mục lục Trang Lời nói đầu 2 Đ0 Các khái nệm cơ bản 4 Đ1 Phơng trình đa thức trên trờng hữu tỉ Đ2 Phơnh trình đa thức trên trờng số thực và trờng số phức 17 Đ3 Phơng trình đa thức trên trờng hữu hạn 28 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 - 1 - lời nói đầu Môn học Đại số đại cơng và số học đã giúp cho chúng ta hiểu biết thêm khá nhiều về phép toán hai ngôi, cấu đại số và lý thuyết giải phơng trình. Trên cấu trúc trờng bài toán giải phơng trình bậc nhất ax+b = 0 và ax = b với 0 a coi nh đợc giải quyết hoàn toàn, tuy nhiên đối với phơng trình bậc cao hơn, phơng trình không định nghĩa đợc bậc nh: phơng trình lợng giác, phơng trình logarit, .đối với chúng tôi còn là những vấn đề khó, nhng rất cần biết. Qua các bài giảng về phơng pháp giải toán và toán sơ cấp, đặc biệt là qua sự hớng dẩn của thầy giáo chúng tôi nhận ra rằng vấn, đề cốt yếu là phải có nhiều hiểu biết về phơng trình đa thức(nghĩa là phơng trình f(x) = 0, với f(x) là một đa thức trên một trờng nào đó). Vì vậy, chúng tôi chọn đề tài phơng trình đại số. Rõ ràng, sự tồn tại nghiệm của một phơng trình đại số f(x) = 0 phụ thuộc vào trờng cơ sở mà ở trờng phổ thông chúng ta chỉ mới biết trờng số thực. Đối với bậc đại học,chúng tôi đã đợc học thêm khá đầy đủ ba loại trờng vô hạn: trờng số hữu tỉ (Q), trờng các số thực (R), trờng các số phức (C) và các mở rộng của các trờng đó, trờng hữu hạn: trờng p Z với p là số nguyên tố. Do đó, nội dung mà khoá luận chúng tôi tập trung vào là phơng trình đa thức trên các trờng số: vô hạn hoặc hĩu hạn. Riêng lý thuyết phơng trình đa thức trên trên trờng hữu hạn là một vấn đề mới, có chổ khác biệt nhiều với trờng vô hạn, vì năng lực và thời gian có hạn nên chúng tôi chỉ có thể xem xét vấn đề trong lớp các trờng p Z với p là số nguyên tố. Khoá luận đợc chia làm 4 phần chính Đ 0 Các khái niệm cơ bản Đ1 Phơng trình đa thức trên trờng hữu tỉ Đ2 Phơng trình đa thức trên trờng số thực và trờng số phức Đ3 Phơng trình đa thức trên trờng hữu hạn. - 2 - Chúng tôi xin chân thành cảm ơn PGS TS: Nguyễn Quý Di đã hớng dẩn tận tình và chỉ ra nhiều thiếu sót trong suốt quá trình làm khoá luận. Cuối cùng vì thời gian và năng lực có hạn nên khoá luận không thể tránh khỏi các thiếu sót , rất mong đợc sự góp ý của quí thầy cô giáo và bạn đọc Vinh:4/2004 Sinh viên: Ngô Văn Bình - 3 - phơng trình đa thức trên các trờng số. Đ 0 các khái niệm cơ bản I Khái niệm về trờng. 1 Định nghĩa tr ờng . Tập X trên đó xác định hai phép toán cộng + và nhân . đợc gọi là trờng nếu thoả mãn các điều kiện sau 1 a,b X thì a+b X và a.b X Với phép cộng. 2 (a+b)+c = a+(b+c) 3 a+b = b+a 4 aaX =+ 0:0 5 0)(/, =+ aaXaXa Với phép nhân. 6 aeaXe = ./ 7 eaaXaXa = 11* ./, 8 a.b=b.a Phép nhân phân phối đối với phép cộng. 9 a.(b+c) = a.b + a.c (a, b, c, e X , { } 0 * = XX ) Ví dụ: Các tập Q , R , C là các trờng đối với phép cộng và nhân các số thông th- ờng nhng các tập Z, N không là trờng. 2 Trờng con. Định nghĩa: Cho X là trờng, A là tập con của X. A đợc gọi là trờng con của X nếu: A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một trờng Chú ý: (tiêu chuẩn trờng con) Cho X là trờng, A là tập con của X. A là trờng con của X khi và chỉ khi: - 4 - 0,,, 1 bAbaAab Aba A Ví dụ. Chứng minh rằng: { } QbabaA += ,/7 là trờng với cộng và nhân các số Thật vậy: Ta có A là tập con của trờng R * A vì R + 70 * Qdbca QdcbaAdcba QQ += +=+= 7)()( ,,,;7,7 Với 0 , ta có: 7 7 )7)(7( 11 dc ba dcba + + =++= 7) 7 ( 7 7 7 )7)(7( 222222 dc bcad dc bdac dc dcba + + = + = A 1 { } 0070 ++ dcdc , do đó 07 22 dc vì nếu 7)(7 222 == d c dc (vô lí) Một số mệnh đề t ơng đ ơng với định nghĩa . Mệnh đề 1. Trờng X là vành có ít nhất là hai phần tử, giao hoán, có đơn vị và mọi phần tử khác không đều khả nghịch Mệnh đề 2 Trờng X là miền nguyên mà mọi phần tử khác không đều khả nghịch Chú ý: * Vành X có a là ớc của 0 nếu a 0 và tồn tại b 0 sao cho a.b = 0 * Miền nguyên là vành giao hoán có đơn vị và không có ớc của 0 3 Đặc số của tr ờng . Cho X là một trờng có phần tử đơn vị là 1 * Nếu n. n,01 N * thì ta nói trờng X có đặc số không - 5 - * Nếu tồn tại )(,0 Nnn sao cho n.1=0 thì ta gọi số nguyên dơng bé nhất p sao cho p.1=0 , là đặc số của trờng X (n gọi là đặc số của trờng X nếu n là số nguyên dơng bé nhất để n.e = 0) Chú ý: n.e = e+e+ +e (n lần e) Ví dụ : 1/ Trờng Z p có đặc số p : (p là số nguyên tố) 2/ Các trờng Q , R , C có đặc số 0, vì n.1 = nn ,0 N * Mệnh đề 1: Đặc số 0 p của trờng X là số nguyên tố Thật vậy: Giả sử trờng C có đặc số 0 p với p là hợp số Khi đó ta có : ( ) Nklklklp <= ,,,. Do đó : 0)1).(1()1).((1. === lkklp 01. = k hoặc 01. = l , mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của p Mệnh đề 2: Trong trờng X có đặc số 0 p tacó: ( ) Xbababa pp p +=+ ,, Chứng minh: Theo nhị thức NiuTơn ta có : ( ) ( ) ppp p p p p p p p bbaCbaCbaCaba +++++=+ 1122211 . do p nguyên tố , cho nên : ( ) pC k p mod0 vì vậy, ta có : = kk k p mmpC , . N Hay tổ hợp : ( ) === xmpxmxC kk k p ,00 . X Do vậy : ( ) pppp p bababa +=++=+ 0 (đpcm) Mệnh đề 3: Mọi trờng có đặc số bằng không đều chứa trờng số hữu tỉ Q II Ph ơng trình đa thức Cho A là một vành. Khi đó tập A[x] tạo thành từ tất cả các đa thức ẩn x, hệ số thuộc A lập thành một vành đối với phép cộng và nhân đa thức, đợc gọi là vành đa thức một ẩn x. Các phần tử của vành A[x] đợc viết một cách duy nhất dới dạng: n n xaxaxaxf +++= .)( 1 0 0 (1) - 6 - Các a ),1(, ni i = gọi là các hệ tử của đa thức Các i i xa gọi là các hạng tử của đa thức , đặc biệt 0 0 0 axa = gọi là hạng tử tự do Chú ý : * Bậc của đa thức khác không.Số tự nhiên n > 0, sao cho: n n n n xaxaxaxaxf ++++= 1 11 0 0 .)( với )0( n a gọi là bậc của f(x) và đợc kí là )(deg xfn = Hệ tử n a đợc gọi là hệ tử cao nhất của f(x) * Ngời ta không định nghĩa bậc của đa thức 0 III Nghiệm của một đa thức. Định nghĩa: Giả sử c là phần tử tuỳ ý của vành A n n xaxaxaxf +++= .)( 1 0 0 là một đa thức tuỳ ý của vành A[x] phần tử : +++= n n cacaacf )( 10 A đợc bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của f(x) tại c . Nếu f(c) = 0 thì c gọi là nghiệm của f(x) Việc tìm nghiệm của f(x) trong A gọi là giải phơng trình đại số bậc n: ( ) 0,0 . 0 =++ n n n aaxa trong A IV Định lí về sự có nghiệm . Giả sử A là một trờng , c A, f(x) A[x] . D của phép chia f(x) cho x-c là f(c) , c đợc gọi là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho x-c Chứng minh: Nếu ta chia f(x) cho x-c , d hoặc bằng 0 hoặc là một đa thức bậc 0 vì bậc x-1 bằng 1 . Vậy ( ) rxqcxxf += )(.)( , Ar Thay x= c ta đợc : )()(.0)( cfrrxqcf =+= Chú ý : Nếu thực hiện phép chia n nn axaxaxf +++= )( 1 10 cho (x-c) Ta đợc các hệ tử của đa thức thơng : 1 2 1 1 0 )( +++= n nn bxbxbxq cho bởi công thức )1,1(,, 100 =+== nicbabab iii và d 1 . += nn bcar - 7 - Vì ( ) cfr = ta suy ra một phơng pháp (phơng pháp Hoocne) để tính f(c) bằng sơ đồ sau đây: a 0 a 1 a n a n c b 0 b 1 . b 1 n r Trong đó mỗi phần tử của dòng thứ nhì đợc tính bằng cách cộng vào phần tử t- ơng ứng của dòng thứ nhất tích của c với phần tử đứng trớc dòng thứ nhì V Phần tử đại số , phần tử siêu việt Giả sử A là một trờng con của trờng K , c K và n n xaxaaxf +++= .)( 10 là một đa thức của vành A[x]. Lúc đó vì n aaa ., 10 A nên n aaa ., 10 K do đó f(x) là một đa thức lấy hệ tử trong K và f(c) là một phần tử thuộc K. Nếu f(c) = 0 thì c gọi là nghiệm của một đa thức f(x) Định nghĩa : Giả sử A là một trờng con của trờng K . Một phần tử c K gọi là đại số trên A ,nếu c là nghiệm của một đa thức khác không lấy hệ tử trong A c gọi là siêu việt trên A trong trờng hợp ngợc lại Nh vậy: c là đại số trên A có nghĩa là tồn tại những phần tử i a A ni 0, không bằng không tất cả,sao cho : 0 10 =+++ n n n cacaa Ví dụ : Các phần tử của trờng A đều đại số trên A Thật vậy, A thì là nghiệm của đa thức = xxf )( . VI Các tr ờng số : Tập hợp các số hữu tỉ (Q), các số thực (R) , các số phức (C) cùng với phép cộng và nhân các số lập thành các trờng tơng ứng gọi là trờng các số hữu tỉ, trờng các số thực, trờng các số phức. Một số tính chất 1/ Trờng các số hữu tỉ không có trờng con nào khác ngoài bản thân nó Thậy vậy : Giả sử A là một trờng con của trờng các số hữu tỉ Q, - 8 - ta sẽ chứng minh A = Q Ta luôn có A Q Đảo lại : vì A 1 (do A là trờng con của Q) nên với một số nguyên n > 0 An +++= 1 .11 (n lần số 1). Hơn nửa An và A n 1 . Do vậy : nếu ( ) 0, q q p là một số hữu tỉ bất kì thì ta có: p q p = ( q 1 ) A Vậy AQ , do đó A = Q Chú ý: a, Quan hệ thứ tự "" trên trờng K đợc gọi là có tính chất toàn phần ( tuyến tính ) nếu mọi Kba , ta có ba hoặc ab b, Một trờng K mà trên đó đã xác định một mối quan hệ thứ tự "" toàn phần đợc gọi là một trờng sắp thứ tự nếu quan hệ thứ tự này (tơng thích ) đối với các phép toán cộng và nhân trên K, nghĩa là: Kcba ,, ta có. (i) a > b a+c > b+c (ii) a b a.c b.c 2 Mở rộng đầy đủ của trờng số thực R. Định nghĩa1. Cho K là trờng sắp thứ tự, nếu mọi dãy trên K đều là dãy hội tụ, thì ta nói K là một trờng sắp thứ tự đầy đủ. Nhận xét Q không phải là trờng sắp thứ tự đầy đủ, vì trong Q có những dãy cơ bản mà không có giới hạn, ví dụ dãy x = = n k n k 0 ! 1 không là dãy hội tụ. Định nghĩa2 Nếu K là một trờng con của trờng , thì ta nói là một tr- ờng mở rộng của K, ký hiệu là K/ Ví dụ R/Q là mở rộng của Q QQ / )2( là mở rộng của Q, Chú ý : 1/ Coi Q là trờng con của R (hay mọi số hữu tỉ đều thuộc R) 2/ Đồng nhất QaRaaa == ,)()( * Tính đầy đủ của trờng số thực R. - 9 - Trờng số thực R là trờng đầy đủ, nghĩa là: mọi dãy cơ bản các số thực đều là dãy hội tụ trong R * Đa thức bất khả qui trên trờng K Cho f(x) ],[xK bậc của f(x) 1 Ta gọi f(x) khả qui trên K khi và chỉ khi f(x) = g(x).h(x), trong đó g(x) và h(x) ][xK và bậc của g(x) và h(x) 1 f(x) đợc gọi là bất khả qui trong trờng hợp ngợc lại. Ví dụ. 1/ Mọi đa thức bậc nhất là đa thức bất khả qui trên K, vì f(x) = ax+b = a(x+ 0), a b a 2/ Mọi đa thức bậc 2 và bậc 3 vô nghiệm trên trờng K thì bất khả qui trên K. Đ1 ph ơng trình đa thức trên tr ờng số hữu tỉ . Phơng trình đa thức trên trờng số hữu tỉ là phơng trình có dạng : f(x) = 0, trong đó f(x) = ), .,2,1,,0(, . 0 1 1 niQaaaxaxa in n n n n =+++ 1. Nghiệm hữu tỉ của một đa thức với hệ số hữu tỉ Trớc hết ta nhận xét rằng nếu: f(x)= )0(, . 0 1 1 +++ n n n n n aaxaxa là một đa thức với hệ số hữu tỉ thì f(x) có thể viết dới dạng đa thức các hệ số thuộc Z: )(.) ()( 1 0 1 xgbaxabxf n n =++= trong đó b là mẫu số chung của các Qa i vì f(x) và g(x) chỉ khác nhau một nhân tử bậc không nên các nghiệm của f(x) cũng là nghiệm của g(x). Nh vậy, việc tìm nghiệm của một đa thức với hệ số hữu tỉ đợc đa về việc tìm nghiệm của một đa thức với hệ số nguyên. Ví dụ: Phơng trình: 02 3 1 2 1 2 =++ xx ; 03 3 2 2 1 23 =+ xx 01223 2 =++ xx ; 01843 23 =+ xx Nhận xét; Nếu là nghiệm của đa thức g(x) thì: 0 01 1 1 =++++ aaaa n n n n - 10 -