Trờng đại học vinh Khoa toán === === lê thị phơng kỳ vọng biến ngẫu nhiên khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học to¸n Vinh, 2009 =  = LỜI NĨI ĐẦU Hàm phân phối đại lượng ngẫu nhiên X cho ta lượng thông tin tương đối đầy đủ để khảo sát thân X Tuy nhiên việc biết toàn phân phối đại lượng ngẫu nhiên khó gặp thực tế Vì cần phải tìm số đặc trưng phân phối để qua nhận biết số tính chất cần thiết ca phõn phi Do đặc trng phân phối cho ta lợng thông tin đại lợng ngẫu nhiên tơng ứng Cỏc c trng thng sử dụng lý thuyết xác suất thống kê toán học kỳ vọng toán học, phương sai, mơment, median,… Trong khố luận nghiên cứu tính chất kỳ vọng tốn học Kho¸ ln gåm hai phần Phần I: trình bày kiến thức sở cần thiết cho việc trình bày phần II Phần II: trình bày nội dung khoá luận Định nghĩa tính chất kỳ vọng biến ngẫu nhiên Trình bày chøng minh thĨ mét sè mƯnh ®Ị cđa kú vọng Khoá luận đợc thực hoàn thành trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng góp ý tạo điều kiện giúp đỡ thầy, cô giáo tổ xác suất thống kê toán ứng dụng khoa Toán Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Văn Quảng, thầy cô giáo khoa toán bạn bè đà giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận Vì lực thời gian hạn hẹp khoá luận tránh khỏi thiếu sót Rất mong quý thầy, cô giáo bạn bè góp ý giúp đỡ Tôi xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng năm 2009 Tác giả Phần I : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Biến ngẫu nhiên Giả sử (, F) không gian đo cho,  = [-; +] 1.1.1 Định nghĩa Hàm thực X = X() xác định  lấy giá trị  gọi hàm F-đo biến ngẫu nhiên suy rộng {: X()  B} = X (B) } = X (B} = X (B) )  F , với B} = X (B)  B(  ) (Ở B(  )  - đại số tập B} = X (B) orel trục thực  ) Thêm vào đó, X:  = (-, +) thỡ X đợc gọi bin ngu nhiờn 1.1.2 Định lý Giả sử X: Khi mệnh đề sau tơng đơng a X biến ngẫu nhiên b { : X() < x }  F víi mäi x   c { : X()  x } F víi mäi x   d { : a  X()  b} F víi a < b bÊt kú 1.1.3 Hàm Borel Hàm : ( n , B( n ))  (  , B (  )) gọi hàm Borel, B( n )- đo được, nghĩa  (B} = X (B) )  B( n ) với B} = X (B)  B (  ) Nhận xét Từ định nghĩa suy ra,  : n   hàm liên tục  cịng hàm B} = X (B) orel Đặc biệt hàm (x, y)  x + y; (x, y)  xy; (x, y)  x  y = max (x, y); (x, y)  x  y = (x, y) hàm B} = X (B) orel biến 1.1.4 Định lý Giả sử X1, …, Xn biến ngẫu nhiên xác định (, F )  (t1,…, tn) hàm Borel giá trị thực Khi Y = (X1, …, Xn) biến ngẫu nhiên Hệ Giả sử X, Y biến ngẫu nhiên cïng xác định (, F), a Khi ®ã, a ,   Y ,     ,   = (-  )  ,     biến ngẫu nhiên Đặc biệt Y khơng triệt tiêu X/Y biến ngẫu nhiên 1.1.5 Định lý Giả sử (Xn, n  1) dãy biến ngẫu nhiên cïng xác định (, F) v sup , inf  n n n n  n  n , inf  n , lim sup  n , lim inf hữu hạn Khi đó, sup n n n n biến ngẫu nhiên Đặc biệt lim  n =  ,  hữu hạn  biến ngẫu nhiên 1.1.6 Cấu trúc biến ngẫu nhiên Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (, F) đó, a) Tồn dãy biến ngẫu nhiên rời rạc hội tụ đến X b) Nếu X  tồn dãy biến ngẫu nhiên đơn giản (X ) cho X X 1.1.7 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Giả sử (, F, P) l khụng gian xác suất, X :    lµ biÕn ngÉu nhiên Khi đó, hàm tập P : B (  )   B  P  (  ) = P ( ()) đợc gọi phân phối xác suất X Tính chất +/ P độ đo xác suất B ( ) +/ Nếu Q độ đo xác suất B ( ) Q phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X 1.1.8 Hàm phân phối xác suất Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (, F, P) Khi đó, hàm số F ( x) P x , x đợc gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X Nhận xét Theo định nghĩa, hàm phân phối X thu hẹp độ đo xác suất PX lớp khoảng (- ; x), x Từ hàm phân phối F ( x) F ( x) cã c¸c tÝnh chÊt sau: +) F(x) đơn điệu: x y F(x) F(y) +) F(x) liên tục trái, có giới hạn ®iÓm +) 0 F(x) F ( x) 0 ; F () : lim F ( x) 1 +) F(-):= xlim x 1.1.9 Các loại biến ngẫu nhiên a) Biến ngẫu nhiên rời rạc Một biến ngẫu nhiên gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận số hữu hạn đếm đợc giá trị Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, tập hợp tất giá trị có đợc liệt kê dÃy hữu hạn hay vô hạn x1 , x2 , , xn , Tập tất giá trị có biến ngẫu nhiên X đợc kí hiệu X( ) Bảng phân phối Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1 , x2 , , xn , víi c¸c x¸c st tơng ứng P ( xi ) pi (i 1, 2, , n, ) Khi bảng phân phối X có dạng X P x1 x2 p1 p2 (chó ý p i i xn pn … … 1 ) b) BiÕn ngÉu nhiªn liªn tục Biến ngẫu nhiên X đợc gọi biến ngẫu nhiên liên tục hàm phân phối F(x) hàm liên tục tồn hàm số p(x) cho +) p(x)  x +) F(x) = p(t )dt    x    Hàm số p(x) nêu đợc gọi hàm mật ®é x¸c st cđa X TÝnh chÊt b +) P (a    b) p( x)dx víi -   a < b  +  a  +) p( x)dx 1  +) p( x) F ' ( x) điểm x mà p(x) liên tục 1.2 Tính độc lập Giả sử (, F, P ) không gian xác suất cố định 1.2.1 Định nghĩa Họ hữu hạn {Fi, i  I} -đại số F gọi độc lập P( Ai) = P(Ai) Ai  Fi (iI) Họ vô hạn {Fi , i  I} -đại số F gọi độc lập họ hữu hạn độc lập Họ biến ngẫu nhiên { i , i  I} gọi độc lập họ -đại số sinh chúng {F ( i ), i  I} độc lập Họ biến cố {Ai, i  I}  F gọi độc lập họ biến ngẫu nhiên {   , i  I} độc lập i 1.2.2 Định lý Giả sử {Ci , i  I} họ tuỳ ý lớp F có tính chất sau a) Mỗi lớp Ci đóng phép giao b) Họ {Ci , i  I} độc lập theo nghĩa J  I hữu hạn C  C ta có ( j  J bÊt kú) P (C) = P (C) Khi đó, họ {(Ci), i I} cịng độc lập PhÇn II: KỲ VỌNG cđa biÕn ngÉu nhiªn Định nghĩa tính chất 1.1 Định nghĩa Giả sử (, F, P) không gian xác suất, X:    biến ngẫu nhiên (bnn) Kỳ vọng bnn X số, ký hiệu EX xác định công thức  =XdP Chú ý Kỳ vọng X tồn khơng tồn Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X tồn tích phân vế phải cơng thức tồn 1.2 Lược đồ xây dựng kỳ vọng * Nếu X biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng n X=   i n EX : = i 1  aiP(Ai) i 1 KÝ hiƯu L lµ tập hợp tất biến ngẫu nhiên đơn giản xác định (, F, P) * Nếu X biến ngẫu nhiên khơng âm X giới hạn dãy tăng biến ngẫu nhiên đơn giản (Xn, n  1) n.2 n k1 k1 k   n   n n  k 1  n  Khi    n. (  n)  EX : = nlim   EXn KÝ hiƯu L+ lµ tập biến ngẫu nhiên X giới hạn dãy tăng biến ngẫu nhiên đơn giản khơng âm (Xn) §Ĩ chøng tá định nghĩa EX cho X L+ công thức đắn ta chứng minh bổ đề sau: Bỉ ®Ị Giả sử  XnX,  Yn X (Xn), (Yn)  L Khi lim EXn = lim EYn n n Chứng minh Thật vậy, cố định m Do tính liên tục hàm số (x, y)  inf (x,y) nên lim  inf (Xn, Ym) = inf(X, Ym) = Ym n Từ ta có lim EXn  lim E[inf(Xn, Ym)] = EYm n n lim EYm Cho m   ta có lim m n EXn  Đổi vai trị (  n ) ( Ym ) ta có lim EYn  lim EXm n m  * Nếu X biến ngẫu nhiên X = X+ -   Trong X+ = max ( X, 0)  0,   = max (   , 0)  Khi  : =   -   (nếu có nghĩa) 1.3 Ý nghĩa cña kú väng Kỳ vọng biÕn ngẫu nhiên giá trị trung bình theo xác suất đ¹i lượng ngẫu nhiên Trong trường hợp X nhận c¸c giá trị với xác suất kỳ vọng trung bình cộng X Đối với hệ học kỳ vọng trọng tâm hệ 1.4 Ví dụ 1) Lấy A  F, X =   Khi EX = P(A) Thật Do X =   =   +   suy EX = P(A) + P(  ) = P(A) 2) Tung đồng xu cân đối, đồng chất, gọi X số mặt sấp xuất Tính EX Giải Ta có  = {(S, S), (N, N), (S, N), (N, S)} X:    xác định X(S,S) = 2; X(N,S) = 1; X(S,N) = 1; X(N,N)= 0; suy EX =XdP = P ((N,N)) + 1.P((S,N) ;(N,S)) + 2.P ((S,S)) = 1 + = 3) Cho  0 ,   1 T×m  [max( , )]; [min( , )] Giải Đặt = max( , ),   = max(  , ) =  min( , ), suy   =  [max( , )],   =  [  min( , )] =   [min( , )], suy  [min( , )]=    Ta cã    0,    vµ       ;       Suy  (      )      ,   (      )           0  Mµ  0,   1 suy  suy       1  VËy  [max( , )]= ,  [min( , )] =           1.5 Tính chất 1) E(.) phiếm hàm tuyến tính L 2) NÕu X  EX  3) NÕu X  Y EX  EY Do     Chøng minh Nếu Y bất đẳng thức đầu hiển nhiên Nếu     Do  Y nªn   Y  ,   Y  Tõ ®ã Y   Y      Tơng tự Y Bất đẳng thức suy từ tính đơn điệu kú väng 4) Nếu Xn X ( tương ứng XnX ) EXn EX (tương ứng EXn  EX) Chứng minh * Trong L10 : Giả sử Xn  Đặt C = max X1() Khi đó, với  > 0,  Xn  C.I[  n >  ] +   Do đó,  EXn  C P[Xn > ] +  Cho n   với lưu ý [Xn > ]  , ta có  lim n EXn   Vậy lim n EXn = (vì  nhỏ tuỳ ý) Do trên, XnX ( tương ứng ) X-Xn  (tương ứng Xn-X  0) EX - E  n = E(X-Xn)  (tương ứng EXn - EX  0)  * Trong L+ : V× Xn  L+ nên có dãy (  mn ) m1  L không âm, tăng theo m lim  X (nm ) = Xn , (n1) m Đặt Ym = sup X ( m ) , n m n m  Ta có,  (nm )  Ym = sup X (nm )  sup X (nm 1)  nsup X (nm 1) = Ym+1  nsup Xn = n m n m m 1 m 1 Xm+1, n  m Vậy X (nm )  Ym  Xm , Ym  Ym+1, n  m, E(X (nm ) )  E(Ym)  E(Xm), E(Ym)  E(Ym+1), n  m Cho m  , sau cho n   ta có lim  Ym X = lim n  Xn = m lim lim n  EXn = m  EYm = EX * Đối với biến ngẫu nhiên bÊt kỳ, ta biểu diễn dạng Xn = Xn+- Xn- với Xn+, Xn-  L+  5) Nếu X = C (hằng số) EX = C 6) Nếu tồn EX với C  R ta có E(CX) = C EX Chứng minh Nếu C 0  0 tồn (  n )  L,  n = C (C  n ) = C lim  n   suy  C n  C (C ) = lim n n Với X nửa khả tích, chẳng hạn     C 0 , ta có: (C )  = C   khả tích (C )  = C   Khi  ( C ) = C   - C   = C Tương tự với C  ta có (C  ) = ( C   ) – ( C   ) = C 7) NÕu  , Y khả tích (   Y ) khả tích vµ (   Y )   Y Chứng minh Đầu tiên ta giả thiết  Y 0 Khi có dãy (  n ), ( Yn )  L cho  n   , Yn  Y Do ta có  n  Yn    Y vµ (  n  Yn )  (   Y ) , (  n  Yn )  n  Yn    Y Từ suy (   Y )   Y Xét trường hợp tổng quát, từ bất đẳng thức  Y    Y , suy Z   Y cịng khả tích ý  = Z  - Z  = (   Y )  - (   Y )  =    Y  - (    Y  ), nên Z  + (    Y  ) = Z  + (    Y  ) Từ điều vừa chứng minh ta có Z  +   + Y  = Z  +    Y  , chuyển vÕ với lưu ý Z  ,   , Y  khả tích nên ta có Z   Y 10  8) x p i i i X rời rạc nhận giá trị x1 , x2, với P (  xi )  pi EX=  x p( x).dx X liên tục có hàm mật độ p(x)  Tổng quát Nếu f :    hàm đo Y = f(X)  f (x ) p i EY = i i X rời rạc nhận giá trị x1, x2,…víi P (   xi )  pi  f ( x) p( x)dx X liên tục có hàm mật độ p(x)  9) Định lý P Levi hội tụ đơn điệu Nếu  n   (tương ứng  n   ) tồn n để  n xk( n ) =  n 0 với n  0 Nếu X       Do  =      nên   0 (h.c.c) Theo     0 suy  0  13) Nếu X  EX = X = (h.c.c) Chứng minh Ta có    1   n     suy 1    P         1n   X =   n 1 Do đó, P     = với n = 1, 2, … n   Từ đó, P[ X > 0] = P(  n 1 1     n  )    P[   n 1 ] = n hay X = (h.c.c)  14) Nếu X = Y (h.c.c), X khả tích EX = EY Chứng minh Giả sử X khả tích, X = Y (h.c.c) Khi Z = Y – X = (h.c.c), suy Z khả tích Y = X + Z cịng khả tích Từ EY = EX + EZ = EX,  15) Bất đẳng thức Markov Giả sử X biến ngẫu nhiên khơng âm Khi đó,  EX với a > ta có: P [X  a]  EX Chứng minh EX =XdP =XdP +XdP (do X  0) XdP  adP = a.P[Xa] Do ®ã P[Xa]  EX Tính chất kéo theo P[  a]  E  , Tổng quát: P(   a)  k  k E a 13 a>0 a>0, k >0 k P(   a) = P(   a k ) 16) Bất đẳng thức Jensen  :    hàm lồi dưới, X (X) biến ngẫu nhiên khả tích Khi đó, E(X)  (EX) Chứng minh Do  hàm lồi nên có đạo hàm trái đạo hàm phải điểm Ngoài x, xo   , (x)  (xo) + ’(xo) (x – xo) Thay x X, xobởi EX vào bất đẳng thức trên, sau lấy kỳ vọng vế ta E((X))  (EX) + ’(EX) (E(X – EX)) = (EX) ( h.c.c)  Các mệnh đề 2.1 MÖnh ®Ò Giả sử X1,…, Xn biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn Khi ®ã, Emax {X1,…,Xn}  max {EX1,…, EXn} Emin{X1,…,Xn}  {EX1,…, EXn} Chứng minh +) Đặt Y = max {X1, X2,…, Xn} Ta cã Y  X1, Y  X2,…, Y  Xn, suy EY  EX1, EY  EX2, …, EY  EXn , ®ã EY  max {EX1, …, EXn} Hay Emax {X1,…, Xn}  max {EX1,…, EXn} +) Tương tự đặt Z = {X1, X2,…, Xn} Ta cã Z  X1, X  X2, …, X  Xn, suy EZ  EX1,…, EZ  EXn , ®ã EZ  {X1, X2,…, Xn} hay Emin{X1,…,Xn}  {EX1,…, EXn} 2.2 MƯnh ®Ị Giả sử   p <  (p > đó) Khi đó, lim t p P [  > t] = t  14  Chứng minh Ta có  p p p p =  dP =  dP +  dP p p p Suy  >     dP + t p dP =  dP + t p P [  > t ] p p Cho t  dP    p p      + lim t p P( > t) Do Điều nµy kÐo theo lim tP.P (  > t) = t   2.3 MƯnh ®Ị Giả sử X1, X2,…, Xn biến ngẫu nhiên môment bậc <   Khi  X1      n    X1  + … +   n  Chứng minh    Ta áp dụng bất đẳng thức a  b  a + b , với <   LÊy kú väng hai vÕ ta cã  a b suy  a b         ( a  b )  a   b , 0 ta có P ( max 1k n   k k 1  Chứng minh Yk > ) = P({ Y1 > } …  { Yn > }) Ta có P ( max 1k n = P({ 1 > } …  { 1    n > })  P( 1    n > ) Từ áp dụng bất đẳng thức Markov ta nhận ( 1    n )  1     n =   P ( max > )  1k n n P ( max > )  1k n hay   k 1 k   2.9 MÖnh ®Ò Giả sử X1, X2, …, Xn biến ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị nguyên, không âm EXi <  Khi đó,  Emin {X1, X2,…, Xn} =  P(X1  i) P(X2  i)… P(Xn  i) i 1 Chứng minh Trước hết ta nhận xét theo mƯnh ®Ị (2.5) X biến ngẫu nhiên nhận  giá trị ngun, khơng âm EX =  P(X  i) i 1  Suy Emin {X1, X2,…, Xn} =  P (min{X1, X2,…, Xn}  i) i 1 18  =  P(X1  i, X2  i,…, Xn  i) i 1  =  P(X1  i) P(X2  i)…P(Xn i) i 2.10 Mệnh đề Giả sử X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó, ( Y ) .Y Tổng quát Giả sử X1, X2,, Xn biÕn ngẫu nhiên độc lập Khi ®ã, E (X1 X2… Xn) = EX1 EX2… EXn Chứng minh +) Nếu X, Y hai biến ngẫu nhiên rêi r¹c ()  x1 , x2 , , xn  ; Y ()  y1 , y2 , , ym , Khi Z .Y đại lợng ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị zij = xi y j với xác suất tơng ứng lµ pij = P (   xi ; Y  y j ) P (  xi ) P (Y  y j ) = pi q j ( X, Y hai biến ngẫu nhiên độc lập ), ( i 1, 2, , n, ; j 1, 2, , m, ) Suy Z   xi y j pij  xi y j pi q j   xi pi  y j q j .Y i j i j i j +)  , Y hai biến ngẫu nhiên không âm, , Y giới hạn dÃy biến ngẫu nhiên đơn giản ( n , n 1);(Yn , n 1) , n.2 n k1 k1 k   n   n n  k 1  n     n. (  n)  n.2n k1 k1 k    n Y  n   n.(Y n) n   k 1 Yn  DƠ thÊy, víi mäi n ta cã  n Yn độc lập Do đó, Y (lim n lim Yn ) (lim  nYn ) lim  nYn n  n  n  n  lim  n Yn lim  n lim Yn Y n  n  n  +)  , Y biến ngẫu nhiên Khi đó,     ; Y Y   Y Xét thấy biến ngẫu nhiên không âm nhiên không âm Y , Y , , ta đợc Y (   )(Y   Y  )  19 ®éc lËp ®èi víi c¸c biÕn ngÉu    Y    Y     Y     Y     Y    Y     Y     Y   (      )(Y   Y  ) Y Bây giả sử ( i )i 1,n họ độc lập, (1 ) (  k , k n) ®éc lËp Suy n độc lËp, ®ã ( 1.  n ) 1.(   n ) L¹i cã  ( 1 ) vµ  (  k ,3 k n) độc lập Suy   n ®éc lËp, ®ã (    n )  (  n ) Tiếp tục trình sau hữu hạn bớc ta đợc E (X1 X2 Xn) = EX1 EX2… EXn  2.11 MƯnh ®Ị Giả sử X biến ngẫu nhiên khơng âm, có k vng hu hn, F(x) hàm phân phối X Khi EX = [1- F(x)]dx Chứng minh Ta có EX = XdP = dx dP = I(X x)dx dP = (I(X x)dx) dP = I(X x)dP dx = P(X x)dx (đổi thứ tự tích phân theo định lý Fubini) = [1-F(x)]dx  2.12 MƯnh ®Ị Giả sư X bin ngu nhiờn khụng õm, F(x) hàm phân phèi cña X  <  ( > đó) Khi đó, -1  = .x [1- F(x)]dx Chng minh Gọi F ( x) hàm phân phèi cđa  Khi ®ã, F ( x) = P (   x) P (   x1/ ) F ( x1/ ) Sư dơng mƯnh ®Ị (2.11) cho  suy EX = [1- F(x1/)]dx 20 ... đó, sup n n n n biến ngẫu nhiên Đặc biệt lim  n =  ,  hữu hạn  biến ngẫu nhiên 1.1.6 Cấu trúc biến ngẫu nhiên Giả sử X biến ngẫu nhiên xác định (, F) đó, a) Tồn dãy biến ngẫu nhiên rời rạc... xlim  x 1.1.9 Các loại biến ngẫu nhiên a) Biến ngẫu nhiên rời rạc Một biến ngẫu nhiên gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận số hữu hạn đếm đợc giá trị Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, tập hợp tất... định công thức  =XdP Chú ý Kỳ vọng X tồn không tồn Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X tồn tích phân vế phải công thức tồn 1.2 Lược đồ xây dựng kỳ vọng * Nếu X biến ngẫu nhiên đơn giản có dạng n X= 