BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ……… .******……… PHẠM THỊ PHƯƠNG MÔĐUN COHEN–MACAULAY DÃY VÀ MÔĐUN COHEN–MACAULAY SUY RỘNG DÃY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh, tháng 9 năm 2010 1 MỤC LỤC Mở đầu 2 Chương I. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Phổ và giá của môđun…………………………………………… 4 1.2. Sự phân tích nguyên sơ của môđun……………………………… 4 1.3. Biểu diễn thứ cấp của môđun……………………………………. 6 1.4. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m – adic…………………… . 6 1.5. Chiều Krull của môđun……………………………………………. 7 1.6. Hệ tham số………………………………………………………….8 1.7. Số bội……………………………………………………………….8 1.8. Bất biến kiểu đa thức …………………………………………….10 1.9. Dãy chính quy và độ sâu………………………………………… 11 1.10. Môđun đối đồng điều địa phương…………………………………12 1.11. Môđun Cohen- Macaulay và môđun Cohen- Macaulay suy rộng .13 1.12. Phức đối ngẫu…………………………………………………… 14 1.13. Môđun giả Cohen- Macaulay và môđun giả Cohen- Macaulay suy rộng…………………………………………… .15 Chương II. Môđun Cohen- Macaulay dãy và môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy 2.1. Môđun Cohen- Macaulay dãy và môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy……………………………… . 18 2.2. Đặc trưng đồng điều của môđun Cohen – Macaulay dãy và môđun Cohen – Macaulay suy rộng dãy……… 24 Kết luận………………………………………………………………… 30 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 31 2 Mở đầu Trong suốt luận văn này chúng tôi luôn giả thiết (R,m) là vành Noether, địa phương với iđêan tối đại duy nhất m và M là một R - môđun hữu hạn sinh với chiều Krull là dimM = d > 0. Chúng ta đã biết môđun Cohen- Macaulay là lớp môđun quan trọng và là lớp môđun được nghiên cứu nhiều trong Đại số giao hoán. Năm 1996, Stanley [5] đã đưa ra khái niệm môđun Cohen- Macaulay dãy cho trường hợp vành phân bậc. Sau đó, Nguyễn Tự Cường và Lê Thanh Nhàn [4] đã định nghĩa khái niệm này cho trường hợp vành địa phương và tương tự cũng định nghĩa khái niệm môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy. Hai lớp môđun này thực sự chứa lớp môđun Cohen- Macaulay. Mục đích của luận văn là trình bày lại khái niệm và một số tính chất của môđun Cohen- Macaulay dãy và môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy trên vành địa phương đã được đưa ra trong [4]. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm hai chương. Chương I: Kiến thức chuẩn bị. Để dễ theo dõi nội dung chính của luận văn, chương đầu tiên chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức về Đại số giao hoán và Đại số đồng điều có liên quan đến các kết quả và chứng minh ở Chương I nhằm làm cơ sở cho việc trình bày Chương II. Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. Chương II: Môđun Cohen- Macaulay dãy và môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy. Trong phần này chúng tôi trình bày lại khái niệm và một số tính chất của môđun Cohen- Macaulay dãy và môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy trên vành địa phương dựa theo [4]. 3 Luận văn được hoàn thành vào tháng 9 năm 2010 tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cũng nhân dịp này tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa sau Đại học, Ban giám hiệu trường Đại học Vinh, các đồng nghiệp bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 9 năm 2010 Tác giả 4 CHƯƠNG I Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán phục vụ cho việc chứng minh các kết quả ở chương sau. 1.1. Phổ và giá của môđun 1.1.1. Phổ của vành. Iđêan p của R được gọi là iđêan nguyên tố nếu p ≠ R v à với mọi a,b ∈ R , ab ∈ p thì a ∈ p hoặc b ∈ p. Ký hiệu SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó SpecR được gọi là phổ của vành R. Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu V(I) = {p ∈ SpecR | p ⊇ I}. 1.1.2. Giá của môđun. Tập con Supp M = { p ∈ SpecR| M p ≠ 0} của SpecR được gọi là giá của môđun M. Ta nói SuppM là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố p, q ∈ SuppM, với p ⊂ q luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa xuất phát từ p và kết thúc tại q, và tất cả các dãy nguyên tố bão hòa như thế đều có chung độ dài. Với mỗi x ∈ M ta ký hiệu Ann R (x) = { a ∈ R | ax = 0} Ann R (M) = { a ∈ R | ax = 0 , ∀ x ∈ M}. Ta có Ann R (x) và Ann R (M) là những iđêan của M; Ann R (M) được gọi là linh hóa tử của môđun M. Hơn nữa nếu M là R – môđun hữu hạn sinh thì Supp M = V(Ann R M) . 5 1.2. Sự phân tích nguyên sơ của môđun 1.2.1. Iđêan nguyên tố liên kết. (i) Giả sử p ∈ Spec(R) là một iđêan nguyên tố liên kết của R. Ta nói p là iđêan nguyên tố liên kết với R- môđun M nếu p là linh hóa tử của một môđun con xyclic của M, nghĩa là tồn tại v ∈ M \{0} sao cho p= (0: R vR). Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M, ký hiệu là Ass R (M) ( hoặc Ass(M) nếu không để ý đến vành R). (ii) Cho M là một R- môđun. Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử ước của không trên môđun M nếu tồn tại m ∈ M, m ≠ 0 sao cho xm = 0. Tập tất cả các ước của không trên M được ký hiệu là ZD R (M). Vậy ZD R (M) = {x ∈ R| ∃ m ∈ M\ {0} : xm = 0}. Tập hợp NZD R (M) = R\ ZD R (M) được gọi là tập hợp các phần tử không là ước của không trên môđun M. 1.2.2. Sự phân tích nguyên sơ của môđun. Cho N là một môđun con của môđun M. N được gọi là môđun con nguyên sơ của M nếu Ass (M/N) chỉ gồm một phần tử, tức là tồn tại một iđêan nguyên tố p sao cho Ass (M/N) = {p}. Khi đó ta nói N là môđun con p - nguyên sơ. Cho N là một môđun con của môđun M. N được gọi là có phân tích nguyên sơ nếu tồn tại hữu hạn môđun con nguyên sơ 1 2 , , ., n Q Q Q của M sao cho N = 1 2 . n Q Q Q∩ ∩ ∩ (1) Giả sử Q i là p i nguyên sơ. Khi đó phân tích (1) được gọi là phân tích thu gọn nếu các p i đôi một khác nhau và không có Q i nào có thể bỏ đi 6 được. Nếu p i là tối thiểu trong tập 1 { , ., } n p p thì môđun Q i tương ứng được gọi là thành phần cô lập, nếu trái lại thì Q i được gọi là thành phần nhúng. Định lý phân tích nguyên sơ của Lasker nói rằng mọi môđun con của môđun Noether đều có sự phân tích nguyên sơ thu gọn. Chú ý rằng sự phân tích nguyên sơ thu gọn của mỗi môđun là không duy nhất nhưng nếu N = 1 2 . n Q Q Q∩ ∩ ∩ là một sự phân tích nguyên sơ thu gọn của mỗi môđun con N, trong đó Q i là p i - nguyên sơ với mọi i = 1,…,n thì tập { 1 , ., n p p } xác định duy nhất và { 1 , ., n p p }= Ass(M/N). Các thành phần cô lập luôn có mặt trong mọi sự phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun. 1.3. Biểu diễn thứ cấp của môđun Một R – môđun X được gọi là môđun thứ cấp nếu với mọi r R∈ phép nhân bởi r trên X là toàn cấu hoặc lũy linh. Trong trường hợp này R Ann X là một iđêan nguyên tố chẳng hạn là p và ta gọi X là p – thứ cấp. Một biểu diễn thứ cấp của X là một phân tích 1 . , n X X X= + + trong đó X i là môđun con p i - thứ cấp với mọi i = 1,…, n. Biểu diễn trên được gọi là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của X nếu các p i đôi một khác nhau và không có X i nào là thừa. Khi đó tập { 1 2 , , ., n p p p } là không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối tiểu của X và được ký hiệu bởi R Att X . Với mỗi số nguyên dương j ta đặt ( ) { : d imR / j AttX p AttX p j= ∈ = }. Chú ý rằng ( / ) n X m Xl là hữu hạn và độc lập với n đủ lớn. Vì thế chúng ta ký hiệu nó là Rl(X) khi n đủ lớn. Rõ ràng nếu x ∈ m và x ∉ p với mọi p ∈ Att X\{m} thì ( / ) n X m Xl = Rl(X) khi n đủ lớn. 1.4. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m – adic 7 Cho (R,m) là một vành địa phương. Ta xét R như một vành tôpô với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan m t , t = 0,1,2,… . Chú ý rằng cơ sở lân cận của một phần tử tùy ý r ∈ R gồm các lớp ghép r + m t với t = 0,1,2, … . Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m – adic của R ký hiệu bởi R ∧ được định nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ của dãy Cauchy như sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy ( n r ) các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự nhiên n 0 để t n m r r m− ∈ với mọi n, m > n 0 . Dãy ( n r ) được gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0, tồn tại số tự nhiên n 0 để 0 t n r m− ∈ với mọi n, m > n 0 . t m Hai dãy Cauchy ( n r ) và ( n s ) được gọi là tương đương, ký hiệu ( n r ) : ( n s ) nếu dãy ( n r - n s ) là dãy không. Khi đó quan hệ : trên tập các dãy Cauchy là quan hệ tương đương. Ta ký hiệu R ∧ là tập các lớp tương đương của dãy Cauchy. Chú ý rằng nếu nếu ( n r ) và ( n s ) là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy ( n r + n s ), ( n r . n s ) là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương đương của các dãy Cauchy ( n r ) và ( n s ), tức là nếu ( n r ) : ( ' n r ) và ( n s ) : ( ' n s ) thì ( n r + n s ) : ( ' n r + ' n s ) và ( n r . n s ) : ( ' n r . ' n s ). Vì thế R ∧ được trang bị phép toán hai ngôi + và . ; cùng với hai phép toán này , R ∧ lập thành một vành. Mỗi phần tử r ∈ R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r. Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành ( ) R R r r ∧ → a 8 trong đó ( )r là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r. Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là các {m t M}. Khi đó M ∧ là một R ∧ - môđun với phép nhân với vô hướng như sau: Cho 1 2 1 2 ( , , .) , ( , , .)a a a R x x x M ∧ ∧ = ∈ = ∈ . Ta có 1 1 2 2 ax ( , , .) .a x a x M ∧ = ∈ 1.5. Chiều Krull của môđun Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R 0 1 . n p p p⊃ ⊃ ⊃ được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n. Cho p ∈ Spec R, cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với 0 p p= được gọi là độ cao của p, ký hiệu là ht(p). Cho I là một iđêan của R , khi đó ta định nghĩa ht(I) = inf{ ( ) | }ht p p SpecR I∈ ⊇ . Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R, ký hiệu là dim R. Cho M là một R – môđun. Khi đó dim( / ) R R Ann M được gọi là chiều Krull của môđun M, ký hiệu là dim M. 1.6. Hệ tham số Cho M là một môđun hữu hạn sinh với dimM = d trên vành giao hoán, địa phương, Noether (R,m). Một hệ các phần tử 1 ( , ., ) d x x x= của m sao cho 1 ( / ( , ., ) ) R d M x x M < +∞l được gọi là một hệ tham số của M. Nếu 1 ( , ., ) d x x x= là một hệ tham số của M thì hệ các phần tử 1 ( , ., ) i x x được gọi là một phần của hệ tham số với mọi i = 1,…,d. Iđêan 1 ( , ., ) d q x x R= được gọi là iđêan tham số của M. Ta có một số tính chất sau của hệ tham số. 9 +) 1 dim( / ( , ., ) ) d M x x M d i= − với mọi i = 1,…,d +) 1i x + ∉ ℘ với As R s ℘∈ 1 ( / ( , ., ) ) d M x x M thỏa mãn dimR/ ℘ = d-i với mọi i = 1,…,d. +) Nếu 1 ( , ., ) d x x x= là một hệ tham số của M và 1 ( , ., ) d n n n= là một bộ gồm d số nguyên dương thì 1 1 ( ) : ( , ., ) d n n d x n x x= cũng là một hệ tham số của M +) Nếu 1 ( , ., ) d x x x= là một hệ tham số của M thì x cũng là một hệ tham số của M ∧ , trong đó M ∧ là bao đầy đủ m – adic của M. 1.7. Số bội Cho R là một vành giao hoán, Noether, địa phương với iđêan cực đại duy nhất m và M là một R - môđun hữu hạn sinh với chiều Krull là dimM = d > 0. Một hệ các phần tử 1 ( , ., ) t x x x= của m sao cho 1 ( / ( , ., ) ) t M x x M < ∞l được gọi là một hệ bội của môđun M; ở đây nếu t = 0 thì ta hiểu điều kiện này có nghĩa là ( )M < ∞l . Chú ý rằng mỗi hệ tham số cũng là một hệ bội nhưng điều ngược lại là không đúng ( ta luôn có t d ≥ ). Khi đó ký hiệu bội e( x ;M) của môđun M đối với hệ bội x được định nghĩa theo t như sau: Giả sử t = 0 tức là ( )M < ∞l . Khi đó đặt e( ∅ ;M)= ( )Ml . Với t > 0, đặt 1 1 0 : { | 0} M x m mx= = . Khi đó 1 0 : M x là một môđun con của M. Vì 1 ( / ( , ., ) ) t M x x M < ∞l ta dễ dàng suy ra 1 2 (0 : ) / ( , ., ) M t x x xl 1 (0 : ) M x < ∞ tức 2 ( , ., ) t x x là hệ bội của môđun con 1 0 : M x . Vậy theo giả thiết quy nạp thì 2 1 ( , ., ; / ) t e x x M x M và 2 1 ( , ., ;0: ) t M e x x x đã được xác định. Khi đó ta định nghĩa: 1 2 ( , , ., ; ) t e x x x M = 2 1 ( , ., ; / ) t e x x M x M - 2 1 ( , ., ;0: ) t M e x x x . 10 . Chương II. Môđun Cohen- Macaulay dãy và môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy 2.1. Môđun Cohen- Macaulay dãy và môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy …………………………… II: Môđun Cohen- Macaulay dãy và môđun Cohen- Macaulay suy rộng dãy. Trong phần này chúng tôi trình bày lại khái niệm và một số tính chất của môđun Cohen-