Đang tải... (xem toàn văn)
Môđun đối đồng điều địa phương và một số phạm trù con serre .pdf
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM PHM MAI LAN MễUN I NG IU A PHNG V MT S PHM TR CON SERRE Chuyên ngành: i s v lý thuyt s Mã số: 60.46.05 LUN VN THC S KHOA HC GIO DC Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS TS Lấ TH THANH NHN Thỏi Nguyờn, 2009 ụ ụờ P trù rr ột số ị ề ố ồề ị P trù rr S ề ệ CI tr trù rr S ố ồ ề ị Sí q ố ồ ề ị Sí q ề ệ ể HiI(M) S ớ ọ i < n Sộ s ột số tr ủ Sộ s ệ t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ờ ợ t ớ sự ớ t tì ủ P ị ị t t tỏ ò ết s s ế ì tỏ ò ết tớ ễ ự ờ P ễ ố ở ệ ọ ộ ễ ị ù t tể t Pò t s ọ trờ ọ ọ ttì ú ỡ t tr sốt tờ ọ t t trờ ũ rt ết ộ trờ P Pụ ở ỉ t t t ọ ềệ t ợ t ể t t ế ọ t ủ ì ũ tỏ sự qý ế ủ ì tớ ì ố ẹ ị ồ t t ữ ờ ộ ế ít t ệS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ờ ó r sốt tết R ột tr ó ị I ủ R ù ó ề tọ q t ứ ố ồ ề ị HiI(M) ủột R M ứ ớ I ế ờ t ết rt ítt t ề M ữ s ố ồề ị t tết ữ s ũ ttết rt í ờ t ò ết tì trệt t trừ ột số trờ ợ ệt ợ ỉ rt tí t sở ủ ố ồ ề ị tí trệt t tí ữ s tí rt tí t ữ ủ ợ q t ệt ì ữ ứ ụ ủ ó tr ề ĩ ự ủt ọ số ì ọ số số ổ ợ ề ộ s ủ ột ữ s M ữ t ếq trọ ủ M ề ợ tr q tí trệt t ủ ốồ ề ị s ộ s depth(I, M) ủ M tr I i é t s HiI(M) = 0; (R, m) ị tì ề dim M ủ M i ớ t ể Him(M) = 0. ì í óờ t t r ữ ỏ tì ố ồ ề trệt t ữ s ở ữ ì ề ệ ể ó rt ó ó ữ ỏ ợ tr ờ ộ ở ề t ọ trờ ợ M ữ s ts ỉ r r r ét ể HrI(M) ữ s min{depth(Mp) + ht((I + p)/p) : p I}. rss trì ột ết q t tự ủ tsS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn tr ó tí ữ s ợ t tí rt ỉ r r n é t ể HnI(M) rt số depth(IRp, Mp) é t ớp Supp(M/IM) \ {m}. ó ứ n í ộ s ọ f-depth(I, M) ủ M tr I ế t ị ĩ ệ ộ s s rộ ủ M trI í ệ gdepth(I, M) ỉ r r gdepth(I, M) í né t ể Supp HnI(M) ệ sử ụ ệ trù rr ủ trù R rr rss ứ ột ó ệ tố tí t sở ủ ố ồ ềị ú ý r ớ ồ ột 0 ớ ữ s ớ rt ớ ó ữ ề t tữ trù rr ì tế ỏ ở tr ó tể qề ột ỏ tổ qt ớ S ột trù rr trớ HiI(M) S? ết q ọ t ợ tr tr n é t ể HnI(M) / S ớ S ột trù rr M R t tết ữ s ồ tờ ớ tệ ệ S Sộ s tr Sộ s ột sự tổ qt óủ tr ết ề ộ s ộ s ọ ộ s s rộ ệ sử ụ ệ trù rr ủ trù R rr rss ứ ột ó ệ tố tí t sở ủ ố ồ ềị ú ý r ớ ồ ột 0 ớ ữ s ớ rt ớ ó ữ ề t tữ trù rr ì tế ỏ ở tr ó tể qề ột ỏ tổ qt ớ S ột trù rr trớ HiI(M) S? ết q ọ t ợ tr trS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn n é t ể HnI(M) / S ớ S ột trù rr M R t tết ữ s ồ tờ ớ tệ ệ S Sộ s tr Sộ s ột sự tổ qt óủ tr ết ề ộ s ộ s ọ ộ s s rộ ụ í ủ trì ết q tr ủ rr rss tr s rrstrs r r ó ề trù rr ột số ị ề ố ồ ề ị trì ề S Sộ s ết q ề ố ồ ề ị tr ờ ột ỏ HiI(M) S?S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn P trù rr ột số ịề ố ồ ề ị r sốt R ột tr M R P trù rr S ị ĩ S ớ rỗ ữ R ọ S ột trù rr ủ trù R ế ớ ỗ ớ R 0 M M M 0 t ó M S ỉ M, M S. ổ ề sử S ột trù rr ủ trù R ó S ó í ớ é t ExtiR(N, M) S ớ ọ R ữ s N ọ M S.ứ M S N ữ s ỉ ứ ExtiR(N, M) S N ữ s R tr N óột tự . . . F2 F1 F0 N 0,S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn tr ó ỗ Fi tự ữ s ộ tử ếHom(, M) tự ủ N ở tr t ợ ố ứ0 Hom(F0, M)f0 Hom(F1, M)f1 Hom(F2, M)f2 . . . . ị ĩ ủ ở rộ t óExtiR(N, M) = Ker fi/ Im fi1,i = 0, 1, 2, . . .ớ ỗ i, ì Fi tự ữ s Fi=Rni. óHom(Fi, M) = Hom(Rni, M) =Hom(R, M)ni= Mni. q t ni từ ớ 0 Mni1 Mni M 0t s r Mni S. ó Hom(Fi, M) S. r Ker fi S. rExtiR(N, M) S.ớ ỗ R M t ọ ủ M í ệ ở Supp M tSupp M = {p Spec R | Mp= 0}. í ụ ớ s ữ trù rr ủ trù R ớ ồ ột 0. ớ R rt ớ R tr ớ R M ó t ữ ớ R ó ộ ữ ứ ì t ủ 0 0 ị ể sử M rt N ủ M. ó ỗ ữ ủ N ũ ữ ủ M óS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ó ừ ì tế N rt ì ỗ ữ ủM/N t ứ ớ ột ữ ủ M ữ N ì tế ừ ó M/N rt ợ N ủ M s N M/N rt M0 M1 . . . ột ữ ủ M. ó t ó M0N M1N . . . ủ N (M0+ N)/N (M1+ N)/N . . . ủ M/N. ì N M/N rt tồ t số tự k s Mn N = Mk N (Mn+ N)/N = (Mk+ N)/N ớọ n k. n k. ó Mk Mn. m Mk. óm+N (Mk+N)/N = (Mn+N)/N. r m+N = x+a+N = x+Nớ x Mn, a N. ó mx NMk= NMn. r mx Mn. ó m Mn. r Mk= Mnớ ọ n k. ì tế M rt ớ rt ột trù rr ứ t tự sử M ột R N ủ M. ễ ể tr ợ Supp M = Supp N Supp(M/N). ì tế ế M ó ữ tì Supp N Supp(M/N) ữ ợ ế Supp N Supp(M/N) ữ tì Supp M t ữ ớ ó ữ ột trù rr ế M ó ộ ữ tì ọ ọ tủ M ũ ó ộ ữ ợ ế N ủ Ms N M/N ó ộ ữ tì (M) = (N) + (M/N) < .ì tế ớ R ó ộ ữ ột trù rr r ột tố p0 p1 . . . pnủ R s pi= pi+1ớ ọ i ợ ọ ột tố ộ nS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn ọ ề r ủ R í ệ dim R, tr ủ ộ ủ tố ủ R tứ dim R = sup{n | tồ t ột tố ủ R ộ n}.ớ ỗ I ủ R t í ệ Var(I) t tố ủR ứ I. ớ ỗ R M t tdim Supp M = sup{dim R/p : p Supp M}. ọ dim Supp M ề ủ ủ M ú ý sử M ữ s ề r ủ M í ệ dim M ề r ủ R/ Ann M. ì M ữ s Supp M = Var(Ann M) ó t ódim Supp M = sup{dim(R/p) | p Supp M} = dim(R/ Ann M).ì tế ề ủ ủ M í ề r ủ M r trờ ợ t ết dim M t dim Supp M. M = 0 R rt tì Supp M ột t ữ ồữ tố ủ R ì tế dim Supp M = 0.P tế t ột số í ụ ề trù rr í ụ ớ ỗ số tự s ớ R M s dim Supp M s ột trù rr ủ trù Rứ M R N ủ M ì Supp M =Supp N Supp(M/N) dim Supp M = max{dim Supp N, dim Supp(M/N)}.ề ứ tỏ r dim Supp M s ế ỉ ế dim Supp N s dim Supp(M/N) s ớ M tỏ tí tdim Supp M s t ột trù rrS húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn [...]... các phạm trù con Serre ở Ví dụ 1.1.3, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, phạm trù con nào thỏa mãn điều kiện (CI ) 1.2.4 Ví dụ Các phạm trù con Serre của phạm trù các thỏa mãn điều kiện R -môđun sau đây (CI ) i) Phạm trù con Serre gồm một môđun ii) Phạm trù con Serre gồm các 0 R -môđun Artin iii) Phạm trù con Serre gồm các R -môđun M có giá Supp M là tập hữu hạn iv) Phạm trù con Serre gồm các sao cho R -môđun. .. phạm trù môđun con Serre của phạm trù các R -môđun Nhắc lại rằng với mỗi R -môđun M ta định nghĩa I (M ) = (0 :M I n ), trong đó 0 :M I n = {m M | I n m = 0} n0 1.2.1 Định nghĩa Ta nói rằng Cho S là phạm trù con Serre của phạm trù các R -môđun S thỏa mãn điều kiện (CI ) nếu M S với mọi R -môđun M thỏa mãn các tính chất M = I (M ) và 0 :M I S Trước khi đưa ra một tiêu chuẩn để một phạm trù con Serre. .. q và p Supp M thì 0 = Mp (Mq )pRq = Vì thế Mq = 0, tức là q Supp M Do đó theo Ví dụ 1.1.7 ta có phạm trù con Serre sau đây 1.1.8 Ví dụ Nếu Z Spec R là đóng với phép đặc biệt hóa thì lớp các R -môđun M với Supp M Z là một phạm trù con Serre 1.2 Cho Điều kiện (CI ) trên phạm trù con Serre S I là một iđêan cố định của R và cho M là R -môđun Chúng ta sẽ xét một điều kiện hữu ích sau đây trên các phạm. .. của của một vành Noether R sao cho phạm trù con Serre các R -môđun có độ dài hữu hạn không thoả mãn điều kiện (CI ) Thật vậy, chọn m là iđêan tối đại của R sao cho ht m > 0 Khi đó môđun E = E(R/m) là môđun Artin thoả mãn các tính chất E = m (E) và 0 :E m có độ dài hữu hạn Tuy nhiên E có độ dài vô hạn Chú ý rằng phạm trù Serre các và phạm trù con Serre các R -môđun Noether xét trong Ví dụ 1.2.5 R -môđun. .. nếu và chỉ nếu nó là I -dãy lọc chính quy đối với M S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 27 2.2 Điều kiện để i HI (M ) S với mọi cấp i 0} 2.1.4 Ví dụ Cho M là một R -môđun hữu hạn sinh Cho S là phạm trù con Serre gồm các chỉ khi R -môđun Artin Khi đó x m là S -chính quy khi và 0 :M... con Serre thoả mãn điều kiện (CI ), chúng ta cần nhắc lại một số khái niệm liên quan đến môđun nội xạ Một R -môđun E được gọi là S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn môđun nội xạ nếu với mỗi http://www.Lrc-tnu.edu.vn 12 đơn cấu f : N M và mỗi đồng cấu g : N E , tồn tại một đồng cấu h : M E sao cho g = hf Cho E là một R -môđun và M là môđun con của E Ta nói E là một mọi môđun con mở rộng cốt yếu... trù con Serre gồm các sao cho R -môđun nửa Artin (các R -môđun M Supp M Max R) v) Phạm trù con Serre gồm các trong đó R -môđun M với dim Supp M s, s 0 là một số nguyên cho trước vi) Phạm trù con Serre gồm các R -môđun M với Ass M Z, trong đó Z Spec R là một tập đóng dưới phép đặc biệt hoá Chứng minh (i) Vì bao nội xạ của môđun 0 là 0 nên phạm trù con này đóng với phép lấy bao nội xạ Vì thế theo Bổ đề... môđun có độ dài hữu hạn và tất nhiên cũng là môđun Noether, nhưng bao nội xạ của nó không là môđun Noether và vì thế nó có độ dài vô hạn 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương Trong suốt tiết này luôn giả thiết là các R -môđun 1.3.1 Định nghĩa nghĩa R là vành giao hoán Noether và M, N Cho I là iđêan của R Với mỗi R -môđun N ta định (0 :N I n ) Nếu f : N N là đồng cấu các R- I (N ) = n0 môđun thì ta có đồng. .. con Serre của phạm trù các R -môđun Khi đó S M thỏa mãn các tính chất thỏa mãn điều kiện đó trong (CI ) nếu và chỉ nếu M S M = I (M ) và 0 :M x S với mọi R -môđun với phần tử x nào I Chứng minh có tính chất Giả sử S thỏa mãn điều kiện (CI ) Cho M là một R -môđun M = I (M ) và 0 :M x S với x I Vì 0 :M I 0 :M x và S là phạm trù con Serre nên theo Bổ đề 1.1.2 ta có 0 :M I S Do S thỏa mãn điều kiện (CI . trù rr ở í ụ trù tỏ ề ệ (CI). í ụ trù rr ủ trù R s tỏ ề ệ (CI). P trù rr ồ ột 0. P trù rr ồ R rt P trù rr ồ R M ó Supp M t ữ P trù. http://www.Lrc-tnu.edu.vn P trù rr ột số ịề ố ồ ề ị r sốt R ột tr M R P trù rr S ị ĩ S ớ rỗ ữ R ọ S ột trù rr ủ trù R ế ớ ỗ ớ R 0 M