Trờng đại học Vinh Khoa Toán Bài toán quy hoạch đa mục tiêu Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán Giáo viên hớng dẫn: PGS.TS. Trần Xuân Sinh Ngời thực hiện: Lê Thị Thơng Sinh viên lớp 43A 2 - Khoa Toán Vinh - 2006 Lời nói đầu Trong hầu hết các bài toán tối u, chúng ta thờng mới đề cập đến một mục tiêu duy nhất, mục tiêu này đợc biểu thị bởi một hàm cần làm cực đại hay cực tiểu. Chúng ta đã biết cách giải bài toán quy hoạch tuyến tính một mục tiêu. Còn đối với những bài toán quy hoạch nhiều mục tiêu thì sao, liệu có đợc giải quyết tơng tự hay không? Bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính đã và đang đợc nhiều ngời quan tâm và giải quyết bởi tính phức tạp và những ứng dụng quan trọng của nó trong thực tiễn kinh tế kỹ thuật. Vấn đề ở đây không phải là tìm một phơng án để đạt đợc một mục tiêu nào đó mà công việc cần làm là tìm một phơng án làm tối u đồng thời nhiều hàm mục tiêu. Tuy nhiên, các hàm mục tiêu đó thờng xung đột nhau, do đó việc tìm một phơng án nh vậy là rất khó. Chẳng hạn nh trong thực tế các nhà sản xuất kinh doanh phải có phơng án sản xuất nh thế nào để ngoài những mục tiêu nh giảm chi phí, hạ giá thành sản phẩm ngời ta còn quan tâm đến việc duy trì lợi nhuận, ổn định lao động. Để đạt đợc đồng thời các mục tiêu nh vậy quả thực là không dễ. Chính vì cái khó của vấn đề này đã khiến chúng tôi có sự tò mò muốn quan tâm và đi sâu vào tìm hiểu. Do đó chúng tôi đã chọn đề tài Bài toán quy hoạch đa mục tiêu. Trong phạm vi của khoá luận tốt nghiệp, chúng tôi chỉ mới dám nêu mục đích của đề tài đa ra bài toán quy hoạch đa mục tiêu và một số hớng tiếp cận bài toán. Từ đó đa ra một số thuật toán để giải bài toán. Khoá luận đợc chia thành 2 chơng Chơng 1: Trình bày bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính, các hớng tiếp cận bài toán và nêu một số tính chất quan trọng của bài toán. Mục đích của chơng 1 là cho ngời đọc một cái nhìn tổng quát về bài toán đa mục tiêu. Chơng 2: Đa ra các bớc giải quyết bài toán. Phần đầu trình bày một số phơng pháp giải bài toán kết hợp với sở thích của ngời nhận lời giải. Phần sau trình bày thuật toán tối u Pareto để giải quyết bài toán. 2 Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh với sự giúp đỡ, hớng dẫn tận tình chu đáo của thầy giáo PGS.TS. Trần Xuân Sinh và những thầy cô giáo thuộc tổ Điều khiển khoa Toán. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy hớng dẫn và các thầy cô giáo trong khoa Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này. Do thời gian và khả năng có hạn của tác giả, khoá luận không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đợc sự góp ý của ngời đọc. Vinh, 4/2006 Tác giả 3 Chơng 1 quy hoạch Đa mục tiêu 1.1. Bài toán Trong nhiều ứng dụng thuộc các ngành kinh tế - kỹ thuật, điều khiển các hoạt động sản xuất, thực tế thờng gắn liền với việc thiết kế và lập kế hoạch theo nhiều mục tiêu tối u. Chúng ta cũng thờng gặp những bài toán liên quan đến việc phân tích, lựa chọn quyết định hớng vào nhiều mục tiêu khác nhau. Chẳng hạn trong một đơn vị sản xuất kinh doanh, chúng ta nên lựa chọn quyết định nào sao cho đạt đợc các mục tiêu nh: nhanh, nhiều, tốt, rẻ, v.v Tuy nhiên, các mục tiêu này thờng xung đột với nhau, vì thế, khó có giải pháp đạt tối u đồng thời tất cả các mục tiêu này. Trong những tình huống nh vậy, ta cần có cách đặt bài toán và cách xử lý thích hợp. Quy hoach đa mục tiêu sẽ cung cấp thêm công cụ để giải quyết vấn đề này. Bài toán quy hoạch đa mục tiêu (Multiple objective programming problem - MOP): max (min){f(X) : X D R n }, (1.1) trong đó f(X) = (f 1 (X), ., f k (X)) gọi là vectơ mục tiêu (k 2), f 1 , f 2 , ., f k là các hàm mục tiêu. D , đợc gọi là tập phơng án. X D gọi là phơng án. (Chú ý: Để tiện lợi, từ đây ta ký hiệu tập phơng án là D). Một phơng án X làm cực đại (hay cực tiểu) đồng thời các hàm mục tiêu đợc gọi là phơng án tối u (hoặc là nghiệm) của bài toán. Trong giáo trình này, chúng ta xét bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính (Multiple objective linear programming problem - MOLP), tức là f(X) hàm tuyến tính và tập D đa diện tồi. Ta hãy nêu một ví dụ cụ thể. 1.2. Ví dụ Một nhà máy dự kiến sản xuất 3 loại sản phẩm mới A, B, C (cùng một loại vật liệu). Chi phí về vật liệu, công và lợi nhuận thu đợc cho ở bảng 1.1. 4 Biết nhà máy chỉ dùng đợc vào phần sản xuất này là 165 kg vật liệu và 130 ngày công. Lập mô hình bài toán thể hiện kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi và tổng số sản phẩm lớn nhất. Bảng 1.1 Sản phẩm Vật liệu (kg) Công (ngày) Lợi nhuận (triệu đồng) A 20 7 50 B 30 6 35 C 15 3 20 Lập bài toán: Gọi x 1 , x 2 , x 3 lần lợt là số sản phẩm A, B, C. Khi đó, các điều kiện hạn chế về vật liệu và lao động là: 20x 1 + 30x 2 + 15x 3 165 7x 1 + 6x 2 + 3x 3 130 x 1 , x 2 , x 3 0. Tiền lãi thu đợc và tổng số các sản phẩm A, B, C lần lợt đợc biểu diễn là: f 1 (X) = 50x 1 + 35x 2 + 20x 3 f 2 (X) = x 1 + x 2 + x 3 . Cần tìm X = (x 1 , x 2 , x 3 ) thỏa mãn các điều kiện trên sao cho số tiền lãi và tổng số sản phẩm là lớn nhất. Ta có mô hình toán học max {f(X) = (f 1 (X), f 2 (X)) : X D}, trong đó D đợc xác định bởi 20x 1 + 30x 2 + 15x 3 165 7x 1 + 6x 2 + 3x 3 130 x i 0, i = 1, 2, 3. Ta đã biết cách giải bài toán quy hoạch 1 mục tiêu, để giải quyết bài toán quy hoach đa mục tiêu, ta có nhiều hớng tiếp cận khác nhau. Sau đây là một số hớng tiếp cận giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu. 1.3. Các hớng tiếp cận giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu 1.3.1. Cách tiếp cận theo mục tiêu Nội dung của cách tiếp cận này là: - Quy định cho mỗi mục tiêu một mức bằng số xác định. 5 - Xác định các hệ số phạt do vi phạm mức quy định trên. - Tìm phơng án đạt cực tiểu tổng độ lệch của các giá trị mục tiêu so với mức đã quy định cho từng mục tiêu, tổng đợc tính với trọng số là các hệ số phạt đã xác định. Có 3 dạng mức mục tiêu: - Cận dới (mức một phía): quy định giới hạn dới cho các giá trị mục tiêu cần đạt đợc. - Mức 2 phía: quy định giá trị mà mục tiêu cần đạt đợc (không hơn, không kém). - Cận trên (mức một phía): quy định giới hạn trên mà giá trị mục tiêu không đ- ợc vợt quá. Theo cách tiếp cận này, các bài toán nhiều mục tiêu này đợc chia ra 2 loại bài toán: quy họach nhiều mục tiêu không u tiên và quy hoạch nhiều mục tiêu có u tiên. Sau đây, ta sẽ xét riêng từng loại bài toán. a) Quy hoạch nhiều mục tiêu không u tiên Trong bài toán này, các mục tiêu đa ra đều có tầm quan trọng nh nhau, không phân biệt cái nào hơn cái nào, để giải bài toán này ta sử dụng các biến phụ để đa bài toán nhiều mục tiêu về bài toán quy hoạch tuyến tính đã biết cách giải. Để cho dễ hiểu ta xét ví dụ cụ thể sau: Ví dụ: Một xí nghiệp dự kiến đa vào sản xuất 3 loại sản phẩm mới (kí hiệu là A, B, C) để thay thế cho các mẫu sản phẩm cũ sắp ngừng sản xuất. Chủ xí nghiệp muốn cân nhắc tới 3 mục tiêu chính: lợi nhuận, lao động và vốn đầu t. Cụ thể là: 1) Cần đạt lợi nhuận tối thiểu là 125 triệu đồng từ các sản phẩm mới. 2) Cố gắng duy trì đội ngũ lao động hiện có ở mức 4000 ngời. 3) Giữ mức đầu t không vợt quá 55 triệu đồng. Chủ xí nghiệp thấy rằng không có khả năng đạt đồng thời cả 3 mục tiêu này. Vì thế sau khi bàn bạc, ông quyết định đa ra các hệ số phạt nh sau: 5 trên 1 triệu đồng lợi nhuận đạt thấp hơn mức quy định; 2 trên 100 lao động sử dụng thêm; 4 trên 100 lao động dôi d và 3 trên 1 triệu đồng vốn đầu t tăng thêm. Giả sử rằng 3 mức lợi nhuận, số lao động và vốn đầu t tỷ lệ thuận với mức sản xuất sản phẩm. Các số liệu định mức đợc cho ở bảng 1.2, cùng với các mức mục tiêu và các hệ số phạt. 6 Bảng 1.2 Mục tiêu Sản phẩm Mức mục tiêu Hệ số phạt A B C Lợi nhuận 12 9 15 125 (triệu đồng) 5 Lao động 5 3 4 = 40 (ì 100 lao động 2(+), 4(-) Vốn đầu t 5 7 8 55 (triệu đồng) 3 Trong bài toán này có đủ 3 dạng mức mục tiêu: cận dới (lợi nhuận), mức 2 phía (lao động) và cận trên (vốn đầu t). Gọi x 1 , x 2 , x 3 lần lợt là số sản phẩm A, B, C. Các mục tiêu lợi nhuận, lao động và vốn đầu t lần lợt đợc diễn đạt: 12x 1 + 9x 2 + 15x 3 125 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 40 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 55. Kí hiệu Z là lợng phạt do vi phạm các mục tiêu trên với hệ số phạt đã cho thì các mục tiêu tổng thể là tìm x 1 , x 2 , x 3 sao cho làm các cực tiểu lợng phạt này. Để diễn đạt chính xác hơn, ta thêm vào các biến số phụ y 1 , y 2 , y 3 . y 1 = 12x 1 + 9x 2 + 15x 3 125 y 2 = 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 - 40 y 3 = 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 55. Do mỗi y j có thể nhận giá trị dơng hay âm nên ta thay thế các biến này bởi y j = y j + - y j - , với y j + , y j - 0; j = 1, 2, 3. Mục tiêu đã nêu về mặt toán học có thể diến đạt Z = 5y 1 - + 2y 2 + + 4y 2 - + 3y 3 + min với các điều kiện: 12x 1 + 9x 2 + 15x 3 - (y 1 + - y 1 - ) = 125 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 - (y 2 + - y 2 - ) = 40 5x 1 + 7x 2 + 8x 3 - (y 3 + - y 3 - ) = 55 x j 0, y k + 0, y k - 0, với j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3. Đây chính là mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính một mục tiêu. Dùng ph- ơng pháp đơn hình giải bài toán trên, ta nhận đợc phơng án tối u nh sau: x 1 = 3 25 , x 2 = 0, x 3 = 3 5 y 1 + = 0, y 1 - = 0, y 2 + = 3 25 , y 2 - = 0, y 3 + = 0, y 3 - = 0. 7 Nh vậy, y 1 = 0, y 2 = 3 25 , y 3 = 0, nghĩa là mục tiêu thứ nhất và thứ 3 đợc thỏa mãn, còn mục tiêu về lao động không thỏa mãn, vợt mức quy định là 3 25 (tức 833 ngời). Lợng phạt do vi phạm mục tiêu về lao động là Z = 16. b) Quy hoạch nhiều mục tiêu có u tiên Trong bài toán này các mục tiêu đợc phân cấp theo các mức u tiên khác nhau, mục tiêu có mức u tiên cao hơn sẽ đợc chú ý hơn. Vì thế, sự tập trung trớc hết vào việc đạt đợc các mục tiêu này đến mức tối đa có thể, sau đó rồi xét đến các mục tiêu tiếp theo. Khi xét các mục tiêu cùng cấp u tiên, cách làm giống nh phần trên. Có 2 phơng pháp chính để xử lý các bài toán quy hoạch nhiều mục tiêu có u tiên: - Phơng pháp tuần tự - Phơng pháp trực tiếp. Ta sẽ xét 2 phơng pháp này thông qua ví dụ cụ thể sau: Ví dụ: Không hài lòng với dự án tăng lực lợng lao động của xí nghiệp trên 20% (833/4000) nh đã thấy ở ví dụ trớc, chủ xí nghiệp quyết định xem xét lại cách đặt bài toán nh đã nêu tóm tắt ở bảng trớc. Việc tăng số lao động sẽ gây cho xí nghiệp nhiều khó khăn, Vì thế, mục tiêu hàng đầu là tránh tăng lao động, hơn nữa, chủ xí nghiệp cũng biết rằng tăng mức đầu t cho sản xuất sản phẩm mới vợt quá 55 triệu đồng cũng là vấn đề nan giải nên tránh đầu t quá mức này cũng là mục tiêu hàng đầu cần đợc tính đến. Từ đó, chủ xí nghiệp quyết định 2 mục tiêu trên có mức u tiên số 1, còn 2 mục tiêu còn lại có mức u tiên 2. Các hệ số phạt đợc cho ở bảng 1.3, trong đó M biểu thị số dơng khá lớn (lớn hơn bất cứ số nào cần so sánh với nó). Bảng 1.3 Mục tiêu Sản phẩm Mức mục tiêu Hệ số phạt A B C Mức 1 5 5 3 7 4 8 40 (ì100 lao động) 55 (triệu đồng) 2M 3M Mức 2 12 5 9 3 15 4 125 (triệu đồng) 40 (ì100 lao động) 5 4 * Phơng pháp tuần tự 8 Theo phơng pháp này, giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu thông qua việc giải một dãy các bài toán quy hoạch tuyến tính. Tổng quát nh sau: - Giai đoạn đầu ta chỉ dựa vào mô hình quy hoach tuyến tính các mục tiêu có mức u tiên 1 và áp dụng phơng pháp đơn hình để giải nh mô hình đã làm trớc đây. Nếu phơng án tối u là duy nhất thì dừng lại mà không cần xét các mục tiêu còn lại. Nếu có nhiều phơng án tối u với cùng giá trị tối u f * , chuyển sang giai đoạn 2 và đa vào mô hình mục tiêu có mức u tiên 2. - Giai đoạn 2: + Nếu f * = 0 thì mọi biến phụ biểu thị độ lệch giữa giá trị của các mục tiêu có mức u tiên 1 và mức mục tiêu của chúng phải bằng 0, lúc đó mọi biến phụ có thể loại bỏ khỏi mô hình ở giai đoạn 2. + Nếu f * > 0 thì chỉ thêm vào mô hình đã thiết lập ở giai đoạn 1 những mục tiêu có mức u tiên 2, sau đó cần thêm vào ràng buộc phản ánh giá trị mục tiêu của giai đoạn 1 bằng f * . Sau khi giải theo thuật toán đơn hình, nếu thấy có nhiều lời giải thì tiếp tục lặp lại quá trình trên chocác mục tiêu có mức u tiên thấp hơn. Ví dụ: Xét ví dụ với số liệu cho ở bảng 1.3. ở giai đoạn 1 chỉ có 2 mục tiêu có mức u tiên 1 đợc đa vào mô hình quy hoạch tuyến tính, Vì thế, ta có thể bỏ nhân tử M ở các hệ số phạt. Gọi x 1 , x 2 , x 3 lần lợt là số sản phẩm A, B, C. Tơng tự nh bài toán nhiều mục tiêu không u tiên, bài toán quy hoạch tuyến tính tơng ứng có dạng f = 2y 2 + + 3y 3 + min với điều kiện 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 - (y 2 + - y 2 - ) = 40 5x 1 + 7x 2 + 8x 3 - (y 3 + - y 3 - ) = 55 x j 0, y k + 0, y k - 0, j = 1, 2, 3; k = 2, 3. (Để dễ so sánh với mô hình mà cả 4 mục tiêu có cùng mức u tiên nh nhau chỉ số d- ới của các biến phụ đợc giữ nguyên nh cũ). Dùng phơng pháp đơn hình giải ra ta đợc lời giải của bài toán này có y 2 + = y 3 + = 0, với f * = 0, lúc này các biến phụ y 2 + , y 3 + loại bỏ khỏi mô hình. Mô hình bài toán quy hoạch tuyến tính ở giai đoạn 2 là f = 5y 2 - + 4y 3 - min với các điều kiện: 12x 1 + 9x 2 + 15x 3 - y 1 + + y 1 - = 125 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 - y 2 - = 40 9 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 - y 3 - = 55 x j 0, y k + 0, y k - 0, j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3. Dùng phơng pháp đơn hình giải bài toán này ta nhận đợc nghiệm duy nhất là x 1 = 5; x 2 = 0; x 3 = 3,75 y 1 + = 0; y 1 - = 8,75; y 2 - = 0; y 3 - = 0 với f * = 43,75 Do lời giải là duy nhất nên quá trình giải kết thúc, phơng án tối u của bài toán là X t. = (x 1 , x 2 , x 3 ) = (5; 0; 3,75). Nh vậy, ở mức u tiên 1: cả 2 mục tiêu đều thỏa mãn, còn ở mức u tiên 2 thì chỉ có mục tiêu về lao động đợc thỏa mãn, còn mục tiêu về lợi nhuận gần đạt đợc (thiếu 8,75 triệu đồng). * Phơng pháp trực tiếp Theo phơng pháp này các mục tiêu đợc đa cùng một lúc vào mô hình nhng với các hệ số phạt đợc nhân với các nhân tử khác nhau, mức u tiên càng cao thì nhân tử M càng lớn. Nh vậy, phơng pháp này khác với phơng pháp tuần tự là nó đi tìm lời giải của bài toán nhiều mục tiêu bằng cách chỉ giải một mô hình quy hoạch tuyến tính. Ví dụ: Để dễ hình dung ta xét tiếp ví dụ với số liệu cho ở bảng 1.3. Từ bảng đó cho thấy: - Các mục tiêu trong mỗi mức u tiên đợc gắn với các hệ số phạt khác nhau. - Các hệ số phạt (2 và 3) của các mục tiêu có mức u tiên 1 đợc nhân với hệ số M khá lớn. Với các hệ số phạt này và tơng tự cách lập bài toán nh trên, ta đi đến mô hình quy hoach tuyến tính duy nhất Z = 5y 2 - + 2My 2 + + 4y 2 - + 3My 3 + min với điều kiện 12x 1 + 9x 2 + 15x 3 - (y 1 + - y 1 - ) = 125 5x 1 + 3x 2 + 4x 3 - (y 2 + - y 2 - ) = 40 5x 1 + 7x 2 + 8x 3 - (y 3 + - y 3 - ) = 55 x j 0, y k + 0, y k - 0, j = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3. 10 . cận để giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu. 1.4. Một số tính chất của bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính 1.4.1. Bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến. hớng tiếp cận giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu. 1.3. Các hớng tiếp cận giải bài toán quy hoạch đa mục tiêu 1.3.1. Cách tiếp cận theo mục tiêu Nội dung của