Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Nguyễn Thị Nga Nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều Luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2010 1 Mục lục Trang Lời nói đầu 2 Chơng I. Nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt 4 1.1. Tập sinh của nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt 4 1.2. Nhóm con chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt 10 Chơng II: Nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều.19 2.1. Một số tính chất của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều trên trờng đóng đại số . 19 2.2. Nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều 23 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 2 Lời nói đầu Nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt là những lớp nhóm đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết nhóm nói riêng và trong Đại số hiện đại nói chung. Chúng đã đợc nhiều tác giả nghiên cứu và đạt đợc nhiều thành tựu sâu sắc trong trờng hợp tổng quát. Tuy nhiên bài toán tìm các nhóm con của các lớp đó trong trờng hợp cụ thể vẫn luôn là bài toán hấp dẫn và đợc nhiều tác giả quan tâm. Dựa trên các tài liệu Group Theory của M.Suzuki xuất bản năm 1982 và Combinatorial Group Theory của C.F. Miller III xuất bản 2004, chúng tôi tìm hiểu cấu trúc các nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều trên trờng đóng đại số nói chung và trờng hữu hạn nói riêng. Luận văn đợc chia làm hai chơng: Chơng 1. Nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt. Trong chơng này, dựa trên kết quả bài toán tìm tập sinh của các nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt, chúng tôi đã chứng minh đợc một số tính chất của nhóm con chuẩn tắc của các lớp nhóm này. Chơng 2. Nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều. Trong chơng này, sau khi tìm hiểu một số tính chất của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều, chúng tôi trình bày các kết quả mô tả các nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính đặc biệt hai chiều trên trờng hữu hạn. Luận văn đợc thực hiện dới sự hớng dẫn của PGS. TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy đã tận tình chỉ dẫn chúng tôi trong học tập và tập dợt nghiên cứu khoa học. Thầy đã đặt vấn đề và trực tiếp h- ớng dẫn chúng tôi hoàn thành Luận văn. 3 Tác giả xin chân thành biết ơn ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Tổ Đại số và PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng; PGS. TS. Nguyễn Thành Quang; PGS. TS. Lê Quốc Hán; TS. Nguyễn Thị Hồng Loan cùng quý thầy cô trong khoa toán của Đại học Vinh đã nhiệt tình chỉ dẫn và giúp đỡ để tôi hoàn thành Luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận đợc sự đóng góp quý báu từ thầy cô giáo cùng các bạn trong lớp. Vinh, tháng 10 năm 2010. Tác giả 4 Chơng I. Nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt 1.1. Tập sinh của các nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử F là một trờng tùy ý và n là một số tự nhiên cố định. Nhóm đợc tạo thành từ tập hợp tất cả các ma trận không suy biến cỡ nxn với phép toán ma trận đợc gọi là nhóm tuyến tính tổng quát cấp n trên trờng F; nó đợc ký hiệu là GL(n, F). Tập hợp các ma trận có định thức bằng 1 tạo thành một nhóm con đợc gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt và đợc ký hiệu là SL (n, F). Nếu F là trờng hữu hạn gồm q phần , chúng ta sử dụng một số ký hiệu đặc biệt và viết GL (n, q) thay cho G (n, F), SL (n, q) thay cho SL (n, F) với F = F q . Chúng ta sẽ giải quyết 2 bài toán sau: (I) Tìm một tập hợp các phần tử sinh thích hợp (II) Xác định tất cả các nhóm con chuẩn tắc của nhóm tuyến tính tổng quát và nhóm tuyến tính đặc biệt trên trờng F. Bài toán (I) có thể đợc giải quyết bằng cách sử dụng kết quả sơ cấp trong đại số tuyến tính. Chúng ta sẽ cố định trờng cơ sở F và một số tự nhiên n. Giả sử I là ma trận đơn vị, E ij là ma trận cỡ n x n sao cho thành phần (i, j) là 1 còn tất cả các thành phần khác đều bằng 0 và đối với phần tử của F và i j. Giả sử ij () = I + E ij 5 Giả sử A là ma trận cỡ n x n với các thành phần trong F, phép nhân trái của ij () với A cho ta một phép toán cộng lần dòng thứ j của A vào dòng thứ i của A. Tơng tự phép nhân phải của ij tạo thành một phép toán cộng thêm lần cột thứ j của A. Đó là phép toán sơ cấp trên các dòng và cột. Một định lý trong đại số tuyến tính khẳng định rằng ma trận vuông không suy biến có thể đ- ợc đa về một ma trận đờng chéo D = 1 0 1 0 1 , = det A 0 bằng một số hữu hạn phép toán sơ cấp trên các dòng đã đợc mô tả ở trên. Hơn nữa: B ij () -1 = B ij (-) (i j) Do đó, ma trận tùy ý có định thức bằng 1 có thể đợc viết dới dạng một tích các ma trận dạng B ij () (i = j, F), mà một ma trận tùy ý với định thức có thể đợc viết dới dạng một tích hữu hạn các ma trận B ij () và ma trận D đã đợc xác định ở trên. Vì B ij () SL (n, F) nên từ lập luận trên ta suy ra định lý sau đây. 1.1.2. Định lý . Ta có SL (n, F) = < B ij ( ), i j, F, F * > GL(n,F) = < B ij ( ), D , i j, F, F * > Tơng ứng A det A là một đẳng cấu từ GL (n, F) lên nhóm nhân F * của F. Theo định lý đồng cấu ta có: 1.1.3. Mệnh đề. SL (n, F) GL (n, F) và nhóm thơng GL (n, F) / SL (n, F) đẳng cấu với nhóm nhân F * của trờng cơ sở F. Sẽ thuận lợi hơn nếu chúng ta dùng hình học để nghiên cứu nhóm GL(n,F). Giả sử V là không gian véc tơ n chiều trên trờng F, chúng ta sẽ viết tập hợp 6 tất cả các phép biển đổi tuyến tính từ V lên V là GL (V). Các phần tử của GL (V) thực tế là các đẳng cấu từ V lên V, do đó hợp thành của hai phần tử f và g của GL (V) cũng là một phần tử của GL (V). Với phép hợp thành nh là một phép toán, GL (V) tạo thành một nhóm. Nh đã học trong đại số tuyến tính sơ cấp, tác động của một phần tử tùy ý thuộc GL (V) có thể đợc biểu diễn bởi một ma trận với thành phần trong F. Chúng ta sẽ tóm tắt sơ bộ liên kết này giữa các phép biến đổi tuyến tính và các ma trận. Giả sử { v 1 , . v n } là một cơ sở của không gian véc tơ V. Đối với phần tử tùy ý f GL (V), đặt: f (v i ) = 1 . n ij j f v = Các hệ số ij là các phần tử của F, ma trận ( ij ) cỡ n x n là một biểu diễn của phép biến đổi tuyến tính f, ta viết: ij = M f . Nếu g là một phần tử khác của GL (V) và nếu g(v j ) = 1 . n jk k k v = thì M g = ( jk ) là ma trận biển diễn g. Ta có: fg (v i ) = g (f(v i )) = g ( ij . v j ) = ij . g(v j )= ij . jk . v k Nh vậy công thức M fg = M f . M g đúng với f . g GL (V). Trong công thức này, vế phải là phép nhân ma trận M f và M g . Hàm đồng nhất của V tơng ứng với ma trận đơn vị. Do đó, nếu g là nghịch đảo của f thì M f . M g = I và chứng tỏ rằng M f không suy biến. Nh vậy ma trận không suy biến cỡ n x n (M = ( ij )) với các thành phần trên F đã đợc cho, rõ ràng tồn tại một phép biến đổi tuyến tính f sao cho: M = M f (nếu chúng ta xác định f bởi công thức trên f(v i ) = 1 . n ij j f v = và mở rộng tuyến tính). Do đó chúng ta có đẳng cấu sau: 1.1.4. Mệnh đề. GL (V) GL (n, F). 7 Một trong các đẳng cấu đợc cho bởi tơng ứng f M f . Đẳng cấu đó không phải là duy nhất vì nó phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của V. Thực ra, nếu {v 1 , v 2 , . v n } là một cơ sở khác của không gian vectơ V, chúng ta có: v i = 1 . n ij j f S v = Tơng tự v k = 1 . ' n kl l i t v = , trong đó T = (t kl ) là ma trận nghịch đảo của ma trận (s ij ). Do đó nếu f (v i ) = 1 ' . n ij j f v = thì f M f = ( ij ) là một đẳng cấu từ GL (V) lên GL (n, F), và ta có: M f = T -1 M f T. Công thức này chứng tỏ rằng: det M f = M f . Nh vậy, định thức của ma trận tơng ứng không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở của V. Do đó ta có thể định nghĩa nhóm tuyến tính đặc biệt nh một nhóm con của nhóm GL (V) chứa các phép biến đổi tuyến tính tơng ứng với ma trận có định thức bằng 1. Chúng ta xét một siêu phẳng của V. Đó là một không gian con với đối chiều bằng 1, đợc sinh bởi n 1 véc tơ độc lập tuyến tính. Một phép biến đổi tuyến tính thuộc SL (V) đợc gọi là phép co rút nếu nó khác đơn vị, nhng cố định tất cả các véc tơ của một siêu phẳng của V. Giả sử {v 1 , v 2 , ., v n } là 1 cơ sở của V. Thế thì phép biến đổi tuyến tính t đợc biểu diễn bởi B ij (), với cơ sở đó là một phép co rút. Thực ra, nếu H là ký hiệu siêu phẳng đợc sinh bởi v 1 , v i-1 , v i+1 , ., v n (tất cả các thành phần của cơ sở trừ v i ) thì t cố định tất cả các phần tử của H và t là một phép co rút, cho bởi 0. Nh vậy ta có thể phát biểu. 1.1.5. Mệnh đề. Nhóm SL (V) đợc sinh bởi các phép co rút. Từ các lập luận trên đây suy ra rằng đối với một siêu phẳng H của V và một không gian con một chiều tùy ý V của H, tồn tại một phép co rút t sao cho t cố định tất cả các phần tử của H và V = (t - 1) V. Thực tế nếu ta đã chọn một 8 cơ sở của V sao cho v 1 H và v 2 V {0} và các phần tử còn lại v 3 , .,v n nằm trong H, thế thì phép biến đổi tuyến tính đợc biểu diễn bởi ma trận B 12 () là một phép co rút với các tính chất đòi hỏi. Ngợc lại, giả sử t là một phép co rút. Chúng ta chứng tỏ rằng tồn tại một cơ sở {v i } của V sao cho t đợc biểu diễn bởi ma trận B 12 () theo cơ sở của {v i }. Theo định nghĩa t cố định mỗi phần tử của siêu phẳng H. Hơn nữa, tồn tại một phần tử u thuộc V sao cho t(u) u, nh vậy V = H + Fu. Vì t SL (V) nên t(u) u H. Do đó ta có thể chọn một cơ sở của V sao cho: V 1 = u, v 2 = t(u) u và v 3 , ., v n H Với cơ sở {v i } này, t đợc biểu diễn bởi B 12 (). Tổng quát, giả sử f và g là hai phần tử của GL (V) sao cho ma trận M f biểu diễn f với cơ sở {v i } của V đồng nhất với ma trận M g biểu diễn g với cơ sở {v i } khác. Giả sử T là ma trận chuyển cơ sở {v i } thành cơ sở {v i }. Với cơ sở {v i }, phần tử g đợc biểu diễn bởi ma trận M g sao cho M g = T -1 M g T. Vì M g đồng nhất với M f nên T -1 M g T = M f . Thế thì tất cả các ma trận không suy biến có thể đợc viết dới dạng M x (x GL (V)). Do đó giả sử T = M x và x -1 gx = h. Ta có: M f = T -1 M g T = M x -1 M g M x = M h . Từ đó ta nhận đợc: f = h = x -1 g x. Nh vậy, chúng ta đã chứng minh đợc phần đầu mệnh đề sau: 1.1.6. Mệnh đề. Hai cái co rút liên hợp với nhau trong GL (V). Nếu n=dim V 3, thì các co rút liên hợp trong SL (n, V). Chứng minh. Nếu f và g là hai co rút, thế thì tồn tại một phần tử k thuộc GL(V) sao cho f=x -1 gx. Chọn một cơ sở {v i } của V sao cho f đợc biểu diễn bởi B 12 (i) 9 theo cở sở đó. Giả sử y là một phần tử đợc biểu diễn bởi ma trận D với = det x. Vì n 3; y giữ v 1 và v 2 bất biến. Do đó y giao hoán với f và ta có: y -1 f y = f = x -1 f x. Giả sử z = xy -1 . Khi đó f = z -1 g z. Hơn nữa M z = M x M y -1 và det M z = . -1 = 1 Do đó f và g liên hợp trong SL (V). 1.1.7. Mệnh đề. Một phép biển đổi tuyến tính liên hợp với một phép co rút cũng là một phép co rút. Chứng minh. Theo định nghĩa một phần tử H thuộc SL (V) là một phép co rút nếu và chỉ nếu hạt nhân H của phép biến đổi t 1 là một siêu phẳng. Giả thiết rằng t là một phép co rút. Thế thì đối với liên hợp t x tùy ý, hạt nhân của t x 1 là siêu phẳng x (H). Theo Mệnh đề 1.1.3, t x nằm trong SL (V), do đó t x là cái co rút. Chúng ta chú ý rằng một cái co rút t có thể đợc đặc trng nh một phần tử của SL (V) sao cho dim (t - 1) = 1. Do đó, đối với t và x tùy ý ta có: (t x - 1) V = x ((t - 1) V). Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định cái tâm hóa của SL (V) trong GL (V). 1.1.8. Mệnh đề. Các điều kiện sau đây đối với một phần tử z của GL (V) là tơng đơng. 1) Phần tử z giao hoán đợc với mọi cái co rút. 2) Phần tử z cố định mỗi không gian con một chiều của V. 3) Tồn tại một phần tử của F sao cho z (V) = V, với mọi v V. 4) Phần tử z nằm trong tâm của GL (V). 10