Đang tải... (xem toàn văn)
b Trong cuộc thi “Rung chuông vàng” thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam.. Việc chia nhóm được thực hiện bằng [r]
(1)www.VNMATH.com SỞ GD&ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ THI THỬ SỐ 2x 1 (1) x2 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến d (C) biết d song song với đường thẳng 3x – y + 14 = Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y Câu (1,0 điểm) 2 x a) Chứng minh cos x cos x cos 3 b) Giải phương trình log ( x 3)2 8log 2 x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I x( x sin x)dx Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2( z 1) 3z i (5 i) Tính môđun z b) Trong thi “Rung chuông vàng” thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, đó có bạn nữ và 15 bạn nam Để xếp vị trí chơi, Ban tổ chức chia các bạn thành nhóm A, B, C, D, nhóm có bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn nữ thuộc cùng nhóm Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B, AB = 2a, 600 , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a Gọi M là trung điểm cạnh AB BAC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách hai đường thẳng SB và CM Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(–2;1) và thỏa mãn điều kiện AIB 900 , chân đường cao kẻ từ A đến BC là D(–1;–1), đường thẳng AC qua điểm M(–1;4) Tìm tọa độ các đỉnh A, B biết đỉnh A có hoành độ dương Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;–1), B(3;4;1) và C(4;1;–1) Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB Tìm tọa độ điểm M trên trục Oz cho thể tích khối tứ diện MABC Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình 3( x 2) 2 x x 1 x x x2 Câu (1,0 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2(x + y) + 7z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức S x y z Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh…………………………………………………; Số báo danh………….…… (2) SỞ GD&ĐT HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM www.VNMATH.com ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN (Đáp án – thang điểm gồm có 05 trang) CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 2,00 a (1,00 điểm) TXĐ: D = \{2} Giới hạn và tiệm cận: lim y 2; lim y ; lim y x x2 0,25 x2 Tiệm cận đứng x = –2, tiệm cận ngang y = Sự biến thiên: y ' 0, x \{2} ( x 2)2 Hàm số đồng biến trên khoảng (–;–2) và (–2;+) Bảng biến thiên: 0,25 0,25 Hàm số không có cực trị Đồ thị: 0,25 b (1,00 điểm) Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm tiếp tuyến d với đồ thị (C) Khi đó y’(x0) = 0,25 x0 1 ( x0 2) ( x0 2) x0 3 0,25 Phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) các điểm (–1;–1) và (–3;5) là: y x 2, y 3x 14 0,25 Từ giả thiết ta y 3x 0,25 Ta có phương trình (3) www.VNMATH.com a (0,5 điểm) Ta có A 1 2 4 cos x cos x cos 2x 2 0,25 1 cos x cos x cos cos x cos x 2 2 0,25 b 1,00 (0,5 điểm) ĐK: x , x Với điều kiện đó, phương trình tương đương với x 3 1 log2 x log (2 x 1) log2 2x 1 x 3 x 4x x 4x x 2x 1 x 4 x Phương trình có nghiệm x 0,25 0,25 1,00 x I ( x x sin x)dx 3 x sin xdx x sin xdx 0 0,25 Tính I1 x sin xdx 0,25 u x du dx Đặt dv sin xdx v cos x I1 x cos x cos xdx sin x 0,25 I 0,25 1,0 a (0,5 điểm) Đặt z a bi, (a, b ) Khi đó: 2( z 1) 3z i (5 i ) 2(a bi 1) 3( a bi ) 5i a 5(1 b)i a z b b (0,5 điểm) Gọi X là biến cố: “chia 20 bạn thành nhóm A, B, C, D, nhóm bạn cho bạn nữ thuộc cùng nhóm” 5 5 C15 C10C5 cách chia 20 bạn thành nhóm A, B, C, D Ta có C20 0,25 0,25 0,25 5 Xét bạn nữ thuộc nhóm A, có C15 C10C5 cách chia các bạn nam vào nhóm còn lại 5 Do vai trò các nhóm nhau, có 4C15 C10 C5 cách chia các bạn vào các nhóm A, B, C, D đó bạn nữ thuộc nhóm Xác suất cần tìm là: P( X ) C20 3876 0,25 1,00 (4) Xét tam giác ABC có BC AB tan 600 2a S ABC 2a www.VNMATH.com 0,25 1 VS ABCD SA.SABC a 3.2a 2a3 3 0,25 - Gọi N là trung điểm cạnh SA Do SB // (CMN) nên d (SB, CM ) d (SB, (CMN )) d ( B, (CMN )) d ( A, (CMN )) - Kẻ AE MC , E MC và kẻ AH NE , H NE Chứng minh AH (CMN ) d ( A, (CMN )) AH Tính AE 0,25 S AMC đó: MC a.4 a a AM AC.sin CAM 2a 2 AE 13 MC a 13 2a 2a 2a d ( A, (CMN )) d ( SB, CM ) Tính AH 29 29 29 S AMC 0,25 1,00 Do AIB 900 ACB 450 ACB 1350 ACD 450 tam giác ACD vuông cân D nên DA = DC Hơn nữa, IA = IC Suy ra, DI AC đường thẳng AC thỏa mãn điều kiện: AC qua điểm M và AC vuông góc ID 0,25 Viết phương trình đường thẳng AC: x y Gọi A(2a 9; a) AC Do DA 2d ( D, AC ) 10 nên 0,25 a A(7;1) (2a 8)2 (a 1)2 10 a 6a a A(1;5) Theo giả thiết bài cho A(1;5) 0,25 Viết phương trình đường thẳng DB: x + 3y +4 = Gọi B(3b 4; b) Tam giác IAB vuông I nên IA.IB 3(3b 2) 4(b 1) b 2 B (2; 2) Đáp số: A(1;5), B (2; 2) 0,25 1,0 Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I là trung điểm AB, với I (2;3;0) 0,25 AB Phương trình (S): ( x 2) ( y 3) z 0,25 Bán kính (S) là R (5) Gọi M (0;0; t ) Oz Do Vwww.VNMATH.com [ AB, AC ] AM 11 4t MABC = nên 0,25 t M (0;0;1) 11 4t 15 11 4t 15 t 13 M (0;0; 13 ) 11 4t 15 2 0,25 1,00 ĐK: x Với điều kiện đó BPT 6( x 2) 2 x2 x x x2 1 x x 1 3 x2 x 0,25 x2 x x x x x 1 2 t với t Ta có f '(t ) t 1 (t 1) t f '(t ) t Bảng xét dấu Xét hàm số f (t ) 0,25 Suy f (t ) f (1), t [0;+) f (t ) 0, t [0;+) Dấu “=” xảy t = Do x x 0, x [0;+) x x 0, x [0;+) x x 1 1 Dấu “=” xảy x x x Khi đó: x2 1 x 0,25 x2 x 1 x2 x x x 1 x2 x 1 x2 x 1 x x2 x x x 1 0,25 1 Tập nghiệm bất phương trình đã cho là: S [1; ) \ 1,00 Ta có: 2( x y ) z ( xy 7) Do x, y, z là các số dương nên xy – > 2( x y ) Khi đó, từ giả thiết ta z xy 4( x y) Suy ra: S f ( x; y ) x y với điều kiện x 0, y 0, xy (*) xy Với x cố định, xét đạo hàm hàm số f(x;y) theo ẩn y ta được: 4( xy 7) x( x y ) 28 x f y' ( x; y) ( xy 7)2 ( xy 7) f y' ( x; y ) x y 14 xy 21 x y0 7 1 x x 0,25 (6) Suy ra: f ( x; y0 ) x 11www.VNMATH.com 1 x x Xét hàm số g ( x) x 11 11 với x > với g '( x) x x x g '( x) x Khi đó g ( x) g (3) g ( x) 15 Với điều kiện (*), ta có S f ( x; y0 ) g ( x) 15 Vậy S 15 x 3, y 5, z Hết - 0,25 28 x 1 x 0,25 0,25 (7)