Lời cảm ơn! Tôi xin phép đợc bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy giáo trong khoa Vật lý và chuyên ngành Quang học lợng tử đã tạo điều kiện và truyền thụ kiến thức để tôi có thể hoàn thành khoá học. Tôi xin phép đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đối với thầy giáo TS. Võ Thanh Cơng. Thầy đã trực tiếp định hớng và giúp tôi về kiến thức, phơng pháp nghiên cứu cũng nh đã giúp tôi vợt qua mọi khó khăn để hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin đợc bày tỏ lòng biết ơn đối với NGƯT. PGS. TS. Đinh Xuân Khoa, PGS.TS Nguyễn Huy Công, TS. Đinh Phan Khôi, TS. Nguyễn Huy Bằng, TS Nguyễn Việt Hng, TS Mai Văn Lu và các thầy trong hội đồng bảo vệ đã có nhiều đóng góp và chỉ dẫn quý báu để giúp tôi hoàn thành luận văn của mình. Nhân dịp này tôi cũng xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các bạn trong lớp cao học 17 chuyên ngành Quang học đã giúp đỡ tôi trong suốt khóa học. Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Bùi Quốc Dũng MụC LụC Trang Mở đầu 4 CHƯƠNG I: ĐộNG LựC HọC TRONG TƯƠNG TáC GIữA TRƯờNG ĐIệN Từ Và NGUYÊN Tử HAI MứC ở TRạNG tháI CHUYểN TĩNH 8 1.1. Ma trận mật độ 8 1. 2. Phép gần đúng sóng quay (RWA) 12 1.2.1. Sóng quay 12 1.2.2. Phép gần đúng sóng quay 13 1.3. Phơng trình Bloch quang học cho nguyên tử hai mức 16 1.3.1. Phơng trình OBE cho nguyên tử hai mức 16 1.3.2. Các lực tác động lên nguyên tử hai mức trong trờng điện từ 20 1.4. Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình Bloch cho nguyên tử ở trạng thái tĩnh 21 1.5. Nguyên tử hai mức trong sóng dừng 25 Kết luận chơng I 27 CHƯƠNG II: ĐộNG LựC HọC TRONG TƯƠNG TáC GIữA TRƯờNG ĐIệN Từ Và NGUYÊN Tử HAI MứC ở TRạNG thái CHUYểN ĐộNG 28 2.1. Lực tơng tác của trờng điện từ lên nguyên tử hai mức 28 2.2. Các lực trong tơng tác giữa nguyên tử hai mức với trờng điện từ 32 2.2.1. Lực gradient và áp lực phân rã trong tơng tác giữa nguyên tử hai mức và trờng điện từ 32 2.2.2. Các nguyên lí làm lạnh 35 Kết luận chơng II 42 CHƯƠNG III: CHUYểN ĐộNG CủA NGUYÊN Tử HAI MứC TRONG BẫY CủA TRƯờNG ĐIệN Từ 43 3.1. Lực tơng tác nguyên tử hai mức và trờng điện từ 43 3.2. Hệ số khuếch tán 45 3.3. Các đại lợng đặc trng cho bẫy 52 Kết luận chơng III 55 Kết luận chung 56 Tài liệu tham khảo 57 2 Lời Mở ĐầU Kề từ khi laser ra đời năm 1960, laser đã phát triển nhanh chóng với mật độ công suất lớn và tính định hớng cao của chùm laser, trở thành một công cụ mạnh mẽ trong việc khảo sát các hiện tơng mới và đã đợc đề xuất để tiến hành những thí nghiệm trao đổi xung lợng của photon với nguyên tử hoặc phân tử. Vì vậy có thể sử dụng ánh sáng laser để làm thay đổi chuyển động (tăng tốc hoặc giảm tốc) của nguyên tử. V. S. Letokhov đã đề nghị bẫy nguyên tử với trờng điện từ vào năm 1968. Sau đó, năm 1970 A. Ashkin dẫn xuất ra lực áp suất ánh sáng trên một nguyên tử trong cộng hởng với chùm ánh sáng. Làm lạnh bằng laser là hớng nghiên cứu có nhiều thành công lớn trong những năm qua và đợc nhiều ngời quan tâm. Để hiểu sâu sắc bản chất của việc sử dụng laser làm lạnh ta không thể không đề cập đến động lực học của nguyên tử hai mức trong trờng điện từ (laser). Năm 1975, T. W. Họnsch và A. L. Schawlow đã đề xuất rằng ánh sáng laser có thể đợc sự dụng để làm lạnh nguyên tử tự do. Các thử nghiệm thành công đầu tiên của sự làm lạnh bằng laser đợc thực hiện bởi V. I. Balykin và V. S. Letokhov tại Moscow và W. D. Phillips và cộng tác viên của mình tại Gaithersburg những năm 1980. Sự phát triển các phơng pháp làm lạnh bằng laser nhanh chóng xuất hiện, W. D. Phillips, S. Chu và C. Cohen-Tannoudji phát triển để làm lạnh khí dới nhiệt độ giới hạn Doppler và có thể làm lạnh hơi kim loại kiềm xuống nhiệt độ khoảng 100nK cần cho sự ngng tụ Bose -Einstein (BEC). Đầu tiên là S.Chu và các cộng sự của mình tại phòng thí nghiệm Bell Laboratories đã bẫy đợc những nguyên tử chậm vào trong một trờng quang học. Cái bẫy này đã đợc lấp đầy bởi các nguyên tử bị làm lạnh trong một cấu hình laser ba chiều gọi là: sự quánh quang học. 3 Do đó nghiên cứu động lực học của nguyên tử chuyển động là một việc làm cần thiết nhất là cho những ngời bắt đầu nghiên cứu vấn đề này. Đó là lí do tại sao tôi chọn đề tài: Động lực học của nguyên tử hai mức trong trờng điện từ. Trên cơ sở đó nội dung của đề tài đợc trình bày trong ba chơng theo bố cục sau: CHƯƠNG I: ĐộNG LựC HọC TRONG TƯƠNG TáC GIữA TRƯờNG ĐIệN Từ Và NGUYÊN Tử HAI MứC ở TRạNG THáI TĩNH Trong chơng này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản nh sau: - Phơng trình Bloch quang học (OBE) đợc xây dựng từ phơng trình dòng Louville -Von Neumann của cơ lợng tử. Với cách trình bày này các đại lợng thời gian sống dọc và thời gian sống ngang đợc đa vào phơng trình OBE. - Với phép biến đổi Unitar, phép biến đổi hệ cơ sở của các không gian biểu diễn, chúng tôi đã xây dựng một cách có hệ thống định nghĩa và ý nghĩa toán học cũng nh ý nghĩa vật lí của sóng quay và phép gần đúng sóng quay (RWA). - Đa ra một giải pháp tìm nghiệm tổng quát của phơng trình OBE bằng cách quy phơng trình OBE về dạng phơng trình vi phân phi tuyến Riccati, từ đó đa ra lời giải cho một trờng hợp riêng là trờng hợp giao thoa kế Ramsey. - Các loại lực cơ bản để nghiên cứu động học của phơng trình Bloch cũng đợc định nghĩa và tính toán trong chơng. Đề cập tới nguyên tử hai mức trong sóng dừng và các loại lực trong trờng hợp này. CHƯƠNG II: ĐộNG LựC HọC TRONG TƯƠNG TáC GIữA TRƯờNG ĐIệN Từ Và NGUYÊN Tử HAI MứC ở TRạNG thái CHUYểN ĐộNG Trong chơng này chúng tôi giải quyết các vấn đề sau: - Với điều kiện nào thì ta có thể đa khái niệm lực vào lý thuyết lợng tử về tơng tác giữa nguyên tử hai mức và trờng điện từ (TTNTHM&TĐT). 4 - Trờng điện từ không tơng tác với nguyên tử ở trạng thái cơ bản. Trạng thái hai mức của nguyên tử không bền vững do đó giá trị moment dipole có thăng giáng lợng tử. Chúng tôi biện luận điều kiện cần thiết để xem giá trị moment lỡng cực không đổi. - Điều kiện để bài toán TTNTHM&TĐT có thể quy về bài toán va chạm giữa hạt photon với nguyên tử hai mức. Từ đó giải thích tại sao trong TTNTHM&TĐT chỉ có hai lực là lực gradient và áp lực phân rã và giải thích bản chất của các lực này. - Nh vậy lực phải phụ thuộc vào vận tốc, toạ độ, thời gian và nhiều đại l- ợng khác. Tìm các biểu thức tờng minh của các lực - Biện luận về các lực trong cơ chế làm lạnh và xét phụ thuộc của lực và thế năng vào dạng trờng bức xạ, ví dụ nh chùm bức xạ có dạng Gao-xơ và chùm bức xạ tạo thành sóng dừng. CHƯƠNG III: CHUYểN ĐộNG CủA NGUYÊN Tử HAI MứC TRONG BẫY CủA TRƯờNG ĐIệN Từ Dựa trên các kết quả của chơng II chúng tôi đã tính biểu thức chi tiết về các đại lợng đặc trng cho bẫy trong quá trình làm lạnh nh: - Hệ số khuếch tán ánh sáng và tính chi tiết cho các trờng hợp hệ số hệ số khuếch tán ánh sáng phụ thuộc vào thông số bão hoà S. - Thời gian c trú trong bẫy, chiều sâu của bẫy. - Tính chi tiết các thông số đó cho các dạng sóng laser bức xạ khác nhau và đa ra nhận xét loại dạng sóng laser nào làm bẫy tốt hơn. Luận văn đợc hoàn thành dựa trên lý thuyết cơ lợng tử, quang lợng tử và một số kiến thức toán học nh: đại số ma trận, phơng trình vi phân phi tuyến. Các kiến thức đa ra đều là kiến thức cơ lợng tử cơ bản cần thiết cho nghiên cứu làm lạnh bằng phơng pháp bức xạ laser lên nguyên tử hai mức. Hy vọng các kiến thức đó bổ ích cho sinh viên và học viên cao học khi nghiên cứu về vấn đề này. 5 6 chơng I ĐộNG LựC HọC TRONG TƯƠNG TáC GIữA TRƯờNG ĐIệN Từ Và NGUYÊN Tử HAI MứC ở TRạNG THáI TĩNH Trong chơng này chúng tôi trình bày một số vẫn đề cơ bản nh ma trận mật độ, ý nghĩa vật lý và phép biến đổi toán học của phép gần đúng sóng quay, ph- ơng trình Bolch quang học. Phơng trình OBE có thể xây dựng nhiều cách khác nhau và có nhiều phơng pháp giải khác nhau ví dụ nh [1, 2, 3]. Trong phần này chúng tôi chọn phơng pháp xây dựng phơng trình OBE theo phơng trình dòng Louville -Neumann của cơ lợng tử. Với sự lựa chọn đó các đại lợng thời gian sống dọc, thời gian sống ngang đợc đa vào OBE một cách logic và chọn phơng pháp giải phơng trình OBE bằng cách quy về phơng trình vi phân phi tuyến Riccati, từ đó đa ra lời giải cho một trờng hợp vật lí: trờng hợp giao thao kế của Ramsey. Các loại lực cơ bản để nghiên cứu động học của phơng trình Bloch cũng đợc tính toán trong chơng này. Phần cuối chơng chúng tôi đề cập tới nguyên tử hai mức trong sóng dừng và các loại lực trong trờng hợp này. 1.1. Ma trận mật độ Giả sử là hàm sóng mô tả một trạng thái lợng tử. Trong x-biểu diễn hàm sóng (đã chuẩn hóa) có thể viết dới dạng: ( , ) ( ) ( ) n n n x t C t x = (1.1) trong đó n (x) là các hàm riêng của toán tử Hamilton: H n (x) = n n (x). Trong E - biểu diễn, hàm sóng | > biểu diễn dới dạng một ket véctơ theo ký hiệu của Dirac: 7 > = n C C C 2 1 | Với các véctơ Dirac ta có các kí hiệu sau: - Véctơ liên hợp ecmit của | > là một bra véctơ: ), .,,(| ** 2 * 1 n CCC =< . - Tích vô hớng của hai véctơ (2 chiều): , | ,a b c d ac bd< >= + . - Tích tenxơ giữa hai véctơ (2 chiều): | , , | ac ad a b c d bc bd >< = ữ . Các hàm sóng và toán tử Hamilton không tơng tác H 0 trong năng lợng biểu diễn đợc mô tả: 0 0 . 0 1 1 0 0 0 0 . 0 0 1 0 2 |1 0 ; | 2 0 ; | 0 ; 0 0 0 0 3 . . . . . . . 0 0 1 0 0 0 . n H n ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ >= >= >= = , >> = iiH i || 0 (i=1,2, .,n). Ví dụ: Ta xét nguyên tử hai mức không tơng tác với các mức năng lợng 2 và - 2 , lúc đó: 8 | 1> = 0 1 ; |2> = 1 0 ; H 0 = z 2 2 0 0 2 = . Nếu nguyên tử đặt trong trờng ngoài, lúc đó Hamilton toàn phần là: H= xz V V V += 2 2 2 , z x là các ma trận Pauli. Định nghĩa: Tích tenxơ giữa véctơ | > với véctơ liên hợp ecmit của nó trong E - biểu diễn = || >< đợc gọi là ma trận mật độ . Trong x-biểu diễn các phần tử của ma trận mật độ có dạng: mn = C n C m * (1.2) Từ định nghĩa ta có: 1. Phần tử ii là xác xuất đo đợc trạng thái | > có giá trị năng lợng i. 2. Phần tử im là xác xuất quan sát tơng tác giữa trạng thái < m| và | i >. Các phần tử của ma trận mật độ có một số tính chất sau: Tính chất 1: Tr = n nn = 1 (xác suất đo trạng thái | > có các giá trị năng lợng 1, 2 , n bằng 1). Tính chất 2: mn luôn có giá trị không âm. 9 Tính chất 3: Nếu A là toán tử mô tả đại lợng A nào đó thì giá trị trung bình của đại lợng A là < A > = Tr(A) trong đó A là ma trận mô tả toán tử A trong năng lợng biểu diễn [16]: A mn = à * ( , , ) ( , , ) n m x y z A x y z dV (1.3) trong đó ( , , ) n x y z (n = 0, 1, 2, ) là hàm riêng của toán tử Haminton trong x-biểu diễn. Theo định nghĩa, ta có: < A > 11 12 13 1 21 22 23 2 * * *, . * 1 2 3 , 3 31 32 33 . . | | ( , , ). . A . . . n m nm n m A A A C A A A C A C C C C C C A A A ữ ữ ữ ữ =< >= = ữ ữ ữ ữ ữ . (1.4) Kết hợp (1.2) và (1.4), ta đợc kết quả sau: nm mn nn n,m n A A ( A) < >= = = Tr(A). (1.5) Tính chất 4: Ma trận mật độ thoả mãn phơng trình chuyển động dòng của Louville -Neumann: [ ] ,H i dt d = . (1.6) Từ phơng trình Schrodinger: >= > | | H dt d i . (1.7) Ta lấy liên hợp phức hai vế: H dt d i | | =< < . (1.8) Nhân tenxơ (1.7) với <| và (1.8) với |>, rồi cộng hai phơng trình trên, kết quả là: ( ) [ ] ,H i HH i dt d == . (1.9) 10 . Kết luận chơng II 42 CHƯƠNG III: CHUYểN ĐộNG CủA NGUYÊN Tử HAI MứC TRONG BẫY CủA TRƯờNG ĐIệN Từ 43 3.1. Lực tơng tác nguyên tử hai mức và trờng điện từ. TáC GIữA TRƯờNG ĐIệN Từ Và NGUYÊN Tử HAI MứC ở TRạNG thái CHUYểN ĐộNG 28 2.1. Lực tơng tác của trờng điện từ lên nguyên tử hai mức 28 2.2. Các lực trong tơng