Mục lục Trang Mở đầu 1 Chơng 1: Dạng tuyến tính. Dạng song tuyến tính Dạng toàn phơng .3 I. Dạng tuyến tính .3 II. Dạng song tuyến tính .6 III. Tích ngoài của dạng tuyến tính .9 IV. Dạng toàn phơng .11 Chơng 2: Tích tenxơ của các không gian véctơ Tích ngoài của 2 véctơ 14 I. Tích tenxơ của các không gian véctơ 14 II. Tenxơ .19 III. Các phép toán về tenxơ 27 IV. Tích ngoài của 2 véctơ . 29 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo .32 Lời nói đầu Các phép toán về tenxơ có ứng dụng rộng rãi trong các nghành kỹ thuật nh tính độ lún của móng (nền đất), tính tơng tác giữa cọc đóng và nền, tính ứng suất xuất hiện trong vật thể đàn hồi dới tác dụng của ngoại lực, nó cũng là công cụ cho các nghiên cứu của các nghành trong vật lý chẳng hạn nh tĩnh học, môi trờng liên tục, các trạng thái biến đổi không gian. Các phép toán về tenxơ và ứng dụng của nó đợc trình bày nhiều trong các tài liệu (xem , , ). Trong luận văn này, chúng tôi tập hợp, trình bày và chứng minh chi tiết một số định lý, tính chất cơ bản về tenxơ. Luận văn đợc trình bày trong 2 chơng: Chơng I: Dạng tuyến tính. Dạng song tuyến tính. Dạng toàn phơng I. Dạng tuyến tính. II. Dạng song tuyến tính III.Tích ngoài của dạng tuyến tính IV.Dạng toàn phơng Chơng II: Tích tenxơ của không gian véctơ. Tích ngoài của 2 véctơ I. Tích tenxơ của các không gian véctơ. II. Tenxơ III. Phép toán về tenxơ IV. Tích ngoài của 2 véctơ Trong chơng I, chúng tôi trình bày về dạng tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phơng, chứng minh một số định lý và tính chất liên quan. Chơng I đợc xem nh phần chuẩn bị cho sự trình bày chơng II Trong chơng II. Chúng tôi trình bày các tích tenxơ và các phép toán về tenxơ, chứng minh một số định lý, tính chất liên quan nh: phép corut các chỉ số, ánh xạ co đồng thời lấy ví dụ minh họa để làm rõ vấn đề đã nêu. Cũng trong phần này, chúng tôi còn trình bày định nghĩa phép nhân ngoài và một số tính chất có liên quan. Luận văn này đợc hoàn thành vào tháng 4 năm 2009 tại trờng đại học Vinh dới sự hớng dẫn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Chúng tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong 2 khoa toán, bạn bè và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn ! Tác giả 3 Chơng I Dạng tuyến tính. Dạng song tuyến tính Dạng toàn phơng I. Dạng tuyến tính Giả sử V là không gian véctơ n chiều trên R với cơ sở . Nh ta đã biết, một ánh xạ tuyến tính f: V R gọi là dạng tuyến tính trên V. Ta ký hiệu V * = {ánh xạ tuyến tính: V R} và V * đợc trang bị các phép toán sau: i) f, g V * , ta lấy f + g là 1 ánh xạ: f + g: V R x f(x) + g(x) ; xV ii) R, f V ta kí hiệu f là ánh xạ: f: V R x f(x) ; xV 1.1 Nhận xét i) V * cùng với hai phép toán cộng và nhân một số là một không gian vectơ n chiều. Ta dễ dàng kiểm tra đợc V * thỏa mãn 8 tiên đề của không gian véctơ thực. ở đây, ta chứng minh V * có số chiều bằng n. Thật vậy, ta xét các dạng tuyến tính f : e 1 e 0 e 0 . f : e 0 e 0 e 1 4 Khi đó là cơ sở của V * * độc lập tuyến tính Ta xét = n i 1 f = 0 . Cho 2 vế tác động vào e j , ta đợc: = n i 1 f = 0 .1 = 0 = 0 j = 0 i độc lập tuyến tính * là hệ sinh Với f V , ta đặt f = a Xét f = f = = n i 1 xf = = n i 1 ax = = n i 1 af(x) i f = = n i 1 af là hệ sinh Vậy V * là không gian vectơ n_chiều. ii) Giả sử x=(x 1 , ,x n ) V , (a 1 , .,a n ) R . Khi đó, f : V R với f(x) = = n i 1 ax là ánh xạ tuyến tính 1.2 Mệnh đề Giả sử V là không gian véctơ Ơclit và V. Khi đó, tồn tại duy nhất yV sao cho (x) = xy x V Chứng minh: * Sự tồn tại của y Lấy là cơ sở trực chuẩn của V và giả sử Ta chọn y = V, x = V Khi đó ta có: (x) = = = n i 1 x = = n i 1 ax = xy * y duy nhất Giả sử tồn tại y V sao cho (x) = xy Xét (x) = y= = = n i 1 xy = = n i 1 ax 5 = n i 1 x = 0 i a = y i = y y. Bây giờ, ta xét W là không gian con k_chiều của V, và ký hiệu W = 1.3 Mệnh đề W là không gian con _chiều trong V * Chứng minh Trớc hết, chứng minh W là không gian con của V * Lấy f,g W f V sao cho f(x) = 0, xW và g V sao cho g(x) = 0, xW f(x) + g(x) = 0, xW (f + g)(x) = 0, xW f + g W Lấy R, f W f V sao cho f(x) = 0, xW f(x) = 0, xW (x) = 0, xW f W Vậy W là không gian con của V * Giả sử là cơ sở trong V sao cho e, ,e W Gọi là các dạng đối ngẫu của . Ta có g, .,g W và là cơ sở của W Thật vậy * độc lập tuyến tính Xét += n ki 1 g = 0. Cho 2 vế tác động vào e , ta đợc : += n ki 1 g = 0 .1 = 0 = 0 j = 0 i độc lập tuyến tính * là hệ sinh 6 Lấy g W ký hiệu g = a Xét g(x) = g = += n ki 1 xg = += n ki 1 ax = += n ki 1 ag(x) x g = += n ki 1 ag là hệ sinh Do đó là cơ sở của W Vậy W là không gian con (n-k)_chiều trong V II. Dạng song tuyến tính Giả sử V, V là các không gian véctơ n_chiều trên R, nh ta đã biết (xem , ) một ánh xạ :V ì V R đợc gọi là dạng song tuyến tính trên V ì V nếu x,x V, y,y V, R thỏa mãn điều kiện: i) (x+x,y) = (x,y) + (x,y) ii) (x,y+y) = (x,y) + (x,y) iii) (x,y) = (x,y) = (x,y) Ta chú ý rằng: a) Cố định x V thì (x,y) là dạng tuyến tính trên V 2 Cố định y V thì (x,y) là dạng tuyến tính trên V 1 b) Một dạng song tuyến tính V ì V không nhất thiết là dạng tuyến tính c) Một dạng song tuyến tính trên V ì V gọi là đối xứng nếu ta có: (x,y) = (y,x) x,y V Một dạng song tuyến tính trên V ì V gọi là phản đối xứng nếu ta có: (x,y) = - (y,x) x,y V Ví dụ: ánh xạ : R ì R R (x,y) xy xy + xy là một dạng song tuyến tính Thật vậy, x,xR, y,yR ta có: (x+x,y) = (x+x)y- (x+x)y + (x+x)y = xy + xy xy xy + xy + xy 7 = (xy xy+ xy) + (xy xy+ xy) = (x,y) + (x,y) tuyến tính đối với biến x Tơng tự, tuyến tính đối với biến y Vậy là dạng song tuyến tính 1.4 Định nghĩa Giả sử là dạng song tuyến tính trên V, là cơ sở của V. Đặt (e,e) = a, i,j=1,2 ,n Khi đó A=(a ij ) nxn đợc gọi là ma trận của dạng song tuyến tính. Nhận xét: Giả sử x,yV, x = = n i 1 xe , y = = n j 1 ye Ta có (x,y) = = = n i 1 = n j 1 xy(e,e) = = n ji 1, xy a (1) Đặt = n x x 1 , = n y y 1 thì (x,y) = A (2) Biểu thức (1) và (2) là biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính 1.5 Mệnh đề Giả sử (1) và là cơ sở của V Gọi C = (c ij ) nxn là ma trận chuyển từ cơ sở (1) sang (2) Gọi B là ma trận của đối với cơ sở Khi đó B = C * AC Chứng minh Gọi x(x), y(y)đối với cơ sở (1); x(x), y(y)đối với cơ sở (2) Với = C, = C . Khi đó: 8 (x,y) = A = (C )A(C) = CAC Đặt B = C * AC Vậy (x,y) = B Ví dụ: Cho ánh xạ : : R ì R R (x,y) xy xy + xy là dạng song tuyến tính a) Xác định ma trận đối với cơ sở chính tắc trong R 3 b) Trong R 3 chọn cơ sở e(1,1,0), e(0,1,0), e(0,0,1) (*) Viết biểu thức tọa độ của đối với cơ sở ( ) * Giải a) Trong R 3 chọn cơ sở chính tắc e = (1,0,0), e = (0,1,0), e = (0,0,1) Ta có a = = 100 010 001 A b) Biểu diễn cơ sở qua cơ sở chính tắc ta đợc = 110 010 011 C = 100 111 001 * C = ì ì == 110 111 011 110 010 011 100 010 001 100 111 001 * ACCB Biểu thức tọa độ (x,y) = B [ ] ì ì= ' 3 ' 2 ' 1 ' 3 ' 2 ' 1 110 111 011 y y y xxx ( ) ( ) ( ) ' 3 ' 3 ' 2 ' 2 ' 3 ' 2 ' 1 ' 1 ' 2 ' 1 yxxyxxxyxx +++++= III. Tích ngoài của dạng tuyến tính 9 1.6 Định nghĩa Giả sử f,g V. Tích ngoài của f và g đợc ký hiệu f g và đợc xác định ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )()( )()( , ygxg yfxf xgyfygxfyxgf == Từ định nghĩa, ta có nhận xét: i) f f = 0 ii) f g = - g f iii) f g: V ì V R là dạng song tuyến tính 1.7 Mệnh đề Ký hiệu L V = {f song tuyến tính:V ì V R} Ta chú ý tới các ánh xạ f L V , sao cho: f(e,e)=1 f(e,e)=0 với i,j không đồng thời bằng 1 f(e,e)=1 f(e,e)=0 f(e,e) f(e,e)=0 Nhận xét: Khi đó L V là không gian véctơ với 2 phép toán (f+)(x,y) = f(x,y) +(x,y) (f)(x,y) = f(x,y) f, L V , R Ta dễ dàng kiểm tra đợc L V thỏa mãn 8 tiên đề của không gian véctơ thực và là cơ sở của L V Thật vậy, * độc lập tuyến tính Xét = n ji 1, f = 0. Cho 2 vế tác động vào , ta đợc ji , f = 0 = 0 k,l = 0 i,j 10