CHƯƠNG V BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA TÍN HIỆU Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Cơng nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 / 12 Biến Đổi Fourier Tín Hiệu Khơng Tuần Hồn Mở rộng biểu diễn chuỗi Fourier Xem xét tín hiệu liên tục khơng tuần hồn x(t), ta coi x(t) tín hiệu tuần hồn có chu kỳ T → ∞ (hay ω0 → 0), x(t) biểu diễn chuỗi Fourier sau: +∞ ck ejkω0 t x(t) = lim ω0 →0 k=−∞ đó: ck = lim ω0 →0 T ω0 ω0 →0 2π +T /2 x(t)e−jkω0 t dt −T /2 +π/ω0 = lim Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) x(t)e−jkω0 t dt −π/ω0 Tín hiệu Hệ thống 2009 / 12 Biến Đổi Fourier Tín Hiệu Khơng Tuần Hồn Mở rộng biểu diễn chuỗi Fourier Vì ω0 → nên ω = kω0 biến liên tục, ta viết lại biểu thức trang trước sau: +∞ x(t) = lim ω0 →0 ω0 c(ω)ejωt dω −∞ +∞ = lim ω0 →0 −∞ c(ω) jωt e dω ω0 đó, c(ω) hàm theo tần số liên tục xác định sau: ω0 c(ω) = lim ω0 →0 2π Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) +π/ω0 x(t)e−jωt dt −π/ω0 Tín hiệu Hệ thống 2009 / 12 Biến Đổi Fourier Tín Hiệu Khơng Tuần Hồn Biến đổi Fourier Đặt X (ω) = 2πc(ω)/ω0 , có cơng thức biến đổi Fourier tín hiệu x(t): +∞ x(t)e−jωt dt X (ω) = F[x(t)] = −∞ công thức biến đổi Fourier nghịch: x(t) = F Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) −1 [X (ω)] = 2π Tín hiệu Hệ thống +∞ X (ω)ejωt dω −∞ 2009 / 12 Biến Đổi Fourier Tín Hiệu Khơng Tuần Hồn Biến đổi Fourier Cách biểu diễn khác biến đổi Fourier tín hiệu x(t), với biến tần số f thay cho tần số góc ω: +∞ x(t)e−j2πft dt X (f ) = −∞ công thức biến đổi Fourier nghịch tương ứng: +∞ X (f )ej2πft df x(t) = −∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 / 12 Biến Đổi Fourier Tín Hiệu Khơng Tuần Hồn Biến đổi Fourier Hàm X (ω) gọi phổ (Fourier) tín hiệu x(t) theo tần số Hàm biểu diễn |X (ω)| = Re[X (ω)]2 + Im[X (ω)]2 gọi phổ biên độ tín hiệu x(t) theo tần số Hàm φ(ω) = arctan[Im[X (ω)]/Re[X (ω)]] gọi phổ pha tín hiệu x(t) theo tần số Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 / 12 Biến Đổi Fourier Tín Hiệu Khơng Tuần Hồn Điều kiện hội tụ Điều kiện để biến đổi Fourier thuận nghịch tín hiệu x(t) tồn x(t) phải tín hiệu lượng, nghĩa là: +∞ |x(t)|2 dt < ∞ −∞ Điều kiện để tín hiệu khơi phục từ biến đổi Fourier x(t) hội tụ x(t) điểm (ngoại trừ điểm không liên tục) (điều kiện Dirichlet): +∞ −∞ |x(t)|dt < ∞ Số điểm cực trị x(t) hữu hạn Số điểm không liên tục x(t) hữu hạn Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 / 12 Biến Đổi Fourier Tín Hiệu Khơng Tuần Hồn Các tính chất biến đổi Fourier Tính tuyến tính: F[αx1 (t) + βx2 (t)] = αX1 (ω) + βX2 (ω) Dịch thời gian: F[x(t − t0 )] = X (ω)e−jωt0 Dịch tần số: F[x(t)ejγt ] = X (ω − γ) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 / 12 Biến Đổi Fourier Tín Hiệu Khơng Tuần Hồn Các tính chất biến đổi Fourier Co giãn trục thời gian: F[x(at)] = ω X |a| a Đạo hàm: F dx(t) = jωX (ω) dt Tích phân: t F x(τ )dτ = −∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống X (ω) jω 2009 / 12 Biến Đổi Fourier Tín Hiệu Khơng Tuần Hồn Các tính chất biến đổi Fourier Biến đổi Fourier tích chập: F[f (t) ∗ g(t)] = F (ω)G(ω) Biến đổi Fourier tích thường (điều chế): F[f (t)g(t)] = Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) F (ω) ∗ G(ω) 2π Tín hiệu Hệ thống 2009 10 / 12 Biến Đổi Fourier Tín Hiệu Khơng Tuần Hồn Các tính chất biến đổi Fourier Công thức Parseval: +∞ |x(t)| dt = 2π +∞ |X (ω)|2 dω −∞ −∞ Giá trị |X (ω)|2 coi đại diện cho lượng tín hiệu thành phần ejωt tín hiệu x(t) → hàm biểu diễn |X (ω)|2 theo tần số ω cho ta biết phân bố lượng tín hiệu x(t) gọi phổ mật độ lượng x(t) Chú ý: phổ mật độ lượng tín hiệu khơng tuần hồn hàm theo tần số liên tục Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 11 / 12 Biến Đổi Fourier Tín Hiệu Khơng Tuần Hồn Các tính chất biến đổi Fourier Tính đối xứng: Phổ mật độ lượng x(t) hàm chẵn, nghĩa là: ∀ω : |X (ω)|2 = |X (−ω)|2 Nếu x(t) tín hiệu thực: ∀ω : X (ω) = X ∗ (−ω) Nếu x(t) tín hiệu thực chẵn: X (ω) hàm chẵn, nghĩa ∀ω : X (ω) = X (−ω) Nếu x(t) tín hiệu thực lẻ: X (ω) hàm lẻ, nghĩa ∀ω : X (ω) = −X (−ω) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 12 / 12 ... (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống X (ω) jω 2009 / 12 Biến Đổi Fourier Tín Hiệu Khơng Tuần Hồn Các tính chất biến đổi Fourier Biến đổi Fourier tích chập: F[f (t) ∗ g(t)] = F (ω)G(ω) Biến đổi Fourier. .. (VNU - ColTech) +π/ω0 x(t)e−jωt dt −π/ω0 Tín hiệu Hệ thống 2009 / 12 Biến Đổi Fourier Tín Hiệu Khơng Tuần Hồn Biến đổi Fourier Đặt X (ω) = 2πc(ω)/ω0 , có cơng thức biến đổi Fourier tín hiệu x(t):... )ej2πft df x(t) = −∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu Hệ thống 2009 / 12 Biến Đổi Fourier Tín Hiệu Khơng Tuần Hoàn Biến đổi Fourier Hàm X (ω) gọi phổ (Fourier) tín hiệu x(t) theo tần số Hàm biểu