trờng đại học vinh Khoa toán --------***------ nguyễn thị Loan Mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit Khoá luận tốt nghiệp Đại học ngành cử nhân khoa học toán Vinh 2005 ----------- 1 Đè tà i trờng đại học vinh Khoa toán --------***------ Mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit Khoá luận tốt nghiệp Đại học ngành cử nhân khoa học toán cáN Bộ hớng dẫn KHOA HọC: TS Nguyễn Duy Bình Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Loan Lớp: 42B2 Khoa Toán. Vinh 2005 2 Đè tà i ----------- Lời mở đầu ------------------ Qua việc nghiên cứu hình học xạ ảnh và hình học ơclit cho ta thấy từ một không gian xạ ảnh ta có thể xây dựng đợc một không gian Ơclit và gọi là " Mô hình xạ ảnh của không gian Ơclít ". Trong giáo trình hình học cao cấp (Hình học xạ ảnh) đã đề cập đến cách xây dựng đó. Vì vậy trong bản luận văn này chúng tôi tổng hợp lại cách xây dựng hệ thống và chứng minh một số tính chất trong " Mô hình xạ ảnh của không gian Ơclít. Đồng thời đa ra các ứng dụng, trong việc chuyển đổi các bài toán từ không gian ơclít sang không gian xạ ảnh và ngợc lại, và đề cập đến việc giải các bài toán trong không gian xạ ảnh. Nội dung của luận văn này gồm bốn mục . Đ1. Một số yếu tố cơ bản của hình học Afin và hình học Ơclít . Đ2. Một số yếu tố cơ bản của hình học xạ ảnh . Trong hai mục này chúng tôi đa ra một số kiến thức của hình học Afin, hình học Ơclit và hình học xạ ảnh để làm tiền đề cho Đ3 và Đ4. Đ3. Mô hình xạ ảnh của không gian Afin và không gian Ơclit. Trong mục này chúng tôi đa ra cách xây dựng các mô hình và các thể hiện Afin và Ơlit trong mô hình làm tiền đề lý thuyết cho Đ4. Đ 4. ứng dụng mô hình xạ ảnh của không gian Ơclit Trong mục này chúng tôi chia làm hai mục Mục A: Là ứng dụng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit để giải các bài toán trong mặt phẳng Ơclit. Mục B: Là ứng dụng mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclit để giải các bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh. Khoá luận này đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn nhiệt tình của thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình. Nhân dịp này tôi xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy, đồng thời tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trờng Đại Học Vinh. Chắc chắn rằng bản luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong đợc sự đánh giá, phê bình, góp ý của các thầy cô giáo cùng bạn bè. Tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, ngày 2 tháng 5 năm 2005 3 Sinh viên: Nguyễn Thị Loan Đ1. Một số yếu tố cơ bản của hình học afin và hình học Ơclit 1.1 .Định nghĩa, Cho V là không gian Vectơ trên trờng K và tập A không rỗng mà mỗi phần tử của nó gọi là một điểm. Giả sử có một ánh xạ : A ì A V (Ta ký hiệu (MN) = MN với M, N A) thoả mãn hai tiền đề i. Với mỗi điểm MA và mỗi vectơ U V có duy nhất một điểm N A sao cho MN = U ii. Với bất kỳ ba điểm M,N, P A thì MN + NP = MP. Khi đó ta gọi bộ ba (A,,V) là không gian afin A liên kết với không gian vectơ V. Ký hiệu là A Nếu K = R ta gọi A là không gian Afin thực. Nếu K = C ta gọi A là không gian Afin phức. ở đây ta chỉ xét trong không gian Afin thực. 1.2. Hệ điểm độc lập Một hệ m + 1 điểm A 0 ,A 1 , .,A m (m 1 ) của không gian Afin A đợc gọi là độc lập nếu và chỉ nếu m vectơ A 0 A 1 , A 0 A 2, ., A 0 A m độc lập tuyến tính. Hệ không độc lập gọi là hệ phụ thuộc 1.3 .Định nghĩa mục tiêu afin. Cho không gian afin n chiều A liên kết với không gian vectơ A. Gọi = { e 1 , e 2 , ., e n } là một cơ sở của A và O là một điểm thuộc A khi đó tập hợp {O; } hay {O, e 1 , e 2 , ., e n }gọi là một mục tiêu afin của A, O gọi là điểm gốc của mục tiêu, e i là vectơ thứ i của mục tiêu. 1.4. Định nghĩa. Trong không gian afin A n chiều cho mục tiêu afin = {O; e 1 , e 2 , ., e n } với mỗi điểm X A ta có vectơ OA A, vì vậy có duy nhất phần tử X 1 , X 2 , .,X n của R sao cho OX = X 1 e 1 + X 2 e 2 + . X n e n . Bộ n phần tử (X 1 , X 2 , .,X n ) đó đợc gọi là toạ độ của điểm X đối với mục tiêu đã chọn ký hiệu là X (X 1 , X 2 , .,X n ) hay X= (X 1 , X 2 , .,X n ). 1.5. Các phẳng trong không gian afin 1.5.1 Định nghĩa. Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A. Gọi I là một điểm của A và là một không gian vectơ con của A. Khi đó tập hợp = {M A\ IM } đợc gọi là cái phẳng (Gọi tắt là "phẳng") qua I có phơng là . Nếu có số chiều bằng m thì là phẳng m- chiều hay còn gọi là m-phẳng. 4 1.5.2. Vị trí tơng đối của các phẳng: Định nghĩa: Trong không gian afin A n cho p- phẳng và q- phẳng (p < q) lần lợt có phơng là , . a). Cái phẳng và gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung. b). Cái phẳng gọi là song song với nếu là không gian con của . c). Cái phẳng và gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và cũng không song song với nhau. d). Giao hiểu theo nghĩa thông thờng của lý thuyết tập hợp gọi là giao của hai cái phẳng và e). Tổng (+) của hai cái phẳng và là giao của tất cả các phẳng chứa và . Định lý. Giao của hai cái phẳng và hoặc là tập rỗng hoặc là một cái phẳng có phơng . Chứng minh xem [1]. 1.6. Siêu mặt bậc hai 1.6.1. Định nghĩa. Trong không gian afin A n trên trờng số thực chọn mục tiêu Afin { O, e 1 , e 2 , ., e n } cho phơng trình bậc hai: n i, j = 1 n i = 1 Tập tất cả những điểm X thuộc A n sao cho toạ độ (x 1, x 2 , .,x n ) của nó thoả mãn phơng trình (1) gọi là một siêu mặt bậc hai xác định bởi phơng trình đó. 1.6.2. Định nghĩa. Tâm của siêu mặt bậc hai (S) là điểm mà khi ta chọn làm gốc mục tiêu thì phơng trình của (S) có dạng n i, j = 1 1.6.3. Phơng tiệm cận Vectơ C = (c 1 , c 2 , ., c n ) gọi là phơng tiệm cận của siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình: x t Ax + 2a t x + a 0 = 0 nếu C 0 và C t AC = 1.6.4. Định nghĩa tiếp tuyến. Đờng thẳng d đợc gọi là một tiếp tuyến của siêu mặt bậc hai (S') nếu 5 a ij x i x j + 2 a i x i + a 0 = 0 (1) a ij x i x j + a 0 = 0 hay x t A ì + a 0 = 0 với A = [a ij ] n ì n . n a ij c i c j = 0 . i, j = 1 Hoặc phơng của d không phải là phơng tiệm cận của (S) và d cắt (S) tại đúng một điểm (điểm này gọi là tiếp điểm hay ta còn gọi là điểm tiếp xúc với (S). Hoặc d nằm trên (S). Nếu siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình x t Ax + 2a t x+ a 0 = 0 và cho B (b 1 , b 2 . b n ) nằm trên (S ) thì đờng thẳng d đi qua B có phơng C = (c 1 , c 2 . c n ) sẽ là tiếp tuyến khi và chỉ khi b t AC + 2a t C + a 0 = 0. 1.7. Tích vô hớng và không gian vectơ Ơclit 1.7.1. Định nghĩa. Cho V là một không gian Vectơ thực, một tích vô h- ớng trên V là ánh xạ: : VxV R (x,y) (x,y) Thoả mãn các điều kiện i - là ánh xạ song tuyến tính (x+x',y) = (x,y) + (x',y). (x',y) = (x,y). (x, y + y') = (x,y) + (x,y'). (x, y) = (x,y). x,x',y,y' V, R. ii - đối xứng (x,y) = (y,x), x,y V. iii - xác định dơng: (x,x) 0, x V. (x,x) = 0, x = . 1.7.2. Định nghĩa. Một không gian véctơ thực cùng với một tích vô hớng trên nó gọi là không gian vectơ Ơclit. Ký hiệu: E n 1.8 Định nghĩa. Hai vectơ khác trong một không gian vectơ ơclit E n đ- ợc gọi là trực giao với nhau nếu góc giữa chúng bằng Nếu x,y trực giao với nhau x y Nhận xét: x y x.y = 0. 1.9. Định nghĩa. Hệ vectơ {a 1 , a 2 , .,a n } đợc gọi là hệ trực giao nếu nh hai vectơ tuỳ ý của hệ trực giao với nhau. Hệ trực giao gồm toàn vectơ đơn vị thì đợc gọi là hệ trực chuẩn Nhận xét 1 nếu i = j 6 2 Hệ {a 1 , a 2 , .,a n } là hệ trực chuẩn a i a j = ij = 0 nếu i j. 1.10. Định nghĩa. Cơ sở = {e 1 , e 2 , .,e n } của không gian vectơ ơclit n- chiều E n đợc gọi là cơ sở trực chuẩn của E n nếu = {e 1 , .,e n } là một hệ trực chuẩn. Toạ độ của một vectơ trong một hệ trực chuẩn đợc gọi là toạ độ trực chuẩn. 1.11. Không gian Ơclit Định nghĩa. Không gian Ơclit là không gian Afin liên kết với không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều. Không gian Ơclit sẽ gọi là n- chiều nếu không gian vectơ Ơclít liên kết với nó có chiều bằng n. Ký hiệu không gian Ơclit n- chiều là: E n 1.12. Định nghĩa. Mục tiêu afin {0, e 1 , .,e n } của không gian Ơclit n- chiều E n gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu cơ sở = {e 1 , e 2 , .,e n } của E n là một cơ sở trực chuẩn. Toạ độ của điểm đối với mục tiêu trực chuẩn gọi là toạ độ trực chuẩn. 1.13 Định nghĩa. Hai phẳng () , () của E n gọi là vuông góc với nhau nếu phơng của chúng vuông góc với nhau tức là u . v = 0 (u v). Ký hiệu: . 1.14 Siêu mặt bậc hai trong E n 1.14.1. Dạng chính tắc cuả siêu mặt bậc hai trong E n Giả sử {0, e 1 , e 2 , .,e n } là mục tiêu trực chuẩn trong E n . Cho (S) là siêu mặt bậc hai trong E n có phơng trình. x t Ax + 2 a t x + a 0 = 0 (1) Trong đó A là ma trận đối xứng , A 0 nxn , A= A t , nên có ma trận C trực giao cấp n để C t AC có dạng chéo. Ta luôn tìm đợc một mục tiêu trực chuẩn sao cho phơng trình của (S) đối với mục tiêu đó có một trong 3 dạng dới đây: 7 r i x i 2 = 1; 1 r n (I). i = 1 r i x i 2 = 0; 1 r n (II). i = 1 Các dạng (I), (II), (III) gọi là dạng chính tắc của phơng trình siêu mặt bậc hai (S). 1.14.2. Phơng chính của siêu mặt bậc hai Định nghĩa. Trong E n với mục tiêu trực chuẩn {0, e i } cho siêu mặt bậc hai có phơng trình: x t Ax + 2 a t x + a 0 = 0 Vectơ C (c 1 , c 2 , ., c n ) gọi là phơng chính của siêu mặt bậc hai nếu AC= C ( tức Hay vectơ C là phơng chính của (S) nếu C là vectơ riêng của ma trận A. Nhận xét a. Phơng chính không phải là phơng tiện cận khi và chỉ khi giá trị riêng t- ơng ứng 0. b. Siêu phẳng kính liên hợp với phơng chính C có phơng vuông góc với C. 1.14.3. Định nghĩa. Siêu phẳng kính liên hợp với phơng chính gọi là siêu phẳng kính chính 1.14.4. Định lý. Trong E n với mục tiêu trực chuẩn {0, e i } (i = 1,2 ., n) cho siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình Khi đó các vectơ e 1 , e 2 , ,e n là các phơng chính của (S). 1.15. Siêu cầu trong E n 1.15.1. Siêu cầu thực Định nghĩa. Trong E n , cho điểm I và số thực r > 0 . Tập hợp S(I,r ) = {M E n / d ( I ,M ) =r } gọi là siêu cầu thực tâm I bán kính r Nhận xét. Giả sử {0, e i } (i = 1,2, ., n ) là mục tiêu trực chuẩn trong E n I(a 1 , a 2 , .a n ) thì phơng trình của siêu cầu S (I,r) là: Vậy siêu cầu thực là một siêu mặt bậc hai. 1.15.2. Siêu cầu tổng quát 8 n a ij c i = c i , i = 1,2, .,n). j = 1 n b i x i 2 + 2 i = 1 n a i x i + a 0 = 0. i = 1 n x i 2 - 2 i = 1 n a i x i + i = 1 n a i 2 - r 2 = 0 i = 1 r i x i 2 = x r +1 ; 1 r n (III). i = 1 Định nghĩa: Trong E n với mục tiêu trực chuẩn, cho siêu mặt bậc hai (S) có phơng trình gọi là siêu cầu tổng quát trong E n Nhận xét a, Đối với siêu cầu tổng quát mọi vectơ C đều không phải là phơng tiện cận và luôn luôn là phơng chính. Mọi siêu phẳng qua tâm đều là siêu phẳng kính chính. b. Siêu tiếp diện của siêu cầu S (I,r) tại điểm M 0 S (I,r) là siêu phẳng đi qua M 0 và trực giao với đờng thẳng IM 0 . Đ 2. Một số yếu tố cơ bản của hình học xạ ảnh 9 n x i 2 + 2 i = 1 n a i x i + a 0 = 0, i = 1 2.1. Định nghĩa. Cho V n ( n 1 ) là không gian vectơ trên trờng K ( K là trờng số phức hoặc thực ) . Ta ký hiệu [V n ] là tập tất cả các không gian con một chiều của V n . Lấy một tập P không rỗng. Nếu có một song ánh p : [V n+1 ] P thì bộ ba (P, p, V n+1 ) gọi là không gian xạ ảnh n chiều liên kết với không gian V n+1 . Ký hiệu là P n Mỗi phần tử AP n đợc gọi là một điểm của không gian xạ ảnh . Nếu V 1 V n+1 , P (V 1 ) = A, cùng véc tơ X 0 sao cho <X> = V 1 thì vectơ X đợc gọi là véc tơ đại diện của điểm A. Lu ý. Hai vectơ cùng đại diện cho một điểm thì cộng tuyến với nhau . 2.2. Các phẳng trong không gian xạ ảnh 2.2.1 Định nghĩa. Cho không gian xạ ảnh (P, p, V n+1 ) V m+1 là không gian con của V n+1 Tập hợp p ( [ V m+1 ]) P gọi là một m phẳng m, chiều của P, ký hiệu P m , P m = p ([ V m+1 ]) là một không gian xạ ảnh m- chiều. 0 phẳng là một điểm 1 - phẳng là đờng thẳng 2 - phẳng là mặt phẳng (n-1)- phẳng là siêu phẳng 2.3. Hệ điểm độc lập Trong không gian xạ ảnh P cho hệ k điểm M 1 , M 2 ., M k có vectơ đại diện tơng ứng là : x 1, x 2 , ., x k (k n). Hệ điểm M 1 , M 2 , . M k đợc gọi là độc lập nếu hệ vectơ đại diện {x i } (i = 1,2, ., k) là hệ độc lập tuyến tính. 2.4. Mục tiêu xạ ảnh Trong không gian xạ ảnh P n . Hệ gồm n +2 điểm có thứ tự {A 0 , A 1 .A n , E} đ- ợc gọi là một mục tiêu xạ ảnh nếu bất kỳ một hệ n+1 điểm trong n+2 điểm độc lập. 2.5. Toạ độ xạ ảnh Trong không gian xạ ảnh P n cho mục tiêu { A i ; E } và = {e i } , i = 1,n là cơ sở đại diện cho mục tiêu. Với M P n và x là vectơ đại diện của điểm M. Khi đó toạ độ của điểm M đối với mục tiêu { A i; E } là toạ độ của x đối với cơ sở = {e i } 2.6. Phơng trình tổng quát của m phẳng 10