Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ===== ===== Lê thị hơng lộc phổ nối suy rộng và sự tồn tại phổ nối suy rộng và sự tồn tại các đồng cấu phức trên đại số Banach các đồng cấu phức trên đại số Banach Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2007 1 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ===== ===== Lê thị hơng lộc phổ nối suy rộng và sự tồn tại phổ nối suy rộng và sự tồn tại các đồng cấu phức trên đại số Banach các đồng cấu phức trên đại số Banach Chuyên ngành: Giải tích M số: 60.46.01ã Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS. Đinh Huy Hoàng Vinh - 2007 Mục lục 2 Mục lục . 1 lời nói đầu 2 Chơng 1. phổ nối ,phổ nối điểm xấp xỉ và sự tồn tại các đồng cấu phức trong đại số Banach. 1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản 5 1.2 Phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối và sự tồn tại các đồng cấu phức . 8 1.3 Phổ nối điểm và sự tồn tại các đồng cấu phức 11 Chơng 2. Phổ nối suy rộng và sự tồn tại đồng cấu phức 2.1 Định nghĩa phổ nối suy rộng và các tính chất 14 2.2 Phổ nối suy rộng và sự tồn tại các đồng cấu phức 28 2.3 Phổ của các phần tử sinh và sự tồn tại đồng cấu phức trong đại số Banach 34 kết luận . . 39 3 tài liệu tham khảo 40 lời mở đầu Lý thuyết phổ của toán tử tuyến tính liên tục hay tổng quát hơn phổ của các phần tử trong đại số Banach có nhiều ứng dụng trong giải tích phức và giải tích hàm. Nó cho chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc của chính đại số đó và mô tả tờng minh hơn cấu trúc của không gian các ideal cực đại cũng nh sự tồn tại hay không các đồng cấu phức trên đại số Banach. Nh đ biết, trên một đại số Banach giao hoán luôn có đồng cấuã phức. Tuy nhiên trên đại số Banach không giao hoán điều đó không còn đúng nữa. Do đó vấn đề đợc đặt ra là với điều kiện nào thì tồn tại các đồng cấu phức trên đại số Banach không giao hoán, Vấn dề này đợc nhiều nhà toán học quan tâm nh R.E.Harte, V.M.Ller, A.Soltysiak, Trong [10], A.Soltysiak đ giới thiệu và nghiên cứu các tính chấtã của phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối điểm xấp xỉ, phổ nối suy rộng của các phần tử trong đại số Banach không giao hoán. Thông qua các tính chất của các loại phổ nói trên để tìm ra điều kiện cần và đủ để một đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức. 4 Trong [1] và [2], đ nghiên cứu tính chất phổ nối, phổ nối trái, phổã nối phải, phổ nối xấp xỉ trái, phổ nối xấp xỉ phải, phổ nối xấp xỉ của một họ các phần tử trong đại số Banach và sự tồn tại các đồng cấu phức trên đại số Banach không giao hoán. Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo nghiên cứu phổ nối suy rộng và sự tồn tại đồng cấu phức trên đại số Banach không giao hoán. Với mục đích đó luận văn đợc viết thành hai chơng. Chơng I. Phổ nối, phổ nối điểm xấp xỉ và sự tồn tại các đồng cấu phức trong đại số Banach. Mục 1 của Chơng I dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về đại số Banach và đồng cấu phức cần dùng trong luận văn. Trong mục thứ 2, dựa vào tài liệu tham khảo [1] chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của phổ nối và sự tồn tại các đồng cấu phức cần dùng cho chơng sau. Trong mục thứ 3, dựa vào tài liệu tham khảo [2] chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản của phổ nối xấp xỉ và sự tồn tại các đồng cấu phức cần dùng cho chơng sau. Chơng II. Phổ nối suy rộng và sự tồn tại đồng cấu phức. Chơng này là nội dung chính của luận văn. Trong mục 1, đầu tiên dựa vào tài liệu tham khảo chúng tôi trình bày khái niệm phổ nối suy rộng và đa ra một số các ví dụ về phổ nối suy rộng ( Ví dụ 2.1.4). Sau đó chúng tôi trình bày các khái niệm phổ song giao hoán, phổ nối lồi hữu tỉ và một số tính chất của chúng. Từ đó xét các mối quan hệ giữa phổ nối, phổ nối điểm xấp xỉ, phổ nối suy rộng, phổ nối lồi hữu tỉ, phổ song giao 5 hoán. Chứng minh họ các phổ nối suy rộng trên đại số Banach A có phần tử cực tiểu và có phần tử lớn nhất. Trong mục 2, dựa vào tính chất của phổ nối suy rộng, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại các đồng cấu phức trong đại số Banach không giao hoán. Chứng minh chi tiết các kết quả đ có trong [10].ã Trong mục 3, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ giữa sự tồn tại đồng cấu phức trên đại số Banach A với sự tồn tại các đồng cấu phức trên các đại số con hữu hạn sinh của nó. Luận văn đơc hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của Thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các Thầy, Cô giáo trong tổ giải tích, Khoa Toán, Khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh cùng tất cả các bạn bè đ động viên, giúp đỡã tác giả trong thời gian qua. Tuy nhiên, do điều kiện thời gian năng lực còn hạn chế luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong đợc quý Thầy cô và bạn bè đóng góp ý kiến. Vinh, Tháng 12 Năm 2007. Tác giả 6 Chơng 1 Phổ nối, phổ nối điểm xấp xỉ và sự tồn tại các đồng cấu phức trong đại số banach. Chúng ta đ biết rằng, trên một đại số Banach giao hoán luôn tồnã tại một đồng cấu phức. Tuy nhiên trên đại số Banach không giao hoán thì điều này không còn đúng nữa. Trong chơng này, dựa vào các tài liệu tham khảo, chúng tôi đa ra Định nghĩa và một số tính chất của phổ nối, phổ nối điểm xấp xỉ và sự tồn tại các đồng cấu phức trên đại số Banach không giao hoán. 1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về đại số Banach và các đồng cấu phức dùng trong luận văn. 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử A là không gian vectơ trên trờng số phức Ê , đợc trang bị một phép nhân trong ì A A A f g fga( , ) thỏa m n các điều kiệnã 1) f ( gh) = ( fg ) h, 2) f ( g + h) = fg + fh, ( g + h)f = gf + hf, 3) ( f )g = f ( g) = (fg), với mọi g, f, h A và mọi Ê . Ta gọi A là một đại số phức (hay đại số). Một đại số phức A nếu thỏa m n thêm các điều kiệnã 4) A là một không gian Banach với chuẩn ||.|| , 5) || . || || ||.|| ||f g f g với mọi f, g A, thì đợc gọi là đại số Banach. 7 Đại số Banach A đợc gọi là giao hoán nếu phép nhân trong giao hoán, tức là fg = gf với mọi f, g A. Đại số Banach A đợc gọi là có đơn vị nếu trong A tồn tại phần tử, ta ký hiệu là e sao cho ef = fe = f với mọi f A. Giả sử A có đơn vị và f A. f đợc gọi là khả nghịch nếu tồn tại g A sao cho fg = gf = e. Khi đó ta ký hiệu g = f 1 . Các đại số Banach ta xét sau này luôn giả thiết là có đơn vị. 1.1.2. Định nghĩa. Một hàm tuyến tính : A Ê đợc gọi là đồng cấu phức nếu nó là nhân tính, nghĩa là (ab) = (a). (b) với mọi a, b A, và (e) = 1, với e là phần tử của đơn vị A. 1.1.3. Đa thức .Giả sử P( z 1 , ., z n ) là một đa thức n biến phức z 1 , ., z n với các hệ số lấy trong Ê . Trong đa thức P( z 1 , ., z n ) thay z 1 , ., z n bởi 1 , ., n thuộc đại số Banach A tơng ứng ta đợc P( 1 , ., n ) A. Ta gọi P( 1 , ., n ) là một đa thức của các biến 1 , ., n A với các hệ số phức. Sau nay nếu không sợ hiểu nhầm thì ta nói gọn P( 1 , ., n ) là một đa thức n biến hay gọn hơn nữa là một đa thức. Giả sử E A. ta ký hiệu P n (E) là tập tất cả các đa thức n biến 1 , ., n thuộc E. Mỗi phần tử P P n (E) đợc viết duy nhất một cách dới dạng 1 1 1 , ., . n n ii i i n , trong đó tổng lấy theo các bộ (i 1 , ., i n ) Ơ n , các hệ số i 1 , ., i n Ê và chúng bằng không hầu hết trừ ra một số hữu hạn; ( 1 , ., n ) E n . Ta quy ớc 0 = e, A. 8 1.1.4 Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp và là một thứ tự ( bộ phận ) trên X, tức là với mọi x, y, z X ta có x x (phản xạ), nếu x y và y x thì x = y (phản đối xứng) và nếu x y, y z thì x z (bắc cầu). Một tập con A X đợc gọi là sắp tuyến tính nếu mọi x, y A thì hoặc x y hoặc y x . Phần tử a X gọi là cận trên của A nếu x a với mọi x A. Phần tử a X đợc gọi là phần tử cực đại nếu mọi x X mà a x thì a = x. Phần tử a X đợc gọi là phần tử lớn nhất của X nếu x a với mọi x X. 1.1.5 Bổ đề Zorn. Giả sử X và là một thứ tự trên X. Nếu mọi tập con đợc sắp tuyến tính của X đều có biên trên thì trong X có phần tử cực đại. 9 1.2. Phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối và sự tồn tại các đồng cấu phức Ta biết rằng nếu A là một đại số Banach không giao hoán thì có thể không tồn tại đồng cấu phức trên A. Do đó một vấn đề đợc đặt ra một cách tự nhiên là, tìm điều kiện cần và đủ để cho một đại số Banach không giao hoán có một đồng cấu phức xác định trên nó. Trong [10], A. Soltysiak đ giới thiệu các khái niệm phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối,ã phổ nối điểm xấp xỉ trái, phải, phổ nối điểm xấp xỉ của một số hữu hạn các phần tử trong một đại số Banach và nghiên cứu các tính chất của chúng. Từ đó, A. Soltysiak đ đã a ra điều kiện cần và đủ để cho một đại số Banach không giao hoán có đồng cấu phức. Trong mục này, dựa vào [1] chúng tôi trình bày phổ nối trái, phổ nối phải, phổ nối của một họ tùy ý các phần tử trong một đại số Banach và trình bày lại một số kết quả cần dùng cho chơng sau (chúng ta có thể xem chứng minh của các kết quả này trong [1]). Từ nay về sau, nếu không giải thích gì thêm thì luôn hiểu A là đại số Banach không giao hoán, có đơn vị, đợc ký hiệu là e. 1.2.1. Định nghĩa ([1]). Giả sử A là đại số Banach, là tập chỉ số bất kỳ và E = { i , i } A. Họ { i : i } Ê đợc gọi là thuộc phổ trái của E nếu với mọi J H() đều có ( ) , i i i J A A trong đó H() là họ tất cả các tập con hữu hạn của . Ký hiệu phổ nối trái của E là l (E). Phổ nối phải r (E) đợc định nghĩa một cách tơng tự. Ta gọi phổ nối của E là tập H (E) = l (E) r (E). Sau này, nếu không sợ hiểu nhầm thì ta viết đơn giản (E) thay cho H (E). 10