Mục lục Trang Mở đầu 2 Chơng 1. Tổng quan về một số lớp nhóm cơ bản 1.1. Nhóm đầy đủ và đầy đủ yếu 4 1.2. Nhóm trừu tợng lũy linh và nhóm trừu tợng lũy linh địa phơng 6 1.3. Nhóm tôpô 11 1.4. Nhóm con , ứơc chuẩn, nhóm thơng của nhóm tôpô 13 1.5. Đồng cấu, đẳng cấu 16 1.6. Nhóm compact và compact địa phơng 19 1.7. Nhóm liên thông và hoàn toàn không liên thông 22 Chơng 2. Nhóm lũy linh địa phơng tôpô 2.1. Tính compact của nhóm lũy linh địa phơng tôpô 24 2.2. Các phần tử compact của nhóm lũy linh địa phơng tôpô 32 2.3. Tập hợp các phần tử có cấp hữu hạn của nhóm lũy 35 linh địa phơng tôpô Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 1 Mở đầu Trong lí thuyết nhóm tuyến tính đầy đủ GL(n,C), trong số những ngời quan tâm nghiên cứu các tính chất của tập hợp các phần tử cấp hữu hạn phải kể đến Suprunenko [10]. Trong đó tác giả đã chứng minh đợc trong nhóm tuyến tính đủ đủ GL(n,C) các nhóm con xoắn cực đại chia ra một số hữu hạn lớp liên hợp. Trong nhóm tôpô vấn đề tơng tự nh tập hợp các phần tử có cấp hữu hạn trong nhóm trừu tợng, đó là tập các phần tử compact trong nhóm tôpô. Kết quả nghiên cứu về tính chất của tập hợp các phần tử compact của nhóm tôpô phải kể đến kết quả của V-P.Platonov [5], Nguyễn Quốc Thi [9], [11] và Lê Quốc Hán [7], [8], trên một số nhóm tôpô cụ thể . Nhóm lũy linh địa phơng tôpô đó là nhóm tôpô mà bao đóng của nhóm con hữu hạn sinh bất kỳ của nó là một nhóm luỹ linh, đóng một vai trò hết sức quan trọng. Việc nghiên cứu lớp nhóm này không những bổ ích cho việc nghiên cứu lý thuyết nhóm tôpô mà cho cả lý thuyết nhóm trừu tợng . Thông qua nghiên cứu nó, ta thấy mối quan hệ giữa nhóm luỹ linh địa phơng tôpô với các lớp nhóm khác : Nhóm sinh ra bởi tập compact, nhóm tôpô đầy đủ, nhóm tôpô liên thông, nhóm tôpô hoàn toàn không liên thông, Nội dung của luận văn bao gồm hai chơng: Chơng 1. Tổng quan về một số lớp nhóm cơ bản. Trong chơng này chúng tôi nhắc lại các khái niệm cơ bản của nhóm đầy đủ, nhóm trừu tợng lũy linh và nhóm trừu tợng lũy linh địa phơng, nhóm tôpô, nhóm con, ớc chuẩn, nhóm thơng của nhóm tôpô, nhóm compact và compact địa phơng, nhóm liên thông và nhóm hoàn toàn không liên thông. Chơng 2. Nhóm lũy linh địa phơng tôpô. Đây là nội dung chính của luận văn, trong chơng này sau khi định nghĩa nhóm lũy linh địa phơng tôpô và một số khái niệm liên quan đến vấn đề trọng tâm của chơng, chúng tôi đi vào nghiên cứu: Khi nào một nhóm lũy linh địa phơng tôpô là nhóm compact, các tính chất của nhóm lũy linh địa phơng tôpô, các phần tử compact của nhóm lũy linh địa phơng tôpô, tập hợp các phần tử có cấp hữu hạn của nhóm lũy linh địa phơng tôpô. 2 Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của GS.TS Nguyễn Quốc Thi. Nhân dịp này, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, thầy đã dành cho tôi sự chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái . Xin chân thành cảm ơn tới các thầy : PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, TS. Nguyễn Thành Quang, PGS.TS. Nguyễn Quí Di, PGS.TS Lê Quốc Hán và các thầy cô trong tổ Đại số đã đọc và góp ý kiến cho luận văn, với những gì các thầy đã chỉ bảo cho tôi, tôi không thể nào quên, để rút ra bài học bổ ích trên con đ- ờng nghiên cứu khoa học của mình. Trong thời gian làm luận văn, tôi đã cố gắng hết sức, song vì khả năng có hạn nên trong luận văn chắc chắn còn có nhiều thiếu sót, kính mong sự góp ý của các thầy, cô và các bạn, xin chân thành biết ơn. Tác giả. 3 Chơng 1. Tổng quan về một số lớp nhóm cơ bản 1.1. Nhóm đầy đủ và đầy đủ yếu 1.1.1. Định nghĩa. Một nhóm G đợc gọi là nhóm đầy đủ (hoặc là chia đợc) nếu với gG, nN * , phơng trình x n = g có nghiệm trong G. Nhóm G đợc gọi là đầy đủ yếu nếu với gG, nN * , tồn tại các phần tử g 1 ; g 2 ; ; g k G sao cho g = g 1 n . g 2 n g k n . Nói cách khác, nhóm G sinh ra bởi lũy thừa bậc n của các phần tử của G. Nhận xét : Nếu nhóm G đầy đủ thì đầy đủ yếu, ngợc lại chỉ đúng khi G aben. 1.1.2.Định lí. Giả sử G là nhóm hữu hạn . Khi đó G không phải là nhóm đầy đủ yếu, do đó cũng không đầy đủ. Chứng minh. Giả sử G là nhóm hữu hạn có k phần tử (k >1). Nếu G đầy đủ yếu thì nó sẽ đợc sinh ra bởi các lũy thừa bậc k của các phần tử trong G: G = { g 1 k . g 2 k g k k } = {e} Ord(G) = 1 trái với giả thiết k >1. Vậy G không đầy đủ yếu và do đó G không đầy đủ. 1.1.3.Mệnh đề. Nhóm thơng của một nhóm đầy đủ (đầy đủ yếu) là một nhóm đầy đủ (đầy đủ yếu). ảnh đồng cấu của một nhóm đầy đủ (đầy đủ yếu) là một nhóm đầy đủ (đầy đủ yếu). Chứng minh. Giả sử G là một nhóm đầy đủ . Thế thì với gG và nN * , phơng trình x n = g có nghiệm trong G. Giả sử nghiệm đó là x 0 .Ta có x 0 n = g. Xét một nhóm thơng H G nào đó của G theo ớc chuẩn H thì: x 0 n .H = g.H (x 0 .H) n 4 = g.H, đẳng thức này chứng tỏ x 0 .H là nghiệm của phơng trình (x.H) n = g.H; với g.H là phần tử bất kì trong H G và n N * , nghĩa là nhóm H G đầy đủ. Giả sử G đầy đủ yếu. Thế thì mỗi phần tử trong G đều biểu thị đợc qua lũy thừa bậc nN * bất kì của các phần tử trong G. Giả sử : g = g 1 n .g 2 n g k n ; g i G, i = 1, k ; Ta có g.H = (g 1 n .g 2 n g k n ).H = g 1 n .g 2 n g k n .H = (g 1 n .H).(g 2 n .H)(g k n .H) = (g 1 .H) n .(g 2 .H) n (g k .H) n . Đẳng thức này chứng tỏ H G đầy đủ yếu. Bây giờ ta giả sử rằng f:GG là một đồng cấu nhóm từ một nhóm G đầy đủ đến một nhóm G. Ta sẽ chứng minh f(G) là một nhóm đầy đủ. Thật vậy, theo kết quả của lí thuyết nhóm trừu tợng thì f(G) là nhóm , vậy ta chỉ cần chứng minh f(G) đầy đủ. Giả sử g G và nN * . Ta xét phơng trình trong G: y n = g (1). Giả sử x = f -1 (y) và g = f -1 (g). Do G đầy đủ nên phơng trình x n = g (2), luôn có nghiệm trong G.Do f đồng cấu nên x n =[f -1 (y)] n =f -1 (y)f -1 (y)=f -1 (y n ) và phơng trình (2) đợc viết là : f -1 (y n ) = f -1 (g) (3) Phơng trình (3) luôn có nghiệm vì phơng trình (2) luôn có nghiệm trong G. Gọi nghiệm của (3) là y 0 .Ta có f -1 (y 0 n ) = f -1 (g) hay y 0 n = g (4). Đẳng thức (4) chứng tỏ y 0 là nghiệm của phơng trình(1), nghĩa là f(G) đầy đủ. Bây giờ ta chứng minh khẳng định cuối của mệnh đề, tức là nếu G đầy đủ yếu thì f(G) cũng đầy đủ yếu. Giả sử g f(G) , vậy thì tồn tại gG sao cho f(g) = g. Do G đầy đủ yếu nên g có thể viết g = g 1 n .g 2 n g k n ; g i G, i = 1, k. f(g)= f n (g 1 ) .f n (g 2 )f n (g k ). Đặt f(g i ) = g i ; i = 1, k . g = (g 1 ) n .(g 2 ) n (g k ) n f(G) đầy đủ yếu. 5 1.2. Nhóm trừu tợng lũy linh và nhóm trừu tợng lũy linh địa phơng. 1.2.1. Dãy bất biến(chuẩn tắc), dãy á chuẩn. Giả sử G là nhóm. Dãy E = G 0 G 1 G n = G , trong đó G i là nhóm con của G i+1 (i = 0,1,,n-1) (1), đợc gọi là dãy bất biến (chuẩn tắc) nếu G i là ớc chuẩn của G ( i = 1,2,,n). Dãy (1) gọi là dãy á chuẩn nếu G i1 là ớc chuẩn của G i (i = 1,2,,n). Dãy G = G 0 G 1 G n = E , trong đó G i+1 là nhóm con của G i ( i = 0,1,,n-1), đợc gọi là dãy tâm dới của nhóm G, nếu G 1 =G=[G,G]; G 2 =[G 1 ,G];.;G i+1 =[G i ,G], với i = 0,1,,n-1. Dãy E = Z 0 Z 1 Z r+1 = G, trong đó Z i là ớc chuẩn của Z i+1 (i= 0,1,,r), đợc gọi là dãy tâm trên của nhóm G, nếu : 1-i i Z Z là tâm của 1-i Z G ; với i = 1,,r+1. 1.2.2. Mệnh đề. Giả sử G là một nhóm với dãy bất biến (á chuẩn) (1) thế thì ta có : i) Nếu H là nhóm con của G , thì E = H 0 H 1 . H n = H, trong đó H i = G i H;(i = 0,1,,n) là một dãy bất biến (á chuẩn) của H, hơn nữa nhóm thơng i 1i H H + là nhóm con của i 1i G G + ; (i=0,1,,n-1). ii) Nếu H là ớc chuẩn của G thì khi lấy ảnh của các thành phần của dãy (1) qua đồng cấu tự nhiên p:G H G , chúng ta nhận đợc dãy bất biến (á chuẩn) trong H G : E = G 0 G 1 G n = H G , trong đó G i = H G i , hơn nữa nhóm thơng i 1i G G + là ảnh của nhóm thơng i 1i G G + ; ( i = 0,1,, n-1). 6 Chứng minh. Xem [1] 1.2.3. Định nghĩa. Giả sử trong nhóm G có một dãy bất biến (1) , dãy (1) gọi là dãy tâm nếu với i = 0,1,,n-1 nhóm thơng i 1i G G + thuộc vào tâm của nhóm thơng i G G , nói cách khác : [G i+1 ,G] G i . Nhóm có một dãy tâm nh vậy đợc gọi là nhóm lũy linh. Nhận xét: Một nhóm aben thì lũy linh, mọi nhóm lũy linh đều là nhóm giải đợc. 1.2.4. Mệnh đề. p nhóm hữu hạn là nhóm lũy linh. Nhóm G hữu hạn là nhóm lũy linh khi và chỉ khi G là tích trực tiếp các nhóm con Sylow. Chứng minh. Theo định lý về sự tồn tại tâm khác đơn vị của p-nhóm hữu hạn. Với dãy tâm trên của p chuyển đến nhóm p tức p lũy linh, do đó suy ra tích trực tiếp các p nhóm hữu hạn là nhóm lũy linh . Giả sử G là nhóm lũy linh hữu hạn, p là p- nhóm con Sylow của G, khi đó chuẩn tập N(p) trùng với chuẩn tập của nó, N G (p) = G tức là p là ớc chuẩn của G. Bởi vì các nhóm con Sylow đều là ớc chuẩn nên suy ra G là tích trực tiếp các nhóm con Sylow. 1.2.5. Mệnh đề. Nhóm hữu hạn lũy linh khi và chỉ khi tất cả nhóm con tối đại bất biến. Chứng minh. Ta có nhóm con tối đại của nhóm lũy linh là nhóm con bất biến. Mặt khác chuẩn tập N G (p) của nhóm con Sylow p không thể chứa trong nhóm con bất biến thực sự của G. Vậy nên các nhóm con tối đại bất biến thì p là ớc chuẩn của G và G là tích trực tiếp các nhóm con Sylow. 1.2.6.Mệnh đề. Nhóm con và nhóm thơng của nhóm lũy linh là lũy linh. Chứng minh. 7 Giả sử H là nhóm con của nhóm G, do G là nhóm lũy linh nên ta có dãy tâm E = G 0 G 1 G n = G . Ta chứng minh H lũy linh hay H có dãy tâm. Đặt B i = G i H, i = 0,1,,n. Do G i là dãy tâm nên ta có [G i+1 ,G]G i suy ra [B i+1 ,H] [G i+1 ,G] H G i H = B i , vậy ta có dãy: E =B 0 B 1 B n = H, với [B i+1 ,H] B i , suy ra H có dãy tâm. Chứng minh H G lũy linh. Ta có một nhóm thơng bất kì của nhóm G bao giờ cũng đẳng cấu với G , là ảnh của G qua , trong đó là tích của đồng cấu tự nhiên từ G lên nhóm thơng với đẳng cấu này. Kí hiệu ảnh của G i là i G (i = 0,1,,n), giả sử g i+1 và g là các phần tử tơng ứng thuộc 1i G + và G (i= 0,1,,n-1) còn g i + 1 và g là các tạo ảnh nào đó của chúng trong G i+1 và G đối với đồng cấu tức là : (g i+1 ) = g i+1 , (g) = g vì [G i+1 , G] G i nên [g i+1 ,g]G i và [g i+1 , g] = ([g i+1 ,g]) G i , các nhóm con G i (i=0,1, .,n) lập thành một dãy tâm của G nên suy ra G lũy linh. 1.2.7. Mệnh đề. Cho dãy tâm dới: G = G 0 G 1 G n = E. Thế thì ta có, nhóm th- ơng 1k k G G + thuộc vào tâm 1k G G + . Chứng minh. Giả sử g k G k+1 1k k G G + và gG k+1 1k G G + xét hoán tử gG k+1 .g k G k+1 g -1 G k+1 .g -1 k G k+1 = g.g k .g -1 .g -1 k G k+1 = G k+1 vì G k+1 là ớc chuẩn của G suy ra g.g k .g -1 .g -1 k G k+1 hay 1k k G G + C( 1k G G + ). 1.2.8. Hệ tâm. Tổng quát hóa khái niệm dãy tâm là khái niệm hệ tâm: Đó là một hệ bất biến U = [G ] của nhóm G sao cho mỗi bớc G , G +1 của hệ này ta đều 8 có bao hàm thức [G +1 ,G] G , hay nói cách khác nhóm thơng 1 G G + thuộc vào tâm của nhóm G G . 1.2.9. Định nghĩa. Nhóm có một hệ tâm đợc gọi là nhóm lũy linh tổng quát. 1.2.10. Định nghĩa. Nhóm G đợc gọi là nhóm lũy linh địa phơng nếu mọi nhóm con hữu hạn sinh của nó là nhóm lũy linh. 1.2.11. Mệnh đề. Nhóm lũy linh tổng quát là nhóm lũy linh địa phơng. Chứng minh. Giả sử đã cho một nhóm G lũy linh tổng quát với dãy tâm tăng: E=Z 0 Z 1 Z =G(3), khi đó dãy tâm có độ dài , ta qui nạp theo . Với = 1, khi đó G aben, định lí hiển nhiên đúng. Giả sử định lí đúng với những nhóm có độ dài nhỏ hơn . Lấy trong G một hệ hữu hạn các phần tử : a 1 , a 2 ,,a n (4) . Nếu là số lớn nhất thì các phần tử của (4) sẽ thuộc vào một nhóm con Z nào đó, < và bởi vì nhóm con này có độ dài của dãy tâm tăng mà < nên theo giả thiết qui nạp { a 1 , a 2 ,,a n } lũy linh. Bây giờ ta giả sử không phải là số lớn nhất. Khi đó tồn tại một số lớn nhất và một số tự nhiên k sao cho = + k. Lấy tất cả các hoán tử liên tiếp dạng [[[a,a],a],,a] với sự chọn k+1 phần tử khác nhau trong hệ (4). Số các hoán tử nh vậy là hữu hạn và tất cả các hoán tử đó đều thuộc Z bởi vì lại là số lớn nhất trong một nhóm con Z nào đó , < giả sử H={Z , a 1 ,a 2 ,,a n }, ta có thể xây dựng dãy tâm trên trong H bằng cách sau: Bắt đầu dãy này là đoạn từ E đến Z của dãy (3) , tiếp theo là Z +1 t- ơng ứng với tâm của nhóm thơng G/Z +1 , sau đó đến Z +2 tơng ứng với tâm 9 của nhóm thơng G/Z +2 và cứ tiếp tục nh thế , bởi vì nhóm con Z +1 chứa tất cả các hoán tử liên tiếp của k phần tử của hệ (4) nên nhóm con Z +2 chứa tất cả các hoán tử liên tiếp của k 1 phần tử của hệ (4) và tiếp tục nh thế . Bằng cách nh vậy, dãy tâm tăng đi đến H không quá k bớc mà độ dài không vợt quá + k . Bởi vì là số lớn nhất, còn < , nên +k thực sự nhỏ hơn và hơn nữa còn nhỏ hơn . Từ đó theo giả thiết qui nạp suy ra tính lũy linh của nhóm con { a 1 , a 2 ,,a n } (đpcm). 10 . quan hệ giữa nhóm luỹ linh địa phơng tôpô với các lớp nhóm khác : Nhóm sinh ra bởi tập compact, nhóm tôpô đầy đủ, nhóm tôpô liên thông, nhóm tôpô hoàn toàn. một nhóm lũy linh địa phơng tôpô là nhóm compact, các tính chất của nhóm lũy linh địa phơng tôpô, các phần tử compact của nhóm lũy linh địa phơng tôpô,