Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng 47 Chơng 6. Uốn phẳng I. Khái niệm về uốn phẳng Mặt phẳng chứa các lực v mômen đợc gọi l mặt phẳng tải trọng (hình 6.1). Đờng tải trọng l giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng v MCN của thanh. Mặt phẳng quán tính chính trung tâm tạo nên bởi trục của thanh v một trục quán tính chính trung tâm của MCN. Một thanh chủ yếu chịu uốn gọi l dầm. Trục của dầm sau khi bị uốn cong vẫn nằm trong một mặt phẳng quán tính chính trung tâm thì sự uốn đó đợc gọi l uốn phẳng. Uốn phẳng chia ra lm hai loại: uốn thuần tuý v uốn ngang phẳng. Uốn thuần tuý phẳng : Trên MCN của dầm chỉ có một thnh phần mômen uốn M x (M y ) nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Uốn ngang phẳng: Trên MCN của nó có hai thnh phần nội lực l lực cắt Q y v mômen uốn M x (hoặc Q x v M y ). II. dầm chịu uốn phẳng thuần tuý 1. ứ ng suất trên MCN của dầm chịu uốn thuần tuý b) Thí nghiệm Quan sát một đoạn dầm chịu uốn phẳng thuần tuý có MCN hình chữ nhật trớc v sau khi biến dạng (hình 6.2). Hình 6.2 Hình 6.1 Trớc khi biến dạng Sau khi biến dạng Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng 48 Từ các thí nghiệm dầm chịu uốn phẳng thuần tuý một số giả thiết: Giả thiết về MCN phẳng : MCN của thanh trớc v sau biến dạng vẫn phẳng v vuông góc với trục của thanh. Giả thiết về các thớ dọc : trong suốt quá trình biến dạng các thớ dọc luôn song song với nhau v song song với trục thanh. Thớ không bị dãn, không bị co gọi l thớ trung ho. Các thớ trung ho tạo thnh mặt trung ho (lớp trung ho). Giao tuyến của mặt trung ho với MCN gọi l đờng trung ho. b) ứng suất trên MCN Xét một MCN no đó v chọn hệ trục toạ độ nh hình 6.1 với trục Ox l trục đờng trung ho. Trên MCN chỉ có ứng suất pháp, không có ứng suất tiếp vì ứng suất tiếp lm MCN sẽ bị vênh đi góc sẽ không còn vuông nữa. Theo định luật Húc: zz E= (a) Thớ trung ho không bị biến dạng: 12 12 OO z OO .= = Xét một thớ mn (hình 6.4): Trớc khi biến dạng ta có: mn z= = . Sau khi biến dạng, ta có: += )y(mn Độ dãn di tỷ đối của thớ mn bằng: z (y) y + == (b) Thay (b) vo (a), ta đợc: z y E= (c) Tại một MCN bán kính có trị số xác định, E l một hằng số. Vậy quy luật phân bố ứng suất pháp trên MCN l phẳng nh trên hình 6.5a. Giao tuyến của mặt phẳng ứng suất với MCN chính l trục trung ho (đờng trung Hình 6.4 z y Hình 6.3 Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng 49 ho). Rõ rng ứng suất pháp trên các đờng thẳng song song với trục trung ho có trị số nh nhau. Do đó ta có thể vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp nh trên hình 6.5b. Hình 6.5 Ta có quan hệ giữa mômen uốn M x v ứng suất pháp z : = = = 2 xz x FF EE MydFydFJ x x M1 EJ = (6.1) So sánh (c) v (6.2) ta suy ra công thức ứng suất pháp trên MCN: x z x M y J = (6.2) 2. Vị trí trục trung ho Uốn phẳng thuần tuý trên mọi MCN thnh phần lực dọc N z = 0. Ta có: = = zz F NdF0 z F E NydF0 = = (6.3) Đẳng thức trên đợc thoả mãn, khi: = = x F ydF S 0 (6.4) trong đó x S l mômen tĩnh của MCN đối với trục trung ho. Vậy trục trung ho l một trục trung tâm. 3. ứ ng suất kéo v nén lớn nhất z có trị số tuyệt đối lớn nhất tại các điểm mép trên hay mép dới. Nếu trục trung ho l đối xứng, ví dụ MCN l hình chữ nhật, hình tròn, chữ I, . kn zz max max = . Tổng quát ta viết: x z max x M W = ; x x max J W y = (6.5) MCN m đờng trung ho không chia đều chiều cao (hình 6.6) kn zmax zmax . Kí hiệu khoảng cách từ điểm xa nhất tới trục trung ho l kn max max y(y) ứng suất kéo (nén) lớn nhất: = = xx k zmax kk xmax x MM Jy W (6.6) y _ + Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng 50 = = xx n zmin nn xmax x MM Jy W (6.7) trong đó, đại lợng: () 3 x x max J Wm y = l mômen chống uốn của MCN đối với trục trung ho. Ví dụ, MCN hình chữ nhật 32 x x J2bhbh W h2 12h 6 == = , Hình tròn: 3 3 x x J d W0,1d d/2 32 == ; Hình vnh khăn: () () 3 434 x D W10,1D1 32 = ; d D = Điều kiện dầm có độ bền đều: kn z max z max = Nếu dầm lm bằng vật liệu dẻo thì MCN phải đối xứng qua đờng trung ho, nếu dầm lm bằng vật liệu giòn thì MCN phải thoả mãn điều kiện: [] [] k k max n n max y y = Biểu thức trên cho thấy: cùng MCN có diện tích F, nếu môđun chống uốn lớn thì cng tiết kiệm vật liệu ngời ta đa vo tỷ số không thứ nguyên x 3 W F = , đợc gọi l mômen chống uốn riêng của mặt cắt. cng lớn thì mức độ tiết kiệm vật liệu cng tốt. MCN hợp lý khi dầm chịu uốn l tính chất lm tiết kiệm nguyên vật liệu. Việc chế tạo các thép cán định hình có MCN hình chữ I, hình chữ C dựa trên tính chất hợp lý ny. 4. Điều kiện bền Dầm lm từ vật liệu dẻo vì n ch k ch = theo (6.5), ta có: [] x z max x M W = (6.13) Dầm lm từ vật liệu giòn, vì kn ch ch phải viết 2 điều kiện bền: [] k x zmax k k x M W = (6.14); [] n n x zmin z n max n x M W = = (6.15) Tìm vị trí MCN có ứng suất pháp lớn nhất. Nếu dầm có MCN không thay đổi v vật liệu của dầm l dẻo thì lấy ở MCN có mômen uốn lớn nhất. Trờng hợp dầm có MCN thay đổi ta phải lấy MCN có ứng suất pháp lớn nhất. Trờng hợp dầm lm bằng vật liệu giòn ta phải tìm MCN thoả mãn các biểu thức (6.14), (6.15) (kéo - nén). Hình 6.6 Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng 51 III. Uốn ngang phẳng Uốn ngang phẳng, trên MCN của thanh có ứng suất pháp do mômen uốn v ứng suất tiếp do lực ngang gây ra. Hình 6.7 mô tả hiện tợng uốn ngang (trục bị uốn cong), lm cho các MCN ban đầu không còn phẳng nữa sau khi bị uốn ngang. Hình 6.7 1. ứ ng suất pháp Trong uốn phẳng, lực cắt ứng suất tiếp. Các ứng suất tiếp phân bố theo chiều cao mặt cắt không đều. Do ảnh hởng đó, các biến dạng góc cũng có trị số thay đổi theo chiều cao của MCN lm cho mặt cắt sau khi bị uốn không còn phẳng nữa m hơi bị vênh theo chữ S (hình 6.8). Nếu lực cắt bằng hằng số thì MCN đều vênh nh nhau sự vênh không ảnh hởng đến độ dãn hoặc độ co công thức tính ứng suất pháp (6.2) vẫn còn đúng trong trờng hợp uốn ngang phẳng: x z x M y J = . 2. ứ ng suất tiếp ứng suất tiếp trên MCN: zx v zy (hình 6.9a). Theo định luật đối ứng ứng suất tiếp (mặt ngoi dầm không chịu ngoại lực theo phơng z) zx =0, có nghĩa tại điểm xét có = zy . Từ lý thuyết đn hồi giả thiết: Tất cả các ứng suất tiếp trên MCN đều // với lực cắt. ứng suất tiếp phân bố đều theo chiều rộng của MCN. Tách từ dầm một đoạn có chiều di dz (hình 6.9), sau đó bằng mặt cắt ABCD song song v cách mặt phẳng Oxz một khoảng y chia đoạn thanh ny thnh hai phần v xét phần không chứa gốc O (ABCDEFGH). Hình 6.8 Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng 52 Gọi 12 z z va l ứng suất pháp trên các mặt cắt 11 v 22, b(y) = AB v c F l diện tích của mặt cắt ABEF, b c chiều rộng của phần diện tích đó tại điểm cách trục trung ho y. Có thể thấy: + = = 12 xzx zz xx MMdM y; y JJ (a) Xét sự cân bằng phân tố phần dới, ta có: 12 cc zz z yzc FF FdFdFb.dz0= + = . (b) Thay (a) vo (b) v chú ý rằng = x y dM Q dz , ta có: == c y zy yz c x F Q.y dF Jb . = = c c yyx zy cc xx F QQS ydF J bJb (6.16) trong đó () c x Sy l mômen tĩnh của diện tích F c đối với trục trung ho x.Với mặt cắt l dải chữ nhật hẹp: c c x FS = (6.17) - toạ độ trọng tâm phần tiết diện bị cắt đối với trục trung ho. Công thức (6.16) đợc gọi l công thức Juravxky (1855). Công thức ny cho thấy: trị số ứng suất tiếp ứng với "lớp thớ dọc" bất kì cách trục trung ho x một khoảng y, tỉ lệ thuận với lực cắt Q y v mômen tĩnh S x (y) của phần MCN giới hạn bởi "lớp thớ" đó, nhng tỉ lệ nghịch với mômen quán tính J x của MCN v chiều rộng b(y) của "lớp thớ" đợc xét. x y Q y zy zx tp a) b) c) Hình 6.9 Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng 53 3. ứ ng suất tiếp của một số mặt cắt đơn giản a) MCN hình chữ nhật (hình 6.10): Ta có: 23 c2 c xx bh bh S y ;J ;b b 24 12 = = = 2 y zy 3Q 4y 1 2bh h = Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp trên MCN (hình 6.10): max tại các điểm trên trục trung ho: yy max 3Q 3Q 2bh 2F = = (6.18) b) MCN hình tròn () 4 32 c22c22 xx R2 J ;b2Ry;S Ry 43 === () y 22 zy 4 4Q Ry 3R = Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp trên MCN cho trên hình 6.11: yy max 2 4Q Q 4 3R 3F = = (6.19) c) MCN chữ I (thép cán) : 2 yx zy x QS dy/2 J.d = yx max zy x QS J.d = ( c xx y SSd.y. 2 = với S x l mômen tĩnh một nửa chữ I) Tại điểm A: 2 yx 1 x dh QS t 22 J.d = . Tại điểm ở đế: 2 yx 2 x dh QS t 22 J.b = Do d<b nên 1 > 2 nên khi kiểm tra bền chỉ chú ý đến max zy v 1 . Hình 6.10 Hình 6.11 Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng 54 4. Điều kiện bền Đối với dầm chịu uốn ngang phẳng, việc tìm vị trí điểm nguy hiểm v viết điều kiện bền có phức tạp hơn. Dựa vo biểu đồ phân bố ứng suất pháp v tiếp, dọc theo chiều cao ta thấy trên hình 6.13. Hình 6.13 ở các điểm ngoi mép xa trục trung ho nhất - điểm A (C): Điều kiện đối với vật dẻo: [] x z x M max W = (6.20) Vật liệu giòn: [] k x z k k x M max W = ; [] n x z n n x M max W = (6.21) Điểm trên trục trung ho - điểm O (hình 6.13): [ ] max max (6.22) Những điểm có cả ứng suất pháp v ứng suất tiếp - điểm B đa về ứng suất tơng đơng tđ . Vậy điều kiện đợc viết l: max tđ [] (6.23) Ví dụ theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất, ứng suất tính toán tơng đơng tại điểm B, có dạng: 22 td(B) z(B) zy(B) 4=+ (6.24) 5. Chọn kích thớc MCN, xác định tải trọng cho phép Khi chọn kích thớc của MCN hoặc xác định tải trọng cho phép, đầu tiên ta xuất phát từ điều kiện cơ bản (6.20), (6.21). Sau đó, nếu cần thiết ta mới kiểm tra điều kiện bền về trợt v điều kiện bền khi có cả ứng suất pháp z v ứng suất tiếp (ví dụ, mặt cắt chữ I). Tại chỗ tiếp giáp giữa lòng v đế ứng suất z v đều khá lớn v ngời ta cũng chỉ quan tâm khi trên mặt cắt đó giá trị mômen uốn, lực cắt đều rất lớn. 6. Ví dụ áp dụng Ví dụ 6.1: Một dầm bằng vật liệu có ứng suất pháp cho phép khi kéo [ ] 2 k 3,5kN / cm= v nén [ ] 2 n 11kN / cm= , chịu lực nh trên hình 6.14a. Kiểm tra độ bền của dầm. Bi giải: Trình tự các bớc thực hiện - Vẽ biểu đồ mômen uốn, cho trị số maxM x = 4,5kN.m Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng 55 Hình 6.14 - Tìm các đặc trng cần thiết của MCN (hình 6.14c), ta đợc các trị số: 4 x J 370cm= ; kn max max y 2, 67cm; y 7,33cm== - Tính các giá trị kn zz max ; max : [] [] kk 2 nn 2 xx zA max zB max kn xx MM max y 3, 25kN / cm ; max y 8,92kN / cm JJ == = == = Vậy dầm đủ bền. Ví dụ 6.2: Cho dầm chịu lực nh trên hình 6.15. Chọn đờng kính của dầm cho hai trờng hợp: dầm có MCN không đổi, dầm có ba bậc nh hình 6.15. Biết l=80 cm, P=5kN, [ ] 2 16kN / cm= , [ ] 2 8kN / cm= . Bi giải - Dầm có MCN không đổi. Theo điều kiện bền cơ bản (6.13), ta có: [ ] 3 xmax 0,1d M / trong đó: 2 xmax M5.80/410kN.cm== () 2 3 d 10 / 0,1.16 4cm= - Dầm ba bậc (hình 6.16). Trị số d 1 , d 2 đợc xác định theo công thức (6.20). Đối với đoạn giữa: 2 x max M 10 kNcm= Đối với đoạn hai đầu: x M 30.P / 2 30.5/ 2 75kNcm=== Từ điều kiện bền cơ bản (6.13), ta có: 2 33 11 22 10 75 0,1d d 4cm; 0,1.d d 3, 6cm 16 16 = = Với kích thớc đã chọn dầm lm việc đủ bền. 16 Hình 6.15 + + Hình 6.16 Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng 56 IV. Chuyển vị của dầm chịu uốn Khi dầm chịu uốn phẳng trục của dầm bị uốn cong gọi l đờng đn hồi (hình 6.17). Chuyển vị đứng của MCN tại K gọi l độ võng y(z) của dầm. Góc lập bởi tiếp tuyến với đờng đn hồi tại điểm K v trục của dầm trớc khi biến dạng gọi l góc xoay (z). 1. Phơng trình vi phân gần đúng của đờng đn hồi Từ (6.1) ta có bán kính cong của đờng đn hồi đợc xác định bởi công thức: x x M1 EJ = (a) Mặt khác ta có: () 3/2 2 1y 1y = + (b) Từ (a) v (b) suy ra: () x x M yz EJ = (6.28) Dấu - do mô men uốn ( 0 2 y do biến dạng l vô cùng bé) v độ lồi (lõm) của dầm l trái dấu nhau (hình 6.18). 2. Tính độ võng, góc xoay bằng phơng pháp tích phân không định hạn Muốn tính góc xoay v độ võng tại mặt cắt bất kỳ của dầm, ta lần lợt tích phân phơng trình (6.28) hai lần: () () x 1 x M yz z dz C EJ = = + (6.29) () x 12 x M y z dz dz C z C EJ = + + (6.30) Các hằng số tích phân C 1 v C 2 xác định từ các điều kiện biên tại các mặt cắt đặt liên kết v điều kiện liên tục của độ võng v góc xoay tại vị trí tiếp giáp giữa các đoạn dầm. Hình 6.17 Hình 6.18 . Điều kiện dầm có độ bền đều: kn z max z max = Nếu dầm lm bằng vật liệu dẻo thì MCN phải đối xứng qua đờng trung ho, nếu dầm lm bằng vật liệu giòn thì MCN. nguyên vật liệu. Việc chế tạo các thép cán định hình có MCN hình chữ I, hình chữ C dựa trên tính chất hợp lý ny. 4. Điều kiện bền Dầm lm từ vật liệu dẻo