Mục lục Mục lục. Mở đầu. Chơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1. Khái niệm 1.2. Các biện pháp phát huy tính tích cực học tập cho học sinh. 1.3. Chủ đề Bất đẳng thức. Chơng II: Xây dựng hệ thống các biện pháp s phạm theo hớng tích cực hoá hoạt động của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả dạy học Bất đẳng thức. 2.1. Các căn cứ xây dựng hệ thống các biện pháp s phạm. 2.2. Các nguyên tắc xây dựng các hệ thống biện pháp s phạm. 2.3. Vai trò của giáo viên trong phát huy tính tích cực học tập của học sinh. 2.4. Xây dựng các hệ thống biện pháp s phạm nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh thông qua dạy học Bất đẳng thức. Chơng III: Kiểm chứng kết quả nghiên cứu qua đợt thực tập s phạm và những kết luận bớc đầu. Kết luận. Tài liệu tham khảo. Mở đầu 1 1 I. Lý do chọn đề tài: Trong chơng trình toán THPT, Bất đẳng thức đợc đa vào xem xét một cách tờng minh từ lớp 10 và xuyên suốt chơng trình môn toán trờng phổ thông. Bất đẳng thức có vai trò hết sức quan trọng và làm cơ sở để nghiên cứu về bất phơng trình Trong chơng trình toán THPT, bất đẳng thức đã đợc khai thác ở các dạng chủ yếu sau đây + Chứng minh bất đẳng thức. + Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. + ứng dụng vào giải một số phơng trình và hệ phơng trình có dạng đặc biệt. - Trong khi đẳng thức cần sự chính xác tuyệt đối, thì bất đẳng thức có sự mềm dẻo nhất định, thể hiện khả năng ớc lợng và đặc biệt cần sự linh hoạt và sáng tạo trong suy luận. Do quen làm việc với đẳng thức ở chuơng trình toán THCS nên học sinh gặp nhiều khó khăn khi học về bất đẳng thức - Vấn đề phát huy tính tích cực của học sinh trong dạy học là một yêu cầu của việc đổi mới phơng pháp dạy học (PPDH) trong giai đoạn hiện nay. Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phơng pháp dạy học chủ yếu theo h- ớng hoạt động hoá ngời học với phơng châm "Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động". Phát huy tính tích cực của học sinh qua dạy học chủ đề bất đẳng thức sẽ góp phần thực hiện định hớng nêu trên. Đồng thời góp phần phát triển t duy toán học cho học sinh. Thực tiễn cho thấy, hiện nay trong dạy học vẫn còn phổ biến lối "Thầy đọc, trò ghi" làm hạn chế sức suy nghĩ và tính tích cực của học sinh, bởi vậy hiệu suất của quá trình dạy học cha cao. Từ những lý do đã phân tích, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: " Phát huy tính tích cực của học sinh thông qua dạy học Bất đẳng thức ở trờng phổ thông". II. Mục đích nghiên cứu: 2 2 Mục đích nghiên cứu luận văn là xây dựng những biện pháp s phạm nhằm tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh trong dạy học toán ở trờng THPT và thể hiện những biện pháp đó trên chất liệu cụ thể: Chủ đề Bất đẳng thức. III. Giả thuyết khoa học: Nếu quan tâm một cách đúng mức và xây dựng đợc những biện pháp s phạm thích hợp nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh trong dạy học toán nói chung và dạy học Bất đẳng thức nói riêng thì hiệu quả dạy học ở trờng THPT sẽ nâng cao. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu: 4.1 Hệ thống hoá cơ sở lý luận về vấn đề tích cực hoá hoạt động nhận thức. 4.2. Làm rõ các căn cứ và nguyên tắc xây dựng các biện pháp s phạm nhằm tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh. 4.3. Vai trò của giáo viên trong việc phát huy tính tích cực của học sinh. 4.4. Xây dựng hệ thống các biện pháp s phạm nhằm phát huy tính tích cực của học sinh trong dạy học toán phổ thông. 4.5. Xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập Bất đẳng thức nhằm tích cực hoá hoạt động của học sinh. 4.6. Thực nghiệm s phạm. V. Phơng pháp nghiên cứu. 5.1. Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, phơng pháp dạy học, tâm lý học để làm sáng tỏ khái niệm tính tích cực, quá trình hình thành và phát triển tính tích cực. - Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên và các sách tham khảo về BĐT để thấy đợc ví trí và tầm quan trọng của BĐT, những vấn đề về nội dung và phơng pháp giảng dạy BĐT. 5.2. Điều tra tìm hiểu. + Thực tiễn dạy học BĐT ở trờng THPT. 3 3 + Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi học BĐT. 5.3.Thực nghiệm s phạm. VI. cấu trúc luận văn: - Mở đầu: - Chơng I. Cơ sở lý luận và thực tiễn - Chơng II. Xây dựng hệ thống các biện pháp s phạm theo hớng tích cực hoá hoạt động của học sinh. - Chơng III. Kiểm chứng kết quả nghiên cứu qua đợt thực tập s phạm và những kết quả bớc đầu. Chơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn. 1.1. Khái niệm: 1.1.1 Khái niệm về tính tích cực: 4 4 "Tính tích cực nhận thức là trạng thái hoạt động của học sinh đặc trng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức" (Kharlamop -1978, Tr 43). "Tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh là việc thực hiện một tập hợp các hoạt động nhằm làm chuyển biến vị trí của ngời học từ thụ động sang chủ động, từ đối tợng tiếp nhận tri thức sang chủ thể tìm kiếm tri thức nhằm mục đích nâng cao hiệu quả học tập" (Trần Bá Hùng 1995. Tr 22-27). 1.1.2. Một vài đặc điểm về tính tích cực của học sinh. Tính tích cực của học sinh có mặt tự phát và tự giác. + Mặt tự phát của tính tích cực là những yếu tố tiềm ẩn bẩm sinh thể hiện ở tính tò mò, hiếu kỳ, hiếu động, linh hoạt và sôi nổi trong hành vi ở mỗi học sinh, với mức độ khác nhau. Cần coi trọng những yếu tố tự phát này, cần nuôi dỡng, phát triển chúng trong dạy học. + Mặt tự giác của tính tích cực là một trạng thái tâm lý, tính tích cực có mục đích và đối tợng rõ rệt, do đó có hoạt động để chiếm lĩnh đối tợng đó. Tính tích cực tự giác thể hiện ở óc quan sát, tính phê phán trong t duy, trí tò mò khoa học. + Tính tích cực nhận thức phát sinh không phải chỉ từ nhu cầu nhận thức mà cả nhu cầu đạo đức, thẩm mỹ, giao lu. + Hạt nhân cơ bản của của tính tích cực nhận thức là hoạt động t duy của cá nhân đợc tạo nên do sự thúc đẩy của hệ thống nhu cầu đa dạng. Tính tích cực nhận thức và tính tích cực học tập có liên quan chặt chẽ với nhau nhng không phải là đồng nhất. Có một số trờng hợp có thể tích cực học tập thể hiện ở bề ngoài mà không phải là tích cực trong t duy, đây là điều cần lu ý khi đánh giá tính tích cực nhận thức của học sinh. 1.1.3. Những biểu hiện và mức độ của tính tích cực: Khi cần đánh giá về tính tích cực và mức độ tích cực của học sinh, ngời giáo viên cần dựa vào một số phơng pháp kiểm tra, quan sát sau đây: 5 5 + Trong giờ học giáo viên cần quan sát kiểm tra học sinh có chú ý học tập không? + Đánh giá sự hăng hái của học sinh thể hiện ở tinh thần xung phong phát biểu. + Yêu cầu học sinh diễn đạt nội dung đã học theo yêu cầu ngôn ngữ riêng. + Kiểm tra mức độ làm bài của học sinh. + Kiểm tra xem học sinh có hứng thú học tập không, hay vì một ngoại lệ nào đó? + Kiểm tra tính tích cực có diễn ra thờng xuyên hay chỉ mang tính nhất thời, có chiều hớng tăng dần hay giảm dần? 1.1.4. Nguyên nhân của tính tích cực nhận thức. Tính tích cực nhận thức của học sinh nảy sinh trong quá trình học tập nhng nó là hệ quả của nhiều nguyên nhân. Có nhng nguyên nhân phát sinh lúc học tập, có những nguyên nhân đợc hình thành từ quá khứ, thậm chí có từ lịch sử lâu dài của nhân cách. Nhìn chung tính tích cực nhận thức của học sinh phụ thuộc vào những nhân tố sau đây: + Hứng thú. +Nhu cầu + Động cơ + Năng lực. + ý chí. + Sức khoẻ. + Môi trờng. Trong những nhân tố trên đây, có những nhân tố có thể hình thành ngay, tuy nhiên có những nhân tố đợc hình thành bởi một quá trình lâu dài dới ảnh hởng của nhiều tác động. Nh vậy tích cựa hoá hoạt động nhận thức của học sinh đòi hỏi một kế hoạch lâu dài và toàn diện, sự phối hợp hoạt động gia đình, nhà trờng và xã hội. 1.1.5. Hứng thú và vấn đề tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh. 6 6 Để tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh, ngời giáo viên cần phải quan tâm nhiều tới vấn đề hứng thú học tập của học sinh vì những lý do sau: a. Nó có thể hình thành ở học sinh một cách nhanh chóng và bất cứ lúc nào trong quá trình dạy học. b. Có thể gây hứng thú cho học sinh ở mọi độ tuổi. c. Điều quan trọng nhất là ngời giáo viên có thể điều khiển sự hứng thú của học sinh qua các yếu tố của quá trình dạy học: Nội dung, phơng pháp, phơng tiện dạy học, hình thức tổ chức dạy học. d. Vấn đề kích thích hứng thú học tập. Mọi ngời đều biết, hứng thú là sự phản ánh thái độ (mối quan hệ) của chủ thể đối với thực tiễn khách quan. Đây là sự phản ánh có chọn lọc, thực tiễn rất rộng lớn nhng con ngời chỉ hứng thú những cái gì cần thiết, quan trọng, gắn liền với sự phát triển tơng lai của họ. Nói cách khác muốn kích thích sự hứng thú thì điều quan trọng nhất là phải nắm đợc nhu cầu, nguyện vọng và định hớng giá trị của học sinh. Xét về môi trờng, hứng thú là sự thống nhất giữa bản chất bên trong của chủ thể và thế giới khách quan. Nh vậy, hứng thú không phải quá trình tự lập và khép kín mà phải có nguồn gốc từ cuộc sống tự nhiên và xung quanh, nếu ta thay đổi điều kiện sống thì hứng thú sẽ thay đổi, điều đó có nghĩa là có thể điều khiển đợc hứng thú khác với quan niệm cho rằng hứng thú là một cái gì bẩm sinh bất biến. Sự thống nhất giữa môi trờng và chủ thể ở đây trớc hết phải thể hiện ở sự thống nhất giữa mục đích cá nhân và mục đích xã hội, ở sự đồng đều về hệ thống tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, ở sự đồng cảm trong quan hệ thầy trò, ở không khí đạo đức chung của tập thể (trờng, lớp), ở sự kết hợp chặt chẽ giữa nhà trờng, gia đình và xã hội trong công tác giáo dục. Tất cả những điều trên là cần thiết nhng chúng thờng đợc triển khai trong một kế hoạch lâu dài và có sự phối hợp của nhiều ngời, nhiều thành phần xã hội. Điều mà thầy giáo phải thực hiện thờng xuyên là kích thích hứng thú trong quá trình dạy học, thông qua các yếu tố của nó, nội dung, ph- ơng pháp, phơng tiện, hình thức tổ chức, lúc mở bài, lúc dạy bài mới, lúc kiểm tra, đánh giá Hiện nay việc tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh chủ yếu tập trung vào hớng này. 7 7 1.2. Các biện pháp phát huy tính tích cực học tập cho học sinh. Phát huy tính tích cực cho học sinh không phải là một vấn đề mới, từ thời tr- ớc các nhà giáo dục lỗi lạc nh Distegwer, Pestalozi, Komenski, Dewey đã chú ý tới các biện pháp phát huy tính tích cực và ngày nay trong đổi mới sự nghiệp giáo dục các biện pháp phát huy tính tích cực đang đợc đặt lên hàng đầu. Có thể tóm tắt một số biện pháp sau đây: - Nói lên ý nghĩa và thực tiễn, tầm quan trọng của vấn đề nghiên cứu. - Kiến thức giảng dạy cho học sinh phải có tính thực tiễn, phải là một cái mới nhng không quá xa lạ, cái mới phải đợc phát triển từ cái cũ. - Phải sử dụng các phơng pháp đa dạng: + Nêu vấn đề, thực nghiệm, so sánh . Làm việc độc lập, phối hợp các ph- ơng pháp với nhau. + Kiến thức đợc trình bày dới dạng động, phát triển kiến thức củ đồng thời phải tạo ra các mâu thuẫn để học sinh tự lực giải quyết vấn đề. - Phát triển kinh nghiệm sống của học sinh trong quá trình giảng dạy. 1.3. Về chủ đề Bất đẳng thức. 1.3.1. Các định nghĩa: - Định nghĩa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b ký hiệu a>b nếu a - b là một số dơng tức là a - b > 0 khi đó ta cũng ký hiệu b < a. Ta có: a > b <=> a- b > 0 + Nếu a > b hoặc a = b ta viết a b. Ta có a b a - b 0. - Định nghĩa 2: Các mệnh đề "a > b", "a b", " a < b" hoặc "a b" đợc gọi là các bất đẳng thức. - Xét hai bất đẳng thức "a > b" và "c > d". + Nếu từ a > b => c > d thì ta nói c > d là hệ quả của bất đẳng thức a>b. + Nếu ta có a > b c > d thì ta nói hai bất đẳng thức a > b và c > d là hai bất đẳng thức tơng đơng. 1.3.2. Các tính chất cơ bản. 8 8 Từ định nghĩa ta suy ra một số tính chất cơ bản dạng a > b. Các bất đẳng thức dạng (a < b, a b, a b) cũng có tính chất tơng tự. - Cho a, b, c, d là những số thực bất kỳ ta có: * Tính chất 1: a > b a - b > 0. * Tính chất 2: a > b b > c * Tính chất 3: a > b a + c > b + c. + Hệ quả 1: a > b a - c > b - c. + Hệ quả 2: a + c > b a > b - c. * Tính chất 4: a > b c > d * Tính chất 5: ac > bc nếu c >0. ac < bc nếu c < o. + Hệ quả 1: a > b -a < -b. + Hệ quả 2: c b c a > b c b c a < * Tính chất 6: a > b > 0 ba 11 0 << * Tính chất 7: a > b > 0 a n > b n với mọi n N. * Tính chất 8: a > b a 2n + 1 > b 2n + 1 với mọi n N. * Tính chất 9: a > b> 0 nn ba > với mọi n N. * Tính chất 10: a > b 1212 ++ > nn ba với mọi n N. Từ các tính chất đó ta xét một số bài toán có bản sau: 9 9 => a > c. => a + c > b + d nếu c > 0. nếu c < 0. a > b a > b Bài toán 1: Cho a, b là 2 số dơng. Chứng minh rằng: ab ba + 2 (1) (Bất đẳng thức Côsi) Ta thấy (1) abba 2 + . 02 + abba . ( ) 0 2 ba (hiển nhiên). Dấu = xẩy ra ( ) 0 2 = ba a = b. Bài toán 2: Chứng minh rằng a, b cùng dấu thì: 2 + a b b a (2). Giải: Do a, b là 2 số cùng dấu suy ra: a.b > 0. (2) .2 22 o ab ba + 0 2 22 + ab abba ( ) 0 2 ab ba (hiển nhiên). Dấu bằng xẩy ra a = b. Bài toán 3: Cho a 1 , b 1 , a 2 , b 2 là các số thực. Chứng minh rằng: (a 1 b 1 + a 2 b 2 ) 2 (a 1 2 + a 2 2 )(b 1 2 + b 2 2 ) (3) (BĐT BunhiaCopski). Ta có (3) (a 1 b 1 ) 2 + 2(a 1 b 1 )(a 2 b 2 ) + (a 2 b 2 ) 2 a 1 2 b 1 2 + a 1 2 b 2 2 + a 2 2 b 1 2 + a 2 2 b 2 2 . (a 1 2 b 2 2 ) 2 + a 2 2 b 1 2 - 2a 1 b 1 a 2 b 2 0. (a 1 b 2 ) 2 + (a 2 b 1 ) 2 - 2(a 1 b 2 )(a 2 b 1 ) 0. (a 1 b 2 - a 2 b 1 ) 2 0 (hiển nhiên). Vậy BĐT cần chứng minh là đúng. Dấu bằng xẩy ra a 1 b 2 = a 2 b 1 . 1 2 2 1 b a b a = (với quy ớc trong 1 phân số nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0) Bài toán 4: Với a, b là 2 số tuỳ ý, ta luôn có: 22 22 2 baba + + 10 10