Nguyễn Trung Thành Đại Học Vinh Trờng Đại Học Vinh Chapter 1 Khoa Toán Nguyễn Trung Thành Đ Đ ờng trắc địa ờng trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều trên đa tạp Riemann hai chiều Khoá luận tốt nghiệp Vinh 2002 2 Nguyễn Trung Thành Đại Học Vinh Mục Lục Trang Chapter 2 Mở đầu 2 Đ1 Đờng trắc địa trên mặt S trong E 3 3 Đ2 Đờng trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều .8 Đ3 Tính bất biến của đờng trắc địaqua vi phôi dẳng cự 15 Đ4 Phơng trình đờng trắc địa và các ứng dụng 19 Đ5 Tính chất ngắn nhất của đờng trắc địa 29 Kết luận .37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Trong các giáo trình hình học vi phân, khi đề cập đến hình học nội bộ của mặt trong E 3 , thờng đề cập đến đờng trắc địa. Khi nghiên cứu vấn đề này, chúng ta thấy rằng đờng trắc địa trên mặt cong đóng vai trò của đờng thẳng trên mặt phẳng. Do đó nó có rất nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực Hình học_Tôpô, lý thuyết đồ thị, cơ học và giao thông vận tải, . Vấn đề này đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Các bài toán về tính cực tiểu độ dài của lới các đờng trắc địa đã đợc nhiều tác giả trong và ngoài n- ớc quan tâm. Chúng ta có thể tìm thấy các kết quả về lĩnh vực này trong các bài báo của nhiều nhà toán học. Mới đây nhất là luận văn thạc sĩ toán học của Nguyễn Hữu Quang với đề tài Đờng trắc địa và lới các đờng trắc địa cực tiểu trong toàn cục (Đại Học Vinh, 2001). Trong luận văn này, mục đích chính của chúng tôi là nghiên cứu các đờng trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều. Luận văn đợc chia làm 5 Mục: 3 Nguyễn Trung Thành Đại Học Vinh - Mục 1, tác giả chủ yếu trình bày đờng trắc địa trên mặt S trong E 3 và chỉ ra một số đờng trắc địa trên các mặt, cụ thể nh mặt cầu, mặt trụ, mặt phẳng - Mục 2, trình bày đờng trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều. - Mục 3, tác giả trình bày một số tính chất của ánh xạ đẳng cự và chứng minh đợc tính bất biến của đờng trắc địa qua một vi phôi đẳng cự. - Mục 4, trong mục này tác giả chủ yếu trình bày phơng trình đờng trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiêùvà đã chứng minh đợc tính đầy trắc địa của nửa phẳng Poincaré. - Mục 5, trình bày tính chất ngắn nhất của đờng trắc địa. Luận văn đợc hoàn thành vào tháng 5 năm 2002 tại trờng Đại Học Vinh dới sự h- ớng dẫn của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn hình học nói riêng và các thầy giáo cô giáo làm việc tại khoa Toán đã giảng dạy và chỉ bao những vấn đề liên quan đến vấn đề nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện giúp đỡ tác gỉa trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Vinh, tháng 5 năm 2002. Tác giả. Đ1. Đờng trắc địa trên mặt S trong E 3 Trong toàn bộ mục này luôn giả thiết S là mặt trong E 3 đợc định hớng bởi tr- ờng vectơ pháp tuyến đơn vị n 1.Đờng trong E n - Hai cung tham số : J E n , t (t) và r : I E n , u r(u) ( I,J là các khoảng trong , ,r khả vi ) gọi là tơng đơng nếu có vi phôi :I J, t u=(t) sao cho r o =. - Dễ thấy đó là một quan hệ tơng đơng, mỗi lớp tơng đơng [] gọi là một đờng cong trong E n , kí hiệu là =[] 4 Nguyễn Trung Thành Đại Học Vinh - Ta biết rằng :I J là một vi phôi thì hoặc >0 hoặc <0 do đó tập tất cả các tham số hoá của chia làm hai tập : - H 1 ={r | có vi phôi để r o = mà >0 } - H 2 ={r | có vi phôi để r o = mà <0 } H 1 ( hoặc H 2 ) gọi là một hớng của . - gọi là định hớng nếu đã chọn một hớng trên . - Nếu r [] thì từ [J] =(r o )(J)=r(I) suy ra ảnh của các tham số hoá của =[] là trùng nhau. Để thuận tiện ngời ta thờng đồng nhất với (J). 2.Cung chính quy. - Cho đờng cong xác định bởi : JE n ,t (t). Điểm t o J (hay (t o )) gọi là điểm chính quy của nếu (t o ) 0. - gọi là cung chính quy nếu mọi điểm của nó là điểm chính quy. - Một tham số hoá r:IE n , u r(u) của cung chính quy gọi là tham số hoá tự nhiên nếu ' r =1 . Định lí. Mọi cung chính quy đều có tham số hoá tự nhiên . Chứng minh: Giả sử đợc xác định bởi : JE n , t (t). Lấy t o J Xét hàm số : JIR , (t) = dtt t t 0 )( ' Rõ ràng (t)= )( ' t >0 , t J , nên là một vi phôi từ J lên một khoảng I R. Vậy có tham số hoá r : IE n của là u r(u) = o -1 (u). Vì = r o , nên = (r o ). do đó ' = ' o r ' = ' o r . ' Suy ra ' r =1./. Từ nay trở đi ta chỉ xét những đờng cong là cung chính quy, nếu không chỉ ra thì chỉ xét tham số tự nhiên của nó 3.Đờng trắc địa trên mặt S trong E 3 . 1. Định nghĩa . Giả sử là đờng cong định hớng trên mặt S trong E 3 t (t) S là tham số hoá của . Khi đó hàm số : ))(().)(")('( )(' 1 )( 3 tntt t tkg = gọi là độ cong trắc địa của . 5 Nguyễn Trung Thành Đại Học Vinh Nhận xét : Độ cong trắc địa của đờng cong định hớng không phụ thuộc vào tham số đã chọn , do đó nó là một hàm số dọc . Thật vậy, trong tham số hoá tơng đơng o , ( là phép đổi tham số, ' > 0) ta có: ( o ' = ' .( ' o ) ( o ) '' = '2 .( '' o ) + '' .( ' o ). nên .)(.)(')(. 0 ''' 3 ''' )()( = n o n oo Suy ra [ ] )() ( ' 1 )( )(.)"()'( 0 33 0 0000 n n = 3.2. Định nghĩa. Đờng cong định hớng trên mặt S gọi là đờng trắc địa của S nếu độ cong trắc địa của nó đồng nhất triệt tiêu. 3.3. Mệnh đề. Đờng cong định hớng của S là đờng trắc địa khi và chỉ khi N và n o cộng tuyến, trong đó N là trờng vectơ pháp tuyến chính đơn vị của . Chứng minh. Giả sử :JS, t (t) là tham số tự nhiên của , giả sử là đờng trắc địa của S, tức là: Kg = 0 ( ))(()).(")(' tntt =0 0)().( 0 = nNT . Mặt khác T và n o luôn thẳng góc, do đó N và n 0 cộng tuyến . 3.4 Mệnh đề. Giả sử : J S , t (t) là tham số bất kì của mà ' là hàm hằng. Khi đó là đờng trắc địa của S khi và chỉ khi và n o cộng tuyến. Chứng minh. Giả sử là đờng trắc địa của S , tức là kg = 0 ( ) ( n o ) (t) = 0. Hơn nữa từ ' là hàm hằng suy ra ( ' 2 ) = 0 , hay . = 0. Mặt khác . ( n o ) = 0 , do đó n o và cộng tuyến. Ngợc lại nếu n o và cộng tuyến, khi đó ( n o ) = 0 6 Nguyễn Trung Thành Đại Học Vinh [ n o ]. = 0 kg = 0./. 4.Ví dụ về đờng trắc địa. 4.1.Mệnh đề. Trên mặt phẳng E 2 , là đờng trắc địa khi và chỉ khi nó là một đ- ờng thẳng. Chứng minh.Trong E 3 , với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz đã chọn giả sử mặt E 2 có phơng trình: Ax + By + Cz +D = 0, (A,B,C,D là các hằng số, A 2 + B 2 + C 2 0 ), khi đó trờng vecto pháp tuyến là n =(A,B,C). Giả sử là đờng trắc địa :JS , t (t) là tham số hoá tự nhiên của , theo mệnh đề 3.4, Mục1 ta có và n o cộng tuyến. Tức là có hàm số q(t) sao cho ( ) )(.),(.),(.)().()( " tqCtqBtqAtntqt == = dttqtnt ).().()(" . Mặt khác, ta có )()(' tnt , suy ra: 0dt)t(q = 0)t(q = 0" = atpt += )( , trong đó at = )(' là véc tơ hằng, p là điểm thuộc . Vậy là một đờng đờng thẳng. Ngợc lại nếu đờng thẳng xác định bởi atpt += )( , a là véc tơ hằng. Suy ra at = )(' = 0 , do đó và n o cộng tuyến hay là một đờng trắc địa ./. 4.2.Mệnh đề. Trên mặt cầu S bán kính R trong E 3 , định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn vị hớng ra ngoài n. Khi đó là đờng trắc địa của mặt cầu S khi và chỉ khi nó phải nằm trên các đờng tròn lớn của S. Chứng minh: Giả sử : JS, )s(s là một tham số hoá tự nhiên của đờng trắc địa trên S. Ta có 2 2 R)s(O = , (O là tâm của mặt cầu), ta suy ra: 0)s('.)s(O = 0)s(".)s(O)s(' 2 =+ , do đó 0)s(" . Vì là đờng trắc địa nên theo mệnh đề 3.3 , Đ1 ta có N và n o cộng tuyến , tức là 0 nN = , theo công thức Frénet ta có: )T(h)'(h ds )n(D ds DN BkT 0 == == Trong đó { } B,N,T là trờng mục tiêu Frénet của cung ; k và theo thứ tự là độ cong và độ xoắn của nó. 7 Nguyễn Trung Thành Đại Học Vinh Ta biết rằng trên mặt cầu bán kính R ta có: R )(h = , nên: R T BkT = , do đó 0 = , tức là là một cung phẳng với độ cong R 1 k = . Vậy phải nằm trên một đờng tròn lớn của S. Ngợc lại, giả sử nằm trên đờng tròn lớn. Khi đó từ : 2 2 )( RsO = 0)('.)( = ssO 0)(".)()(' 2 =+ ssOs 0)(.)((.1 =+ sNsnkR Vì nằm trên đờng tròn lớn của S nên R 1 k = do đó 1+(n o )(s).N(s) = 0. Vậy n o và N cộng tuyến, hay là đờng trắc địa ./. 4.3. Mệnh đề. Trên S là mặt trụ tròn xoay xác định bởi phơng trình x 2 + y 2 = R 2 trong toạ độ Descarter vuông góc oxyz, chỉ có ba loại đờng trắc địa. Chứng minh: Giả sử là đờng trắc địa của mặt trụ S. ))t(),t(sinR),t(cosR()t(t = là một tham số hoá của mà ' là hàm hằng. Khi đó " cộng tuyến n o , ta biết rằng pháp tuyến của S tại mỗi điểm luôn vuông góc với trục oz. Suy ra 0)t(" = , tức là DCt)t( += (C,D là các hằng số). Hơn nữa ta có 222 )t(')t('R)t(' += là một hàm hằng, suy ra )t(' là một hàm hằng, nên BAt)t( += (A,B là các hằng số) Vậy nếu là đờng trắc địa trên S thì : )DCt),bAtsin(R),BAtcos(R()t( +++= (A,B,C,D là các hằng số) Ngợc lại, xét cung tham số )DCt),BAtsin(R),BAtcos(R()t( +++= , ta có: )C),BAtcos(R.A),BAtsin(R.A()t(' ++= )0),BAtsin(RA),BAtcos(RA()t(" 22 ++= )0),BAtsin(R),BAtcos(R(A 2 ++= ))t((n.RA 2 = . Vậy " và 0 n cùng phơng, do đó cũng là đờng trắc địa. +) Nếu C = 0 thì ảnh của )t( nằm trên các đờng tròn vĩ tuyến. +) Nếu A = 0 thì ảnh của )t( nằm trên các đờng thẳng kinh tuyến. +) Nếu A 0, C 0 thì ảnh của )t( nằm trên đờng đing ốc tròn. 5.Trờng mục tiêu Darboux dọc . 5. 1.Định nghĩa. Với mỗi cung chính quy định hớng xác định bởi tham số hoá S)t(t trên mặt S trong E 3 , S đợc định hớng bởi trờng vectơ pháp tuyến đơn 8 Nguyễn Trung Thành Đại Học Vinh vị n. Gọi T là trờng vectơ tiếp xúc đơn vị dọc , xây dựng trờng vectơ T)n(:Y 0 = thì đợc một trờng mục tiêu trực chuẩn thuận dọc cung chính quy định hớng là )n,Y,T( 0 và đợc gọi là trờng mục tiêu Darboux dọc . 5.2. Mệnh đề. Nếu )s(s là tham số hoá tự nhiên của cung song chính quy đinh hớng trên mặt S thì độ cong trắc địa của nó thoả mãn: Y.N.kkg = Trong đó k là độ cong của , N là trờng vectơ pháp tuyến chính đơn vị dọc . Chứng minh: Vì là tham số hoá tự nhiên nên ta có: [ ] ))((.)(")(')( snssskg = [ ] ))((.)().()( snsNsksT = [ ] )(.)())(()( sNsTsnsk = )(.)().( sNsYsk = ./. Đ2. đờng trắc địa trên đa tạp riemann haichiều. Để nghiên cứu các tính chất của đờng trắc địa trên mặt trong mục này tác giả trình bày đờng trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều. Giả sử M là một đa tạp hai chiều. Một cấu trúc metric Riemann trên M là việc đặt ứng với mỗi Mp , một tích vô hớng p , trên MT p sao cho tích vô hớng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi; tức là với hai trờng vectơ tiếp xúc khả vi X, Y trên M thì hàm số )(),( pYpXp là một hàm số khả vi. M cùng với cấu trúc Riemann <,> > đó gọi là một đa tạp Riemann hai chiều, ký hiệu (M,<, >). Khi xét p , là tích vô hớng trên MT p cảm sinh từ tích vô hớng trong E n là đ- ợc đa tạp Riemann hai chiều với metric chính tắc mà ta ký hiệu là (M, can). 1.Định lý. ),,M( là một đa tạp Riemann hai chiều thì với trờng mục tiêu trực chuẩn { } 21 U,U trên tập mở V của M, gọi { } 21 , là trờng đối mục tiêu của nó, tức là các dạng vi phân bậc một trên V mà ijj i )U( = (i,j = 1,2), ta có một và chỉ một dạng vi phân bậc một 1 2 trên V thoả mãn: 12 1 2 21 2 1 d d = = Trong đó 1 2 2 1 = Chứng minh: Đặt )U,U(d).U,U(d 21 21 21 12 1 = 9 Nguyễn Trung Thành Đại Học Vinh Giả sử 2 2 1 1 UUX += , 2 2 1 1 UUY += là hai trờng vectơ bất kỳ trên V; 2121 ,,, là các hàm số trên V. Ta có )X().Y()Y().X()Y,X( 21 2 21 2 21 2 = )UU().UU()UU().UU( 2 2 1 12 2 2 1 11 22 2 1 12 2 2 1 11 2 ++++= [ ] )1(.)U,U(d 1221 21 1 == Mặt khác: )UU,UU(d)Y,X(d 2 2 1 1 2 2 1 111 ++= [ ] )2().U,U(d 1221 21 1 = Từ (1), (2) suy ra 121 2 d = hay 21 2 1 d = . Chứng minh tơng tự ta có: 12 1 2 d = . Giả sử có 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 )U( ~ ).U( ~~ += sao cho 21 2 1 ~ d = và 2 1 2 ~ d = . Từ đó ta có: )U,U( ~ )U,U(d 21 21 221 1 = [ ] 0).U( ~ 1).U( ~ 2 1 21 1 2 = )3()U( ~ 1 1 2 = Mặt khác: )U,U( ~ )U,U(d 21 12 121 1 = [ ] 1).U( ~ 0).U( ~ 2 1 21 1 2 = )4()U( ~ 2 1 2 = Từ (3), (4) suy ra: )U()U( ~ 1 1 21 1 2 = , )U()U( ~ 2 1 21 1 2 = Vậy tồn tại duy nhất 1 2 để 21 2 1 d = ; 12 1 2 d = trong đó 2 1 1 2 = . Định nghĩa. Dạng 1 2 nói trong định lý 1. Đ1 gọi là dạng liên kết của (M,<,> )trong trờng mục tiêu { } 21 U,U đã cho. 2. Đạo hàm của trờng vectơ dọc một cung tham số. Trờng vectơ dọc cung tham số MI: , )t(t là ánh xạ X:I TM = MT p mà với mọi It , MT)t(X )t( . 2.1. Định nghĩa. Cho cung tham số MI: , )t(t , trên đa tạp Riemann hai chiều (M,< ,>) thì với mỗi trờng vectơ X dọc , qui tắc sau đây xác định một trờng vectơ dọc , ký hiệu là dt X X dt hay , gọi là đạo hàm của X dọc : Với mỗi It 0 , lấy một trờng mục tiêu trực chuẩn { } 21 U,U trong một lân cận của )t( 0 , viết ))t((U).t())t((U).t()t(X 2 2 1 1 += trong lân cận đó của 0 t và đặt: 10 Nguyễn Trung Thành Đại Học Vinh ( ) ( ) ( ) ( ) )t(U.)t(').t()t( dt d )t(U.)t(').t()t( dt d )t(X dt 020 2 10 1 0 2 010 1 20 2 0 1 0 + + + + = Trong đó 2 1 1 2 = là dạng liên kết của ),,M( trong trờng mục tiêu trực chuẩn đã chọn. 2.2. Mệnh đề. Giả sử X, Y là hai trờng vectơ dọc MI: , )t(t ; là hàm số trên I, thì: Y dt X dt )YX( dt )i( + =+ . X. dt .X. dt d )X.( dt )ii( + = . + = Y dt ,XY,X dt Y,X dt d )iii( . Chứng minh: Lấy { } 21 U,U là trờng mục tiêu trực chuẩn trên M. Viết: ( ) ( ) )t(U).t()t(U).t()t(X 2 2 1 1 += ( ) ( ) )t(U).t()t(U).t()t(Y 2 2 1 1 += (i) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] )t(U.)t()t()t(U.)t()t( dt )t)(YX( dt 2 22 1 11 +++ =+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )t(U.)t(').t()t( dt )(d )t(U.)t(').t()t( dt )(d 2 2 1 11 22 1 1 2 22 11 ++ + + + ++ + = .Y dt X dt + = (ii)Tacó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )t(U).t(.)t(U).t(.)t(X 2 2 2 1 += nên: ( ) = )t(X dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )(.)().(.)( ).( )(.)(').(.)( ).( 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 tUttt dt d tUttt dt d + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )t(.U.)t(').t().t(t dt d .t. dt d )t(.U.)t(').t().t(t dt d .t. dt d 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 + + + + + + = 11 . Toán Nguyễn Trung Thành Đ Đ ờng trắc địa ờng trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều trên đa tạp Riemann hai chiều Khoá luận tốt nghiệp Vinh 2002 2 Nguyễn. đờng trắc địa trên đa tạp riemann haichiều. Để nghiên cứu các tính chất của đờng trắc địa trên mặt trong mục này tác giả trình bày đờng trắc địa trên đa tạp