Đang tải... (xem toàn văn)
Giáo trình Toán rời rạc
Chương III SUY LUẬN TOÁN HỌC I)Các phương pháp chứng minh Có hai câu hỏi đặt nghiên cứu toán học là: (1) Khi suy luận toán học đúng? (2) Có thể dùng phương pháp để xây dựng suy luận toán toán học? Suy luận hoạt động trí tuệ dựa qui tắc định mà thực tiển hoạt động người chấp nhận việc áp dụng qui tắc cho phép đạt kết nhận thức phù hợp với thực tiển Ví dụ: Trong hoạt động thực tiển người nhận thấy hai vật đồng với vật thứ ba hai vật đồng với Do người đồng ý chấp nhận qui tắc (hay mô hình) suy luận: Nếu A đồng với C B đồng với C A đồng với B A, B, C vật Con người suy luận mà không dựa ý tưởng, khái niệm Để thống với giao tiếp người cần định nghóa khái niệm cách chặt chẻ Ví dụ cần thống với khái niệm “Hình tam giác” định nghóa “Hình tam giác hình phẳng gồm ba đoạn thẳng nối ba điểm không thẳng hàng” Mỗi khái niệm định nghóa lại cần dựa khái niệm khác để định nghóa Trong ví dụ khái niệm “hình tam giác” định nghóa dựa khái niệm đoạn thẳng, điểm, phẳng, thẳng hàng Dó nhiên đẩy việc định nghóa đến tận được, phải dừng việc định nghóa số khái niệm xem thỏa thuận với khái niệm ban đầu không cần thiết phải định nghóa định nghóa Trong ví dụ vừa nêu xem “điểm” khái niệm ban đầu, “điểm” “điểm” - đơn khái niệm không dựa vào khái niệm khác để định nghóa lại điểm Mối quan hệ vật, khái niệm cần làm sáng tỏ suy luận, ie: cần chứng minh Ví dụ: “Tổng ba góc tam giác 180 độ” khẳng định mối quan hệ định lượng góc tam giác Mỗi quan hệ vật, khái niệm chứng minh tùy vào tầm quan trọng chúng mà gọi tên: “Tính chất / Bổ đề / Định lý /Hệï quả” Việc chứng minh mối quan hệ đòi hỏi suy luận dựa khái niệm biết, định nghóa dựa mối quan hệ chứng minh (hoặc chấp nhận) khác Trong ví dụ việc chứng minh “Tổng ba góc tam giác 180 độ” dẫn đến việc đòi hỏi quan hệ “Từ điểm đường thẳng ta dựng đường thẳng song song song với đường thẳng cho” phải chứng minh phải chấp nhận Trong trường hợp phát biểu mối quan hệ khái niệm yêu cầu chấp nhận chứng minh phát biểu gọi tiên đề Một tiên đề chấp nhận không chấp nhận - không làm ảnh hưởng đến tính chặt chẻ tính đắn hệ thống khoa học nghiên cứu Việc chứng minh mối quan hệ “không thể chứng minh được” nhiều trường hợp khó khăn, số quan hệ kiểm chứng1 Đừng nhầm lẫn “chứng minh” với “kiểm chứng” Dù có kiểm chứng hàng trăm nghìn lần phát biểu “Mỗi đồ phẳng tô không bốn màu cho hai quốc 41 chưa chứng minh gọi đoán mà Trong khoa học tồn đoán Chúng ta xét đến khái niệm “chứng minh”: Như nói chứng minh dãy suy luận từ khái niệm ban đầu, giả thiết, khái niệm định nghóa, tính chất, định lý để đạt kết luận Để đảm bảo cho kết luận chặt chẻ2 dãy suy luận phải thỏa mãn: - Áp dụng qui tắc suy luận - Chỉ suy luận dựa khái niệm ban đầu, giả thiết, khái niệm định nghóa, tính chất, định lý (đã chứng minh) Không sử dụng đoán Các qui tắc suy luận Mặc dù chứng minh vô vô tận lại có số qui tắc suy luận mà Ví dụ: “Nếu hôm mưa, không học thêm tiết Nếu hôm không học thêm tiết ngày mai phải học thêm tiết Do hôm trời mưa ngày mai phải học thêm tiết.” Quy tắc suy luận làm sở cho suy lý vậy? Nếu đặt : p mệnh đề: “Hôm mưa” q mệnh đề: “Chúng ta không học thêm tiết” Thì suy lý có dạng hình thức: [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) (*) Có thể chứng minh (*) đúng, ie: lấy giá trị TRUE với tổ hợp giá trị p q Vì (*) nên suy lí chắn suy luận chặt chẻ ta nói ta áp dụng qui tắc suy luận (tam đoạn luận giả định) Qui tắc viết sau: p⇒q q⇒r ∴p⇒r Khi dùng kí hiệu này, giả thiết (hay tiền đề) viết gạch ngang kết luận viết gạch ngang sau kí hiệu ∴ (đọc thì) Có thể liệt kê qui tắc suy luận sau: Qui tắc suy luận Hằng tương ứng Tên gọi gia có đường biên giới tô màu” phù hợp chứng minh, nghóa phát biểu chưa trở thành định lý Lưu ý: “Chặt chẻ (valid)” “đúng (true)” Đôi ta dùng từ “hợp thức” “có sở” thay cho “chặt chẻ” 42 p ∴p∨q p ⇒ (p ∨ q) Luật cộng p∧q ∴p (p ∧ q) ⇒ p Luật rút gọn ((p) ∧ (q)) ⇒ (p ∧ q) Luật hợp p p⇒q ∴q [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q Modus ponens ¬q p⇒q ¬p [ ¬ q ∧ (p ⇒ q)] ⇒ ¬ p Modus tollens [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) Tam đoạn luận giả định [(p ∨ q) ∧ ¬ p] ⇒ q Tam đoạn luận tuyển p q ∴p∧q p⇒q q⇒r ∴p⇒r p∨q ¬p ∴q Có thể thấy suy luận hợp thức, ie: áp dụng qui tắc suy luận, chưa cho kết luận Ví dụ: “Nếu 101 chia hết cho 1012 chia hết cho Vì 101 chia hết 1012 chia hết cho 9” Đây suy luận áp dụng modus ponens, hoàn toàn chặt chẻ Tuy nhiên kết luận suy luận sai thực tế 1012 = 10201 không chia hết cho Vấn đề chổ người ta dùng mệnh đề “101 chia hết cho 3” mệnh đề sai Khi có nhiều tiền đề, thường cần phải dùng phối hợp qui tắc suy luận để chứng tỏ suy diễn Ví dụ: “Nếu Ông Fuji Mori công dân Nhật phía Nhật trao trả ông Fuji Mori cho Pêru Còn Fuji Mori công dân Nhật Nhật Pêru 43 hiệp định dẫn độ nên Nhật trao trả Fuji Mori cho phía Pêru Cho nên trường hợp phía Nhật thấy không cần trao trả Fuji Mori cho phía Pêru.” Đặt: p mệnh đề: “Fuji Mori công dân Nhật” q mệnh đề: “Nhật trao trả ông Fuji Mori” r mệnh đề: “Nhật Pêru hiệp định dẫn độ” t mệnh đề: “Fuji Mori công dân Peru” (trong trường hợp ta có ẩn tàng ¬ p ; t ) Ta thấy: Bước Suy diễn p ⇒ q Giả thiết (r ∧ t) ⇒ q Giả thiết (r ∧ ¬ p) ⇒ q Giả thiết tương đương (p ∨ ¬ p) Hằng (p ∨ ¬ p) ∧ (p ⇒ q) ∧ [(r ∧ ¬ p) ⇒ q] (p ∧ (p ⇒ q) ∧ [(r ∧ ¬ p) ⇒ q]) ∨ (( ¬ p) ∧ (p ⇒ q) ∧ [(r ∧ ¬ p) ⇒ q] ) TRUE Qui tắc suy luân mệnh đề lượng hóa: Khi suy luận liên quan đến lượng từ tồn phổ dụng ta có qui tắc suy luận sau: (Giả sử U không gian khảo sát) Quy tắc suy luận ∀x P( x ) ∴P(c) if c ∈ U Tên gọi Cá biệt hóa phổ dụng P(c) doi voi mot c ∈ U ngau nhien ∀x P( x ) Tổng quát hóa phổ dụng ∃x P(c) P(c) doi voi phan tu nao c ∈ U Cá biệt hóa tồn P(c) doi voi phan tu nao c ∈ U ∃x P ( x ) Tổng quát hóa tồn Trả lời Bộ ngoại giao Nhật phủ Pêru đòi Nhật trao trả cựu tổng thống Pêru Fuji Mori để xét xử tội chuyên quyền tham nhũng 44 Ví dụ: Tất phụ nữ dều khôn ngoan chị Sáu khôn ngoan (Cá biệt hóa phổ dụng) Lấy ngẫu nhiên x ∈ A, ta chứng minh dược x >0 Vậy ∀x ∈ A, x > (Tổng quát hóa phổ dụng) Có người lớp K1-CNTT dân Mõ Cày Vậy có người lớp K1CNTT dân Mõ Cày (Cá biệt hóa tồn tại) Vì Hưng sinh viên lớp K1-CNTT dân Mõ Cày nên có người lớp K1CNTT dân Mõ Cày (Tổng quát hóa tồn tại) Các phương pháp chứng minh định lý Phần lớn định lý toán học đề đưa dạng p ⇒ q Vì p ta cần chứng tỏ phép kéo theo (p ⇒ q) không cần chứng minh q Chứng minh trực tiếp: chứng minh mệnh đề (p ⇒ q) cách chứng tỏ p q phải Điều chứng tỏ tổ hợp (P đúng, Q sai) không xảy Ví dụ: Chứng minh” Nếu n lẻ n2 lẻ” Giải: Giả sử n lẻ n lẻ ⇒ n = 2k+1 với k số nguyên ⇒ n2 = (2k+1)2 = 2.2(k2+k)+1 ⇒ n2 số lẻ Chứng minh gián tiếp: Vì ta có (p ⇒ q) ≅ ( ¬ q ⇒ ¬ p) nên thay chứng minh (p ⇒ q) ta cần chứng minh ( ¬ q ⇒ ¬ p) (Đoi gọi chứng minh phản chứng) Ví dụ: Chứng minh “Nếu 3n+2 lẻ n lẻ” Giải: Giả sử n không lẻ, ie: n chẵn n chẵn ⇒ n = k với k số nguyên ⇒ 3n+2= 3(2k)+2 =2(3k+1) ⇒ 3n+2 chẫn Điều trái với giả thiết 3n+2 lẻ giả sử n chẵn sai, tức n phải lẻ Quy nạp toán học: axiom): Qui nạp toán học dựa tiên đề sau (gọi tiên đề tối thứ tự : well - ordering “Mọi tập khác rổng số nguyên không âm có phầân tử nhỏ nhất” Từ tiên đề người ta chứng minh định lý qui nạp sau đây: Dạng I: Giả sử với số nguyên n ≥ có phát biểu A(n) thỏa mãn: 45 (1) A(1) (2) Với số nguyên n ≥ 1, A(n) A(n+1) Thì phát biểu A(n) với n ≥ Dạng II: Giả sử với số nguyên n ≥ có phát biểu A(n) thỏa mãn: (1) A(0) (2) Với số nguyên n ≥ 0, A(k) với k thỏa ≤ k) {S} q ( p ∧ ¬ < dieukien >) ⇒ q ∴ p {if < dieukien > then S} q Ví dụ: Xác minh đoạn chương trình sau đắn: IF x>y THEN y:=x khẳng định đầu vào T khẳng định đầu cuối y ≥ x Giai: Khi khẳng định đầu vào T x>y mệnh đề gán y:=x thực thi Vì khẳng định cuối khẳng định y ≥ x nên trường hợp Hơn khẳng định đầu vào T điều kiên x>y sai, ie: x ≤ y, khẳng định đầu cuối lần lại Vì theo qui tắc suy luận đoạn chương trình kiểu đoạn chương trình nói khẳng định đầu vào đầu cuối cho Tương tự, giả sử ta có đoạn chương trình dạng: IF điều kiện THEN S1 ELSE S2 Nếu điều kiện S1 thực thi; điều kiện sai S2 thực thi Ta phải kiểm chứng hai việc: Trong số ngôn ngữ lập trình ta thường gọi S câu lệnh ghép Chẳng hạn Pascal câu lệnh ghép thường bao hai từ khóa BEGIN END Ví dụ: Begin Tam:=A; A:=B; B:=Tam; End; ví dụ S nhóm lệnh Tam:=A; A:=B; B:=Tam; 50 Chứng tỏ p điều kiện q sau S1 kết thúc Chứng tỏ p điều kiện sai q sau S2 kết thúc Ta có qui tắc suy luận sau: ( p∧ < dieukien >) {S1} q ( p ∧ ¬ < dieukien >) {S 2} ⇒ q ∴ p {if < dieukien > then S1 else S 2} q Ví dụ: Xác minh đoạn chương trình: IF x ∧ p) Ví dụ: Cần bất biến vòng lặp để kiểm chứng chương trình: i:=1 51 Factorial:=1 While i