Đang tải... (xem toàn văn)
Giải Toán Và Kinh Nghiệm Học Hình Học Không Gian
www.MATHVN.com www.mathvn.com 1 TỔNG HỢP MỘT SỐ KINH NGIỆM GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN www.MATHVN.com I. Đườ ng th ẳ ng và m ặ t ph ẳ ng . 1. Tìm giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng (cách 1) Ph ươ ng pháp : - Tìm đ i ể m chung c ủ a 2 m ặ t ph ẳ ng - Đườ ng th ẳ ng qua hai đ i ể m chung đ ó là giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng Chú ý : Để tìm đ i ể m chung c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng ta th ườ ng tìm hai đườ ng th ẳ ng đ òng ph ẳ ng l ầ n l ượ t n ằ m trong hai m ặ t ph ẳ ng đ ó . Giao đ i ể m , n ế u có c ủ a hai đườ ng th ẳ ng này chính là đ i ể m chung c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng . 2. Tìm giao đ i ể m c ủ a đườ ng th ẳ ng và m ặ t ph ẳ ng Ph ươ ng pháp : Để tìm giao đ i ể m c ủ a đườ ng th ẳ ng a và m ặ t ph ẳ ng (P) , ta tìm trong (P) m ộ t đườ ng th ẳ ng c c ắ t A t ạ i đ i ể m A nào đ ó thì A là giao đ i ể m c ủ a a và (P) . Chú ý : N ế u c ch ư a có s ẵ n thì ta ch ọ n m ộ t m ặ t ph ẳ ng (Q) qua a và l ấ y c là giao tuy ế n c ủ a (P) và (Q) . 3. Ch ứ ng minh 3 đ i ể m th ẳ ng hàng , ch ứ ng minh 3 đườ ng th ẳ ng đồ ng quy . Ph ươ ng pháp : - Mu ố n ch ứ ng minh 3 đ i ể m th ẳ ng hàng ta ch ứ ng minh 3 đ i ể m đ ó là các đ i ể m chung c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng phân bi ệ t.Khi đ ó chúng s ẽ th ẳ ng hàng trên giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng đ ó . - Mu ố n chúng minh 3 đườ ng th ẳ ng đồ ng quy ta ch ứ ng minh giao đ i ể m c ủ a hai đườ ng nàylà đ i ể m chung c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng mà giao tuy ế n là đườ ng th ẳ ng th ứ ba . 4. Tìm t ậ p h ợ p giao đ i ể m c ủ a hai đườ ng th ẳ ng di độ ng Ph ươ ng pháp : M là giao đ i ể m c ủ a hai đườ ng th ẳ ng di độ ng d và d' . Tìm t ậ p h ợ p các đ i ể m M. * Ph ầ n thu ậ n : Tìm hai m ặ t ph ẳ ng c ố đị nh l ầ n l ượ t ch ứ a d và d'. M di đọ ng trên giao tuy ế n c ố đị nh c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng đ ó . * Gi ớ i h ạ n (n ế u có) * Ph ầ n đả o Chú ý : n ế u d di độ ng nh ư ng luôn qua đ i ể m c ố đị nh A và c ắ t đườ ng th ẳ ng c ố đị nh a không qua A thì d luôn n ằ m trong m ặ t ph ẳ ng c ố đị nh (A,a) 5. Thi ế t di ệ n Thi ế t di ệ n c ủ a hình chóp và m ặ t ph ẳ ng (P) là đ a giác gi ớ i h ạ n b ở i các giao tuy ế n c ủ a (P) v ớ i các m ặ t hình chóp . www.MATHVN.com www.mathvn.com 2 Ph ươ ng pháp : Xác đị nh l ầ n l ượ t các giao tuy ế n c ủ a (P) v ớ i các m ặ t c ủ a hình chóp theo các b ướ c sau : - T ừ đ i ể m chung có s ẵ n , xác đị nh giao tuy ế n đầ u tiên c ủ a (P) v ớ i m ộ t m ặ t c ủ a hình chóp (Có th ể là m ặ t trung gian) - Cho giao tuy ế n này c ắ t các c ạ nh c ủ a m ặ t đ ó c ủ a hình chóp ta s ẽ đượ c các đ i ể m chung m ớ i c ủ a (P) v ớ i các m ặ t khác . T ừ đ ó xác đị nh đượ c các giao tuy ế n m ớ i v ớ i các m ặ t này . - Ti ế p t ụ c nh ư th ế cho t ớ i khi các giao tuy ế n khép kín ta đượ c thi ế t di ệ n . II. Hai đườ ng th ẳ ng song song . 1. Ch ứ ng minh hai đườ ng th ẳ ng song song Ph ươ ng pháp : Có th ể dùng m ộ t trong các cách sau : - Ch ứ ng minh hai đườ ng th ẳ ng đ ó đồ ng ph ẳ ng , r ồ i áp d ụ ng ph ươ ng pháp ch ứ ng minh song song rong hình h ọ c ph ẳ ng (nh ư tính ch ấ t đườ ng trung bình, đị nh lý đả o c ủ a đị nh lý Ta-lét .) - Ch ứ ng minh hai đườ ng th ẳ ng đ ó cùng song song song v ớ i đườ ng th ẳ ng th ứ 3 . - Áp d ụ ng đị nh lý v ề giao tuy ế n . 2 . Tìm giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng (cách 2 / d ạ ng 1) Thi ế t di ệ n qua m ộ t đườ ng th ẳ ng song song v ớ i m ộ t đườ ng th ẳ ng cho tr ướ c . Ph ươ ng pháp : * Tìm m ộ t đ i ể m chung c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng * Áp d ụ ng đị nh lý v ề giao tuy ế n để tìm ph ươ ng c ủ a giao tuy ế n (t ứ c ch ứ ng minh giao tuy ế n song song v ớ i m ộ t đườ ng th ẳ ng đ ã có) Giao tuy ế n s ẽ d là đườ ng th ẳ ng qua đ i ể m chung và song song v ớ i đườ ng th ẳ ng ấ y . Ghi chú : Ta có 2 cách để tìm giao tuy ế n : Cách 1(2 đ i ể m chung) và cách 2 (1 đ i ể m chung + ph ươ ng giao tuy ế n) ta th ườ ng s ử d ụ ng ph ố i h ợ p 2 cách khi xác đị nh thi ế t di ệ n c ủ a hình chóp . 3 . Tính góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng a,b chéo nhau. Ph ươ ng pháp : Tính góc : L ấ y đ i ể m O nào đ ó . Qua O d ự ng a' // a và b' // b Góc nh ọ n ho ặ c góc vuông t ạ o b ở i a',b' g ọ i là góc gi ữ a a và b . Tính góc : S ử d ụ ng t ỉ s ố l ượ ng giác c ủ a góc trong tam giác vuông ho ặ c dùng đị nh lý hàm s ố côsin trong tam giác th ườ ng . www.MATHVN.com www.mathvn.com 3 III. Đườ ng th ẳ ng song song v ớ i m ặ t ph ẳ ng . 1. Ch ứ ng minh đườ ng th ẳ ng d song song v ớ i m ặ t ph ẳ ng P Ph ươ ng pháp : Ta ch ứ ng minh d không n ằ m trong (P) và song song v ớ i đườ ng th ẳ ng a ch ứ a trong (P) . Ghi chú : N ế u a không có s ẵ n trong hình thì ta ch ọ n m ộ t m ặ t ph ẳ ng (Q) ch ứ a d và l ấ y a là giao tuy ế n c ủ a (P) và (Q) . 2. Tìm giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng(Cách 2 / d ạ ng 2) Thi ế t di ệ n song song v ớ i m ộ t đườ c th ẳ ng cho tr ướ c Ph ươ ng pháp : Nh ắ c l ạ i m ộ t h ệ qu ả : N ế u đườ ng th ẳ ng d song song v ớ i m ộ t m ặ t ph ẳ ng (P) thì b ấ t k ỳ m ặ t ph ẳ ng (Q) nào ch ứ a d mà c ắ t (P) thì s ẽ c ắ t (P) theo giao tuy ế n song song v ớ i d . T ừ đ ây xác đị nh thi ế t di ệ n c ủ a hình chóp c ắ t b ở i m ặ t ph ẳ ng song song v ớ i m ộ t ho ặ c hai đườ ng th ẳ ng cho tr ướ c theo ph ươ ng pháp đ ã bi ế t . IV. Hai m ặ t ph ẳ ng song song. 1. Ch ứ ng minh hai m ặ t ph ẳ ng song song Ph ươ ng pháp : * Ch ứ ng minh m ặ t ph ẳ ng này ch ứ a hai đườ ng th ẳ ng c ắ t nhau l ầ n l ượ t song song v ớ i hai đườ ng th ẳ ng c ắ t nhau n ằ m trong m ặ t ph ẳ ng kia . Chú ý :S ử d ụ ng tính ch ấ t ta có cách th ứ 2 để ch ư ngs minh đườ ng th ẳ ng a song song v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P) . 2. Tìm giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng (cách 2 / d ạ ng 3) Thi ế t di ệ n c ắ t b ở i m ộ t m ặ t ph ẳ ng song song v ớ i m ộ t m ặ t ph ẳ ng cho tr ướ c . Ph ươ ng pháp : - Tìm ph ươ ng c ủ a giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng b ằ ng đị nh lý v ề giao tuy ế n :"N ế u hai m ặ t ph ẳ ng song song b ị c ắ t b ở i m ộ t m ặ t ph ẳ ng th ứ ba thì hai giao tuy ế n song song v ớ i nhau " . - Ta th ườ ng s ử d ụ ng đị nh lý này để xác đị nh thi ế t di ệ n c ủ a hình chóp c ắ t b ở i m ộ t m ặ t ph ẳ ng song song v ớ i m ộ t m ặ t ph ẳ ng cho tr ướ c theo ph ươ ng pháp đ ã bi ế t . - Chú ý : Nh ớ tính ch ấ t www.MATHVN.com www.mathvn.com 4 V. Đườ ng th ẳ ng vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng. 1. Ch ứ ng minh đườ ng th ẳ ng vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng Ch ứ ng minh hai đườ ng th ẳ ng vuông góc v ớ i nhau Ph ươ ng pháp : * Ch ứ ng minh đườ ng th ẳ ng a vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P) - Ch ứ ng minh a vuông góc v ớ i hai đườ ng th ẳ ng c ắ t nhau ch ứ a trong (P). - Ch ứ ng minh a song song v ớ i đườ ng th ẳ ng b vuông góc v ớ i (P) . * Ch ứ ng minh hai đườ ng th ẳ ng vuông góc v ớ i nhau . - Ch ứ ng minh hai đườ ng th ẳ ng này vuông góc v ớ i m ộ t m ặ t ph ẳ ng ch ứ a đườ ng th ẳ ng kia . - Nêú hai đườ ng th ẳ ng ấ y c ắ t nhau thì có th ể áp d ụ ng các ph ươ ng pháp ch ứ ng minh vuông góc đ ã h ọ c trong hình h ọ c ph ẳ ng . 2. Thi ế t di ệ n qua 1 đ i ể m cho tr ướ c và vuông góc v ớ i m ộ t đườ ng th ẳ ng cho tr ướ c . Cho kh ố i đ a di ệ n (S) , ta tìm thi ế t di ệ n c ủ a (S) v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P) , (P) qua đ i ể m M cho tr ướ c và vuông góc v ớ i m ộ t đườ ng th ẳ ng d cho tr ướ c . - N ế u có hai đườ ng th ẳ ng c ắ t nhau hay chéo nhau a,b cùng vuông góc v ớ i d thì : (P) // a (hay ch ứ a a) (P) // b (hay ch ứ a b) Ph ươ ng pháp tìm thi ế t di ệ n lo ạ i này đ ã đượ c trình bày ở nh ữ ng bài trên . - D ự ng m ặ t ph ẳ ng (P) nh ư sau : D ự ng hai đườ ng th ẳ ng c ắ t nhau cùng vuông góc v ớ i d , trong đ ó có ít nh ấ t m ộ t đườ ng th ẳ ng qua M . m ặ t ph ẳ ng đượ c xác đị nh b ở i hai đườ ng th ẳ ng trên chính là (P) . Sau đ ó xác đị nh thi ế t di ệ n theo ph ươ ng pháp đ ã h ọ c . VI. Đườ ng vuông góc và đườ ng xiên. 1. D ự ng đườ ng th ẳ ng qua m ộ t đ i ể m A cho tr ướ c và vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (P) cho tr ướ c . Tính kho ả ng cách t ừ m ộ t đ i ể m đế n m ộ t m ặ t ph ẳ ng Ph ươ ng pháp : Th ự c hi ệ n các b ướ c sau : *Ch ọ n trong (P) m ộ t đườ ng th ẳ ng d, r ồ i d ự ng m ặ t ph ẳ ng (Q) qua A vuông góc v ớ i d (nên ch ọ n d sao cho (Q) d ễ d ự ng ). www.MATHVN.com www.mathvn.com 5 *Xác đị nh đườ ng th ẳ ng * D ự ng AH vuông góc v ớ i c t ạ i H - Đườ ng th ẳ ng AH là đườ ng th ẳ ng qua A vuông góc v ớ i (P) . - Độ dài c ủ a đ o ạ n AH là kho ả ng cách t ừ A đế n (P) Chú ý : - Tr ướ c khi ch ọ n d và d ự ng (Q) nên xét xem d và (Q) đ ã cío s ẵ n trên hình v ẽ ch ư a. - N ế u đ ã có s ẵ n đườ ng th ẳ ng m vuông góc v ớ i (P), khi đ ó ch ỉ c ầ n d ự ng Ax // m thì - N ế u AB // (P) thì d(A,(P)) = a(B, (P)) - N ế u AB c ắ t (P) t ạ i I thì d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB 2. Ứ ng d ụ ng c ủ a tr ụ c đườ ng tròn Đị nh ngh ĩ a : Đườ ng th ẳ ng vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng ch ứ a đườ ng tròn t ạ i tâm c ủ a đườ ng tròn đ ó . Ta có th ể dùngn tính ch ấ t c ủ a tr ụ c đườ ng tròn để ch ứ ng minh đườ ng th ẳ ng vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng và tính kho ả ng cách t ừ m ộ t đ i ể m đế n m ộ t m ặ t ph ẳ ng . - N ế u O là tâm đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABC và M là m ộ t đ i ể m cách đề u 3 đ i ể m A,B,C thì đườ ng th ẳ ng MO là tr ụ c c ủ a đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABC; khi đ ó MO vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABC) và MO = d(M,(ABC)) - N ế u MA=MB=MC và NA=NB=NC trong đ ó A,B,C là ba đ i ể m không th ẳ ng hàng thì đườ ng th ẳ ng MN là tr ụ c đườ ng tròn qua ba đ i ể m A,B,C; khi đ ó MN vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABC) t ạ i tâm O c ủ a đươ ng tròn qua ba đ i ể m A,B,C . 3. T ậ p h ợ p hình chi ế u c ủ a m ộ t đ i ể m c ố đị nh trên m ộ t đườ ng th ẳ ng di độ ng Ta th ườ ng g ặ p bài toán : Tìm t ậ p h ợ p hình chi ế u vuông góc M c ủ a đ i ể m c ố đị nh A trên đườ ng th ẳ ng d di độ ng trong m ặ t ph ẳ ng (P) c ố đị nh và luôn đ i qua đ i ể m c ố đị nh O . Ph ươ ng pháp : - D ự ng , theo đị nh lý ba đườ ng vuông góc ta có - Trong m ặ t ph ẳ ng (P), nên M thu ộ c đườ ng tròn đườ ng kính OH ch ứ a trong (P) . 4. Tìm t ậ p h ợ p hình chi ế u vuông góc c ủ a m ộ t đ i ể m c ố đị nh trên m ặ t ph ẳ ng di độ ng . Ta th ườ ng g ặ p bài toán : Tìm t ậ p h ợ p hình chi ế u vuông góc H c ủ a m ộ t đ i ể m c ố d ị nh A trên m ặ t ph ẳ ng (P) di độ ng luôn ch ứ a m ộ t đườ ng th ẳ ng d c ố đị nh . Ph ươ ng pháp : - Tìm m ặ t ph ẳ ng (Q) qua A vuông góc v ớ i d www.MATHVN.com www.mathvn.com 6 - Tìm - Chi ế u vuông góc A lên c, đ i ể m chi ế u là H thì H c ũ ng là hình chi ế u c ủ a A trên (P) . G ọ i E là giao đ i ể m c ủ a d v ớ i (Q). Trong m ặ t ph ẳ ng (Q), nên H thu ộ c đườ ng tròn đươ ng kính AE . 5. Góc gi ữ a đươ ng th ẳ ng và m ặ t ph ẳ ng Cách xác đị nh góc gi ữ a a và (P) . Ph ươ ng pháp : - Tìm giao đ i ể m O c ủ a a v ớ i (P) - Ch ọ n đ i ể m và d ự ng khi đ ó . VII. Hai m ặ t ph ẳ ng vuông góc 1. Nh ị di ệ n góc gi ữ a hai m ặ t ph ẳ ng Khi gi ả i các bài toán liên quan đế n s ố đ o nh ị di ệ n hay góc gi ữ a hai m ặ t ph ẳ ng thì ta th ườ ng xác đị nh góc ph ẳ ng c ủ a nh ị di ệ n. N ế u góc này ch ư a có s ẵ n trên hình ta có th ể d ự ng nó theo ph ươ ng pháp d ướ i đ ây . Ph ươ ng pháp : - Tìm c ạ nh c c ủ a nh ị di ệ n (giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng (P) và (Q) ch ứ a hai m ặ t c ủ a nh ị di ệ n ) - D ự ng m ộ t đ o ạ n th ẳ ng AB có hai đầ u mút ở trên hai m ặ t c ủ a nh ị di ệ n và vuông góc v ớ i m ộ t m ặ t c ủ a nh ị di ệ n . - Chi ế u vuông góc A ( hay B ) trên c thành H . ta đượ c là góc ph ẳ ng c ủ a nh ị di ệ n . Chú ý : - N ế u đ ã có m ộ t đườ ng th ẳ ng d c ắ t hai m ặ t c ủ a nh ị di ệ n t ạ i A, B và vuông góc v ớ i c ạ nh c c ủ a nh ị di ệ n thì ta có th ể d ự ng góc ph ẳ ng c ủ a nh ị di ệ n đ ó nh ư sau ; Chi ế u vuông góc A ( hay B hay m ộ t đ i ể m trên AB ) trên c thành H . Khi đ ó là góc ph ẳ ng c ủ a nh ị di ệ n . - N ế u hai đườ ng th ẳ ng a , b l ầ n l ượ t vuông góc v ớ i hai m ặ t ph ẳ ng (P), (Q) thì . - N ế u hai m ặ t c ủ a nh ị di ệ n l ầ n l ượ t ch ứ a hai tam giác cân MAB và NAB có chung đ áy AB thì ( I là trung đ i ể m c ủ a AB ) là góc ph ẳ ng c ủ a nh ị di ệ n đ ó . 2. M ặ t phân giác c ủ a nh ị di ệ n , cách xác đị nh m ặ t phân giác . Ph ươ ng pháp : www.MATHVN.com www.mathvn.com 7 C1 : - Tìm m ộ t góc ph ẳ ng c ủ a nh ị di ệ n . - M ặ t phân giác c ủ a nh ị di ệ n là m ặ t qua c ạ nh c c ủ a nh ị di ệ n và phân giác Ot c ủ a góc ph ẳ ng xOy . C2 : - Tìm m ộ t đ i ể m A cách đề u hai m ặ t c ủ a nh ị di ệ n . - M ặ t phân giác c ủ a nh ị di ệ n trên là m ặ t qua A và c ạ nh c c ủ a nh ị di ệ n . 3. M ặ t ph ẳ ng vuông góc Ch ứ ng minh đườ ng th ẳ ng vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng . * Ch ứ ng minh hai m ặ t ph ẳ ng vuông góc . Ph ươ ng pháp : - Cách 1 : Ch ứ ng minh m ặ t ph ẳ ng này ch ứ a m ộ t đườ ng th ẳ ng vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng kia . - Cách 2 : ch ứ ng minh góc gi ữ a hai m ặ t ph ẳ ng có s ố đ o b ằ ng 90 . * Ch ứ ng minh đườ ng th ẳ ng vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng . - Cách 1 : Ch ứ ng minh a vuông góc v ớ i hai đườ ng th ẳ ng c ắ t nhau ch ứ a trong (P) . - Cách 2 : Ch ứ ng minh a song song v ớ i đườ ng th ẳ ng b vuông góc v ớ i (P) . - Cách 3 : Ch ứ ng minh a là tr ụ c đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ABC v ớ i A, B, C thu ộ c (P) . - Cách 4 : S ử d ụ ng đị nh lý : " N ế u a ch ứ a trong m ộ t m ặ t ph ẳ ng (Q) vuông góc v ớ i (P) và a vuông góc v ớ i giao tuy ế n c ủ a (P) và (Q) thì a vuông góc v ớ i (P) " . - Cách 5 : S ử d ụ ng đị nh lý : " N ế u a là giao tuy ế n c ủ a hai m ặ t ph ẳ ng cùng vuông góc v ớ i (P) thì a vuông góc v ớ i (P) " . 4. Xác đị nh m ặ t ph ẳ ng ch ứ a m ộ t đườ ng th ẳ ng và vuông góc v ớ i m ộ t m ặ tph ẳ ng . Thi ế t di ệ n . Cho tr ướ c m ặ t ph ẳ ng (P) và đườ ng th ẳ ng a không vuông góc v ớ i (P) . Xác đị nh m ặ t ph ẳ ng (Q) ch ứ a a và vuông góc v ớ i (P) . Ph ươ ng pháp : - T ừ m ộ t đ i ể m trên a d ự ng b vuông góc v ớ i (P) thì (Q) là m ặ t ph ẳ ng (a, b) . Chú ý : N ế u có đườ ng th ẳ ng thì (Q) // d hay (Q) ch ứ a d . . www. MATHVN. com www. mathvn. com 1 TỔNG HỢP MỘT SỐ KINH NGIỆM GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN www. MATHVN. com I. Đườ ng th ẳ ng. ạ n b ở i các giao tuy ế n c ủ a (P) v ớ i các m ặ t hình chóp . www. MATHVN. com www. mathvn. com 2 Ph ươ ng pháp : Xác đị nh l ầ n l ượ t các giao tuy ế