TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THU MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH TENXƠ KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN KHOA HỌC TOÁN VINH 2010 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ THU MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH TENXƠ KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN KHOA HỌC TOÁN CHUY£N NGÀNH: §¹I Sè Vµ Lý THUYÕT Sè CÀN BỘ HƯỚNG DẪN kho¸ luËn TS. Nguyễn Thị Hồng Loan Sinh viªn thực hiện: Nguyễn Thị Thu Lớp 47 BTo¸n VINH 2010 MC LC Trang M U 2 CHƯƠNG 1: kiến thức cơ sở 4 1.1 Môđun hữu hạn sinh .4 1.2 Môđun tự do 4 1.3 Dãy khớp chẻ ra 4 1.4 Địa phơng hóa .5 CHƯƠNG 2: tích tenxơ của hai môđun .7 2.1 Xây dựng tích tenxơ của hai môđun .7 2.2 Một số tính chất cơ bản của tích tenxơ .12 2.3 Một số ví dụ về tích tenxơ .20 2.4 Tích tenxơ và dãy khớp .24 2.5 Tích tenxơ và địa phơng hóa .26 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo .31 4 MỞ ĐẦU Kh¸i niệm tÝch tenxơ cã nguồn gốc từ H×nh học xuÊt ph¸t từ định nghĩa tÝch tenxơ của hai vectơ. Ng y nay, kh¸i nià ệm n y ®· à được định nghĩa cho m«®un. Trong to n bà ộ kho¸ luận, v nh lu«n à được giả thiết l giao ho¸n, cã à đơn vị. Cho trước hai R-m«®un M v N, c©u hà ỏi đặt ra l lià ệu cã tồn tại hay kh«ng một R- m«®un T cïng với một ¸nh xạ song tuyến tÝnh g : M × N → T sao cho với mỗi ¸nh xạ song tuyến tÝnh f : M × N → Q (Q l mà ột R-m«đun) đều tồn tại duy nhất một đồng cấu R-m«đun h : T → Q để f = hg. g M × N T f h Q Nhận xÐt rằng R-m«đun T như thế nếu tồn tại th× sẽ duy nhất sai kh¸c một đẳng cấu. Bằng con đường kiến thiết người ta ®· chỉ ra rằng lu«n tồn tại một m«đun T như vậy v gà ọi l tÝch tenxà ơ của R-m«đun M v N, kÝ hià ệu l M N.à Mục ®Ých của kho¸ luận l dà ựa v o c¸c t i lià à ệu tham khảo để t×m hiểu về tÝch tenxơ của hai R-m«đun. Ngo i phà ần mở đầu, kết luận v t i lià à ệu tham khảo, nội dung của kho¸ luận được chia th nh hai chà ương. Chương 1 tr×nh b y c¸c kià ến thức cơ sở cã liªn quan đến chương 2. Chương 2 tr×nh b y nà ội dung chÝnh của kho¸ luận. Chương n y gà ồm 5 phần. Phần 1 tr×nh b y c¸ch x©y dà ựng tÝch tenxơ của hai m«đun trªn v nh giaoà ho¸n bằng con đường kiến thiết. Phần 2 tr×nh b y mà ột số tÝnh chất cơ bản của tÝch tenxơ. Phần 3 tr×nh b y mà ột số vÝ dụ về tÝch tenxơ. Phần 4 v 5 tr×nh b y mà à ối liªn hệ giữa tÝch tenxơ với d·y khớp v à địa phương ho¸. Để ho n th nh luà à ận văn n y t«i ®· nhà ận được sự hướng dẫn nhiệt t×nh, tận t©m của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nh©n dịp n y t«i xin ch©n th nh cà à ảm ơn TS. Nguyễn Thị Hồng Loan , cïng c¸c thầy c« gi¸o trong khoa To¸n, đặc biệt l tà ổ Đại Số ®· gióp đỡ cho t«i ho n th nh luà à ận văn n y. Mà ặc dï ®· hết sức cố gắng nhưng 5 kho¸ luận chắc chắn kh«ng thể tr¸nh khỏi thiếu sãt, v× vậy, t«i rất mong muốn nhận được ý kiến ®ãng gãp của c¸c thầy, c« gi¸o v c¸c bà ạn. VINH, THÁNG 5/2010. 6 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương n y chóng t«i tr×nh b y c¸c kh¸i nià à ệm v kà ết quả cần dïng cho c¸c chứng minh ở Chương 2. 1.1 M«đun hữu hạn sinh 1.1.1 Định nghĩa. Giả sử S l mà ột tập con của một R-m«đun M, khi ®ã giao của tất cả c¸c m«đun con chứa S của M cũng l mà ột m«đun con của M. M«đun con n yà được gọi l m«à đun con của M sinh bởi S. Nếu m«đun con sinh bởi S chÝnh l M th×à ta bảo rằng S l hà ệ sinh của M. Nếu M cã hệ sinh hữu hạn th× ta nãi M l mà ột m«đun hữu hạn sinh. 1.1.2 Bổ đề Nakayama. Cho M l mà ột m«đun hữu hạn sinh trªn v nh giao ho¸n Rà v I l i®ªan cà à ủa R chứa trong căn Jacobson J(R) của R. Thế th× từ IM = M sẽ kÐo theo M = 0. 1.2 M«đun tự do 1.2.1 Định nghĩa. Tập con S của một R-m«đun M được gọi l mà ột tập độc lập tuyến tÝnh nếu từ mỗi đẳng thức a 1 x 1 + … + a n x n = 0 với x 1 , …, x n ∈ S từng ®«i một kh¸c nhau, ta rót ra a 1 = … = a n = 0. Nếu tr¸i lại th× S được gọi l tà ập phụ thuộc tuyến tÝnh. Nếu m«đun M cã một hệ sinh S độc lập tuyến tÝnh th× nã được gọi l à m«đun tự do v tà ập S được gọi l mà ột cơ sở của M. 1.2.2 Định lý. Cho M l mà ột R-m«đun tự do với cơ sở S v N l mà à ột R-m«đun bất k×. Khi ®ã mỗi ¸nh xạ g : S → N đều mở rộng được th nh mà ột đồng cấu duy nhất f : M → N. 1.3 D·y khớp chẻ ra 1.3.1 Định nghĩa. D·y khớp ngắn f g 0 → N → M → P → 0 được gọi l à chẻ ra nếu Imf = Kerg l mà ột hạng tử trực tiếp của M. 7 1.3.2 Định lý. D·y khớp ngắn f g 0 → N → M → P → 0 chẻ ra nếu v chà ỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa m·n (i) Tồn tại một đồng cấu f ' : M → N sao cho f 'f = id N ; (ii) Tồn tại một đồng cấu g ' : P → M sao cho gg' = id P . 1.4 Địa phương hãa 1.4.1 Định nghĩa. Cho R l mà ột v nh giao ho¸n, cã à đơn vị. Một tập con S của R được gọi l mà ột tập nh©n ®ãng của R nếu 1 ∈ S v và ới mọi a, b ∈ S th× ab ∈ S. Cho M l mà ột R-m«đun v S l mà à ột tập nh©n ®ãng của R. Trªn tập M × S ta x¸c định quan hệ : như sau: (x, s) : (y, t) nếu tồn tại r ∈ S sao cho r(tx - sy) = 0. Dễ d ng chà ứng minh được rằng : l mà ột quan hệ tương đương trªn M × S. Tập c¸c lớp tương đương của M × S theo quan hệ n y à được kÝ hiệu l Sà -1 M. Cßn lớp tương đương cã đại diện l phà ần tử (x, s) được kÝ hiệu l x/s. Trong trà ường hợp đặc biệt M = R, ta cã tập S -1 R. Chóng ta cã thể trang bị cho S -1 M một cấu tróc R-m«đun, cũng như S -1 R-m«®un (sau khi x©y dựng cấu tróc v nh cho Sà -1 R) nh sau. (1) S -1 M l mà ột nhãm Aben cộng. Trªn S -1 M ta trang bị phÐp to¸n cộng như sau: + = . Với phÐp to¸n cộng n y th× Sà -1 M lập th nh mà ột nhãm Aben với phần tử kh«ng là 0/1, cßn phần tử đối của x/s l (-x)/s.à (2) S -1 M l mà ột R-m«đun. PhÐp nh©n ngo i c¸c phà ần tử của R với c¸c phần tử của S -1 M được cho bởi a = . Với c¸c phÐp to¸n vừa được trang bị, ta thấy ngay S -1 M trở th nh mà ột R-m«đun. (3) S -1 R l mà ột v nhà . Với phÐp cộng đã trang bị như đối với S -1 M th× S -1 R trở th nhà một nhãm Aben. Cßn phÐp to¸n nh©n trªn S -1 R l à = . Hai phÐp to¸n trªn l m cho Sà -1 R trở th nh mà ột v nh giao ho¸n cã à đơn vị l 1/1.à 8 (4) S -1 M l mà ột S -1 R-m«đun. Thªm phÐp nh©n ngo i c¸c phà ần tử của S -1 R với S -1 M được cho bởi = sẽ l m cho Sà -1 M trở th nh Sà -1 R-m«đun. 1.4.2 Định nghĩa. Cho R l mà ột v nh giao ho¸n. Già ả sử M l mà ột R-m«đun v S là à một tập nh©n ®ãng của R. Khi ®ã S -1 R v Sà -1 M được gọi l v nh c¸c thà à ương và m«đun c¸c thương của R v M bà ởi tập nh©n ®ãng S. Nếu P l mà ột i®ªan nguyªn tố của R th× S = R\P l mà ột tập nh©n ®ãng trong R. Khi ®ã người ta viết S -1 R = R P v Sà - 1 M = M P , v gà ọi chóng tương ứng l à địa phương hãa của R v M tà ại i®ªan nguyªn tố P. 9 CHƯƠNG 2 Tích tenxơ của hai môđun 2.1 Xây dng tích tenx ca hai môun 2.1.1 nh ngha. Cho M, N l các R-mô un. Ly S = M ì N l tích Descartes c a các tp M v N. G i F l R-mô un t do có c s S, ngha l m i phn t ca F có dng , trong đó a xy R, bng không vi hu ht (x, y) S. Gi D l mô un con ca F sinh bi tt c các phn t có dng: (x + x', y) - (x, y) - (x', y), (x, y + y') - (x, y) - (x, y'), (ax, y) - a(x, y), (x, ay) - a(x, y) vi a R, x, x' M, y, y' N. Khi đó môun thng T = F/ D c gi l tích tenx ca M vi N v c kí hiu l M R N, hoc gn hn l M N khi v nh R đã rõ. nh ca phn t (x, y) M ì N trong M N c kí hiu l x y v c l x tenx vi y. 2.1.2 Mnh . Cho M, N l các R-mô un. Khi đó vi mi a R v v i mi x, x' M, y, y' N, ta có: (i) (x + x') y = x y + x' y; (ii) x (y + y') = x y + x y'; (iii) (ax) y = a(x y); (iv) x (ay) = a(x y). Chng minh. Do (x + x', y) - (x, y) - (x', y) D, (x, y + y') - (x, y) - (x, y') D, (ax, y) - a(x, y) D, (x, ay) - a(x, y) D, a R, x, x' M, y, y' N nên t nh ngha ca tích tenx ca M vi N, ta suy ra 10