1 Mở đầu Một thứ tự nửa nhóm S đợc gọi tơng thích với phép nhân S đợc gọi nửa nhóm đợc thứ tự bé phËn nÕu víi mäi a,b,c ∈ S cã: a ≤ b kÐo theo ca ≤ cb vµ ac ≤ bc Nửa nhóm S đợc gọi - nưa dµn nưa nhãm díi quan hƯ ≤, nÕu S - nửa dàn (nghĩa cặp phần tử a,b S có cận nhỏ nhÊt a ∨ b ∈ S) vµ mäi a,b,c ∈ S : c (a ∨ b) = ca ∨ cb vµ (a ∨ b) c = ac ∨ bc Dùa giảng Compatible Orderings on the Bicyclic Semigroup tác giả D.B.McAlister đọc trờng Đại học Northern Illinois University năm 1997, tìm hiểu cấu trúc nửa nhóm - nửa dàn bicyclic B(a,b), nửa nhóm sinh hai phần tử a,b hệ thức xác định ab = Luận văn đợc chia làm hai chơng: Chơng Kiến thức chuẩn bị Trong chơng trình bày khái niƯm vµ tÝnh chÊt nưa dµn vµ dµn, nưa nhãm tự nửa nhóm bicyclic, thứ tự nửa nhóm để làm sở cho việc trình bày chơng sau Chơng Nửa nhóm - nửa dàn bicyclic Trong chơng trình bày quan hệ tơng thích nửa nhóm bicyclic đối nguyên tử chúng Từ xây dựng nửa nhóm - nửa dàn bicyclic Luận văn đợc hoàn thành trờng Đại học Vinh, dới hớng dẫn PGS.TS.Lê Quốc Hán Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn - ngời đà trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, bảo nghiêm khắc suốt trình học tập nghiên cứu hoàn thành luận văn, giúp cho tác giả tự tin trình độc lập sáng tạo, tu dỡng rèn luyện khả tập dợt nghiên cứu khoa học Trong trình học tập viết luận văn, tác giả đà đợc dạy bảo tận tình PGS.TS.Nguyễn Thành Quang, PGS.TS.Ngô Sỹ Tùng, TS.Nguyễn Thị Hồng Loan, TS.Mai Văn T Tác giả xin đợc trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh tất bạn bè, đồng nghiệp đà động viên, giúp đỡ để luận văn đợc hoàn thành kế hoạch Mặc dù đà cố gắng song luận văn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đợc ý kiến đóng góp quý báu từ thầy giáo, cô giáo bạn đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn Nghệ An , tháng 10 năm 2011 Tác giả CHNG KIN THC CHUN B 1.1 Nửa dàn dàn 1.1.1 Định nghĩa (i) Giả sử X tập hợp tuỳ ý khác rỗng Khi quan hệ hai ngơi ≤ X gọi quan hệ thứ tự phận với x, y, z ∈ X, điều kiện sau thoả mãn: P1 x ≤ x (phản xạ) P2 Nếu x ≤ y y ≤ x x = y (phản xứng) P3 Nếu x ≤ y y ≤ z x ≤ z (bắc cầu) (ii) Tập hợp X với quan hệ thứ tự phận ≤ gọi tập thứ tự phận (partly ordered set) hay "poset" (iii) Giả sử (X, ≤) poset x, y ∈ X Nếu x ≤ y x ≠ y ta viết x < y nói x nhỏ y x thực chứa y Quan hệ x ≤ y viết y ≤ x đọc "y chứa x" Tương tự, x < y viết y > x… 1.1.2 Định nghĩa Giả sử (P, ≤) poset X tập P Khi phần tử a ∈ P gọi cận (upper bound) X a chứa x ∈ X Cận nhỏ (least upper bound) X cận X chứa cận khác X, ký hiệu l u b X hay supX Theo P2, supX tồn Các khái niệm cận (lower bound) cận lớn X - ký hiệu g l b.X hay inf X định nghĩa đối ngẫu.Lại theo P 2, infX tồn 1.1.3 Định nghĩa Giả sử L poset Khi L gọi dàn (lattice) thoả mãn điều kiện: với cặp phần tử a, b thuộc L, cận nhỏ chúng (ký hiệu a ∧ b) cận lớn chúng (ký hiệu a ∨ b) tồn thuộc L Dàn L gọi dàn đầy đủ (complete) tập X có cận nhỏ cận lớn thuộc L 1.1.4 Định nghĩa (i) Quan hệ ≤ tập hợp S gọi tựa - thứ tự (quasi - ordering) thoả mãn tiên đề P P2 không thoả mãn P (ii) Cặp (S, ≤) lúc gọi tập tựa thứ tự (quasi ordered set) Một tựa - thứ tự gọi tiền thứ tự (pre – order) Bây giờ, ta xét sâu tiên đề dàn 1.1.5 Mệnh đề Trong poset tuỳ ý, toán tử hợp giao thỏa mãn tính chất sau L1 x ∧ x = x, x∨ x=x L2 x ∧ y = y ∧ x, L3 x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z, x ∨ (y ∨ z) =( x ∨ y) ∨ z (kết hợp) L4 x ∧ (x ∧ y) = x ∨ (x ∧ x) = x (hấp thụ) (lũy đẳng) x∨ y=y∨ x (giao hoán) Ngoài ra, x ≤ y tương đương với điều kiện x ∧ y = x x ∨ y = y (phi mâu thuẫn) Chứng minh Luật luỹ đẳng giao hoán rõ ràng Luật kết hợp L rõ ràng x ∧ (y ∧ z) (x ∧ y) ∧ z hai g.|.b.(x, y, z) tất biểu thức thông báo tồn Sự tương đương x ≥ y, z ∧ y x ∨ y = x kiểm tra trực tiếp suy L4 1.1.6 Mệnh đề Nếu poset P có phần tử bé O, O ∧ x = O O ∨ x = x tất x ∈ P Đối ngẫu, P có cận phổ dụng I, x ∧ I = x x ∨ I = I tất x ∈ P Chứng minh Suy trực tiếp từ định nghĩa 1.1.7 Mệnh đề Trong dàn tuỳ ý, toán tử hợp giao bảo toàn thứ tự, nghĩa là: Nếu y ≤ z, x ∧ y ≤ x ∧ z x ∨ y ≤ x ∨ z Chứng minh Theo L1 - L4 luật phi mâu thuẫn có x ∧ y = (x ∧ x) ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ (x ∧ z), x ∧ y ≤ x ∧ z theo luật phi mâu thuẫn Bất đẳng thức thứ hai suy từ nguyên lý đối ngẫu 1.1.8 Mệnh đề Trong dàn tuỳ ý, có: x ∧ (y ∨ z) ≥ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) x ∨ (y ∧ z) ≥ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) Chứng minh Rõ ràng, x ∧ y ≤ x x ∧ y ≤ y ≤ y ∨ z; từ x ∧ y ≤ x ∧ (y ∨ z) Ta lại có x ∧ x ≤ x, x ∧ z ≤ z ≤ y ∨ z , từ x ∧ z ≤ x ∧ (y ∨ z) Nghĩa là, x ∧ (y ∨ z) cận x ∧ y x ∧ z Từ x ∧ (y ∨ z) ≥ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) Bất đẳng thức thứ hai suy từ nguyên lý đối ngẫu 1.1.9 Mệnh đề Các phần tử dàn tuỳ ý thoả mãn bất đẳng thức modular: x ≤ z kéo theo x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z Chứng minh x ≤ x ∨ y x ≤ z Từ x ≤ (x ∨ y) ∧ z Ta lại có y ∧ z ≤ y ≤ x ∨ y y ∨ z ≤ z Do y ∧ z ≤ ( x ∨ y) ∧ z, từ x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∧ y) ∧ z Từ Mệnh đề 1.1.5 - 1.1.9 dễ dàng thấy lý thuyết dàn có màu sắc đại số mạnh Bây ta chứng minh xét chúng ngành đại số: đồng thức L1 – L4 đặc trưng đầy đủ dàn Muốn ta cần đưa vào khái niệm 1.1.10 Định nghĩa Một hệ với phép tốn hai ngơi đơn, luỹ đẳng, giao hốn kết hợp gọi nửa dàn (semilattice) Mệnh đề 1.1.5 có hệ trực tiếp sau hệ đối ngẫu hợp 1.1.11 Hệ Giả sử P poset hai phần tử tuỳ ý có giao Thế P nửa dàn với phép tốn ∧ Các nửa dàn đựơc gọi nửa dàn với giao (meet - semilattice) Đảo lại ta có 1.1.12 Mệnh đề Dưới quan hệ ≤ xác định : x ≤ y x∗ y = x nửa dàn tuỳ ý với phép toán hai ngơi ∗ poset mà x∗ y = g.l.b {x, y} Chứng minh Luật luỹ đẳng x∗x = x kéo theo luật phản xạ x ≤ x Luật giao hoán x∗y = y∗u làm x ≤ y (nghĩa x∗y = x) y ≤ x (nghĩa y∗x = y) kéo theo x = x∗y = y∗x = y, luật phản xứng P2 Luật kết hợp làm x ≤ y y ≤ z kéo theo x = x∗y = x∗(y∗z) = (x∗y)∗z = x∗z, từ x ≤ z, chứng minh luật bắc cầu P3 Lại có (x∗y)∗x = x∗(y∗x) = x∗(x∗y) = (x∗x)∗y = x∗y nên x∗y ≤ x Tương tự x∗y ≤ y Cuối cùng, z ≤ x z ≤ y, z∗(x∗y) = (z∗x)∗y = z∗y = z, từ z ≤ x∗y, chứng minh x∗y = g.l.b.{x,y} 1.1.13 Định lý Một hệ L với hai phép tốn hai ngơi ∧ ∨ thoả L1 – L4 dàn ngược lại Chứng minh Trước hết, theo Mệnh đề 1.1.12, L tuỳ ý thoả L – L4 poset x ∧ y = g.l.b.{x, y}, x ≤ y nghĩa x ∧ y = x Tiếp L4, x ∧ y = x kéo theo x ∨ y = (x ∨ y) ∨ y = y (theo đối ngẫu) đảo lại Do x ≤ y tương đương với x ∨ y Bằng đối ngẫu, suy x ∨ y = l.u.b.{x, y}, từ L dàn Khẳng định ngược lại chứng minh phép chứng minh Mệnh đề 1.1.5 Như vậy, tiên đề L1 – L4 dàn không độc lập Luật luỹ đẳng suy từ L4 Do x ∨ x = x ∨ [x ∧ (x ∨ x)] = x, đẳng thức suy từ luật tương phản thứ x' = x ∧ (x ∨ y) với y = x ,và luật tương phản thứ hai tính đối ngẫu với y = x ∨ x Đối ngẫu , ta chứng minh x ∧ x = x Sáu đẳng thức lại L – L4 phụ thuộc Nghĩa là, không đẳng thức chúng chứng minh từ năm đẳng thức lại khác Để chứng tỏ điều đó, cần đối ngẫu đưa tập thích hợp tốn tử chúng thỏa mãn năm sáu đẳng thức L – L4 khơng thỏa mãn đẳng thức cịn lại Ta thực điều qua việc xét ví dụ sau 1.1.14 Ví dụ (i) Giả sử N+ tập hợp số nguyên dương Định nghĩa x ∨ y = max(x, y) x ∧ y = x Thế tất đẳng thức L2 – L4 (trừ đẳng thức x ∧ y = y ∧ x) (ii) Xét biểu đồ hình Giả sử hợp định nghĩa theo nghĩa thông thường giao từ a ∧ b phần tử cuối khơng phải c Thế hệ đại số thu thoả mãn L2, L4 x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z, x ∨ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z không thoả mãn ba a,b,c a∧b Hình (iii) Giả sử N+ tập hợp số nguyên dương Đặt x ∨ y = max(x,y), x ∧ y = Thế luật phi mâu thuẫn x ∧ (x ∨ y) = x không đúng, năm đẳng thức khác L2 – L4 thoả mãn Như vậy, chứng minh định lý 1.1.15 Định lý Các tiên đề L2 – L4 dàn suy L1, sáu đẳng thức L2, L4 phụ thuộc Bây giờ, ta trở lại xét nửa dàn S với phép toán hai ngơi khơng thoả mãn luật luỹ đẳng, giao hốn kết hợp 1.1.16 Mệnh đề Nửa dàn S poset theo quan hệ chia hết a\b, nghĩa a ∗ x = b x ∈ S Hơn nữa, poset đó, c∗ d = a ∨ b c,d tuỳ ý Chứng minh Rõ ràng S tựa - thứ tự theo quan hệ chia hết ∗ luỹ đẳng Hơn nữa, a∗x = b kéo theo a∗b = a∗(a∗x)∗x = a∗x = b điều ngược lại hiển nhiên, từ a\b a∗b Suy a\b b\a kéo theo a = b∗a = a∗b = b; tựa - thứ tự thứ tự phận Cuối c\c∗d c∗d = d∗c; tương tự có d\c∗d; c\x d\x kéo theo x = c∗x = c∗d∗x, từ (c∗d)\x, c∗d = c ∨ d 1.1.17 Định nghĩa Poset xây dựng Mệnh đề 1.1.16 gọi nửa dàn - hợp (join - semilatice) xác định S; đối ngẫu nửa dàn - giao (meet - semilatice) xác định S Rõ ràng dàn đồng thời nửa dàn - hợp vừa nửa dàn giao, từ thuật ngữ định nghĩa phù hợp 1.2 Nửa nhóm bicyclic 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X tập hợp tuỳ ý ℑX tập hợp dãy hữu hạn phần tử thuộc X Nếu x = (x1, …, xm); y = (y1, …, yn) ∈ ℑX ta định nghĩa tích xy: = (x1, …, xm, y1, …, yn) Khi ℑX trở thành nửa nhóm gọi nửa nhóm tự tập X Các phần tử thuộc ℑX gọi từ Nếu ta đồng phần tử x ∈ X với dãy (x) độ dài 1, theo định nghĩa tích ℑX, ta có: (x1, …, xm) = (x1).(x2)…(xm) = x1x2 … xm Như X tập sinh tối tiểu nửa nhóm ℑX Ta nói ℑX nửa nhóm tự sinh X Nếu ghép đơn vị vào ℑX , ta vị nhóm ℑ1 = ℑX ∪ ℑ1 gọi vị nhóm tự sinh X, ký hiệu X* X X Mệnh đề sau quen thuộc đại số đại (xem [2]) 1.2.2 Mệnh đề Giả sử ℑX nhóm tự sinh tập X f: X → S ánh xạ từ X lên nửa nhóm S Khi f mở rộng cách tới đồng cấu ϕ : ℑX → S Giả sử X tập hợp tuỳ ý ℑX nửa nhóm tự sinh X Bây ta muốn đặt hệ thức xác định lên phần tử thuộc X, chẳng hạn: x1x2 = x3 x ; x1 = x1x x Giả sử hệ thức uλ = vλ , λ ∈ Λ , phần tử λ thuộc số Λ uλ, vλ ∈ ℑX Giả sử ρ0 = {( uλ, vλ) | λ ∈ Λ } ρ quan hệ tương đẳng ℑX, ρφ đồng cấu tự nhiên từ ℑX lên ℑX /ρ Khi tập {xρφ | x∈X} sinh nửa nhóm thương ℑX /ρ uλρφ = vλρφ; ∀λ ∈ Λ Nghĩa tất phần tử sinh ℑX /ρ thực thoả mãn hệ thức xác định Ta gọi ℑX /ρ nửa nhóm sinh tập X cho hệ thức xác định u λ = vλ, λ ∈ Λ Ta ý rằng, thực ℑX /ρ sinh tập X ρφ Định lý sau chứng minh [1] 1.2.3 Định lý Giả sử ℑX nửa nhóm tự tập X, ρ quan hệ ℑX ρ tương đẳng ℑX sinh ρ0 Giả sử ρφ đồng cấu tự 10 nhiên từ ℑX lên ℑX /ρ Nếu S nửa nhóm ϕ đồng cấu từ ℑX vào S cho ϕ(u) = ϕ(v) (u,v) ∈ ρ0, tồn đồng cấu θ từ ℑX /ρ vào S cho θ.ρφ = ϕ Bây ta xây dựng nửa nhóm bicyclic B Có thể xây dựng B xuất phát từ nửa nhóm tự với hệ thức xác định phương pháp trực tiếp Nửa nhóm bicyclic B nửa nhóm với đơn vị sinh tập hai phần tử X = {x1, x2} cho hệ thức xác định x1x2 = Ở ρ0 gồm cặp (x1x2, 1) Nếu ρ tương đẳng X* sinh quan hệ ρ0 B = X* / ρ Nửa nhóm B thực sinh lớp p = x ρφ q = x2 ρφ thoả mãn đẳng thức pq ≠ ta dùng ký hiệu B = B(p,q) Trước hết ta chứng minh pq ≠ Theo Định lý 1.2.3 ta cần xây dựng ví dụ nửa nhóm S với đơn vị chứa phần tử a, b cho ab = ba ≠ Giả sử S nửa nhóm ℑN tất phép biến đổi tập N số nguyên không âm Giả sử phép biến đổi α, β cho sau: nα = n + 0 nÕu n = nβ = n nÕu n >  Do βα ≠ i ta kết luận qp ≠ B Tất nhiên phần tử tuỳ ý thuộc B biểu thị dạng tích số phần tử mà phần tử p q Dùng hệ thức pq = 1, ta đưa biểu thức tới dạng p m qn, m n số nguyên không âm, với quy ước p0 = q0 = Ta chứng tỏ phần tử thuộc B biểu diễn dạng đó, tức chứng minh pi pj = pm pn, số nguyên 27 phần tử byax thoã mãn b < byax < nghĩa λ > 1, quan hệ thứ tự phận có đối nguyên tử theo ý nghĩa định nghĩa sau 2.2.1 Định nghĩa Giả sử ≤ quan hệ thứ tự phận B Khi phần tử x gọi đối nguyên tử quan hệ ≤ thoả mãn hai điều kiện i) x < ii) x bị phủ 1, nghĩa từ x < y ≤ kéo theo y = Kết sau nón tạo thành từ quan hệ thứ tự phận B có đối nguyên tử 2.2.2 Bổ đề Giả sử K = K(bcad) c > d > giả sử ≤ quan hệ thứ tự phận tương thích B Thế bcad đối nguyên tử Chứng minh Giả sử x = bras thoả mãn bcad ≤ x < Thế x ∈ K  r −s  nên theo Định lý 2.1.12, s ≤ d  Hơn nữa, tính chất bảo tồn thứ tự c − d   σφ , có d - c ≤ r - s ≤ Do ≤ r + s ≤ c - d  r −s  r Nếu r - s < c - d   = nên s = x = b r > x > c − d  Nhưng bất đẳng thức bcad ≤ x đưa đến bc-rad ∈ K c − r − s d≤d  = r >  c−d   Điều mâu thuẫn với giả thiết d > Như r - s = c - d s ≤ d, nên x ≥ bcad = br+(d-r)as+(d-s) = br.bd-sad-s.as ≥ br as = x, bnan ≥ ∀n Từ x = bcad bcad số đối nguyên tử Trong luận văn quan tâm chủ yếu thứ tự phận (chính) B làm cho B trở thành ∨ - nửa dàn nửa nhóm Trong trường hợp này, đối nguyên tử cần phải 28 Trước chứng minh điều này, ta cần bổ đề đơn giản sau mà chứng minh chúng phụ thuộc vào tính bảo tồn thứ tự σφ 2.2.3 Bổ đề Giả sử ≤ quan hệ thứ tự phận tương thích B với < a, ba Giả sử a ≤ x ≤ a, x luỹ đẳng Nếu b ≤ y < y = be với e ∈ B luỹ đẳng 2.2.4 Mệnh đề Giả sử ≤ quan hệ thứ tự phận tương thích B < a, ba Nếu tồn số dương n cho b nan ≠ a B có đối ngun tử quan hệ ≤ Đảo lại, B ∨ - nửa dàn quan hệ ≤ có đối ngun tử đối ngun tử brar-1, r = max {s ∈ Z+: bras < a} Chứng minh Giả thiết r = max {s ∈ Z+: bras < a} < ∞ Chúng ta bras-1 đối nguyên tử cho quan hệ ≤ Giả sử bras-1 ≤ buav < Thế theo tính chất bảo tồn thứ tự σφ có -1 ≤ v - u ≤ Nếu u - v = buav luỹ đẳng cách nhân trái nhân phải với a nhận bras ≤ buav ≤ a Theo tính chất cực đại r, suy u = r b ras-1 = buas đối nguyên tử Bây giả sử buav đối nguyên tử quan hệ thứ tự phận tương thích với < a, ba biến B thành ∨ - nửa dàn nửa nhóm Thế u > v ≥ Vì buav đối nguyên tử nên b ∨ buav buav Nếu b ∨ buav = buav u = v + theo Bổ đề 2.2.3 Nếu b ∨ buav = kéo theo a u = a u.(b uav ∨ b) = a u ∨ au -1 Nhưng điều khơng thể từ a > kéo theo a u > av, au-1 Từ u = v + nên đối nguyên tử có dạng b u+1 au < a Mặt khác, b u+2 au+2 < a nhân bên phải với b nhận b u+2 au+1 < 1, b u+1 au < b u+2 au+1 Điều 29 mâu thuẫn với b u+1 au đối nguyên tử Từ max {s ∈ Z+: bsas < a} ≤ u + < ∞ Cuối cùng, tính đối nguyên tử suy từ b x+1ax ≤ by+1ay bxax ≤ byay, xảy x ≤ y Như khơng thể có nhiều đối ngun tử mà theo phần đầu chứng minh trên, phải bras-1 với r = max {s ∈ Z+: bsas < a} < ∞ Mệnh đề 2.2.4 tồn đối nguyên tử liên quan chặt chẽ đến cận luỹ đẳng Định lý 2.2.6 sau lại liên quan đến điều kiện chuỗi tăng phần tử B 2.2.5 Bổ đề Giả sử ≤ quan hệ thứ tự phận tương thích B cho < a, ba Thế bras ≤ buav kéo theo s - r ≤ v - u Nếu s - r = v - u b ras ≤ buav r < v (hoặc tương đương r < u) Chứng minh bras ≤ buav kéo theo s - r ≤ v - u cách diễn đạt khác tính bảo toàn thứ tự σφ Giả thiết s - r = v - u Thế s < v kéo theo b uav = br.bu-r.av-s.as ≥ br.1.as = bras Nhưng bras = buav kéo theo u = r, v = s Do s < v kéo theo b ras < buav Tương tự bras < buav s - r = v - u kéo theo s ≤ v ngược lại dẫn tới buav < bras Nhưng s = v kéo theo r = u Vì b ras = buav Từ bras < buav kéo theo s < v 2.2.6 Định lý Giả sử ≤ quan hệ thứ tự phận tương thích B với < a, ba Khi điều kiện sau tương đương: i) Tập hợp { bnan : n ≥ 0} khơng có cận B ii) Với n > 0, có luỹ đẳng e ∈ B với e ≠ an iii) Với C∈ B, tập hợp {x ∈ B: x ≤ C} thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng iv) Tập hợp phần tử {x ∈ B: x ≤ 1} thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng 30 Chứng minh Rõ ràng i) kéo theo ii) Giả thiết có ii) giả sử x ≤ x2 ≤ … ≤ xn ≤ … chuỗi tăng vô hạn phần tử thuộc B bị chặn 0, x u = bruasu c = bras Thế σφ đồng cấu bảo toàn thứ tự nên s1 - r1 ≤ s2 - r2 ≤ … ≤ s - r Từ iđêan cuả Z điều iđêan tuân theo điều kiện chuỗi tăng, nên tồn số nguyên m, k cho s u - ru = k, ∀n > m Kết ≤ a r xm+1 b s ≤ … ≤ a r xm+n b s ≤ ≤ a r c b s ≤ a r m m m m m m m +r = w, en= a r xm+n b s luỹ đẳng Nhưng sm - rm = sm+n - rm+m , xm ≤ xm+n kéo m m theo sm ≤ sm+n rm ≤ rm+n Từ eu = ev kéo theo xm+n= r b rm + n a sm+ n = b rm a rm b m+ n a sm + n bsm a sm = b rm e u a sm = b rm e va sn =xm+n Bởi ii),tồn số hữu hạn luỹ đẳng bé w Như có số hữu hạn thành phần khác tập hợp xm ≤ … ≤ xm+n ≤ … ≤ c iii) Cũng rõ ràng iii) kéo theo iv).Do giả thiết có iv) tập hợp {b nan: n ≥ 0} có cận c = bras B Thế < ba < b2a2 < … < c = bras Nhân biên trái với ar nhân bên phải với bs ta nhận arbs ≤ … ≤ bsar = ar.br+s ar+s bs ≤ bs+1 ar+1 = ar.br+s+1 ar+s+1 bs ≤ br+2ar+2 ≤…≤ arbr asbs =1 Vì {x ∈ B: x ≤ 1} tuân theo điều kiện chuỗi tăng nên suy tồn số tự nhiên n cho bs+mar+m = bs+nar+n với m ≥ n Nhưng đó, cách nhân bên trái với as nhân bên phải với br, nhận bnan = bm am, m ≥ n, điều dẫn tới mâu thuẫn Cuối chứng tỏ có quan hệ thứ tự phận tương thích B với < a, ba khơng có đối ngun tử 2.2.7 Định lý Giả sử ≤ quan hệ thứ tự phận tương thích B với < a, ba giả sử B khơng có đối nguyên tử quan hệ ≤ Thế quan hệ thứ tự ≤ xác định 31 hc s − r < v − u bras ≤ buav ⇔  hc s − r = v − u vµ s ≤ v Đảo lại, quan hệ thứ tự phận biến B thành nửa nhóm ngược thứ tự toàn phần với < a, ba khơng có đối ngun tử Chứng minh Thực chất bras ≤ buav kéo theo s - r < v - u s - r = v - u s ≤ v kết trực tiếp Bổ đề 2.2.5 Đảo lại, giả sử có quan hệ Ta chứng tỏ bras ≤ buav Trước hết, giả sử s - r < v - u Thế thì, bras ≤ buav bras+n ≤ buav+n, giả thiết s - r > Thế ta có v u > 0, a s-r ≤ av-u-1 s - r < v - u kéo theo s - r ≤ v - u - Theo phần đầu chứng minh Mệnh đề 2.2.4, B khơng có đối ngun tử ba > ⇒ brar < a với r ≥ Do bras = brar as-r ≤ brar av-u-1 ≤ a.a v-u-1 = av-u ≤ bu.au.av-u = buav Bây giờ, giả sử s - r = v - u s ≤ u Nếu s ≤ r bras = br-sbsas ≤ bu-vbvav = buav Mặt khác, s > r s - r = v - u, u - r = v - s ≥ nên s ≤ u bras = brar.av-u ≤ buau av-u = buav Điều chứng tỏ ≤ mô tả định lý Để kết thức chứng minh cần ý ≤ rõ ràng thứ tự toàn phần từ = r – r < = - có brar < b0a1 = a, r ≥ Từ theo Mệnh đề 2.2.4, từ B ∨ - nửa dàn nên khơng có đối ngun tử 2.2.8 Định nghĩa Nửa nhóm bicyclic B gọi thứ tự theo kiểu từ điển B có quan hệ thứ tự phận mơ tả Định lý 2.2.7 (hoặc ba quan hệ thứ tự toàn phần khác quỹ đạo ≤ ) 2.3 Nửa nhóm ∨ - nửa dàn bicyclic Ta nhắc lại nửa nhóm S gọi nửa nhóm ∨ - nửa dàn (hay nửa nhóm ∧ - nửa dàn) quan hệ ≤ S ∨ - nửa dàn, nghĩa với cặp phần tử a,b ∈ S có cận nhỏ a ∨ b ∈ S (tương ứng S ∧ - 32 nửa dàn, nghĩa với cặp phần tử a,b ∈ S có cận lớn a ∧ b ∈ S với ba a,b,c ∈ S có c (a ∨ b) = ca ∨ cb, (a ∨ b) c = ac ∨ bc (tương ứng c (a ∧ b) = ca ∧ cb , (a ∧ b) c = ac ∧ bc) Trong phần mở đầu tiết 2.2 thấy có khả quan hệ thứ tự ≤ B với < a,ba vừa có đối nguyên tử vừa thoả mãn điều kiện {bnan: n ≥ 0} giới hạn Để bắt đầu tiết điều khơng xảy B ∨ - nửa dàn nửa nhóm quan hệ ≤ Nghĩa trường hợp này, nón theo ≤ tuân theo điều kiện chuỗi tăng, b nan < a với số nguyên không âm ≤ quan hệ thứ tự toàn phần 2.3.1 Bổ đề Giả sử ≤ quan hệ thứ tự phận tương thích B với < a, ba cho B nửa nhóm ∨ - nửa dàn Giả sử {bnan: n ≥ 0} giới nội B Thế bnan < a với số tự nhiên n Chứng minh Giả sử t = {s ∈ Z+: bnan < as, ∀n ≥ 0} Chúng ta cần chứng minh t = Giả t ≠ 1, theo Mệnh đề 2.2.4 có đối nguyên tử br+1ar Vì bn+tan+t < at nên bn+1an < 1, ∀n ≥ Do đó, br+1ar đối ngun tử, nên bn+tat ≤ br+1ar, ∀n ≥ tồn n cho bn+tat ∨ br+1ar = Nếu xuất trường hợp sau, giả sử m = n + r + Thế b n+tan = bt bnan ≤ bt bmam = bm+tam < nên bm+tam ∨ br+1ar = Nhưng am ∨ am+t-1 = am+t (bm+tam ∨ br+1ar) = am+t Vì m + t > m m + t > m + t - 1, điều khơng thể xảy Từ đó: bn+tan ≤ br+1ar, ∀n ≥ Giả sử k ≥ n ≥ k + (r + 1) - t Thế bn+tan ≤ br+1ar kéo theo bn+tan+t = bn+tan.at ≤ br+1ar.at = br+1ar+1.at-1, nên cách nhân trái với ar+1 nhân bên phải với br+1, nhận b(n+t)-(r+1)a(n+1) - (r+1) = ar+1 bn+tan+t.br+1 ≤ ar+1 at-1.br+1 = at-1 Từ đó, k ≤ n - (r + 1) + t = (n + t) - (r + 1), có bkak ≤ at-1, ∀k ≥ Điều mâu thuẫn với t nhỏ Do t = 33 2.3.2 Hệ Giả sử ≤ quan hệ thứ tự phận tương thích B với < a,ba cho B nửa nhóm ∨ - nửa dàn B thứ tự từ điển thoả mãn điều kiện chuỗi tăng nón Kết tiết liên quan với trường hợp B nửa nhóm ∨ - nửa dàn Điều hoàn toàn tự nhiên kết 2.3.3 Định lý Thứ tự từ điển quan hệ thứ tự phận tương thích ≤ với < a, ba cho B trở thành nửa nhóm ∧ - dàn Chứng minh Giả thiết ≤ quan hệ thứ tự phận tương thích B với < a, ba biến B thành nửa nhóm ∧ - nửa dàn Thế theo Định lý 2.2.7, ≤ thứ tự từ điển có đối nguyên tử Giả thiết xảy trường hợp thứ hai Thế tồn n > cho bnan < a bn+1an+1 ⊄ a Thế bnan ≤ a ∧ bn+1an+1 theo Bổ đề 2.2.3 có a ∧ bn+1an+1 luỹ đẳng Từ a ∧ bn+1an+1 = bnan Nhưng điều kéo theo = anbnanbn = an(a ∧ bn+1an+1 ) bn = anabn ∧ an bn+1an+1, bn = a ∧ ba = ba Vì B nửa nhóm ∧ - nửa dàn Điều mâu thuẫn Năm 1975, R.McFadden chứng tỏ nhóm tự thứ tự tồn phần chúng khơng thừa nhận thứ tự dàn làm chúng thứ tự toàn phần Định lý 2.3.3 chứng tỏ nửa nhóm bicyclic có tính chất Năm 1974, Turo Saito nửa nhóm ngược tự thứ tự tồn phần 2.3.4 Hệ Nửa nhóm bicyclic B thứ tự tồn phần khơng thừa nhận thứ tự dàn khơng phải thứ tự tồn phần Chứng minh Giả sử B nửa nhóm thứ tự dàn quan hệ thứ tự phận tương thích ≤ Thế điều xảy bốn thứ tự phận quỹ đạo ≤ Nhưng chúng 34 có tính chất nhỏ a, ba Theo Định lý 2.3.3, B thứ tự tồn phần thứ tự quan hệ ≤ Định lý 2.3.3 có quan hệ thứ phận tương thích với < a, ba biến B thành nửa nhóm ∧ - nửa dàn Hơn trường hợp quan hệ thứ tự ∨ - nửa dàn Thực tế có họ vô hạn quan hệ thứ tự với bổ sung để chúng trở thành quan hệ thứ tự từ điển 2.3.5 Định lý Giả sử ≤ quan hệ thứ tự phận tương thích B với < a, ba cho với quan hệ B trở thành nửa nhóm ∨ - nửa dàn Thế B thứ tự từ điển có đối nguyên tử b nan-1 Trong trường hợp sau thứ tự phận B cho hc s − r ≤ v − u vµ s ≤ v bras ≤ buav ⇔  hc < (n + 1)( s − v ) < n(r − u ) Số nguyên dương n xác định n = max{t: btat < a} Chứng minh Giả sử B không thứ tự theo lối từ điển quan hệ ≤ giả sử K nón nó.Thế B có đối ngun tử bnan-1 K thoả mãn điều kiện chuỗi tăng.Chúng ta đòi hỏi K = K(bnan-1) Các kết lại suy trực tiếp từ điều Trước hết, ý phần tử w B với w ≤ thoả mãn điều kiện chuỗi tăng B có đối nguyên tử w < kéo theo w ≤ bnan-1 Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.1.11, w = b ras ∈ K(bnan-1) ns ≤ (n1)r; K (bnan-1) = {1, bnan-1} ∨ {bras: ns ≤ (n-1)r} Giả thiết K ≠ K(bnan-1), điều dẫn tới mâu thuẫn Theo điều kiện chuỗi tăng, tập hợp X = {w ∈ B: w < 1; w ∉ K(bnan-1)} có phần tử cực đại buav Thế v < u buav ∉ K (bnan-1) nên (n - 1) u < nv Từ v + ≤ u kéo theo (n - 1)(v + 1) < nv nên n - < v từ v < u có n ≤ v < u Điều 35 kéo theo buav = bu-n bnan-1.av-(n-1) ≤ bu-nav-(n-1) Vì bnan-1 ≤ Hơn nữa, n > 0, bất đẳng thức thực sự, nên buav < bu-nav-(n-1) Nhưng buav ≤ bnan-1 kéo theo bu-nav-(n-1) = an buan-1 ≤ an bnan-1 bn-1 = Từ đó, theo tính cực đại buav, có bu-nav-(n-1) ∈ K (bnan-1) Nhưng (n - 1)(u - n) - n {v - (n - 1)} = (n - 1) u - nv < b uav ∉ K (bnan-1) Điều mâu thuẫn với bu-nav-(n-1) ∈ K (bnan-1) Bây chứng minh khẳng định ngược lại Định lý 2.3.5 Nghĩa là, K = K (bnan-1) với n ≥ quan hệ thứ tự phận nhận ≤ biến B thành nửa nhóm ngược ∨ - nửa dàn với < a, ba Bước nhận cận bras buav quan hệ thứ tự phận Điều thực phương pháp đồ thị Trước hết, ta thấy B dàn phân phối quan hệ ≤ Từ  y ≤ x + (r − s) vµ x ≥ s dạng ≤ nhận bras ≤ bxay ⇔   hc x < s vµ dy ≤ cx + (dr − cs) c = n, d = n - Như vậy, mặt hình học, tập hợp tất phần tử byax B thoã mãn byax ≥ bras tương ứng với tập hợp điểm có toạ độ nguyên không âm nằm miền bên phải giới hạn đường thẳng y = x + (r - s) , dy = cx + (dr - cs) qua điểm (s, r) Cho trước phần tử bras buav vị trí tổng quát, ta thấy giao miền tương ứng cho điểm bên phải hình bình hành tạo bốn đường thẳng Hơn nữa, cần cơng thức xác để chứng minh phép nhân phân phối phép hợp Từ thấy B khơng phải nửa nhóm ∧ - nửa dàn quan hệ ≤ Điều khơng dựa vào đồ thị mà phải dựa vào bổ đề sau: 2.3.6 Bổ đề Giả sử K = K(bcad) c - d = giả sử ≤ quan hệ thứ tự phận tương thích Thế bras ∨ buav = bpaq p = c{(r - s) ∧ (u - v)} - (dr - cs) ∧ (du - cv) 36 q = d{(r - s) ∧ (u - v)} - (dr - cs) ∧ (du - cv) Chưng minh Chúng ta tìm cách thuận tiện sử dụng nhận xét x ∨ y = -(-x ∧ -y) với x, y số nguyên Trước hết chứng tỏ p,q ≥ 0.Vì d ≤ c nên dr - cs ≤ cr – cs = c (r - s) du - cv ≤ cu - cv = c (u - v) nên (dr - cs) ∧ (du - cv) ≤ c (r - s) ∧ c (u - v) = c{(r - s) ∧ (u - v)} điều chứng tỏ p ≥ Mặt khác cs - dr ≥ ds - dr = d(s - r) cv - du ≥ dv - du = d(v - u) nên (cs - dr) ∨ (cv - du) ≥ d(s - r) ∨ d (v - u) = d {(s - r) ∧ (v - u)} Do - {(dr - cs) ∧ (du - cv)} ≥ - d{(r - s) ∨ (u - v)} ⇒ d {(r - s) ∧ (u - v)} ≥ (dr - cs) ∧ (du - cv) q ≥ Hơn q - p = (d - c) {(r - a) ∧ (n - v)} = - {(r - s) ∧ (u - v)} (vì c - d = 1) = (r - s) ∨ (v - u) q - p ≥ s - r Tiếp theo, s ≤ q s > q Trong trường hợp thứ có bras ≤ bpaq Trong trường hợp thứ hai, r - p ≥ s - q ta có r - p Hơn d(r - p) - c(s - q) = (dr - cs) - (dp - cq) = (dr - cs) - (c - d) {(dr - cs) ∧ (du - cv)} = (dr - cs) - (dr - cs) ∧ (du - cv) ≥ Nên d(r - p) ≥ c(s - q), chứng tở br-p as-q ∈ K Từ bqap cận bras tương tự buav Đảo lại, giả sử bras, buav ≤ byax Thế x - y ≥ s – r ; v - u nên x - y ≥ (s - r) ∨ (v - u) = q - p Như b paq ≤ byax miễn q ≤ x giả thiết q > x tìm mâu thuẫn, xét ba trường hợp: Trường hợp (i) x ≥ s ∨ v, có d(r - s) = (dr - cs) + s ≤ (dr - cs) + s ∨ v d(u - v) = (du - cv) + v ≤ (du - cv) + s ∨ v nên q = d {(r - s) ∧ (u - v)} - (dr - cs) ∧ (du - cv) = d(s - r) ∧ d(u - v) - (dr - cs) ∧ (du - cv) ≤ {(dr - cs) ∧ (du - cv) + s ∨ v} - (dr - cs) ∧ (du - cv) = s ∨ v ≤ x Như bpaq ≤ byax 37 Trường hợp (ii) x < s ∧ v Thế br-yas-x , bu-yav-x ∈ K nên d(r - y) ≥ c(s - x) d(u - y) ≥ c(v - x), điều kéo theo dr - cs ≥ dy cx, du - cv ≥ dy - cx Do d(p - y) - c(q - x) = (dp - cq) - (dy - cx) = (dr - cs) ∧ (du - cv) - (dy - cx) ≥ Từ bp-yaq-x ∈ K bpaq ≤ byax Trường hợp (iii) s ∧ v ≤ x < s ∨ v Theo tính chất đối xứng, giả thiết s < v s ≤ x < v đó, buav ≤ byax, có d(u - y) ≥ c(v - x) > d(v - x) nên u - y > v - x Hơn nữa, q - y ≥ q - x có y < p d(p - y) - c(q - x) = (dp - cq) - (dy - cx) = (dr - cs) ∧ (du - cv) - (dy - cx) ≥ (dr - cs) ≥ (du - cv) Nhưng dr - cs < du - cv kéo theo < c(v - s) ≤ d(u - r) ≤ c(u - r) nên v - s ≤ u - r r - s ≤ u - v, q = d(r s) - (dr - cs) = s ≤ x Nhưng điều trái với giả thiết q > x 2.3.7 Bổ đề Phép tốn ∨ tương thích với phép nhân bên trái với b phép nhân bên phải với a Chứng minh Chúng ta xét phép nhân trái với a, phép nhân bên phải với a suy từ tính đối xứng Giả sử b ras ∨ buav = bpaq Thế b(bras ∨ buav) = bp+1aq bn+1as ∨ bu+1av = byax y = c{(r + - s) ∧ ( u + - v) } - {d(r + 1) - cs} ∧ {d(u + 1) - cv} = c{(r - s) ∧ (u - v) + 1} - {(dr cs) + d} ∧ {(du - cv) + d} = c{(r - s) ∧ (u - v)} - (dr - cs) ∧ (du - cv) + (c - d) = p + tương tự x = q Lập luận tương tự chứng tỏ u, r > 0, phép nhân bên trái với a phân phối ∨ Đối ngẫu phép nhân phải với b s, v > Hơn nữa, r = = u a (b 0ar ∨ b0av) = a as∨v = a1+(s∨v) = a1+s ∨ a1+v = a.b0as ∨ a.b0av, nên trường hợp này, tính phân phối giữ ngun Từ cịn lại phải xét trường hợp r = s = 0, cịn trường hợp khác khơng cần thiết tính đối ngẫu Như chứng minh rằng: 38 2.3.8 Bổ đề Giả sử r = 0, u > Thế a( bras ∨ buav) = a bras ∨ a buav Chứng minh Vì r = nên bras ∨ buav = bpaq p = c {- s ∧ (u – v)} - (-cs) ∧ (du – cv) q = d {- s ∧ (u – v)} - (-cs) ∧ (du – cv) Trường hợp i) p = Từ a( bras ∨ buav) = aq+1 Khi p = -cs ∧ c(u – v) = c{-s ∧ (u – v)} = -cs ∧ (du – cv) –du – cv < cu - cv, giá trị nhỏ chung phải -cs đẳng thức xảy –cs ≤ du - cv Trong trường hợp này, q = ds + cs = s nên a( bras ∨ buav) = as+1 Hơn có a bras ∨ a buav = as+1 ∨ bu-1av = byax x = d{-(s + 1) ∧ (u - - v)} - {- c(s + 1) ∧ (du - d - cv)} = d{- s ∧ (u – v)} – d -{-cs - (du – cv + c – d + d – d) – c} = d(-s) – d -{(-cs) – c} = (c - d)(s + 1) = s + du - cv + c – d > du – cv kéo theo –cs = (-cs) ∧ (du – cv) = (-cs) ∧ (du – cv + c – d) tương tự, y = Như p = bổ đề chứng minh Trường hợp ii) p > Khi – cs > du – cv nên p = c{(- s) ∧ (u - v)} – (du – cv)} q = d{(- s) ∧ (u - v)} - (du - cv) a( bras ∨ buav ) = a b p aq = bq-1 ap Hơn a bras ∨ a.buav = as+1 ∨ bu-1av = byax y = c {(-s + 1) ∧ (u – – v)} - { -c (s + 1) ∧ (du – d – cv)} = c{(-s) ∧ (u - v)} - c - {(-cs + d – c) ∧ (du – cv) – d } Vì -cs > du - cv d - c = -1, -cs + (d - c) ≥ du - cv nên y = c{(-s) ∧ (u – v)} - (du – cv) - (c – d) = p - (c – d ) = p - Tương tự , y = q Từ trường hợp bổ đề chứng minh 39 2.3.9 Định lý Với số nguyên dương n, nửa nhóm bicyclic B(a,b) nửa nhóm ngược ∨ - nửa dàn quan hệ thứ tự phận ≤ xác định  y ≤ x + (r − s)  vµ ( n − 1) y ≤ nx + {(n − 1)r − ns} r s y x b a ≤ b a ⇔  Dưới quan hệ thứ tự đó, < bnan < a bn+1an+1 ≰ a Kết hợp lại ta nhận kết sau: 2.3.10 Định lý Ngoài bốn quan hệ toàn phần xác định Định lý 2.1.4, nửa nhóm bicyclic B thừa nhận hai họ vơ hạn quan hệ thứ tự phận khác biến B thành nửa nhóm ngược ∨ - nửa dàn Chúng xác định sau cho số nguyên dương n : (i) bras ≤ byax y ≤ x + x + (r - s) (n - 1) y ≤ nx + (n - 1)r – ns; số nguyên dương n = max{s : < bsas < a} (ii) bras ≤ byax y ≥ x + (r - s) ny ≥ (n - 1)x + {nr – (n - 1)s} ; số nguyên dương n = max{s : < bsas < b} Từ Định lý 2.3.10 nguyên lý đối ngẫu trực tiếp suy ra: 2.3.11 Định lý Ngoài bốn quan hệ thứ tự toàn phần nêu Định lý 2.1.4, nửa nhóm bicyclic B thừa nhận hai họ vô hạn quan hệ thứ tự phận ≤ khác biến B thành nửa nhóm ngược ∧ - nửa dàn Chúng xác định sau cho số nguyên dương n: (i) bras ≤ byax y ≥ x + (r - s) (n - 1)y ≥ nx + {(n - 1)r – ns} ; số nguyên dương n = max{ s : a < bsas < 1} (ii) bras ≤ byax y ≤ x + (r - s) ny ≤ (n - 1)x + {nr – (n - 1)s} ; số nguyên dương n = max{s : b < bsas < 1} 40 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau đây: Hệ thống kiến thức nửa dàn dàn, nửa nhóm bicyclic thứ tự tương thích nửa nhóm Bốn thứ tự tồn phần tương thích khác nửa nhóm bicyclic B = B(a,b) Chứng minh chi tiết kết quả: bốn quan hệ thứ tự tồn phần, nửa nhóm bicyclic B thừa nhận hai họ vô hạn quan hệ thứ tự phận khác biến B thành nửa nhóm ngược ∨ - nửa dàn (Định lý 2.3.10) kết đối ngẫu biến B thành nửa nhóm ngược ∧ - nửa dàn ( Định lý 2.3.11) Chúng tơi tìm hiểu quan hệ thứ tự phận ≤ nửa nhóm (ngược bicyclic) B = B(a,b) để (B, ≤) thứ tự phục tùng bên trái (hay bên phải) bước đầu thu vài kết quan tõm 41 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] A.H.Clifford and G.B.Preston (1979), Lý thuyÕt nöa nhãm (2 tập), Bản dịch Hoàng Kỳ- Trần Văn Hạo, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [3] Lê Quốc Hán (2009), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trng Đại học Vinh [4] Nguyễn Thị Hải Yến (2007), Quan hệ thứ tự toàn phần tơng thích nửa nhóm Bicyclic, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trng §¹i häc Vinh TiÕng Anh [5] T.S Blyth (1973), “ Dubreil-Jacotin inverse semigroups”, Proc Roy Soc Ed - inburgh Sect.A.71, 345-360 [6] M.R.Darnel (1995), Theory of Lattice Ordered Groups, Marcel Dekker Inc, NewYork, N Y [7] D.B McAlister (1980), “Amenably ordered inveres semigroups”, Journal of Algebra, 65, 118 - 146 [8] D.B.McAlister (1997), Compatible Orderings on the Bicyclic Semigroup, Deportment of Mathematical Sciences Northrn Illinois University, Dekalb IL 60115, U.S.A [9] R McFadden (1975), “ Proper Dubreil - Jacotin inveres semigroups”, Glasgow Math Journa, 16, 40- 51 [10] Toru Saito (1965), “Propr ordered inveres semigroups”, Pacific J Math, 15, 649-666 [11] Toru Saito (1974), “No free invere semigroups is orderable”, Proc Japan Acad , 50, 837-838 ... toàn phần khác quỹ đạo ≤ ) 2.3 Nửa nhóm ∨ - nửa dàn bicyclic Ta nhắc lại nửa nhóm S gọi nửa nhóm ∨ - nửa dàn (hay nửa nhóm ∧ - nửa dàn) quan hệ ≤ S ∨ - nửa dàn, nghĩa v? ??i cặp phần tử a,b ∈ S có cận... ý i) Nếu S nửa nhóm ngược ∨ - nửa dàn S /σ ∨ nửa dàn nhóm; dàn nhóm thứ tự Hơn khơng kéo theo S dàn nửa nhóm thứ tự Thực ra, thấy S có khả dàn, chí dàn phân phối quan hệ ≤ dàn nửa nhóm thứ tự... < 1} 40 KẾT LUẬN Luận v? ?n trình bày v? ??n đề sau đây: Hệ thống kiến thức nửa dàn dàn, nửa nhóm bicyclic thứ tự tương thích nửa nhóm Bốn thứ tự tồn phần tương thích khác nửa nhóm bicyclic B = B(a,b)