy hợp thành là: ⊂ 4¢ 20¢ ⊂ 2¢ 20¢ ⊂¢ 20¢ , ⊂ 10¢ 20¢ ⊂ 2¢ 20¢ ⊂¢ 20¢ , ⊂ 10¢ 20¢ ⊂ 5¢ 20¢ ⊂¢ 20¢ , có độ dài ( ) Khi l¢ ¢ 20¢ = Tiếp theo xác định dãy hợp thành độ dài ¢ –mơđun ¢ 27¢ Tương tự mơđun ¢ 20¢ ta tìm mơđun ¢ 27¢ 0, ¢ 27¢ , 3¢ 27¢ , 9¢ 27¢ Khi ¢ 27¢ có dãy hợp thành : ⊂ 9¢ 27¢ ⊂ 3¢ 27¢ ⊂¢ 27¢ có độ dài ( ) Vậy l¢ ¢ 27¢ = Xét dãy khớp → ¢ 20¢ → ¢ 20¢ ⊕ ¢ 27¢ → ¢ 27¢ → 21 ( )( ) Theo chứng minh ¢ 20¢ , ¢ 27¢ có độ dài hữu hạn nên theo Định lý ( ) ( ) 2.3.5 ta có ¢ 20¢ ⊕ ¢ 27¢ có độ dài hữu hạn ( ( ¢ 20¢ ) ⊕ ( ¢ 27¢ ) ) = l ( ¢ 20¢ ) + l ( ¢ 27¢ ) = + = Vậy l ( ( ¢ 20¢ ) ⊕ ( ¢ 27¢ ) ) = ¢ –mơđun ( ¢ 20¢ ) ⊕ ( ¢ 27¢ ) có dãy hợp thành l¢ ¢ ¢ ¢ ⊕ 9¢ ⊂ 2¢ ⊕ 9¢ 20¢ 27¢ 20¢ 27¢ ¢ ¢ ⊂ 2¢ ⊕ ⊂¢ ⊕ ⊂¢ ⊕¢ 20¢ 27¢ 20¢ 27¢ 20¢ 27¢ ⊂ 4¢ 20¢ ⊕ ⊂ 4¢ Cho K trường Chúng ta nhận thấy khái niệm K–môđun Noether K–môđun Artin đồng thật vậy, có V khơng gian vectơ trường K Khi V khơng gian hữu hạn chiều vừa K–môđun Noether vừa K–môđun Artin Thật theo Mệmh đề 2.2.5 có V K–khơng gian hữu hạn chiều K–mơđun có độ dài hữu hạn Bây kiểm trường hợp vdim K v =l(V) 2.3.7 Mệnh đề Cho V không gian vectơ trường K Khi V K–khơng gian véctơ hữu hạn chiều K–mơđun có độ dài hữu hạn, trường hợp vdim K V = l(V) Chứng minh Sự khẳng định thứ giải thích trên, khẳng định thứ chứng minh theo quy nạp n=vdim K V Khi n = 0, có V = kết rõ ràng Khi n = 1, tập khơng gian V V Vì ⊂ V chuỗi hợp thành cho K–mơđun V l(V) = Do giả thiết n >1 kết chứng minh với giá trị nhỏ n Cho v∈ V với v ≠ 0; tập U = Kv không gian chiều V Khi có dãy khớp i f V →0 → V → 0→U  U 22 K–khơng gian K–ánh xạ tuyến tính, i ánh xạ nhúng f tồn cấu tắc Bây (U V U hữu hạn chiều) vdim K V = vdim K (Kerf) + vdim K (Imf) = vdim K U + vdim K ( V U ) , suy vdim K ( V U ) = n – Khi vdim K ( V U ) = l( V U ) lý thuyết quy nạp, vdim K U = l(U) chứng minh trường hợp n = Từ vdim K V = vdim K U + vdim K ( V U ) =l(U) +l( V U ) = l(V) theo Mệnh đề 2.3.5 bước quy nạp hoàn thành 23 KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc hướng dẫn tận tình giáo TS Đào Thanh Hà khóa luận thu số kết quả: Hệ thống số khái niệm tính chất lý thuyết mơđun Trình bày khái niệm, cung cấp ví dụ dãy hợp thành môđun Đồng thời chứng minh chi tiết tính chất dãy hợp thành Đưa mối quan độ dài dãy hợp thành số chiều không gian hữu hạn 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Nguyễn Tự Cường, Giáo trình đại số đại, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2003 [2]Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, NXB Giáo dục Hà Nội, 1998 [3] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục Hà Nội, 2001 Tiếng Anh [4] Sharp, Step on commutative in Algebra ... Ô v cú dài Sau số kết dãy hợp thành 2.2 Độ dài dãy hợp thành 2.2.1 Định nghĩa Cho M R? ?môđun có dãy hợp thành : = M ⊂ M ⊂ … ⊂ M n −1 ⊂ M n = M Ta gọi độ dài dãy hợp thành số mắt xích nó, có... độ dài nhỏ dãy hợp thành M M có dãy hợp thành l(M) = ∞ M khơng có dãy hợp thành Bước chứng minh rằng: A mơđun thực M l(A) < l(M) Cho l(M) = t = M ⊂ M ⊂ … M t −1 ⊂ M t = M dãy hợp thành cho M... M dãy hợp thành M Khi ta gọi họ R? ?môđun đơn ( Mi M i −1 ) i = 1, n họ thương hợp thành dãy hợp thành (Tất nhiên họ rỗng M = 0) Bây giả sử M ≠ có = M '0 ⊂ M 1' ⊂ ⊂ M n' −1 ⊂ M n' = M dãy hợp thành