1 3D Transformations 3D Transformations Các phép biến đổi 3 chiều Các phép biến đổi 3 chiều 2 Biểu diễn điểm trong không gian 3D Biểu diễn điểm trong không gian 3D • Ma trận tổng quát trong không gian 3D được biểu diễn : Ma trận tổng quát trong không gian 3D được biểu diễn : • Biểu diễn dưới dạng ma trận thuần nhất Biểu diễn dưới dạng ma trận thuần nhất             = srqp njfc mieb gda T 1 ][             = 1000 ][ z y x thfc tieb tgda T 3 Translation - Tịnh tiến Translation - Tịnh tiến (x’,y’,z’) (x’,y’,z’) (x,y,z) (x,y,z) T=(t T=(t x x ,t ,t y y ,t ,t z z ) ) z y x tzz tyy txx += += += ' ' ' 4 Translation - Tịnh tiến Translation - Tịnh tiến dạng ma trận thuần nhất dạng ma trận thuần nhất             ⋅             =             11000 100 010 001 1 ' ' ' z y x t t t z y x z y x 5 Scaling – Biến đổi tỉ lệ Scaling – Biến đổi tỉ lệ             ⋅             =             11000 000 000 000 1 ' ' ' z y x s s s z y x z y x      = = = z y x szz syy sxx .' .' .' 6 Shearing – phép biến dạng Shearing – phép biến dạng      ++= ++= ++= zfycxz izybxy gzydxx ' ' '             ×             =             11000 01 01 01 1 ' ' ' z y x fc ib gd z y x - Tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 - Các phần tử chiếu và tịnh tiến bằng 0 7 Phép lấy đối xứng Phép lấy đối xứng 8 Rotation - Quay Rotation - Quay Trong 2D, phép quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Trong 2D, phép quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ trong mặt phẳng Oxy. trong mặt phẳng Oxy. Trong 3D, chúng ta có thể quay trên nhiều mặt phẳng: Trong 3D, chúng ta có thể quay trên nhiều mặt phẳng: Oxy, Oxy, Oxz, Oxz, Oyz, Oyz, Mặt phẳng bất kì. Mặt phẳng bất kì. Chúng ta có thể xác định mặt phẳng quay bằng vetơ vuông Chúng ta có thể xác định mặt phẳng quay bằng vetơ vuông góc với nó. góc với nó. Trục z, Trục z, Trục y, Trục y, Trục x, Trục x, Trục bất kì. Trục bất kì. 9 Quay quanh trục tọa độ Quay quanh trục tọa độ             ⋅             − =             11000 0100 00cossin 00sincos 1 ' ' ' z y x z y x θθ θθ z x y θ θ O P(x,y,z) P’(x’,y’,z’) P 1 (x,y,0) P 1 ’(x’,y’,0) Quay quanh trục oz 10 Quay quanh trục tọa độ Quay quanh trục tọa độ y z x θ θ O P(x,y,z) P’(x’,y’,z’) P 1 (x,0,z) P 1 ’(x’,0, z’) Quay quanh trục oy             ⋅             − =             11000 0cos0sin 0010 0sin0cos 1 ' ' ' z y x z y x θθ θθ [...]... R(rx, ry, rz, θ ) Phép quay xác định bằng một vetơ và góc quay: Trục quay đi qua gốc tọa độ và một điểm r Phép quay ngược chiều kim đồng hồ theo trục quay 12 Các bước thực hiện phép quay B1 Tịnh tiến trục quay sao cho trục quay đi qua gốc tọa độ B2 Quay trục quay để nó nằm trên một trục tọa độ (Oz) B3 Áp dụng phép quay góc θ theo trục tọa độ B4 Áp dụng phép quay ngược để trở về trục ban đầu B5 Tịnh tiến... oz 19 Bước 4 Quay ngược trở về trục ban đầu Áp dụng phép quay ngược trở lại vị trí ban đầu ta được Rx-1(α) và Ry-1(β) 0 1 0 c / d Rx−1 (α ) =  0 − b / d  0 0 0 b/d c/d 0 0 0  0  1 d 0 Ry−1 ( β ) =  − a  0 20 0 1 0 0 a 0 d 0 0 0  0  1 Bước 5 Quay ngược trở về trục ban đầu Tịnh tiến ngược trục AB trở lại vị trí ban đầu ta có ma trận phép biến đổi như sau: 1 0 T −1 =  0  0... u' k d Với d là chiều dài của vector u’ d = b2 + c2 Tương tự ta tính được sin α b sin α = d Khi đó ma trận phép quay như sau: 0 1 0 c / d Rx (α ) =  0 b / d  0 0 0 −b/d c/d 0 0 0  0  1 Quay u quanh trục x sao cho nó nằm trong mặt phẳng xz 17 Bước 2 Tiếp theo xác định ma trận chuyển đổi của vector đơn vị ngược chiều kim đồng hồ quanh trục y trong mặt phẳng xz để nó trùng với chiều dương của... trong mặt phẳng xz để nó trùng với chiều dương của trục oz: u ' '.k cos β = =d u' ' k Tương tự ta tính được sin β sin β = −a Khi đó ma trận phép quay như sau: d 0 Ry ( β ) =  a  0 0 −a 1 0 0 d 0 0 0 0  0  1 Quay u’ quanh trục y sao cho nó nằm trùng với chiều dương của oz 18 Bước 3 Quay quanh trục z một góc θ  x'  cos θ  y '  sin θ  =  z'  0    1  0 − sin θ cos θ 0 0 z 0... θ theo trục tọa độ B4 Áp dụng phép quay ngược để trở về trục ban đầu B5 Tịnh tiến ngược trục quay về vị trí ban đầu 13 Phân tích - Xác định Vector trục quay V = B-A = (xb-xa, yb-ya, zb-za) - Xác định Vector đơn vị u dọc theo trục quay như sau: V u= = (a, b, c) V Với a, b, c là hướng Cosine của các trục quay (x a= b − xa ) V (y b= b − ya ) V (z c= 14 b − za ) V Bước 1 Tịnh tiến trục quay sao cho đi qua... 0 1 0 0 1 0 0 xa  ya   za   1 21 Tổng hợp Kết quả của phép quay quanh trục bất kì P' = T × Rx (α ) × Ry ( β ) × Rz (θ ) × Ry ( β ) × Rx (α ) × T −1 −1 22 −1 Quay quanh trục bất kì Khi trục quay không đi qua gốc tọa độ : trục quay được xác định bởi 2 điểm Tịnh tiến về gốc tọa độ Quay quanh trục qua gốc tọa độ Tịnh tiến ngược lại vị trí ban đầu 23 . 1 3D Transformations 3D Transformations Các phép biến đổi 3 chiều Các phép biến đổi 3 chiều 2 Biểu diễn điểm trong không gian 3D Biểu diễn. Phép quay ngược chiều kim đồng hồ theo trục quay Phép quay ngược chiều kim đồng hồ theo trục quay 13 Các bước thực hiện phép quay Các bước thực hiện phép