Đang tải... (xem toàn văn)
Luận văn, khóa luận, tiểu luận, báo cáo, đề tài
Lời nói đầu Khi nghiên cứu về các toán tử tuyến tính của một không gian véc tơ hữu hạn chiều E trên trờng K đã dẫn đến khái niệm về đa thức đặc trng. Đa thức đặc trng của toán tử tuyến tính đợc đồng nhất với đa thức đặc trng của ma trận của toán tử tuyến tính đối với một cơ sở nào đó trong không gian véc tơ E. Toán tử đa thức ứng với đa thức. f(t)=c 0 t+c 1 t + + c r t r K[t] là toán tử f() = c 0 id + c 1 + .c r r của E, với L(E). Đa thức cực tiểu của là đa thức g có bậc nhỏ nhất hệ số cao nhất bằng 1 sao cho g() = 0. Khoá luận này nghiên cứu về đa thức cực tiểu của các toán tử tuyến tính. Khoá luận này đợc chia làm 3 tiết: Đ1: Khái niệm về toán tử đa thức và đa thức cực tiểu. Đ2: Đa thức cực tiểu trong không gian xích. Đ3: Đa thức cực tiểu trong không gian bất khả quy. Các kết quả chủ yếu đạt đợc trong khoá luận này là: Đ1: - Chứng minh sự tồn tại và duy nhất của đa thức cực tiểu của một toán tử tuyến tính (Định lý 1.1). - Phổ của một toán tử tuyến tính là tập nghiệm của đa thức cực tiểu của nó (Định lý 1.6). - Nếu đa thức cực tiểu phân tích đợc thành tích các đa thức bất khả quy thì không gian E phân tích thành tổng trực tiếp các không gian con bất biến là hạt nhân của các thành phần bất khả quy (Định lý 1.8). 1 Đ2: Trình bày khái niệm không gian xích và đa thức cực tiểu trong không gian xích. Cho E là một không gian hữu hạn sinh, L(E). Với mỗi xE, đặt E(x) = {f() (x)/ f(t) K[t] }. Không gian con Ecủa E gọi là một không gian xích nếu E = E(x). Có thể hiểu không gian xích là một không gian con của E sinh bởi x và . Trong tiết này đã chứng minh đợc: - Định lý 2.1: Đa thức cực tiểu g của E(x) là ớc của mọi đa thức h K[t] mà h() (x) = 0 và deg(g)=dimE(x). - Định lý 2.3: Nếu g =g p , với g là đa thức bất khả quy thì tồn tại không gian xích E 1 , .,E s sao cho E = E 1 . E s . - Định lý 2.4: Nếu E là không gian con bất biến của thì E là không gian xích khi và chỉ khi dim E bằng bậc đa thức cực tiểu của ánh xạ thu hẹp của trên E . Đ3: Trình bày về đa thức cực tiểu trong không gian bất khả quy. Các kết qủa chủ yếu của tiết này là: - Định lý 3.1: Một không gian bất biến E của là bất khả quy thì đa thức cực tiểu của E là một luỹ thừa của một đa thức bất khả quy. - Định lý 3.2: Phép biến đổi tuyến tính chéo hoá đợc khi và chỉ khi đa thức cực tiểu g viết đợc dới dạng: g (t) = (t-c 1 ) . (t-c s ). - Định lý 3.7: Cho E là một không gian xích của toán tử . Khi đó mọi sự phân tích E thành tổng trực tiếp của các không gian bất khả quy có số thành phần bằng số nhân tử bất khả quy của đa thức cực tiểu g . 2 Luận văn có thể mở rộng theo hớng nghiên cứu mối liên hệ giữa đa thức cực tiểu của ma trận với cấp của khối Jordan của ma trận đó hoặc đa thức cực tiểu của các dạng ma trận đặc biệt. Tuy nhiên do điều kiện về thời gian và năng lực tác giả cha đề cập đợc. Trong quá trình làm luận văn tác giả đã đợc sự giúp đỡ tận tình, chu đáo của thầy giáo Thạc sỹ nguyễn văn giám. Tác giả xin chân thành biết ơn sự giúp đỡ chỉ bảo của thầy. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ Đại Số khoa Toán ĐH Vinh đã góp ý và chỉ bảo để luận văn đợc hoàn thiện hơn. Tác giả. 3 Đ1. Khái niệm về toán tử đa thức và Đa thức Cực tiểu I- Các định nghĩa: Cho E là một không gian véc tơ trên trờng K và là một toán tử tuyến tính của E. Định nghĩa 1: Các toán tử luỹ thừa của là một toán tử tuyến tính: 0 = id E , r = . r-1 (r>0). ứng với mỗi đa thức f=f(t) = c 0 + c 1 t + .+c r t r K[t] ta có toán tử đa thức: f(): = c 0 id E +c 1 + . +c r r . - Một đa thức f K[t] có hệ số cao nhất bằng 1 đợc gọi là đa thức chuẩn hoá. Định nghĩa 2: a. Đa thức cực tiểu của (kí hiệu là g ) là đa thức chuẩn hoá gK[t] có bậc nhỏ nhất sao cho g()= 0 . b. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Đa thức cực tiểu của A ( kí hiệu là g A ) là một đa thức chuẩn hoá fK[t] có bậc nhỏ nhất sao cho f(A) = 0. II- Các ví dụ: Ví dụ 1: Ta có g = t-c (x) = cx, mọi xE , c = const. Ví dụ 2: Giả sử là phép chiếu (a 1 , ,a n ) = (a 1 , ,a m , 0, ,0), m<n. Ta có g =t 2 - t. Thật vậy: do g không có dạng t-c, nên deg g > 1. Khi đó 2 (a 1 , .,a n )=.(a 1 , .,a n )=(a 1 , .,a m , 0, ,0)=( a 1 , .,a m , 0, ,0) Suy ra 2 = 2 -=0 4 iii- Các tính chất. Định lý 1.1: Đa thức cực tiểu của g luôn tồn tại và đợc xác định một cách duy nhất. Chứng minh: Giả sử id E , 2 , ., n là các toán tử luỹ thừa. Khi đó ta có: dim L(E) = n 2 . Từ đó suy ra phải có một tuyến tính không tầm thờng: c 0 id E + c 1 + . + c r r = 0 (r<n 2 ). Giả sử c r =1. Khi đó f(t)= c 0 + c 1 t + . +1.t r , là một đa thức chuẩn hoá, và f()= 0 Vì vậy g luôn đợc xác định. +) Chứng minh sự tồn tại duy nhất: Giả sử h(t) là đa thức thoả mãn điều kiện trên. Khi đó xét: (g - h) ()=g () h() = 0 Bậc của g -h nhỏ hơn bậc của g , vì g và h là những đa thức chuẩn hoá có cùng bậc. Vì vậy g - h = 0, suy ra g = h. Do đó: g luôn luôn tồn tại và duy nhất. Lu ý: Nếu f K[t] là một đa thức thoả mãn điều kiện f()=0, thì g là ớc của f. Hệ quả 1.2: E là không gian bất biến của , ánh xạ thu hẹp của trên E là ánh xạ cảm sinh của trên E/E cũng là toán tử tuyến tính. Khi đó: Đa thức cực tiểu của E và E/E là ớc chung của g . Chứng minh: +) Gọi là toán tử tuyến tính của ánh xạ thu hẹp của trên E. Ta có: g ()(x)= g ((x)) = g ((x))= g ()(x)=0, với mọi x E. vì vậy g ()=0. +) Gọi là ánh xạ cảm sinh bởi trên E/E, với mọi xe/e. 5 Ta có: g () (x) = g ((x))= g ((x))= g ()(x)=0. Suy ra: g ()=0. Vậy g phải là bội của đa thức cực tiểu của E và E/E. Bổ đề 1.3: Giả Sử A là một ma trận của toán tử tuyến tính . ta có: i) f(A) là một ma trận của toán tử đa thức f() cho mọi đa thức fK[t]. ii) g A = g Chứng minh: i) Với mọi xE, ta luôn có (x) = Ax nên ta suy ra: r (x)=A r x, với mọi r 0. Do đó f()(x)= f(A)x. ii) Do f(A) là ma trận của f() nên f()= 0 khi và chỉ khi f(A)=0. Khi đó theo định nghĩa của đa thức cực tiểu thì ta phải có: g A =g . Hệ quả 1.4: i) Đa thức cực tiểu của một ma trận (hay một toán tử tuyến tính ) là ớc của đa thức đặc trng. ii) Hai ma trận cùng dạng có cùng đa thức cực tiểu . Chứng minh: i) Giả sử A là một ma trận của toán tử tuyến tính . Khi đó theo định lí (Cayley-Hamilton) ta có: f A (A)= 0. Mặt khác, theo bổ đề 1.3 (i ) thì f A ()= 0, suy ra g phải là ớc của f A . Theo bổ đề 1.3 (ii ) .Suy ra g A = g . Vậy đa thức cực tiểu của ma trận A phải là ớc của f A . ii) Giả sử B là một ma trận đồng dạng với ma trận A. Khi đó A, B, là những ma trận của cùng một toán tử tuyến tính . Do đó đa thức cực tiểu của toán tử tuyến tính bằng đa thức cực tiểu của ma trận của nó trong bất kỳ cơ sở nào của không gian E. Hay g B = g A =g . 6 Bổ đề 1.5. Cho f K[t] là một đa thức tuỳ ý .Ta đặt H(f):= ker f(). i) H(f) là một không gian bất biến. ii) f là đa thức cực tiểu của H(f) nếu f là một đa thức chuẩn hoá và là ớc của g . Chứng minh: i) với mọi xH(f) , ta có f()(x) =0 , suy ra: f()((x)) = [f()] (x) = [f()] (x) = [f()(x)] = (0) =0. Vì vậy (x) Ker f() =H (f). Do đó theo định nghĩa, ta có H(f) là một không gian bất biến. ii) Gọi h là một đa thức cực tiểu của ánh xạ thu hẹp của trên H(f). Do f()(x) =0, với mọi xH(f). Nên ta có thể viết f=f 1 h (vì h là ớc của f). Giả sử f h, thì deg (f)> deg (h) . Đặt: g = fg, g 1 =hg . Suy ra: deg(g ) > deg (g 1 ) . Do g là đa thức cực tiểu, nên ta thấy g 1 () 0 .Điều này có nghĩa là tồn tại một véc tơ x E sao cho g 1 ()(x) 0 . (1) Đặt y = g()(x) .Ta thấy: f()(y) = f()g()(x) = (fg)()(x) = g ()(x) =0 . Suy ra y H(f). Mặt khác ta lại có : h()(y) = h()g()(x) =(hg)()(x) = g 1 ()(x) 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết h là đa thức cực tiểu của H(f) vì vậy g=h . Định lý 1.6: Phổ của mọi toán tử tuyến tính chính là tập nghiệm của đa thức cực tiểu g . 7 Chứng minh : +) Điều kiện cần: Giả sử c là một nghiệm tuỳ ý của đa thức cực tiểu g . Ta chứng minh c là phổ của . Thật vậy, vì c là nghiệm của đa thức cực tiểu g , nghĩa là g (c) = 0. Do đa thức cực tiểu là ớc của đa thức đặc trng f (t) , tức là g ớc của f . Nên hiển nhiên nghiệm của g phải là một nghiệm của f , nghĩa là phổ của . +) Điều kiện đủ: Nếu c là một giá trị riêng của toán tử tuyến tính , ứng với mỗi véctơ riêng x khác 0. Tức là: (x) = cx . Từ đó suy ra ta đợc k (x)=c k x. Do đó: g (c) x= g () x = 0 .x =0. Vì x 0 nên: g (c) =0. nghĩa là c là một nghiệm của đa thức cực tiểu g . Bổ đề 1.7. Cho E 1 và E 2 là hai không gian bất biến của . Thì đa thức cực tiểu của E 1 E 2 là bội số chung nhỏ nhất của đa thức cực tiểu của E 1 và E 2 . Chứng minh: Gọi đa thức cực tiểu của E 1 , E 2 và E 1 E 2 lần lợt là g, h, f. Khi đó: Với mọi véc tơ x 1 E 1 , thì g()(x 1 ) = 0. Với mọi véc tơ x 2 E 2 ,thì h()(x 2 ) = 0. Do E 1 E 2 là tổng trực tiếp của E 1 và E 2 . Nên với mọi x E 1 E 2 thì x có sự biểu diễn một cách duy nhất dới dạng: x= x 1 + x 2 , với x 1 E 1 ; x 2 E 2 . Và f()(x)=0 (vì f là đa thức cực tiểu của E 1 E 2 ). Do đó: 0=f()(x)=f()(x 1 +x 2 )=f()(x 1 )+f()(x 2 )= 0+0. Từ đó suy ra: f()(x 1 )= 0 và f()(x 2 )=0. 8 Suy ra: g là ớc của f và h cũng là ớc của f. Vì đa thức cực tiểu f của E 1 E 2 là đa thức chuẩn hoá có bậc bé nhất để f ()=0. Vậy f là bội chung nhỏ nhất của g và h. ( hay f=BCNN[g,h]). Định lí 1.8: Giả sử g = g 1 1 p . g r r p , với g 1 , , g r là những đa thức bất khả quy khác nhau. Ta có: E=H(g 1 1 p ) . H(g r r p ) (1). Chứng minh: Do g ((x)) = 0, với mọi xE. Nên E=H(g ). Nếu r=1 thì công thức (1) là hiển nhiên. Nếu r>1 ta có thể dùng quy nạp giả thiết: H(g 2 2 p . g r r p )=H(g 2 2 p ) . H(g r r p ). Khi đó E=H(g 1 1 p ) H(g 2 2 p . g r r p )= H(g 1 1 p ) .H(g r r p ). Do H(f 1 f 2 )= H(f 1 )H(f 2 ), với (f 1 , f 2 ) = 1 9 Đ2: Đa thức Cực tiểu trong không gian xích. 2.1. Định nghĩa không gian xích: - Một không gian con E của E đợc gọi là một không gian xích (của ) nếu E= E(x) với một véc tơ x nào đó. Khi đó x đợc gọi là một phần tử sinh của E. Trong đó: E là một không gian véc tơ hữu hạn sinhvà là một toán tử tuyến tính. Với mọi x E, ta đặt E(x):= {f()(x) / f(t) K[t]} Có thể hiểu E(x) là tập hợp các véc tơ đợc sinh ra từ duy nhất một véc tơ x bởi các phép cộng và nhân vô hớng và toán tử tuyến tính . 2.2. Đa thức cực tiểu trong không gian xích. Định lí 2.1: Đa thức cực tiểu g của không gian bất biến E(x) có các tính chất sau: i) g là ớc của mọi đa thức hK[t] thoả mãn tính chất h()(x)=0. ii) deg g = dim E(x). Chứng minh: i) Với mọi véc tơ f()(x) E(x), ta có: h()[f()(x)] = f()[h()(x)] = 0. Mà ta đã biết : Nếu fK[t] là một đa thức thoả mãn điều kiện f()=0, thì g là ớc của f . Do đó h phải là một bội của g, hay g là một ớc của mọi đa thức hK[t]. ii) Gọi deg g =m. Theo thuật toán Euclide thì mọi đa thức f đều có thể viết dới dạng: f= hg+r (với deg r<m). Do g()(x) = 0, nên: f()(x) = h()g()(x) + r()(x) = h()(g()(x))+r()(x) 10