Trươ ̀ ng THPT Quốc Tha ́ i GV Trang1 Chuyên đề 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ÔN TẬP PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM §1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. I. Mục đích yêu cầu - Nắm vững quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. - Rèn luyện các kỹ năng xét tính đơn điệu của hàm số thông thường : hàm bậc ba, trùng phương , nhất biến, hưu tỷ. - Ứng dụng sự đồng biến và nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức lượng giác. II. Chuẩn bị 1. GV: một số bài tập là thêm cho học sinh. 2. HS: làm trước bài tập ở nhà và tm tắt li l thuyết. A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I. Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên K 1. f đồng biến trên K nếu  x 1 , x 2 K mà x 1 <x 2 thì f(x 1 )<f(x 2 ). 2. f nghịch biến trên K nếu  x 1 , x 2 K mà x 1 <x 2 thì f(x 1 )>f(x 2 ). II. Định l: Cho hàm số f c đo hàm trên khoảng (a,b). 1. Nếu f’(x)>0 ;x(a,b)  y=f(x) đồng biến trên (a,b). 2. Nếu f’(x)<0 ;x(a,b) y=f(x) nghịch biến trên (a,b). Trong giả thiết nếu ta thay (a;b) bằng [a;b) [a;b] hay(a;b] thì phải bổ sung thêm hàm số liên tục trên [a;b) [a;b] hay(a;b]. Định lí vẫn còn đúng nếu dấu bằng chỉ xãy ra ti một số hữu hn điểm trên khoảng (a,b). B. CÁC BÀI TẬP: I. Xét tính đơn điệu của hàm số B1: Tìm tập xác định. B2: Tính y’. B3: Xét dấu y’ và kết luận tính đơn điệu của hàm số. Ví dụ: Xét tính đơn điệu của hàm số Giải: + Tập xác định D=R + ; + Bảng biến thiên: + Kết luận: hàm số tăng trên giảm trên (0;2). Trươ ̀ ng THPT Quốc Tha ́ i GV Trang2 Ví dụ : Tìm m để hàm số a) Nghịch biến trên R b) Đồng biến trên (0;3). Giải: a) + Tập xác định D=R + Để hàm số nghịch biến trên R thì b.Để hàm số đồng biến trên (0;3) thì do a âm khi đ Vậy thì hàm số đồng biến trên đon (0;3). Chú ý : Tam thức bậc hai II. Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình hay hệ phương trình: Giả sử cần giải phương trình f(x)=g(x) + Tìm tập xác định D của phương trình. + Nếu f(x) tăng trên D ; g(x) giảm hoặc hàm hằng trên D khi đó phương trình có nhiều nhất là một nghiệm. + Tìm nghiệm duy nhất của phương trình. Chú ý : N ếu f đồng biến trên D và f(x) > f(y) thì x > y Nếu f nghịch biến trên D và f(x) > f(y) thì x<y Nếu f đơn điệu trên D thì f(x)=f(y)  x=y. CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Cho hàm số 32 3 3(2 1) 1y x mx m x     . a) Khảo sát hàm số khi m=1. b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định. c) Định m để hàm số giảm trên (1,4). Bài 2: Cho hàm số 2 2y x x a) Tính y’’(1). b) Xét tính đơn điệu của hàm số. Bài 3: Cho hàm số 1 2 mx y xm    a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2. b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1. c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của n. Bài 4: Chứng minh rằng a) x > sinx x  (-π/2,π/2). b) 1 2 x R x ex      . c) x>1 ln x e x  . Trươ ̀ ng THPT Quốc Tha ́ i GV Trang3 Bài 5 : Chứng minh phương trình sau c đúng một nghiệm : 53 2 1 0x x x    Bi 6: a ) Cho hàm số 32 1 43 3 y x mx x    (m tham số) Tìm m để hàm số đồng biến trên R. Giải: y’= x 2 + 2mx + 4 Hàm số đồng biến trên R  '0y  , Rx  Δ 2 ' 4 0m    22m   b) Cho hàm số: xm y xm    (m tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến trên (1, ) Giải: TXĐ: D =  \{m} Hàm số nghịch biến trên (1, )  '0y  (1, )x   Ta có: '0y  (1, )x    0 (1, ) m m        0 1 m m       01m Bài 7. Đi ̣ nh m đê ̉ ha ̀ m số y=x 3 -3(m-1)x 2 +3(2m-3)x+2 đồng biến trên tâ ̣ p xa ́ c đi ̣ nh cu ̉ a no ́ . ĐS:m=2. Bài 8. Vơ ́ i gia ́ tri ̣ na ̀ o cu ̉ a a ha ̀ m số y=2+ax-x 3 nhịch biến trên R?. Đs: a 0 Bài 9: a ) Cho hàm số 32 1 43 3 y x mx x    (m tham số) Tìm m để hàm số đồng biến trên  . Giải: y’= x 2 + 2mx + 4 Hàm số đồng biến trên   '0y  x  2 ' 4 0m    22m   b) Cho hàm số: xm y xm    (m tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến trên (1, ) Giải: TXĐ: D =  \{m} Hàm số nghịch biến trên (1, )  '0y  (1, )x   Ta có: '0y  (1, )   0 (1, ) m m        0 1 m m       01m §2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU I. Mục tiêu. - Hiểu khái niệm cực đi, cực tiểu. biết phân biệt đươc khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. - Biết vận dụng các điều kiện đủ để hàm số c cực trị. Sử dụng thành tho các điều kiện đủ để tìm cực trị của hàm số. II. Chuẩn bị của GV và HS 1. GV: - kiê ̉ m tra xem la ̣ i viê ̣ c soa ̣ n ba ̀ i va ̀ la ̀ m bai tâ ̣ p cu ̉ a ho ̣ c sinh. Trươ ̀ ng THPT Quốc Tha ́ i GV Trang4 - Chuẩn bị trước bài tập làm thêm cho HS. 2. HS: Son trước l thuyết ở nhà trước bài học ở nhà. A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên D và điểm x 0 D .  Điểm x 0 được gọi là điểm cực đi của hàm số y= f(x) nếu tồn ti một khoảng (a;b) chứa điểm x 0 sao cho (a;b)  D và ta có f(x)<f(x 0 ) với mọi x(a;b)\{x 0 }.  Điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y= f(x) nếu tồn ti một khoảng (a;b) chứa điểm x 0 sao cho (a;b)  D và ta có f(x)>f(x 0 ) với mọi x(a;b)\{x 0 }. 2. Điều kiện để hàm số c cực trị: Định l1: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) c đo hàm ti x 0 (a,b) và đt cực trị ti điểm đ thì f’(x 0 ) = 0. Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) chứa điểm xo và c đo hàm trên các khoảng (a;xo) và (xo;b) khi đ a) Nếu f’(x 0 ) > 0 với mọi x(a ; x 0 ); f’(x) < 0 với mọi x(x 0 ; b) thì hàm số đt cực đi ti điểm x 0 . b) Nếu f’(x 0 ) < 0 với mọi x(a ; x 0 ); f’(x) > 0 với mọi x(x 0 ; b) thì hàm số đt cực tiểu ti điểm x 0 . Định lí 3. Giả sử hàm số y = f(x) c đo hàm cấp một trên (a;b) chứa điểm x 0 , f’(x 0 ) = 0 và f c đo hàm cấp hai khác 0 ti x o . a) Nếu f”(x 0 ) > 0 thì hàm số f đt cực đi ti điểm x 0 . b) Nếu f”(x 0 ) < 0 thì hàm số f đt cực tiểu ti điểm x 0 . B . CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Cho hàm số 42 2 2 1y x mx m     a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3. b) Tính diện tích hình phẳng giới hn bởi đồ thị (C) và trục hoành. c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số. Bài 2: Cho hàm số 2 24 2 x mx m y x      a) Khảo sát hàm số khi m=-1. b) Xác định m để hàm số c hai cực trị. Bài 3: Cho hàm số mmxxmxy 26)1(32 23  a)Khảo sát hàm số khi m=1 gọi đồ thị là (C).Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C). Trươ ̀ ng THPT Quốc Tha ́ i GV Trang5 b) Xác định m để hàm số c cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đ. c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;). Bài 4: Cho hàm số 22 21x kx k y xk      với tham số k. 1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1 2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) c hệ số gc a. Biện luận theo a số giao điểm của (C) và (d). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A. 3)Chứng minh với mọi k đồ thị luôn c cực đi, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0. Bài 5: Định m để hàm số 3 2 2 1 ( 1) 1 3 y x mx m m x      đt cực tiểu ti x=1. Bài 6: Cho hàm số 2 1 x x m y x    Xác định m sao cho hàm số. a) C cực trị. b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau. Bài 7: Cho hàm số 32 ( ) 3x 3 x+3m-4y f x x m     a) Tìm m để hàm số c hai điểm cực trị lớn hơn m. b) Chứng minh rằng tiếp tuyến ti điểm uốn c hệ số gc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số Bài 8: Cho hàm số 3 2 2 1 ( 1) 1 3 y x mx m m x      Tìm m để hàm số đt cực đi ti x = 1 Giải: TXĐ: D =  . 22 ' 2 1y x mx m m     " 2 2y x m Hàm số đt cực đi ti x =1  '(1) 0 "(1) 0 y y       2 3 2 0 2 2 0 mm m         1, 2 1 mm m       m = 2 Kết luận: m = 2 thì hàm số đt cực đi ti x = 1. Bài 9: Cho hàm số: 32 6 3( 2) 6y x x m x m      . Xác định m sao cho: a) Hàm số c cực trị b) Hàm số c 2 giá trị cực trị cùng dấu. Bài 10:Định tham số m để hàm số y = 32 1 ( 6) 1 3 x mx m x    c cực đi và cực tiểu. Kết quả: m < - 2 hay m > 3 Bài 11: cho ha ̀ m số y=3mx 3 -3mx 2 +3x-1. Đi ̣ nh m đê ̉ ha ̀ m số c hai cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đ. Đs: m<0 hoă ̣ c m>1; đươ ̀ ng thă ̉ ng qua hai điê ̉ m cư ̣ c tri ̣ la ̀ y=2(1-m)x. Bài 12: Cho 32 69y x x x   (C) a) Xác định tọa độ các điểm cực đi, cực tiểu của đồ thị (C). b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = x + m 2 – m đi qua trung điểm đon thẳng nối hai điểm cực đi và cực tiểu của đồ thị (C). Trươ ̀ ng THPT Quốc Tha ́ i GV Trang6 §3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT I. Mục tiêu - Hiểu được k/n và phương pháp tính GTLN và GTNN của một hàm số c đo hàm trên một đon, trên một khoảng. - Tính được GTLN và GTNN của các hàm số thường gặp. II. Chuẩn bị của GV và HS 1. GV: - Hê ̣ thống la ̣ i ly ́ thuyết cho ho ̣ c sinh. - BT bổ sung cho học sinh. 2. HS: về nhà học bài và xem trước bài GTLN và GTNN III. Nô ̣ i dung ôn tâ ̣ p A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu: 00 : ( ) : ( ) x D f x M x D f x M       (ký hiệu M=maxf(x) ) Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu: 00 : ( ) : ( ) x D f x m x D f x m       (ký hiệu m=minf(x) ) 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b) + Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b) + Dựa vào bảng biến thiên suy ra GTNN -GTLN 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b]. + Tìm các điểm tới hn x 1 ,x 2 , ., x n của f(x) trên [a,b]. + Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), ., f(x n ), f(b). + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên [ , ] [ , ] max ( ) ; min ( ) ab ab M f x m f x B. CÁC BÀI TẬP: I. Tìm GTLN-GTNN của hm số: +Xét xem tìm GTLN GTNN trên đoạn[a;b] hay không phải đoạn. + Thực hiện cách tìm tương ứng. Ta c thể tìm trực tiếp hay quy về một hàm số khác đơn giản hơn. Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất hàm số 32 ( ) 3 9 3f x x x x    trên đon   2;2 Ta có: 2 '( ) 3 6 9f x x x   Do đó: f’(x) = 0  3 '( ) 0 1 x fx x       Ta có: ( 2) 25; (2) 5; (1) 2f f f     Trươ ̀ ng THPT Quốc Tha ́ i GV Trang7 Suy ra: x [ 2;2] max f(x) f( 2) 25   x [ 2;2] min f(x) f(1) 2     Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Giải : ta c Đặt khi đ hàm số trở thành Vậy maxy=5 1/16 min y =7/2 II. Tìm Max Min để chứng minh bất đẳng thức: Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức f(x)<g(x) + Xét hàm số h(x)=f(x)-g(x) trên tập xác định D của bất đẳng thức + Tìm Maxh(x)(hay Min(h(x)) ) trên D + Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ : Chứng minh rằng Giải : Xét hàm số +Tập xác định D=R. + +Bảng biến thiên: Vậy min f(x)=0 hay Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) 32 2 3 1y x x   trên [-2;-1/2] ; [1,3). b) 2 4y x x   . c) 3 4 2sinx- sin 3 yx trên đon [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ) d) 2 os2x+4sinxyc x[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ) e) 2 32y x x   trên đon [-10,10]. Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 y= x 1 3x 6x 9      trên đon[-1,3]. Tr ng THPT Quục Tha i GV Trang8 Bi 3: Chng minh rng 2 2 63 2 72 x xx vi mi giỏ tr x. Bi 4.Tỡm GTLN, GTNN ca cỏc hm s 4 3 2 ) 3 2 9 trên [-2;2];a y x x x x 2 ) (3 ) 1 trên [0;2];d y x x 2 b)y=3x+ 10;x 2 ) ( ) trên [-1;0]. x e y f x x e 2 ) ( 2) 4;c y x x Gii: [ 2;2] [ 2;2] [0;2] ) max 14 tại 2;min 7 tạ i 1; )TXĐ : 10, 10 ; max 10 tại 3;min 3 10 tạ i 10; )TXĐ : 2;2 ; max 3 3 tại 1;min 0 tại 2; )Xét hàm số trên [0;2] max xx x D x D x D x D x a y x y x bD y x y x cD y x y x d y [0;2] 2 [-1;0] [-1;0] 3 tại 0;min 5 tại 2; 1 ) max ln 2- tại ln 2;min 1 2 x xx x y x e y x y e Bi 5. Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s y = f(x) = x - ln x tr ờn [1;3] bi 6.Tỡm GTLN, GTNN ca hm s y = 2 2 2 x xx trờn on [-1 ; 3]. Bi 7.Tỡm GTLN, GTNN cuỷa haứm soỏ: 2 2 4siny cos x x , x [0; 2 ]. Đ5. TIM CN A. CC KIN THC C BN: 1) Tim cn ng: ng thng x=x 0 l tim cõn ng ca th hm s nu ớt nht mt trong cỏc iu kin sau c tha mn: 2) Tim cn ngang: ng thng y=x 0 l tim cõn ngang ca th hm s nu: 3) Tim cn xiờn: Chng trỡnh Nõng Cao ng thng l tim cõn xiờn ca th hm s nu: 4) Cỏch tỡm cỏc h s a, b ca tim cn xiờn y=ax+b. Trươ ̀ ng THPT Quốc Tha ́ i GV Trang9 Nếu a=0 thì ta c tiệm cận ngang. B. CÁC BÀI TẬP: Bài 1: a) Khảo sát hàm số . 2 45 2 xx y x      b) Xác định m để đồ thị hàm số 22 ( 4) 4 5 2 x m x m m y xm         c các tiệm cận trùng với các tiệm cận của đồ thị hàm số khảo sát trên. (TN-THPT 02-03/3đ) Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số a) (hàm số c một tiệm cận ngang và hai tiệm cận đứng) b) (hàm số c hai tiệm cận ngang và một tiêm cận đứng) c) 3 2 1 1 xx y x    d) 2 31 12 xx y x    e) 2 2 1 3 2 5 xx y xx    TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN : Trong hệ trục Oxy cho (C): y=f(x) và I(a;b).Tịnh tiến hệ Oxy theo OI  được hệ trục IXY theo công thức x X a y Y b      thì trong hệ trục IXY ta c     : ( )C Y g X f X a b    1. Đồ thị (C) có tâm đối xứng I(a;b) Cách 1 :  M(x 0 ;y 0 )  (C)  y 0 = f(x 0 ) Gọi N(x 1 ;y 1 ) l điểm đối xứng của M qua I             01 10 01 01 2 2 2 2 yby xax byy axx Ta chứng minh y 1 = f(x 1 ) Cách 2 : Bằng phương pháp đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY theo công thức :      bYy aXx biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số lẻ ( g(–X) = – g(X) ) 2; Đồ thị (C) có trục đối xứng    : x = a Cách 1 :  M(x 0 ;y 0 ) 00 ()( xfyC  ) Gọi N(x 1 ;y 1 ) là điểm đối xứng của M qua                01 10 01 01 22 yy xax yy axx Ta chứng minh y 1 = f(x 1 ) Cách 2 : Bằng phương pháp đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY theo công thức : Trươ ̀ ng THPT Quốc Tha ́ i GV Trang10      Yy aXx biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số chẵn ( Với I(a;0) ) ( g(– X) = g(X) ) . ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ÔN TẬP PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM §1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. I. Mục đích yêu cầu - Nắm vững quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. - Rèn luyện. m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1. c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của n. Bài 4: Chứng minh