Đang tải... (xem toàn văn)
Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số và phương trình vi phân .pdf
Mục lụcMục lục 1Lời cảm ơn 3Lời mở đầu 41 Kiến thức chuẩn bị 61.1 Nhóm . 61.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . . . . . 91.2.1 Nhóm các phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . 101.2.3 Biến đổi vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Định lý Lie cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . 151.2.5 Toán tử sinh vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.6 Hàmbấtbiến 231.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số . . . . . . . . . . . 241.3.1 Địnhnghĩa 241.3.2 Toán tử sinh vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.3 ĐạisốLie 321.3.4 Đại số Lie giải đ-ợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351www.VNMATH.com Mục lục 22ứng dụng tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân 372.1ứng dụng nhóm Lie một tham số vào giải ph-ơng trình viphâncấpI . 372.1.1 Hệ toạ độ chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.2ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham sốvào giải ph-ơng trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . 402.2ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao . 432.2.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số độc lập,một tham số phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.2 Ví dụ ứng dụng Đại số Lie vào giải ph-ơng trình viphânbậccao . 49Kết luận 53Tài liệu tham khảo 542www.VNMATH.com Lời cảm ơn 3Lời cảm ơnTrong suốt thời gian làm khóa luận, tôi đã nhận đ-ợc sự h-ớng dẫnrất tận tình, chu đáo của TS Đặng Anh Tuấn. Mặc dù ở xa nh-ng Thầyvẫn th-ờng xuyên h-ớng dẫn, động viên tôi cố gắng hoàn thiện đ-ợc khoáluận này. Tôi xin đ-ợc bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tớiThầy.Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Đặng Đình Châu, Thầyđã cho tôi những lời khuyên quý báu không chỉ về các vấn đề xoay quanhkhóa luận mà còn về ph-ơng pháp học tập và nghiên cứu, tôi rất trântrọng những góp ý của Thầy, đó cũng là động lực để tôi hoàn thành khóaluận này.Tôi cũng xin cảm ơn ThS Ninh Văn Thu đã giải đáp thắc mắc, đónggóp những ý kiến giúp tôi hoàn thành khoá luận này; đồng thời tôi xinđ-ợc gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trong Bộ môn Giải tích; các Thầy,Cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học - tr-ờng ĐH Khoa Học Tự Nhiên -ĐHQGHN đã giảng dạy, dìu dắt tôi trong suốt 4 năm qua. Khóa luận cũngđ-ợc hoàn thành với sự động viên tinh thần của gia đình và bạn bè.Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất về tất cả sự giúp đỡquý báu đó!Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2009Sinh viên: Nguyễn Thị Hồng Xuân3www.VNMATH.com Lời mở đầu 4Lời mở đầuTrong toán học, một nhóm Lie, đ-ợc đặt tên theo nhà toán học ng-ờiNa Uy là Sophus Lie, là một nhóm cũng là một đa tạp trơn (differentiablemanifold), với tính chất là các toán tử nhóm t-ơng thích với cấu trúc trơn.Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển của các đối xứng liên tục củacác cấu trúc toán học. Điều này đã làm nhóm Lie là công cụ cho gần nh-tất cả các ngành toán hiện đại, và vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt làtrong vật lý hạt.Bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp, chúng có thể đ-ợc nghiên cứu sửdụng giải tích vi phân (differential calculus), t-ơng phản với tr-ờng hợpcác nhóm tôpô tổng quát hơn. Một trong những ý t-ởng chính trong lýthuyết về nhóm Lie, đề ra bởi Sophus Lie là thay thế cấu trúc toàn cục,nhóm, với phiên bản mang tính địa ph-ơng của nó hay còn gọi là phiênbản đã đ-ợc làm tuyến tính hoá, mà Lie gọi là một nhóm cực nhỏ mà bâygiờ đ-ợc biết đến nh- là đại số Lie.Nhóm Lie đã cung cấp một ph-ơng tiện tự nhiên để phân tích các đốixứng liên tục của các ph-ơng trình vi phân (lý thuyết Picard-Vessiot),trong một cách thức nh- các nhóm hoán vị (permutation group) đ-ợc sửdụng trong lý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạc của cácph-ơng trình đại số.Trong bài khoá luận này, tác giả xin trình bày một số nghiên cứu cơ bảnvề nhóm Lie một tham số, nhóm Lie 2 tham số và các ứng dụng của chúngtrong việc giải ph-ơng trình vi phân. Các bài toán và ví dụ đ-ợc trìnhbày trong khóa luận đ-ợc trích dẫn từ cuốn Symmetry anh Integration4www.VNMATH.com Lời mở đầu 5Methods for Differential Equations của George W.Bluman and Stephen C.Anco. Đây là tài liệu chính đ-ợc sử dụng trong khoá luận này. Tác giảxin đ-ợc trình bày chi tiết các chứng minh và các ví dụ cụ thể để đ-a ranhững nguyên lý nền tảng nh-: cấu tạo và tính chất cơ bản của nhóm Lie,cách áp dụng lý thuyết nhóm Lie trong giải PTVP.Cấu trúc của khóa luận gồm 2 ch-ơng:Ch-ơng1: Kiến thức chuẩn bị1.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số.Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm, nhóm các phépbiến đổi, nhóm Lie các phép biến đổi một tham số; Biến đổi viphân, Toán tử sinh vi phân, Định lý cơ bản Lie thứ nhất.Ví dụ.1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số.Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm Lie hai tham số, Đạisố Lie, tính giải đ-ợc. Ví dụ minh họa.Ch-ơng2:ứng dụng của tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân1.1ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số để giải ph-ơngtrình vi phân cấp 1.1.2ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao.Mặc dù đã rất cố gắng nh-ng do thời gian và trình độ còn hạn chế nênkhóa luận chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mongnhận đ-ợc những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy, Cô và các bạn.5www.VNMATH.com Ch-ơng 1Kiến thức chuẩn bịChúng ta bắt đầu với việc định nghĩa nhóm, xét đến nhóm các phép biếnđổi và đặc biệt là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Trong tr-ờnghợp này các phép biến đổi đều thực hiện trên R2.1.1 NhómĐịnh nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp G cùng với phép toán : G ì G G.(G, ) đ-ợc gọi là một nhóm nếu thoả mãn các tiên đề1) Tính đóng: Nếu a, b G thì (a, b) G.2) Tính kết hợp: Với mọi phần tử a, b, c G bất kỳ thì(a, (b, c)) = ((a, b),c).3) Phần tử đơn vị: Tồn tại duy nhất phần tử đơn vị e G sao cho vớimọi phần tử a G: (a, e)=(e, a)=a.4) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử a bất kỳ thuộc G, tồn tại duy nhấtphần tử nghịch đảo a1 G sao cho (a, a1)=(a1,a)=e.6www.VNMATH.com 1.1. Nhóm 7Định nghĩa 1.1.2. Nhóm (G, ) đ-ợc gọi là nhóm Abel nếu(a, b)=(b, a), với mọi phần tử a, b G.Định nghĩa 1.1.3. Cho (G, ) là một nhóm với phần tử đơn vị e, A G,khi đó tập A cùng với phép toán đ-ợc gọi là nhóm con của nhóm (G, .)nếu thoả mãn các điều kiện1) Với mọi phần tử a, b A thì (a, b) A.2) Phần tử đơn vị e A.3) Với phần tử a bất kỳ thuộc A, tồn tại phần tử nghịch đảo a1 Asao cho (a, a1)=(a1,a)=e.Ví dụ 1.1.4. Cho G = Z - là tập các số nguyên với phép toán cộng(a, b)=a + b.i)ánh xạ : Zì Z Z vì tổng a + b là các số nguyên khi a, b là các sốnguyên.ii) Lấy phần tử a, b, c Z ta có a +(b + c)=(a + b)+c.iii) Phần tử đơn vị e =0 Z thoả mãn a +0=0+a = a, a Z.iv) Với mọi a Z, tồn tại phần tử nghịch đảo a1= a thỏa mãna +(a)=(a)+a =0.Vậy (Z, +) là một nhóm.Vì a + b = b + a với mọi a, b Z nên (Z, +) là nhóm Abel.Ví dụ 1.1.5. Cho G = R+là tập các số thực d-ơng với phép toán nhân(a, b)=a.bi)ánh xạ : R+ì R+ R+vì tích a.b là số thực d-ơng khi a, b là cácsố thực d-ơng.7www.VNMATH.com 1.1. Nhóm 8ii) Với các phần tử a, b, c R+bất kỳ, ta có((a, b),c)=(a.b).c = a.(b.c)=(a, (b, c)).iii) Tồn tại phần tử đơn vị e =1thoả mãn a.1=1.a = a, với mọi phầntử a R+.iv) Với mọi phần tử a R+bất kỳ, tồn tại phần tử nghịch đảo a1=1athoả mãn a.1a=1a.a =1.Vậy (R+,.) là một nhóm.Vì a.b = b.a với mọi a, b R+nên nhóm (R+,.) là nhóm Abel.Ví dụ 1.1.6. Cho S = { : 1 <<+} với phép toán giữa các thamsố đ-ợc cho bởi (, )= + + .i) Ta sẽ chứng minh ánh xạ đi từ S ì S vào S, nghĩa là (, ) S,khi , S. Lấy , S =(1, +).Vì (1, +) nên +1> 0. T-ơng tự +1> 0Suy ra ( + 1)( +1)> 0. Vậy + + (1, +).ii) Tính kết hợp: Với ,, (1, +) bất kỳ,(, (, )) = +( + + )+( + + )= + + + + + + =(( + + )+)+( + + )= ((, ),).iii) Phần tử đơn vị e =0 (1, +) thỏa mãn(, 0) = (0,)=0+ +0. = .iv) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử (1, +) bất kỳ tồn tại 1sao cho: (, 1)=(1,)= + 1+ 1=0.8www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 9Suy ra 1= 1+ (1, +). Vậy (S, ) là một nhóm.Vì (, )= + + = + + = (, ) nên (S, ) là nhóm Abel.Ví dụ 1.1.7. Cho G = R2với phép toán =(, )=(1+ 1,e12+ 2), =(1,2) R2; =(1,2) R2.i)ánh xạ : R2ì R2 R2vì (1+ 1,e12+ 2) R2vì , R2.ii) Với các phần tử ,, bất kỳ, ta có((, ),)=((1+ 1,e12+ 2),)=(1+ 1+ 1,e1(e12+ 2)+2)=(1+(1+ 1),e(1+1)2+ e12+ 2)= (, (,)).iii) Phần tử đơn vị e =(0, 0) thoả mãn(, e)=(1+0,e02+0)=(1,2)=.iv) Với mọi phần tử R2, ta xác định phần tử nghịch đảo 1Ta có: (, 1)=e nên suy ra (1+ 11,e112+ 12)=(0, 0).Suy ra 1=(1,2e1) R2.Vậy (R2,) là một nhóm.Vì (, )=(1+ 1,e12+ 2) =(1+ 1,e12+ 2)=(, ) nên (R2,)không là nhóm Abel.1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số1.2.1 Nhóm các phép biến đổiĐịnh nghĩa 1.2.1. Cho D R2,S R,(S, ) là một nhóm có phần tử đơn vị e S.9www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 10Xét ánh xạ X : D ì S D.Tập hợpX(., )Slà một nhóm các phép biến đổi một tham số nếuthoả mãn các điều kiện1) Với mọi phần tử S thì ánh xạ X : D ì S D là một song ánh.2) Với = e, x D: X(x,e)=x.3) X(X(x,),)=X(x,(, )), với mọi , S.1.2.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham sốNh- phần trên đã xét nhóm các phép biến đổi có cấu trúc đại số. Nếu tathêm cấu trúc giải tích vào nhóm này thì nó trở thành nhóm Lie các phépbiến đổi một tham số. Bây giờ ta xét đến nhóm Lie các phép biến đổimột tham số. Tr-ớc hết, ta định nghĩaĐịnh nghĩa 1.2.2. Cho D R2là một miền mở và x =(x1,x2) D.S là một khoảng trên R, (S, ) là nhóm có phần tử đơn vị 0.Phép toán : S ì S S là hàm giải tích.ánh xạ X : D ì S D cho ta tập hợp các phép biến đổi ký hiệu làX(., )S. Tập các phép biến đổi trên đ-ợc gọi là nhóm Lie các phépbiến đổi một tham số nếu thoả mãn các điều kiện1) Với mọi S, ánh xạ X(., ): D ì S D là một song ánh và khảvi vô hạn.Với x cố định D, ánh xạ X(x,.):S D là hàm giải tích theo .2) X(., 0) = IdD.3) X(X(x,),)=X(x,(, )), với mọi , S.10www.VNMATH.com [...]... mới của các số hạng sẽ t-ơng ứng với một phép tham số hoá khác, ví dụ () sẽ thay đổi Nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số t-ơng ứng với x = X(x, ) nếu nó có thể đ-ợc biểu diễn d-ới dạng hệ (1.42) - (1.43) với cùng một (x) Ta cũng chỉ ra đ-ợc rằng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số của phép biến đổi x = eX x = e(1 X1 +2 X2 x 27 (1.48) www.VNMATH.com 1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số thu... 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 11 Ví dụ 1.2.3 (Nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng) Cho nhóm các phép biến đổi x = x + , y = y, R với phép toán (, ) = + Nh- vậy, nhóm các phép tịnh tiến trên mặt phẳng đ-ợc cho bởi D = R2 , (S, ) là nhóm cộng và ánh xạ X : R2 ì R R 2 ((x, y), ) (x, y ) = (x + , y) Ta chứng minh nhóm {X(., )}R các phép biến đổi này là nhóm Lie các phép biến đổi một. .. )) Vậy X((x, y); ) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số Ví dụ 1.2.4 (Nhóm Scalings) Xét nhóm x = x, y = 2 y, 0 < < + 12 www.VNMATH.com 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 13 Và phép toán giữa các tham số (, ) = Vì phần tử đơn vị là = 1 nên nhóm các phép biến đổi này đ-ợc tham số hoá lại với số hạng = 1 nên = 1 + Khi đó, x = (1 + )x, y = (1 + )2 y; 1 < < + Nhóm Scaling đ-ợc cho... biến đổi một tham số 15 1.2.3 Biến đổi vi phân Cho nhóm Lie các phép biến đổi một tham số (1.1) X = X(x, ) với phần tử đơn vị = 0 và phép toán Khai triển Taylor (1.1) tại = 0 trong lân cận của = 0, ta có X(x, ) 1 2 2 X(x, ) + x =x+ =0 2 2 X(x, + O(2 ) =x+ =0 + =0 (1.2) Đặt X(x; ) (1.3) =0 Phép biến đổi x + (x) đ-ợc gọi là biến đổi vi phân của nhóm Lie các (x) = phép biến đổi (1.1) Các thành... thu đ-ợc nhờ sự mũ hoá toán tử sinh vi phân X = 1 X1 + 2 X2 = 1(x) + 2 (x) , x1 x2 trong đó 1 (x) = 1 11 (x) + 2 21(x), 2 (x) = 1 12 (x) + 2 22(x) 28 (1.49) (1.50) Số hạng của hằng số thực cố định bất kỳ 1 , 2 xác định một nhóm Lie các phép biến đổi một tham số là nhóm con của nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số Ví dụ 1.3.4 Cho và nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số [ = (1 , 2 )] trong R2 với [(x1... vi phân là (x) nhóm Lie các phép biến đổi một tham số sẽ trở thành dx = (x), d 19 (1.22) www.VNMATH.com 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 20 với điều kiện ban đầu (1.23) x = x khi = 0 Định nghĩa 1.2.9 Toán tử sinh vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi một tham số là toán tử X = X(x) = (x) với = 1 (x) + 2(x) x1 x2 (1.24) là toán tử gradient: = , x1 x2 với mọi hàm khả vi F (x) = F (x1... + 1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 1.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.3.1 Cho D R2 , x = (x1 , x2 ) D, S = (S1, S2 ), và phần tử = (1 , 2 ) S (S, ) là nhóm có phần tử đơn vị e = (0, 0) Phép toán i : Si ì Si Si là hàm giải tích X = (X1, X2 ) : D ì S D cho ta tập các phép biến đổi 2 tham số ký hiệu là X(., ) S Tập các phép biến đổi trên đ-ợc gọi là nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số nếu... hiện phép tham số hoá ( )d = = 0 0 1 d = ln |1 + | 1+ Nhóm (1.19) trở thành x = e x, y = e2 y, < < + (1.21) với phép toán giữa các tham số mới là (1 , 2 ) = 1 + 2 1.2.5 Toán tử sinh vi phân Từ định lý Lie thứ nhất, không mất tính tổng quát ta giả sử rằng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số đ-ợc tham số hoá lại bằng phép toán cho bởi (a, b) = a + b với 1 = và () 1 Do đó, với hàm vi phân là... [X , X] 32 (1.66) www.VNMATH.com 1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 33 Định lý 1.3.6 (Định lý Lie cơ bản thứ hai) Hoán tử của 2 toán tử sinh vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số cũng là một toán tử sinh vi phân Đặc biệt, [X1 , X2] = aX1 + bX2 , (1.67) trong đó, hệ số a, b là những hằng số thực Chứng minh: Chứng minh cho định lý này chủ yếu dựa vào điều kiện khả tích 2 x 2 x i i... 2(x) , 1 (x) + 2(x) x1 x2 x1 x2 = ((x1), (x2))(x) Theo định lý Lie thứ nhất từ nhóm Lie các phép biến đổi một tham số ta xác định đ-ợc toán tử sinh vi phân Định lý d-ới đây chỉ ra rằng bằng vi c sử dụng toán tử sinh vi phân (1.23) ta dẫn đến thuật toán tìm nghiệm t-ờng minh của bài toán Cauchy Định lý 1.2.10 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số t-ơng đ-ơng với 1 1 x = e x = x+Xx+ 2 X 2x+ã ã ã = [1+X+ . là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. 14www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 151.2.3 Biến đổi vi phânCho nhóm Lie các phép biến. nghĩa nhóm, nhóm các phépbiến đổi, nhóm Lie các phép biến đổi một tham số; Biến đổi viphân, Toán tử sinh vi phân, Định lý cơ bản Lie thứ nhất.Ví dụ.1.2 Nhóm