Đang tải... (xem toàn văn)
Tính chất của môđun Artin .pdf
ờ tr trọ ễ ị ờ t trự tếớ t tì ỉ ú ỡ t t ọ ề ệ t ợ t t tr trọ ễ ự ờ P ễ ố ở ệ ọ ộ ù ttể ệ trờ ọ ò ts ọ tr trọ P ù t trờ ọ t tì ú ỡ t tr sốt q trì ọ t t trờ tự ệ ề t ố ù t tỏ ò ết ế ẹ ờ t ệt ồ t ủ ộ ộ ế í t tế ọ t ũ tự ệ t ề t ủ ìS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ở (R, m) ị tr ớ ự t m; M R ữ s A R rt ố ớỗ R ữ s M t ổ ề t ó tí tAnnRM/pM = p, ớ ọ tố p ứ AnnRM ột ỏtự ợ t r ệ r ó ột tí t t tự ọ rt tr t ỳ ờ ỉ r r ì tr ờ ỏ tr ủ ị ở ó ọ ớ tệ ột ớ rt t tr ờ ị ủ ỏ tr s A ợ ọ t tí t () òọ tí t tử ếAnnR(0 :Ap) = p, p V (AnnRA). ()ý ĩ t ủ tí t () t ụ ứ rt ý tết ề ết r ột tr ữ ụể ứ rt ệ ề tr ợ r ở rt r ó ột tự ờ tũ ù ệ ề r dimRA = dim R/ AnnRA ể ứ rt ế R ị ủ tì ố ts tột t ữ trù tr rt ì tếtr ị ủ tí t () t ó tứN-dimRA = dimRA ớ ọ R rt A tr tỳ ý t ỉ ó N-dimRA dimRA t í tồ t ữ rt s N-dimRA < dimRA í ụ ột ề t r tì ề ệ r tứ ết q í ủ ệ ề ỉ r r ế A t tí t () tì t ó N-dimRA = dimRAết q tế t ề tí t () tr ờ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn é t ứ tí tr ủ t trộ ủ ột ữ s M sử r dimRM = d íệ UM(0) ớ t ủ M ó ề ỏ d ọ tUsupp M = Supp(M/UM(0)) trộ ủ M tt từ t ứ tí t () ột ớ rt ệt ố ồ ề ị t Hdm(M) ọ t ợ ếtq t ờ ó trộ Usupp(M) tr ỉ Hdm(M) t tí t () ết r ố ồ ề ị Him(M) ủ ữ s M ớ i < d rt ớ ì ũ t tí t () R tr ề óí ý tở ể tế tụ ứ tí t() Him(M) ớ i = 1, . . . , d 1. r r t srt tứ i ủ M ý ệ PsuppiR(M) ợ ịĩ ở{p Spec R | Hidim(R/p)pRp(Mp) = 0}. ó ớ ỗ i ọ r ề ệ ủ ể Him(M) t tí t () q ó t ợ tí ó ủ t srt ủ M ớ tết ọ ở rộ tứ ết ớ ộ Him(M) ủ r r ữ ũ q ứ tí t () Him(M) ọ t ợ tí tr ổ ụ ủ R/ AnnRM tí t trộ ủ R/p ớ p Supp M t ết q tr ứ tỏ r tí t () ữ ó ýĩ tr ệ ứ rt ò t q ó ó tểể rõ trú ủ ữ sụ í ủ trì ột tết ết q ềtí t () ở tr tr t ss rsS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn trt rs s ủ ở t í số ột ủ ờ t trt t srt t rt tr t í t r ợ ể ệ tố ột sốế tứ ề rt ể ễ tứ ề tr tr tớ ớ tệ ề tí t () tí t tử ủ rt ứ tr tí tr ủ t trộ Usupp M t q tí t () ủ ố ồ ề ị t ộ í ủ tr tí t ()ủ ố ồ ề ị Him(M) ết q tíó ủ t srt PsuppiR(M) ở rộ ợ tứ ết ớộ ủ r r ữ ũ t q tí t ()ủ ố ồ ề ị Him(M) tr tí t trổ ụ ủ R/ AnnRM tí t trộ ủ R/pớ p SuppRMP ết ủ tổ ết t ộ ết q t ợS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ế tứ ịr t ộ t ý ệ R tr t tết ị tết ị sẽ ợ trtừ trờ ợ ụ tể M R ữ s A R rt ể ột số ế tứ ợ ù ụ ụ ứ ở s ủ trú ủ rtể ễ tứ ề tr số ộ ủ rt ố ồề ị tí tr tr ổ ụ tớ ì tứ ủ rt m ột ự ủ R r mm(A) ủ A ợ ị ĩ ởm(A) =n0(0 :Amn). ó t ó ết q sệ ề ệ ề ổ ề sử A ột R rt ó ỉ ó ữ ự m ủ R s m(A) = 0 ế ự ệt óS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn m1, . . . , mrtìA = m1(A) . . . mr(A) Supp A = {m1, . . . , mr}. ớ ỗ j {1, . . . , r} ế s R \ mj tì é ở s tột tự ủ mj(A) ó mj(A) ó trú tự ủ ộtRmj ớ trú ột t ủ mj(A) ột R ế ỉ ế ó Rmj ệtAmj=mj(A), ớ ọ j = 1, . . . , r.í ệ ể t tệ từ ờ trở t tA = A1 . . . Ar JA=mSupp Am,tr ó Aj= n>0(0 :Amnj) (1 j r) ú ý r (R, m) ị tì JA= m. (R, m) ị r ủ t t mủ R, ý ệ ởR, t ớ t ủ tq ệ t ị ở sở ủ tử mt, t = 0, 1, 2, . . .R ợ tr ị é t é ộ é ù ớ é t R t ột ỗ tử r R ó tể ồ t ớ ớ t ủ tt tử tr ề r ệ ề ổ ề ệ q A R rt tr ị (R, m) ó A ó trú tự ủR tr óR ủ t t m ủ R ọ t ủ A R ủ A ế ỉ ế ó R ủ A ó A ó trú tự ủR rtS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn (R, m) ị ủ t E = E(R/m) ộ ủ trờ t R/m í ệ D() = HomR(, E) từ trù CR R Rồ í ó ớ ỗ R M tàM: M DD(M) = HomR(HomR(M, E), E) Rồ tự ở àM(x)(f) = f(x), ớ ọ x M, f Hom(M, E). ó t ó ết q s ủ ts ợ trì tr ị ý t ị ý ệ ề R E rt ớ ỗ f HomR(E, E) tồ t taf R : f(x) = afx, x E. ế N R tr tì D(N) rt ế A R rt tì D(A) tr Ann M = Ann D(M) ế M R s R(M) < tì R(D(M)) = R(M). ể ễ tứ ý tết ể ễ tứ ợ r ở ợ ố ớ ý tết tí s q ết tr ột ụ ữ ệ ể ứ rtị ĩ ột R M ợ ọ tứ ế M = 0 ế ớ ọ x R é ở x tr M t ỹ rtrờ ợ Rad(AnnRM) tố p t ọM ptứ M R ột ể ễ tứ ủ M ột tíM = N1+ . . . + Nnt tổ ữ pitứ Ni. ếS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn M = 0 M ó ột ể ễ tứ tì t ó ể ễ ợ ểễ tứ ợ ọ tố tể ế tố pi ột ó tử Ni từ ớ ọ i = 1, . . . , nễ t r ọ ể ễ tứ ủ M ề ó tể ợ ề tố tể ó t ợ {p1, . . . , pn} ộ ớ ệ ọ ể ễ tứ tố tể ủ M ợ ọ t tố ết ủ M íệ ở AttRM tử Ni, i = 1, . . . , n ợ ọ t tứ ủ Mệ ề M ột R ể ễ ợ ó M = 0 ỉ AttRM = r trờ ợ t tố tốtể ủ R ứ Ann(M) í t tử tố tể ủ AttRM. 0 M M M 0 ớ R ểễ ợ ó t óAttRM AttRM AttRM AttRM. A ột R rt ó A ể ễ ợ ữ tệ ề A ó trú tự ủR ớ trú ỗt ủ A R ế ỉ ế ó R ề t ủ A ét R R ừ ó t ó ết q s ệ q ệ q ệ ề ệ ề s ú AttRA = {p R :p AttRA}.ế R ị ủ tì t ó ế N R tr tì AttR(D(N)) = AssR(N). ế A R rt tì AssR(D(A)) = AttR(A).S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ề tr số ộ ủ rt r ột tố p0 p1 . . . pn tró pi= pi+1ợ ọ tố ó ộ ó ề r ủ R ý ệ dim R tr ủ ộ ủ tốtr R ề r ủ M ý ệ dim M tr ủ sốn s ó ột tố ó ộ n tr Supp M ì M ữ s t ó Supp M = V (AnnRM) ódim M = dim R/ AnnRM = suppAss Mdim(R/p). ệ ố ớ ề r ột rt ợ r ở rts s ó r ổ t t ề tr ểtr ớ ề r ợ ị ĩ tr tt ữ ề ề tr ợ ù tr t ị ĩ ề tr ủ rt A ý ệ ở N-dimRA,ợ ị ĩ q s A = 0, t N-dimRA = 1.ớ A = 0, ột số d 0, t t N-dimRA = d ếN-dimRA < d s ớ ỗ t A0 A1 . . . ủ A, tồ t số n0s N-dimR(An+1/An) < d, ớ ọn > n0.í ụ M R ó M Rtr ỉ N-dimRM = 0. t sử M Rtr ì ọ t M0 M1 . . . Mn . . . ủ M ề ừ tồ t n0 N s Mn= Mn+1 ớ ọn > n0 ó Mn+1/Mn= 0 ì tế N-dimR(Mn+1/Mn) = 1 < 0,ớ ọ n > n0 ì M = 0 N-dimRM 0 ó t ị ĩN-dimRM = 0 ợ sử N-dimRM = 0 ó ột S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn t t ỳ N0 N1 . . . Nn . . . ủ M ịĩ tồ t số n0s N-dimR(Nk+1/Nk) = 1 < 0ớ ọ k > n0 ó Nk+1= Nk ớ ọ n > n0 tr ừĩ M R trề tr rt ó ề tí t t ột ĩ ó ố ớ ề r ữ s ết r ốớ ỗ ữ s M tì dim M = 0 ế ỉ ế M = 0 R(M) < . ừ ị ĩ t ó ột số tí t s ề ềtrổ ề N-dimRA = 0 ế ỉ ế A = 0 R(A) < rtrờ ợ AttRA = {m}. ữ ế0 A A A 0 ớ R rt tìN-dimRA = max{N-dimRA, N-dimRA}. N-dimRA dim R/ AnnRA = max{dim R/p : p AttRA} tồt rt A s N-dimRA < dim R/ AnnRA. N-dimRA = dimR/ AnnRA = max{dimR/p :p AttRA}. (R, m) ị A R rt ó A ó trú tự ủR rt t óN-dimRA = N-dimRA.í ì t ó tể ết N-dim A t N-dimRA N-dimRA. ó ề t ứ trú ủ rt A t qề tr ủ ú ột số tí t ủ ề tr S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn [...]... những tính chất đẹp như là tính catenary phổ dụng của vành R/ AnnR M và tính không trộn lẫn của vành R/p, với p SuppR M 2.1 Tính chất linh hoá tử Tính chất linh hoá tử (thường được gọi là tính chất ()) được giới thiệu bởi N T Cường và L T Nhàn [5] Nhắc lại rằng đối với mỗi R -môđun hữu hạn sinh M ta xét một tính chất cơ bản sau: Giả sử S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn p là iđêan nguyên tố của. .. nguyên tố của [5, Định nghĩa 4.2] Ký hiệu V (AnnR A) là tập các iđêan R chứa AnnR A Ta nói rằng A thoả mãn tính chất () nếu AnnR (0 :A p) = p, p V (AnnR A) () Rõ ràng rằng, khi vành R là đầy đủ thì theo đối ngẫu Matlis, mọi R -môđun Artin A đều thoả mãn tính chất () Lớp môđun Artin thoả mãn tính chất () có nhiều tính chất "tốt", đặc biệt liên quan chặt chẽ đến chiều Noether của một môđun Artin Nhắc... mọi i = 1, , r 1 Vì thế dim Mp = r Tính chất linh hoá tử và bội của môđun đối đồng điều địa phương Như đã đề cập ở tiết trước, tính chất () của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất tương đương với tính catenary của giá không trộn lẫn của môđun M Nhưng cần chú ý rằng, ngay cả khi vành R là catenary thì tính chất () không nhất thiết thoả mãn cho các môđun đối đồng điều địa phương cấp i < d... dimR M = d tiếp tục nghiên cứu tính chất () thì ta có N T Cường, N T Dung và L T Nhàn [3] () cho một lớp môđun Artin đặc biệt: môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất và một số ứng dụng của nó Vì M thoả mãn tính chất N-dimR A = dimR A Giả sử rằng nên A M d Hm (M ) của môđun hữu hạn sinh M là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether là môđun Noether, do đó tập các môđun con của M luôn thoả mãn điều kiện... thế ta có thể chứng minh được rằng môđun con lớn nhất của M có chiều thực sự nhỏ hơn là môđun con lớn nhất của M cho ta cách tính môđun con của môđun d luôn tồn tại và duy nhất Ký hiệu UM (0) có chiều thực sự nhỏ hơn UM (0) d Kết quả sau đây thông qua phân tích nguyên sơ thu gọn 0 của M Bổ đề 2.1.3 Nếu 0= N (p) là phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun pAss M con 0 của M , trong đó N (p) là pnguyên... (0)) của M nên giá là catenary nếu và chỉ dim R/p + dim Mp = d, với mọi p Usupp M Một kết quả thú vị trong [3] đã chỉ ra rằng mặc dù ta có đẳng thức d d N-dim Hm (M ) = dim R/ AnnR Hm (M ) không thoả mãn tính chất để môđun d Hm (M ) (), nhưng nhìn chung và một điều đáng ngạc nhiên là điều kiện thoả mãn tính chất () lại liên quan đến một tính chất quan trọng: Tính catenary của giá không trộn lẫn của môđun. .. (R, m) m, A là R -môđun Artin, M dimR M = d () là R -môđun Chương này nghiên cứu đưa ra một đặc trưng của môđun đối đồng điều địa phương chất là vành Noether địa i Hm (M ) thoả mãn tính và trong trường hợp này, như một hệ quả ta có thể mở rộng được công thức liên kết với bội của M Brodmann và R Y Sharp [2] Hơn nữa, các kết quả thu được khi nghiên cứu tính chất phuơng i Hm (M ) () của môđun đối đồng điều... dụng tính chất của số bội của môđun hữu hạn sinh, ta có e(q, R/p) = e(qR, R/pR) vì đều là hệ số cao nhất của các đa thức Hilbert R (R/p/qn ) với thành (3) Đẳng thức (4) là do ta thay tập T (p) bằng tập {p Ass(R/pR) : dim(R/p) = s} (5) (2) n = R (R/pR/q n R), 0 Như đã đề cập ở Định lý 2.1.6 của tiết trước, N T Cuờng, N T Dung và L T Nhàn [3] đã đặc trưng tính chất phương cấp cao nhất Usupp M () của môđun. .. một số tính chất của vành catenary phổ dụng và thớ hình thức là Cohen-Macaulay Trong tiết này, chúng ta sẽ khảo sát tính chất cấp i () cho các môđun đối đồng điều địa phương Hm (M ) có i < d, qua đó thu lại được một số kết quả về tính catenary phổ dụng của vành địa phương Định lí dưới đây là một trong những kết quả chính của phần này Định lý 2.3.1 Giả sử rằng Khi đó vành i Hm (M ) thoả mãn tính chất. .. những tính chất quan trọng của số bội là bội công thức liên kết với như sau (xem [10, Định lý 14.7]) e(q; M ) = Rp (Mp )e(q; R/p) pmin Ass M dim(R/p)=d với q là ảnh của q trong R/p Một suy nghĩ đối ngẫu là liệu rằng có một công thức tương tự như vậy cho môđun Artin hay không, nghĩa là có thể thiết lập được một công thức liên kết với bội cho một môđun Artin bất kỳ hay không Mặc dù nhiều tính chất của số