Mục lục Trang Mục lục 3 Lời nói đầu 4 Đ1. Đa tạp khả vi 5 Đ2. Vectơ tiếp xúc - Không gian tiếp xúc 6 Đ3. ánh xạ khả vị 13 Đ4. Phần thớ tiếp xúc của S 1 17 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 5 Lời nói đầu Đa tạp khả vi là một bộ phân rất quan trọng trong hình học vi phân nói riêng cũng nh trong toán học cao cấp chung. Với mục đích tập dợt nghiên cứu khoa học, trong khoá luận này tôi hệ thống lại các khái niệm và các tính chất về đa tạp khả vi, vectơ tiếp xúc Và chứng minh mặt cầu S n - 1 trong R n là một đa tạp khả vi n - 1 chiều, đồng thời mô tả một cách chi tiết các vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc của S n với n = 1. Cấu trúc luận văn gồm 4 mục. Đ1. Đa tạp khả vi Đ2. Vectơ tiếp xúc - Không gian tiếp xúc Đ3. ánh xạ khả vi. Đ4. Phân thớ tiếp xúc của S 1 Trong các mục Đ1, Đ2, Đ3 tôi nhắc lại các khái niệm về đa tạp khả vi, vectơ tiếp xúc, ánh xạ khả vi, trờng vectơ trên đa tạp. Đ4. Dành cho việc chứng minh S 1 , S n - 1 là các đa tạp khả vi và mô tả không gian tiếp xúc của S 1 . Đề tài này hoàn thành đợc là nhờ sự giúp đỡ tận tình của giáo viên hớng dẫn Trơng Chí Trung, các thầy cô giáo trong khoa Toán, các bạn bè sinh viên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tận tình của giáo viên hớng dẫn Trơng Chí Trung, các thầy cô giáo trong khoa Toán, các bạn bè sinh viên. 6 Đ1.đa tạp khả vi 1.1. Định nghĩa. Không gian Tôpô M đợc gọi là không gian ơclít địa phơng n chiều nếu với mọi x M đều tồn tại U là lân cận mở của x,lân cận này đồng phôi với một tập hợp mở trong R n . Mỗi phép đồng phôi đợc gọi là một bản đồ hoặc hệ toạ độ địa phơng trên M, kí hiệu (U, ). Giả sử (U, ) là bản đồ trên M nếu y U thì bộ (y) = (y 1 ,y n ) R n gọi là toạ độ điểm y đối với bản đồ (U, ). Họ bản đồ {(U i , i )} i I gọi là tập bản đồ trên M, nếu: M = Ii i U . 1.2. Định nghĩa. Không gian Tôpô M đợc gọi là đa tạp tôpô n chiều nếu thoả mãn hai điều kiện sau: - M là không gian ơclit địa phơng n chiều . - M là không gian Tôpô hausdoff. 1.3. Định nghĩa. Cho M là đa tạp tôpô n chiều , {(U i , i )} i I là tập các bản đồ trên nó. {(U i , i )} i I đợc gọi là tập bản đồ khả vi (lớp C k ) nếu với hai bản đồ bất kỳ (U i , i ) và (U j , j ), trong đó i j ,thì i o j -1 khả vi (lớp C k , k > 0). 1.4. Định nghĩa. Hai tập bản đồ khả vi (lớp C k ) trên đa tạp tôpô n chiều M đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu hợp của chúng lại là một tập bản đồ trên M. Hợp của tất cả các tập bản đồ (lớp C k ) tơng đơng trên M đợc gọi là bản đồ cực đại (cấu trúc khả vi lớp C k ) trên M. 1.5. Định nghĩa. Tập M đợc gọi là đa tạp khả vi n chiều nếu thoả mãn hai điều kiện sau: - M là đa tạp tôpô n chiều. - Trên M có cấu trúc khả vi (lớp C K ). 7 Đ2. Véctơ tiếp xúc - không gian tiếp xúc 2.1. Hàm khả vi. Cho M là đa tạp khả vi n chiều. 2.1.1. Định nghĩa. Một đờng cong x lớp C k là ánh xạ x: [a,b] M, trong đó [a,b] R. 2.1.2. Định nghĩa. Cho tập mở U R, hàm số : U R khả vi gọi là hàm khả vi trên U,trong đó U -Tập mở , U M. 2.1.3. Định lý. Giả sử p M, ký hiệu F (p) là tập hợp các hàm khả vi trong một lân cận của p. Trên F (p) ta trang bị hai phép toán nh sau: - Cộng hai hàm: , g F (p) , + g: ( + g) (p) = (p) + g(p) . - Tích của một số với một hàm: R, F (p) : ( p) = (p). - Tích hai hàm : , g F (p): (.g )(p) = (p) . g(p) . Khi đó: a) ( F (p), + , . (hàm) ) lập thành một vành. b) ( F (p), +, . (số) ) lập thành một không gian véctơ trên R. Chứng minh. Ta chứng minh b) còn a) thì dựa vào định nghĩa vành. Ta có: +) ,g F (p) , ta có : +g = g + (tính giao hoán của ánh xạ). +) , g, l F (p) ta có :( + g) + l = + (g+l) (vì ánh xạ có tính chất kết hợp đối với phép cộng). +) F (p), chọn g F (p) mà g=0, 8 suy ra g : U p R x g(x) = 0. Khi đó : + g = g+ = 0 + = + 0 = . Vậy phần tử đơn vị là g = 0. +) F (p), chọn g = - là hàm khả vi trên U p . Khi đó: + (-) = (-) + = 0 Phần tử đối của là - . +) , R; , g F (p) đều có : . (.) = (.), . (+g) = .+ .g, . (+ ) = . + ., . Phần tử g=1 là phần tử thoả mãn g F (p) và .g=g.= , F (p). Vậy ( F (p) , + , . (số) ) lập thành một không gian véctơ. 2.2. Véctơ tiếp xúc 2.2.1. Định nghĩa. Cho M là đa tạp khả vi n chiều, x là đờng cong trên M thoả mãn: x(t 0 ) = p M. Véctơ tiếp xúc với đờng cong x tại p là ánh xạ v: F (p) R v() = dt ))t(x(d 0 t . v gọi là véctơ tiếp xúc của đa tạp khả vi M tại p . v() gọi là đạo hàm theo hớng của đờng cong x tại p . 2.2.2. Định lý. i) Mỗi véctơ tiếp xúc của đa tạp M tại p là một ánh xạ tuyến tính. ii) Với ,g F (p) thì: v(.g) = v() . g (p) + (p) . v(g). Chứng minh. i)Giả sử x(t) là đờng cong trên M mà x (t 0 )= p. Khi đó: 9 +) F (p), R thì v () = 0 t dt ))t(x(d f )(v dt ))t(x(d 0 t f f = = +) ,g F (p) có: v (+g) = 0 t dt ))t(x)(g(d + = 00 ))(())(( tt dt txgd dt txfd + = v() + v(g). Vậy mỗi véctơ tiếp xúc của M là một ánh xạ tuyến tính. ii) Chứng minh v(.g) = v(). g(p) + (p). v(g) . Theo định nghĩa đó ta có: v(.g) = 0 t dt ))t(x(g.d = ))((. ))(( ))((. ))(( 00 00 txf dt txgd txg dt txfd tt + = v (). g(p) + v(g). (p) (Đpcm) . 2.2.3. Định lý. Giả sử M là đa tạp khả vi (lớp C k ) n chiều, (U, ) là bản đồ trên M; y 1 ,,y n là các hàm toạ độ trong R n , ni ,1 = và u i = y i o là hệ thống các toạ độ địa phơng trong lân cận toạ độ U,kí hiệu D i là các đạo hàm riêng của các biến của các hàm trong R n . Giả sử :) u ( p i F (p) R p i ) u ( () = D i o -1 )( p . Khi đó: a) p i ) u ( là một ánh xạ tuyến tính và là một véctơ tiếp xúc với M tại p. b) Tập hợp T p (M) tất cả các véctơ tiếp xúc của M tại p là không gian con của R - không gian tuyến tính nói trong định lý 2.1.3. Nó đ ợc gọi là không gian tiếp xúc với M tại p. Không gian này nhận các vectơ tiếp xúc p 1 ) u ( p n ) u ( 10 làm sơ sở và do đó số chiều của không gian này bằng số chiều của đa tạp M. Chứng minh. a) Ta có: R, F (p) có: p i ) u ( ( )=D i ( -1 ) = . D i -1 )( p = ) u ( i (). ,g F (p) , ta có: p i ) u ( (+g) = D i (+g) -1 )( p = D i -1 )( p + D i g -1 )( p = p i ) u ( () + p i ) u ( (g) . Vậy p i ) u ( là ánh xạ tuyến tính. Để chứng minh p i ) u ( là véctơ tiếp xúc với M tại p, ta chứng minh tồn tại đờng cong x: [a,b] M mà x(t 0 ) = p ,thoả mãn : p i ) u ( () = 0 ))(( t dt txdf Ta chọn đờng cong x :[a,b] M mà 0 [a,b] và (x(t)) = (p 1 +t, ,p i + t, , p n + t), trong đó (p) = (p 1 , p n ). Khi đó : (x(0)) = (p 1 , , p n ) = (p) x(0) = p. Ta có : 0 ))(( t dt txdf = 0 ))(( 1 t dt txdf = 0 ), .,, .,( 11 t ni dt ptppdf + Đặt 1 )(1 p t = ,, )(ti = p i + t, , n tn p = )( . Khi đó ta có: 0 ))(( t dt txdf = ))(( 1 1 0 tx d df 0 1 t dt d ++ ))(( 1 0 tx i d df . 0 t i dt d ++ ))(( 1 0 tx n d df . 0 1 t dt d = )(( 1 0 tx i fD = p i ) u ( (), với 0 t dt ))t(x(df = p i ) u ( () .Vậy p i ) u ( là một vectơ tiếp xúc với M tại p. 11 b) Chứng minh p i ) u ( , i= n,1 . là cơ sở của T p M . +) Giả sử x: [a,b] M là đờng cong mà x(t 0 ) = p. Khi đó theo định nghĩa ta có : v() = dt txfd )(( 0 t = 0 ))(( 1 t dt txdf = 0 ))(), .,(( 1 1 t n dt ttdf = ))(( 1 1 0 tx d df . 0 1 t dt d ++ ))(( 1 0 tx n d df . 0 1 t dt d = )( 1 1 p fD . 0 1 t dt d ++ )( 1 p n fD . 0 t n dt d = 1 = i n 0 t i dt d . p i ) u ( p i ) u ( ni ,1 = , là hệ sinh củaT p M. +) Ta gọi 0 là véc tơ tiếp xúc với M tại P đợc xác định nh sau: 0: F (p) R. o() = 0 Xét tổ hợp tuyến tính: 1 = i n i p i ) u ( = 0 = j , j R, j= n,1 . Cho cả hai vế tác động vào u j ta có: 1 = i n i p i ) u ( (u j ) = 0 (u j ) = 0 1 = i n i D i y j -1 )( p = j =0, j R , j= n,1 . Vậy hệ trên là hệ độc lập tuyến tính . +) Giả sử v' = 1 = i n i p i ) u ( . Chọn đờng cong x(t) thoả mãn 0 [a,b] và x(t 0 ) = p sao cho (x(t)) = (p 1 + 1 .t, , p 1 + 1 .t), trong đó (p) = (p 1 ,,p n ) và giả sử v là vectơ tiếp xúc với đờng cong x(t) tại p. Khi đó (x(0)) = (p 1 , , p n ) = (p) x(0) = p.Theo định nghĩa véctơ tiếp xúc ta có : 12 v() = dt txfd )(( 0 t = 0 t 1 dt x(t))(df = 0 t nn111 dt .t)p.t, .,(pdf ++ = )) 0 t(x( 1 1 D . 1 ++ )) 0 t(x( 1 n D . n = 1 = i n i -1 )( p = 1 = i n i p i ) u ( (), F (p) v = v' Vậy định lý đợc chứng minh. 2.3. Phân thớ tiếp xúc và phân thớ đối tiếp xúc. 2.3.1. Định nghĩa. Gọi TM = Mp p MT , TM gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp M. 2.3.2. Định nghĩa. Tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính f : T p M R lập thành một không gian vectơ, không gian vectơ này đợc gọi là không gian vectơ đối ngẫu của không gian vectơ T p M, ký hiệu T p *(M). 2.3.3. Địng nghĩa. Tập T*(M) = ( ) Mp * p MT đợc gọi là phân thớ đối tiếp xúc trên đa tạp M. Không gian vectơ T p *(M) thờng đợc gọi là không gian đối tiếp xúc của đa tạp M tại p. 13 Đ3. ánh Xạ khả Vi 3.1. ánh xạ khả vi 3.1.1: Định nghĩa. Cho N là đa tạp khả vi ( lớp C k ,k>0) n chiều, M là đa tạp khả vi (lớp C k ,k>0) m chiều.: N M đợc gọi là ánh xạ khả vi liên tục s lần (s k) tại x nếu thoả mãn hai điều kiện sau : - liên tục tại x. - Với hai bản đồ bất kì(U i , i ) trên N và (V j , j ) trên M mà x thuộc U j có (x) thuộc U j thì j oo i -1 khả vi s lần tại j (x). đợc gọi là liên tục khả vi lớp C s nếu nó khả vi liên tục s lần tại x N. 3.1.2.Chú ý. Đặt ji = j oo i -1 thì ji là ánh xạ từ một tập mở trong R n vào một tập mở trong R m . Vì vậy ji có m hàm toạ độ và có biến là bộ gồm n số thực, tức là: ji = (y 1 , . ,y n ) = ( 1 ji f (x 1 , , x n ), m ji f (x 1 ,x n )). 3.1.3. Định nghĩa. ánh xạ f: N M gọi là một vi phôi lớp C s nếu: song ánh, , -1 là ánh xạ khả vi lớp C s . 3.1.4. Định lý. Nếu : N M là vi phôi lớp C s thì dim M = dim N. Chứng minh. Giả sử : N M là vi phôi. Nếu ta đặt g= -1 thì g: NM là một vi phôi Khi đó thì g ij = i o g o j -1 là hàm khả vi liên tục s lần tại j (x), g ij có n hàm và biến gồm bộ m phần tử tức là: g ij = (x 1 , , x n ) = ( 1 ij g (y 1 ,y m ), , n ij g (y 1 ,y m ) )1( ), .,( ), .,( 1 111 = = mn ij n m ij yygx yygx 14