LờI NóI ĐầU Mục đích khoá luận trình bày lý thuyết phơng pháp toán tử giải để tìm nghiệm phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số số nghiên cứu số phơng trình vi phân tuyến tính cấp n đa đợc phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số số Nội dung khoá luận chia làm hai chơng: Chơng 1: Phơng trình vi phân tuyến tính cấp n có hệ số số Đ1.Phơng trình vi phân tuyến tÝnh cÊp n thn nhÊt cã hƯ sè h»ng sè Đ2.Phơng trình vi phân tuyến tính cấp n không có hệ số số Đ3.phơng pháp toán tử giải phơng trình vi phân tuyến tính cấp n có hệ số số Một số công thức phép toán đa thức toán tử To¸n tư F ( D) T¸c dơng cđa lên đa thức F ( D) Các ví dụ cách tìm nghiệm riêng phơng trình vi phân tuyến tính không có hệ số số phơng pháp toán tử giải Chơng2: Một số phơng trình vi phân tuyến tính cấp n đa đợc phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số số I Đa phơng trình tuyến tính cấp n phơng trình có hệ số số nhờ phép thay biến độc lập II Phơng trình ơle Khoá luận đợc hoàn thành dới hớng dẫn PGS.TS Tạ Quang Hải Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ, hớng dẫn tận tình chu đáo thầy Tác giả bày tỏ lòng biết ơn thầy cô giáo tổ giải tích, khoa toán Đại học Vinh đà quan tâm giúp đỡ, dạy dỗ tác giả trình học tập nh lúc làm khoá luận Mặc dù tác giả đà có nhiều cố gắng song khoá luận tránh khỏi sai sót.Rất mong đợc bảo,góp ý thầy cô bạn Vinh ,ngày 25 tháng năm 2005 Tác giả chơng i phơng trình vi phân tuyến tính cấp n có hệ số số Đ1 phơng trình vi phân tuyến tính cấp n có hệ số số Phơng trình vi phân tuyến tính cấp n có hƯ sè h»ng sè cã d¹ng: Ln(y) = y(n) + a1y(n-1) + a2y(n-2) + + any = ( 1.1) Trong ai, (i = 1, n ) số phức Định nghĩa Phơng trình F() = λn + a1λ (n-1) + +an = (1.2) đợc gọi phơng trình đặc trng phơng trình vi phân (1.1) Nếu phơng trình đặc trng (1.2) cã n nghiƯm thùc ph©n biƯt: λ1 ≠ λ2 ≠ ≠ λn vµ e λ1x , eλ2 x , , en x nghiệm độc lập tuyến tính phơng trình vi phân (1.1) nghiệm phơng trình (1.1) có dạng: y = c1 e 1x + c2 eλ2 x + + cn eλn x Nếu phơng trình đặc trng (1.2) có nghiệm phức đơn ( k ik ), k = ( 1, n ) nghiệm phơng trình (1.1) cã d¹ng: y = n ∑ eα kx (coskβx + isinkβx) k =1 Chó ý: NÕu y = u(x) + iv(x) nghiệm (1.1) u(x) va v(x) nghiệm phơng trình (1.1) Nếu phơng trình đặc trng (1.2) nhận số thực bội γ th× biĨu thøc eλx(c1 + c2x + + cx-1 ) nghiệm tổng quát phơng trình chẵn Nếu phơng trình đặc trng (1.2) có ( i) nghiệm bội nghiệm nghiệm tổng quát phơng trình (1.1) chứa số hạng cã d¹ng: y= eαx [(c1+c2x+ + cγxγ-1 )cosβx + ( c1 + c2 x + + cγ x-1)sinx)] Đ2 phơng trình vi phân tuyến tính cấp n không có hệ số số Ta xét phơng trình y(n) + a1y(n-1) + + any = f(x) (2.1) số Phơng trình (2.1) đợc gọi phơng trình vi phân tuyến tính cấp n không có hệ số số Định lý (về nghiệm tổng quát phơng trình không nhất): Nghiệm tổng quát phơng trình (2.1) nghiệm tổng quát phơng trình: y(n) + a1y(n-1) + + any = 0, céng víi mét nghiệm riêng phơng trình (2.1) Nh để tìm nghiệm tổng quát phơng trình không ta cần xác định nghiệm riêng Phơng pháp biến thiên số: Giả sử ỹ(x) nghiệm riêng phơng trình (2.1), ta có ü(x)= c1(x)y1(x)+ c2(x)y2(x) + cn(x)yn(x), (2.1)' ®ã y1(x), y2(x), , yn(x) nghiệm độc lập tuyến tính phơng trình nhất, ci(x),( i = , n ) hàm cần xác định cho (2.1)' nghiệm phơng trình (2.1) Thật ta cã ü’(x) = c’1(x)y1(x) + c’2(x)y2(x) + + c’n(x)yn(x) + c1(x)y’1(x) + c2(x)y’2(x) + + cn(x)y’n(x) Sao cho : c’1(x)y1(x) + c’2(x)y2(x) + + c’n(x)yn(x) = (*) ü”(x) = c’1(x)y’1(x) + c’2(x)y’2(x) + + c’n(x)y’n(x) + c1(x)y”1(x) + c2(x)y”2(x)+ + cn(x)y”n(x) Sao cho : c’1(x)y’1(x) + c’2(x)y’2(x) + + c’n(x)y’n(x) = (*) ü(n-1)(x) = c’1(x)y1(n-2)(x) + c’2(x)y2(n-2)(x)+ + c’n(x)yn(n-2)(x) + c1(x)y1(n-1)(x) + c2(x)y2(n-1)(x) + + cn(x)yn(n-1)(x) Sao cho : c’1(x)y1(n-2)(x) + c’2(x)y2(n-2)(x)+ + c’n(x)yn(n-2)(x) = (*) ü(n)(x) = c’1(x)y1(n-1)(x) + c’2(x)y2(n-1)(x) + + c’n(x)yn(n-1)(x) + c1(x)y1(n)(x) + c2(x)y2(n)(x) + + cn(x)yn(n)(x) thay vào phơng trình (2.1) ta đợc c1(x)y1(n-1)(x) + c2(x)y2(n-1)(x) + + cn(x)yn(n-1)(x) =f(x) (*) Các (*) lập thành hệ, giải hệ ta tìm đợc ci(x),( i = , n ) Sau số trờng hợp đặc biÖt f(x) = eαx P(x), α ∈ R, P(x) đa thức bậc n 1.1 Nếu nghiệm phơng trình đặc trng nghiệm riêng phơng trình y(n) + a1y(n-1) + + any = eαx P(x) (2.2) cã d¹ng: ü(x) = eαx Q(x), Q(x) đa thức bậc với P(x) 1.2 Nếu trùng với nghiệm đơn phơng trình đặc trng nghiệm riêng phơng trình (2.2) có dạng ỹ(x) = xex Q(x) Q(x) ®a thøc cïng bËc víi P(x) 1.3 NÕu α trïng với nghiệm bội bâc phơng trình đặc trng nghiệm riêng phơng trình (2.2) có dạng ỹ(x) = xex Q(x) Q(x) đa thức bËc víi P(x) f(x) = eαx [P(x)cosβx + Q(x)sinβx] với số thực; P(x), Q(x) đa thức 2.1 ( α ± iβ) kh«ng trïng víi nghiƯm cđa phơng trình đặc trng, nghiệm riêng phơng trình có dạng ỹ(x) = ex [ P ( x ) cosβx + ®ã P ( x ) , Q ( x ) lµ Q ( x ) sinβx] ®a thøc cïng bËc vµ cã bËc b»ng bËc cao nhÊt P(x),Q(x) 2.2 ( α ± iβ) trïng víi nghiệm đơn phơng trình đặc trng, nghiệm riêng phơng trình có dạng ỹ = xex [ P ( x ) cosβx + Q ( x ) sinx] Đ3 phơng pháp toán tử giải phơng trình vi phân tuyến tính cấp n có hệ số số Phơng trình a0y(n) + a1y(n-1 ) + + any = f(x) ®ã , ( i = 0, n ) số, viết đợc dới dạng a0Dny + a1Dn-1y + + an-1Dy + any = f(x) víi dky =D k y k dt hay (aoDn+a1Dn-1+ +an-1D+an)y=f(x) (3.1) BiÓu thøc: aoDn+a1Dn-1+ +an-1D+an đợc gọi đa thức toán tử ký hiệu F(D), phơng (3.1) viết đợc dới dạng F(D)y = f(x) Một số công thức phép toán đa thức toán tử Ta kiểm chứng đồng thức sau 1) F(D) ekx= ekxF(k) 2) F(D2)sinax= sinaxF(-a2) 3) F(D2)cosax= cosaxF(-a2) 4) F(D)ekxv(x)=ekxF(D+k)v(x) ThËt vËy 1)F(D)ekx = (a0Dn + a1Dn-1 + + an-1D + an)ekx = ekx(a0kn + a1kn-1 + + an-1k + an) = ekxF(k) 2) F(D2)sinax = (a0D2n + a1D2n-2 + + an-1D2 + an)sinax = [ao(-a2)n+a1(-a2)n-1+ +an-1(-a2)+an]sinax = sin axF(-a2) 3) F(D2)cosax= (a0D2n + a1D2n-2 + +an-1D2 + an)cosax = [a0(-a2)n + a1(-a2)n-1 + + an-1(-a2) + an]cosax = cosaxF(-a2) n 4) F(D)e v(x)= kx ∑ p =0 an-p Dp(ekx v(x)) n ∑ =e kx p ( p −1) an-p[kpv(x) + pkp-1Dv(x) + p =0 kp-2 D2v(x) + + Dnv(x)] n = ekx ∑ an-p(D+k)pv(x) p =0 = ekxF(D+k) v(x) Gäi lµ tỉng cđa toán tử F1(D) F2(D) toán tử[F1(D)+F2(D)] tác dụng lên hàm f(x) theo đẳng thức [F1(D)+F2(D)]f(x)=F1(D)f(x)+F2(D)f(x) Từ định nghĩa ®ã ta suy r»ng n n n p =0 p =0 p =0 ∑an−p D p + ∑bn−p D p = ∑ (an−p +bn−p ) D p Ta gäi tích F1(D).F2(D) hai toán tử F1(D)và F2(D) toán tử tác dụng lên hàm f(x) có đạo hàm đến cấp cần thiết theo đẳng thức F1(D).F2(D)f(x) = F1(D)[F2(D)f(x)] Từ định nghĩa suy cách nhân đa thức toán tử giống nh cách nhân đa thức thông thêng ThËt vËy n ∑a p =0 V×: n− p D p m ∑b q =0 m −q D = q n m ∑ ∑a p =0 q =0 b n− p m−q D p +q (3.2) m n m  n  p q  p ( q)  ∑an − p D ∑bm−q D  f ( x ) = ∑an − p D ∑bm−q f ( x )  q =0 p =0  p =0  q =0  n m = ∑ ∑a =  n ∑  p =0 p =0 q =0 b n− p m− q f ( p+ q ) ( x )  an− pbm−q D p+ q  f ( x ) ∑ q =0  m Tõ (3.1) (3.2) ta suy Tính giao hoán phép nhân đa thức toán tử F1(D).F2(D) = F2(D).F1(D) Tính phân bố phép nhân phép cộng đa thức toán tử F(D)[F1(D)+F2(D)]=F(D)F1(D)+F(D)F2(D) Toán tử F(D) Ta định nghĩa kết tác dụng toán tử F(D) lên f(x) nghiệm y phơng trình F(D)y=f(x) Do y= F(D) (3.3) f(x) Thµnh thư F(D)[ F(D) f(x)] = f(x) (3.4) Chó ý: Vì nghiệm y phơng trình (3.3) xác định với độ xác sai khác nghiệm phơng trình F(D)y = nên kết tác dụng F(D) f(x) đợc xác định với độ xác nh Rõ ràng với cách hiểu to¸n tư F(D) F(D) nh thÕ ta cã [F(D)f(x)]=f(x) (3.5) Vì f(x) nghiệm phơng trình F(D)y=F(D)f(x) Tích toán tử (D) F(D) (D) F(D) Tơng tự (D)f(x) = đợc xác định đẳng thức F(D) F(D) f(x)= (D)[ F(D) f(x)] [ (D)f(x)] Do công thức (3.4) vµ (3.5) cã thĨ bá dÊu mãc Chó ý: D p v× f ( x ) = { ∫ f ( x ) dx p ∫ p f ( x ) theo định nghĩa nghiệm phơng trình Dp D p y = f ( x) To¸n tư 1) F ( D) F ( D) có tính chất sau đây: kf(x) = k f ( x) F ( D) k số lên Thật F(D) 2) e kx e kx = F( D ) F (k ) ThËt vËy v× F ( D) e kx F (k ) k f ( x) F ( D) = kF(D) F ( D ) f ( x ) = kf(x) nÕu F(k) ≠ nghiệm phơng trình F(D)y = ekx e kx F ( k ) e kx = = e kx F(k) F(k) VÝ dô: y” - y = 6e2x hay (D2 - 1)y = 6e2x ®ã y= 6e x 6e x = =2e x D2 − − sin ax 3) F ( D ) sin ax = F (− a ) nÕu F(-a2) ≠ sin ax ThËt vËy F ( − a ) lµ nghiƯm phơng trình F(D2)y = sinax F(D2) F ( − a ) = F ( − a ) F ( − a ) sin ax = sin ax sin ax VÝ dô: y” + y = sin2x hay (D2 + 1)y = sin2x ®ã y= 1 sin x sin x sin x = =− D +1 −2 +1 cos ax 4) F ( D ) cos ax = F ( − a ) ≠ nÕu F(- a2) ≠ cos ax ThËt vËy F ( a ) nghiệm phơng trình: F(D2)y = cosax V× F(D2) F ( − a ) = F ( − a ) F ( − a ) cos ax = cos ax cos ax VÝ dô: y(4) + y = 2cos3x hay (D4 + 1)y = 2cos3x ®ã y= 5) cos x cos x = = cos x 41 D +1 ( −9) +1 1 e kx v( x ) =e kx v( x ) F ( D) F ( D +k ) ThËt vËy e kx v× F(D)ekx F ( D +k ) v( x ) lµ nghiệm phơng trình: F(D)y = ekxv(x) 1 v( x ) =e kx F ( D +k ) v( x ) =e kx v( x ) F ( D +k ) F ( D +k ) VÝ dô: y” - 4y’ + 4y = x2e2x hay (D2 - 4D + 4)y = x2e2x ®ã 2x x e x = e x = e y= D2 12 ( D − 2) 6) 2x 2x [ f1 ( x ) + f ( x ) ] = f1 ( x ) + f ( x ) F ( D) F ( D) F ( D) ThËt y1 nghiệm phơng trình: F(D)y = f1(x) y2 nghiệm phơng trình F(D)y = f2(x) y1 + y2 nghiệm phơng trình F(D)y = f1(x) + f2(x)   1 7) F ( D ) F ( D ) f ( x ) = F ( D )  F ( D ) f ( x )    tøc   y = F ( D)  F ( D) f ( x)   (3.6) lµ nghiƯm cđa phơng trình: F2(D)F1(D)y = f(x) (3.7) Thật vậy: Thay (3.6) vào (3.7) ta đợc: 1 F2(D)F1(D) F ( D )  F ( D ) f ( x )  = F2 ( D ) F ( D ) f ( x ) = f(x)   T¸c dơng cđa to¸n tư F ( D) XÐt t¸c dơng cđa to¸n tư lên đa thức F ( D) lên đa thức Pp(x) = A0xp + A1xp-1 + +Ap Ta chia cách hình thức cho đa thức đặt theo luỹ thừa tăng D F(D) = an + an-1D + + a0Dn, an ≠ (theo c¸ch chia đa thức thông thờng) Quá trình chia dừng lại ta đợc đa thức toán tử bậc p (p lµ bËc cđa Pp(x) b0 + b1D + + bpDp = Qp(D) Khi phần thừa ®a thøc R(D) = cp+1Dp+1 + cp+2Dp+2 + + cp+nDp+n chứa toán tử D với luỹ thừa không thấp p + Đối với phép chia đa thøc th«ng thêng ta cã: F(D)Qn(D) + R(D) = (3.8) Nhng quy tắc cộng nhân đa thức toán tử không khác quy tắc cộng nhân đa thức thông thờng nên đa thức toán tử ta có (3.8) Do ta cã: [F(D)Qp(D) + R(D)](A0xp + A1xp-1 + + Ap) = A0xp + A1xp-1 + + Ap tøc Qp(D) (A0xp + A1xp-1 + + Ap) lµ nghiƯm cđa phơng trình: F(D)x = (A0xp + A1xp-1 + + Ap) VËy: F ( D) (A0xp + A1xp-1 + + Ap) = Qp(D) (A0xp + A1xp-1 + + Ap) VÝ dô: y” + y = x2 - x + hay (D2 + 1)y = x2 - x + ®ã y= x2 − x + D +1 ( ) chia cho + D2 ta đợc Q2(D) = - D2 thµnh thư y = (1 - D2)(x2 - x + 2) = x2 - x C¸c vÝ dơ vỊ cách tìm nghiệm riêng phơng trình vi phân tuyến tính không có hệ số số phơng pháp toán tử giải: a) y - 4y + 4y = 2e2x hay (D2 - 4D + 4)y = 2e2x ®ã y = ( D −2) 2e 2x = 2e x = x e x D b) y” - 5y’ + 6y = 6x2 - 10x + hay (D2 - 5D + 6)y = 6x2 - 10x + ®ã: y= = D −5 D +6 (6x2 - 10x + 2)  D 19 D  +  36 + 216    x −10 x +2   ( ) = x2 c) y” - 5y’ = -5x2 + 2x hay (D2 - 5D)y = -5x2 + 2x ®ã: y= D( D − ( −5 x 5) ) + 2x = 1 × D D − 10 ( −5 x + 2x ) x e × = xe x ; D = 31  1 x = + D+ D 5 x 125 D −6 D +5  25  y2 = = x2 + 12 62 x + 25 ì Vậy nghiệm riêng phơng trình đà cho lµ: y = x 12 62 xe + x + x+ 25 h) y” + 3y’ - 4y = e-4x + xe-x hay (D2 + 3D - 4)y= e-4x + xe-x ®ã: y= e −4 x xe −x + D +3D −4 D +3D Đặt y1 = e x D +3D −4 ; y2 = xe −x D +3D −4 Ta cã: y1 = y2 = ( D −1) ( D + ) (D e −4 x = − 1) ( D + ) e −4 x 1 × = − e −4 x × D + −5 D = − xe −4 x ; 1 1 D  −x × xe − x = − xe D − D + D − 1 9÷   xe− x = 1  −x x 1 x −x  − ÷e = e D −  − ÷ D −     =   x  −x − x  D  = e  − − ÷ x − ÷ =  − − ÷e     36  VËy nghiÖm riêng phơng trình đà cho là: y= i) x −4 x  x  −x e − + e  36  y” - 3y’ = e3x -18x hay (D2 - 3D)y = e3x -18x đó: y= Đặt: y1 = e3 x D ( D −3) ; y2 = − e3 x 18 x − D ( D −3) D( D −3) 18 x D ( D −3) ta cã: y1 = D ( D − 3) e3 x = 1   3x 3x × e3 x = e = e × = D − D + D − 3 3÷ D   12 3x xe ; y2 = − 18 x  D =− − − x = ( x +2 ) = x +2 x D ( D −3) D D Vậy nghiệm riêng phơng trình đà cho lµ: y= 3x xe +3 x + x k) y” + y = 2sinx hay (D2 + 1)y = 2sinx ®ã: y= sin x D +1 C«ng thøc (4) kh«ng áp dụng đợc F(-a2) = nên thay cho phơng trình xuất phát ta phải xét phơng trình y + y = 2eix hay y” + y = 2cosx + 2isinx ta cã: (D2 + 1)y = 2eix ®ã 1 eix eix 2eix = 2eix = × = × × y= D + D −i i i D ( D − i) ( D + i) = xeix = x sin x ix cos x i Phần ảo -xcosx nghiệm nghiệm phơng trình xuất phát tức: y = - xcosx l) y” + y’ + y = -13sin2x hay (D2 + D + 1)y = -13sin2x ®ã y= − 13 sin x D + D +1 Vì toán tử không chứa bậc chẵn D nên không áp dụng công thức (3) nên thay cho phơng trình xuất phát ta phải xét phơng trình: y” + y’ + y= -13e2ix hay y” + y’ + y = -13cos2x -13isin2x ta cã: (D2 + D + 1)y = -13e2ix ®ã y = − 13e 2ix 13e 2ix 13e 2ix =− =− ( 2i −3) D +D + 4i +2i + = (2i + 3)e2ix = (2i + 3)(cos2x + isin2x) = -2sin2x + 3cos2x + i(2cos2x + 3sin2x) Phần ảo (2cos2x + 3sin2x) nghiệm nghiệm phơng trình đà cho tức y = cos2x + 3sin2x m) y” + y’ - 2y = ex(cosx - 7sinx) hay (D2 + D - 2)y = excosx - 7exsinx ®ã: 13 y= e x cos x 7e x sin x − D + D −2 D + D Vì toán tử không chứa bậc chẵn D nên không áp dụng đợc công thức (3) (4) thay cho phơng trình xuất phát ta xét phơng trình y + y - 2y = ex eix hay y” + y’ - 2y = excosx + iexsinx Ta cã: (D2 + D - 2)y = e(i +1)x ®ã e( ) e( ) e( ) i +1 x = = = − ( 3i + 1) e( ) y= 2 10 D + D − ( i + 1) + ( i + 1) − 3i −1 i +1 x = − =− i +1 x i +1 x ( 3i +1)e x ( cos x +i sin x ) 10 ex ( cosx − 3sin x ) − iex ( 3cosx + sin x ) 10 10 Do ®ã ta có nghiệm phơng trình đà cho là: y= − ex ( cos x − 3sin x ) −  − e x (3cos x + sin x)   ÷ 10  10  = ex(2cosx + sinx) n) y” - 5y’ = 3x2 + sin5x hay (D2 - 5D)y = 3x2 + sin5x ®ã: 3x sin5x + y= D − 5D D 5D Đặt: y1 = 3x D −5 D ; y2 = sin x D − 5D Ta cã: = 3x 1 1  D D2  − − 3 x = 3x = 3x = − D ( D −5) D D −5 D  25 125  D −5 D   = y1  3x x  x 3x 6x − =− − − − −   D 25 125  25 125 = -0,2x3 - 0,12x2 - 0,048x; y2 = sin x D2 5D Xét phơng trình: y - 5y’ = e5ix hay y” - 5y’ = cos5x + isin5x ta cã: (D2 - 5D)y = e5ix ®ã 14 y= e 5ix e 5ix = =− (1 −i )e 5ix −25 −25i 50 D −5 D = − (1 − i )( cos x +i sin x ) 50 = − ( cos x +sin x ) + i ( cos x −sin x ) 50 50 Phần ảo y2 = ( cos5 x sin x ) lµ nghiƯm cđa y2 tøc 50 50 ( cos x − x ) = 0,02(cos5x - sin5x) sin Vậy nghiệm phơng trình đà cho lµ: y = -0,2x3 - 0,12x2 - 0,048x + 0,02(cos5x - sin5x) p) y” + 4y = 3e2x + xcos2x hay (D2 + 4)y = 3e2x + xcos2x ®ã: y= 3e x x cos x + D +4 D +4 x cos x 3e2 x Đặt: y1 = ; y2 = D2 + D + y1 = y2 = Ta cã: 3e x 3e x = = e2x ; D +4 +4 x cos x D2 + Xét phơng trình y + 4y = xe2ix hay y” + 4y = xcos2x + ixsin2x Ta cã: (D2 + 4)y = xe2ix ®ã: y= = 1 1 xe2 ix = × xe2 ix = e2ix x D2 + D − 2i D + 2i D −2i D + 4i e 2ix  D e ix  x   + x =  +  D  4i 16  D  4i 16  2ix  x  =e =  x2 x  x  + =( cos x +i sin x )  8i 16   8i +16        x2   x2 x sin x    sin x +16 x cos x  +i − cos x + 16         PhÇn thùc  x2    sin x +16 x cos x nghiệm riêng y2 tøc 15 y2 =  x2    sin x +16 x cos x Vậy nghiệm riêng phơng trình đà cho là: y= 2x x2 x e + sin x + cos x 8 16 16 Chơng Một số phơng trình vi phân tuyến tính cấp n đa đợc phơng trình vi ph©n tun tÝnh cã hƯ sè h»ng sè I Đa phơng trình tuyến tính cấp n phơng trình có hệ số số nhờ phép thay biến độc lập Vì phơng trình tuyến tính có hệ số số giải phép tính đại số nên ta quan tâm đến việc xét phơng trình tuyến tính có hệ số biến thiên mà nhờ phép biến đổi biến độc lập hay hàm phải tìm đa đợc phơng trình có hệ số số Giả sử, cho phơng trình: y(n) + p1(x) y(n-1) + + pn-1(x)y’ + pn(x)y = (1) Trong ®ã x ∈ R, pi(x), (i = 1, n ) hàm thực Ta thử xét xem phơng trình đa đợc phơng trình có hệ số số Dùng phép thay thÕ t = ψ(x) (2) ta cã: ' ' y x = yt' t x = yt' ψ' ( x ) y "x2 = y " [ψ ' ( x ) ] + yt' ψ " ( x ) ( y xn ) = yt(nn ) ψ ' ( x )  + + yt'ψ ( n ) ( x) n   n n phơng trình (1) trở thành: yt( n ) [ψ ' ( x ) ] + + p n ( x ) y = n ( n) chia hai vế cho [(x)] ta đợc yt n + + n pn ( x ) ψ ' ( x )    n y = (3) Do phơng trình (3) có hệ số số điều kiện cần (nhng nói chung cha phải đủ) là: pn ( x ) [ ' ( x ) ] Khi ®ã ψ’(x) = c n n = , c số cn pn ( x ) VËy: 17 ψ(x)= c ∫ n p n ( x ) dx (4) VËy nÕu phơng trình (3) đa đợc phơng trình có hệ sè h»ng sè nhê phÐp thay biÕn sè ®éc lËp phép thay biến phải có dạng t =c ∫n p n ( x ) dx Tríc hÕt ta xét phơng trình: y + q(x)y = (*) Đặt t = (x) Ta có: y = dy dy dt dy = = '( x) ϕ dx dt dx dt y” = ϕ”(x) dy d y dt dy d2y +ϕ' ( x ) =ϕ′′( x ) +ϕ' ( x ) dt dt dt dx dt Thay vào (*) ta đợc: ' ( x ) d2y dy +ϕ′′( x ) + q ( x ) y =0 dt dt ϕ′′( x ) dy d2y Đặt ( x) ϕ '2 ( x ) = m    q( x ) = n  ϕ '2 ( x) Tõ (b) ta cã: ⇒ ϕ′′ ( x ) = (a ) (b) q( x ) =ϕ' ( x ) n n × ⇒ ⇒ q' ( x ) q ( x) dq q = =A ⇒ ϕ’(x) = 1 q ( x) n q '( x ) q( x) thay vµo (a): ϕ”(x) = mϕ’ (x) ⇒ 2 n × q( x ) ⇒ dt +ϕ' ( x ) dt +ϕ' ( x ) y =0 q '( x ) q( x) 2m =A n dx 18 = m q( x) n − ⇒ q ⇒ ⇒ dq =A dx =Ax +B q( x ) q( x ) = Ax +B ⇒ q(x) = ( Ax + B ) Vậy phơng trình dạng: y + ( Ax +B ) y = ®a vỊ đợc phơng trình có hệ số số nhờ phép biÕn ®ỉi biÕn sè ®éc lËp y” + p(x)y’ + q(x)y = (**) Đặt t = (x) y = dy dy dt dy = = '( x) ϕ dx dt dx dt y” = ϕ”(x) dy d y dt dy d2y +ϕ' ( x ) =ϕ′′( x ) +ϕ' ( x ) dt dt dt dx dt Thay vào phơng trình (**) ta đợc: ' ( x ) d2y dy dy +ϕ′′( x ) + p( x )ϕ' ( x ) + q ( x ) y =0 dt dt dt ϕ′′ ( x ) + p ( x ) ϕ ' ( x ) dy q( x) d2y × + y = ⇒ + dt ϕ '2 ( x ) dt ϕ '2 ( x )  ϕ ′ ( x ) + p( x ) ϕ ' ( x )  ϕ '2 ( x ) = Đặt: q( x ) =  ϕ ' ( x) q( x ) Tõ (b’) ta cã: β ⇒ ϕ′′ ( x ) = β (a ' ) (b') =ϕ' ( x ) × 1 q2 ( x) ⇒ ϕ’(x) = β q '( x ) q( x) 19 thay vµo (a’): ⇒ ⇒ β β × q '( x ) q( x) ⇒ p(x) = c[ q( x ) ] + 2α β α q( x) = q( x) β β α q( x) = q( x) q( x) β β × q '( x ) + p ( x ) q ' ( x ) +2 p ( x ) q ( x ) = + p( x) q ( x) q' ( x ) , ®ã c lµ h»ng sè 2q ( x ) VËy víi p(x) = c[ q( x ) ] + q' ( x ) , phơng trình (**) đa đợc phơng trình 2q ( x ) có hệ số số II Phơng trình ơle Cho phơng trình ¬le: D(y) = xny(n) + a1xn-1y(n-1) + + an-1xy’ + any = (5) ®ã a1, , an số Phơng trình có điểm x = kỳ dị Ta xét x thuộc khoảng (- , 0), (0, ) Ta hÃy tìm nghiệm tổng quát phơng trình ơle với x thuộc (0, ) (để lập nghiệm tổng quát với giá trị x âm tất phép tính cần thay x -x) Theo mục phơng trình (5) đa đợc phơng trình có hệ số số phép thay biến độc lập cã thĨ b»ng phÐp thay biÕn d¹ng t = c∫ n lÊy c = n an an xn dx , ®ã t = lnx hay x = et (6) ®ã ' ' yx = yt' t x = yt' × d d −t = yt' e − t , = e xt dx dt y ′′2 = ( yt′′ e −t − yt' e −t )e −t = ( yt′′ − yt' )e −2t 2 x y ′′′ = ( yt′′′ −3 yt′′ + yt' )e −3t x3 (7) 20 [ ( y xn ) = yt( nn ) + + ( - 1) n n −1 ( n − 1)! yt' ]e nt Từ (7) ta thấy đạo hàm cấp k y theo x đợc biểu diễn dới dạng tích e-k với hàm tuyến tính k ′2 yt' , yt′ , , y (t k ) víi hƯ sè h»ng sè V× vËy, thay (6), (7) vào (5) với xke-kt = ta đợc phơng trình tuyến tính cấp n có hệ số số, tìm nghiệm tổng quát phơng trình trở lại phơng trình xuất phát phép thay t = lnx ta đợc nghiệm tổng quát phơng trình ơle Ví dụ 1: Tìm nghiệm tổng quát phơng trình x2y - 2xy + 2y = (8) Giải: Đặt x = et ta có: ' y x = yt' e −t y′′2 = ( yt′′2 − yt' )e −2t x thay vµo (8) ta ®ỵc: ) ( e2t y ′′2 − yt' e −2t − et yt' e −t + y = t ' hay yt′′2 −3 yt + y = ta cã F(λ) = λ2 - 3λ + = ®ã λ1 = 1; λ2 = VËy y = c1et + c2e2t hay y = c1x + c2x2 Ví dụ 2: Xét phơng trình x2y - 3xy + 5y = (9) Giải: Đặt x = et ta cã ' y x = yt' e −t y′′2 = ( yt′′2 − yt' )e −2t x thay vào phơng trình (9) ta đợc: ( ) e 2t yt′′ − yt' e −2t − et yt' e −t + y = hay yt′′ − yt' +5 y =0 ta cã F(λ) = λ2 - 4λ + = ®ã λ1 = + i; λ2 = - i VËy y = e2t(c1cost + c2sint) hay y = x2(c1coslnx + c2sinlnx) Ví dụ 3: Giải phơng trình sau đây: a) x2y - 4xy + 6y = (10) 21 Giải: Đặt x = et ta có ' y x = yt' e −t y′′2 = ( yt2 yt' )e 2t x thay vào phơng trình (10) ta đợc: ( ) e 2t yt yt' e −2t − et yt' e −t + y = hay yt′′ − yt' +6 y =0 ta cã F(λ) = λ2 - 5λ + = ®ã λ1 = 2; λ2 = VËy y = c1e2t + c2e3t hay y = c1x2 + c2x3 b) x3y + xy’ - y = (11) Giải: Đặt x = et ta có: ' y x =yt' e −t ( ) y ′′′ = ( y ′′′ − y ′′ + y )e y′′2 = yt′′2 − yt' e −2t x x3 t3 ' t t2 3t Thay vào phơng trình (11) ta đợc: ( ) e3t yt3 yt′′2 + yt' e −3t + et yt' e −t - y = ′ ′ hay yt′′ −3 yt′ +3 y − y =0 ta cã: F(λ) = λ3 - 3λ2 + 3λ - = ®ã λ1 = λ2 = λ3 = ' t VËy y = e3t(c1 + c2t + c3t2) hay y = x3(c1 + c2ln c) x3y” - 2xy = 6lnx x Giải: Đặt x = et ta có ' y x = yt' e −t y′′2 = ( yt2 yt' )e 2t x thay vào phơng trình (12) ta đợc: ( ) e3t yt yt' e −2t − et y = 6t ' −t hay yt′′2 − yt − y = 6te - phơng trình y - y - 2y = cã F(λ) = λ2 - λ - = ®ã λ1 = -1; λ2 = Vậy nghiệm phơng trình 22 + c3ln2 x ) (12) y = c1e−t + c2e 2t hay y = c1 + c2 x x - Tìm nghiệm riêng phơng trình: y - y - 2y = 6te-t Nghiệm riêng phơng trình cã d¹ng: y -2 ~ ~ -1 y ’ y ~” y” - y’ - 2y = te-t(At + B) = -(At2 + Bt)e-t + (2At + B)e-t = (At2 + Bt)e-t - (2At + B)e-t - e-t(2At + B) + 2Ae-t = -3(2At + B)e-t + 2Ae-t = 6te-t Đồng thức hai vế phơng trình ta ®ỵc:  − 6A = ®ã A = -1; B = −   − 3B + A = Vậy nghiệm riêng phơng trình là: ~ =te t t  y   3  hay ~ = − ln x − ln x  y x Vậy nghiệm phơng trình ®· cho lµ: y = c1x2 + 1   − ln x − ln x + c  x  d) x2y” - 2y = sinlnx (13) Giải: Đặt x = et ta có ' y x = yt' e −t y′′2 = ( yt2 yt' )e 2t x thay vào phơng trình (13) ta đợc: ( ) e 2t yt2 yt' e −2t − y = sin t ' hay yt′′2 − yt − y = sin t - phơng trình y - y - 2y = cã F(λ) = λ2 - λ - = ®ã λ1 = -1; λ2 = 23 Vậy nghiệm phơng trình y =c1e −t +c2 e −2 t hay y =c1 +c x x - Tìm nghiệm riêng phơng trình: y - y - 2y = sint Nghiệm riêng phơng trình có dạng: y -2 ~ ~ -1 y ’ y ~” y” - y’ - 2y = e0t (Asint + Bcost) = Acost - Bsint = -Asint - Bcost) = (-3A + B)sint - (3B + A)cost = sint §ång nhÊt thøc hai vÕ cđa phơng trình ta đợc: 3A + B  − 3B − A =1 =0 ®ã A = -0,3; B = 0,1 Vậy nghiệm riêng phơng trình là: % y = 0,3sin t + 0,1cos t hay ~ =−0,3 sin ln x +0,1 cos ln x y suy nghiệm phơng trình đà cho là: y = c1x-1 + c2x2 + 0,1coslnx - 0,3sinlnx x e) y′′ + y ' + y =0 x2 (14) hay x2y” + xy’ + y = Giải: Đặt x = et ta có: ' y x = yt' e −t ( ) y′′2 = yt′′2 yt' e 2t x thay vào phơng trình (14) ta đợc: ( ) e 2t yt2 yt' e −2t + e t yt' e −t + y = hay yt′′ + y = ta cã F(λ) = λ2 + = ®ã λ1 = i; = -i Vậy nghiệm phơng trình ®· cho lµ: y = c1cost + c2sint hay y = c1coslnx + c2sinlnx f) (1 + x)2y” + (1 + x)y + y = (15) Giải: Đặt + x = et ta cã: 24 ' y x = yt' e −t ( ) y′′2 = yt′′2 yt' e 2t x thay vào phơng trình (15) ta đợc: ( ) e 2t yt yt' e −2t + e t yt' e −t + y = hay yt′′ + y = ta cã F(λ) = λ2 + = ®ã λ1 = i; λ2 = -i VËy nghiƯm cđa ph¬ng trình đà cho là: y = c1cost + c2sint hay y = c1cosln(1 + x) + c2sinln(1 + x) g) (2x + 1)2y” - 4(2x + 1)y’ + 8y = Giải: Từ phơng trình ta có: Đặt x + 1 1   ′  x +  y ′ −2 x + y ' +2 y =0 2 2   = et ta cã: ' y x = yt' e −t y′′2 = ( yt′′2 − yt' )e −2t x thay vµo phơng trình (16) ta đợc: ( ) e 2t yt2 − yt' e −2t − e t yt' e −t + y = hay y ''− y '+ y = ta cã F(λ) = λ2 - 3λ + = ®ã λ1 = 1; = Vậy nghiệm phơng trình ®· cho lµ: y = c1e + c2e hay y = t 2t 1 1   c1  x +  +c2  x +  2 2   ′ h) (2x + 3)3 y ′′+ 3(2x + 3)y - 6y = Giải: Từ phơng trình ta có: 3 4x +  y ′′ +3x + y ' −3 y =0 2 (17) Đặt x+ = et ta cã: ' y x =yt' e −t ( ) y′′2 = yt′′2 − yt' e −2t x 25 (16) ( ) y ′′′ = yt′′′ − yt′′ + yt' e −3t x3 Thay vào phơng trình (17) ta đợc: ( ) 4e 3t yt′′′ − yt′′ + yt' e −3t + 3e t yt' e −t − y = '" " ' hay yt −12 yt +11 yt − y = ta cã: F(λ) = 4λ3 - 12λ2 + 11λ - = ®ã λ1 = 1; λ2 = ; λ3 = Vậy nghiệm phơng trình đà cho là: y = c1et + c2 e t +c3e t hay y= c1 x +3 +c2 x +3   2  26 +c3 x + ... phơng trình vi phân tuyến tính có hệ số số I Đa phơng trình tuyến tính cấp n phơng trình có hệ số số nhờ phép thay biến độc lập Vì phơng trình tuyến tính có hệ số số giải phép tính đại số nên... phơng trình vi phân tuyến tính cấp n không có hệ số số Ta xét phơng trình y(n) + a1y(n-1) + + any = f(x) (2.1) số Phơng trình (2.1) đợc gọi phơng trình vi phân tuyến tính cấp n không có hệ số số... động toán tử lên đa thức F ( D) 3.Đa đợc số phơng trình vi phân tuyến tính cấp n phơng trình vi phân tuyến tính cã hƯ sè h»ng sè 4.lÊy mét sè vÝ dơ cách tìm nghiệm riêng phơng trình vi phân tuyến