www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 1 NHÁY A 2008. Thời gian làm bài : 180 phút Câu 1 (2 điểm ). Cho hàm số : y = 22 x +(m +2) x x mm m + + (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 b) Tìm m để hai tiệm cận của đồ thị hợp với nhau một góc 45 0 . Câu 2 (2 điểm ) : 1. Giải phương trình : 4 9 2sin( x) 4 π + = 11 5 cos x cos(x - ) 2 π + 2. Giải hệ : () 22323 422 x y xy x y xy 37 x 2 x y y 1 x 17 0 ⎧ ++ + + = ⎪ ⎨ ++−+= ⎪ ⎩ Câu 3 (1 điểm ). Tính tích phân I = 2 /2 /3 cot x x cos 2x d π π ∫ Câu 4 (1 điểm ). Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3. Biết A’A = A’B = A’C = 2a a) Tính thể tích lăng trụ . b) Tính góc của mặt bên BCC’B’ hợp với đáy. Câu 5 (1 điểm ). Tìm các giá trị của tham số để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt ; 4 4 2x + 2 2x 2 2 5 x 2 5 x m+ ++−+−= Câu 6 (3 điểm ). 1. Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình chính tắc của hypebol biết 2 tiệm cận hợp nhau một góc 60 0 và đường chéo của hình chữ nhật cơ sở có độ dài là 42 . 2. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – y – z – 7 = 0 và điểm A(1 ; 2 ; - 1) a) Tìm toạ độ điểm H, hình chiếu của A lên (P). b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, qua giao điểm B của (P) và Oz và hợp với (P) một góc nhỏ nhất. 3. Giải bất phương trình : 22 2x 3 x 2 log (2x + x 6) log (2 x 3) 4 −+ − +−≥ GIẢI VẮN TẮT Câu 1. b) y = mx + 2 - x m m+ . Với mọi m ≠ 0, đồ thị có tiệm cận xiên y = mx + 2 và tiệm cận đứng x = - m vuông góc O x. YCBT Ù tiệm cận xiên hợp với Ox một góc 45 Ù m = o 1± . Câu 2. www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 2 1. 11 4(sin x cos x) = 4(sin x cos x )sin x cos x sin x cos x cos x sin x ++<=>+ = + Ù sinx + cos x = 0 hay sin2x = ½. 2. 2222 22 2 x x + x (x +y) =37 (x + y) - x + 17=0 yy y y ⎧ ++ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Đặt u = x 2 + y và v = x y 2 , ta có : 2 37 17 0 uvuv uv ++ = ⎧ ⎨ − += ⎩ Thế v = u 2 + 17 : u + u 2 + 17 + u(u 2 + 17) = 37 Ù u 3 + u 2 + 18u - 20 = 0 Ù (u - 1)(u 2 + 2u + 20) = 0 Ù u = 1 và v = 18. Suy ra ta có hệ : x 2 + y = 1 , x y 2 = 18 => x (1 – x 2 ) 2 = 18 Ù x 5 – 2 x 3 + x – 18 = 0 Ù (x – 2)(x 4 + 2 x 3 + 2x 2 + 4x + 9) = 0 Ù x = 2 (vì x > 0 do x = 18/y 2 nên x 4 + 2 x 3 + 2x 2 + 4x + 9 > 0) Suy ra : y = - 3. Câu 3. 22 /2 /2 22 /3 /3 2 cot x cot x 1 x . . 1 1 2sin x sin x (2) sin x x I dd ππ ππ == − − ∫∫ Đặt t = cot x : dt = - 2 22 11 x ; 1 cot x sin x sin x d =+ ; I = 2 3/3 2 0 1 t dt t − ∫ . . . Câu 4. A B C A’ B’ C’ H H’ K I K I a) A’A = A’B = A’C nên hình chiếu H của A’ lên (ABC) là tâm của đường tròn (ABC) => H là trung điểm của BC => A’H 2 = AA’ 2 – AH 2 = 4a 2 – a 2 = 3a 2 => V = 3 13 .' 3 3 22 ABC a SAA aaa== b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ H’: K là đối xứng của A qua H. Kẻ HI vuông góc BC => H’IK là góc của mặt bên BCC’B’ và đáy lăng trụ . IK = chiều cao kẻ từ A trong tam giác ABC = 3 2 a , H’K = A’H = 3a . tanH’IK = ' 2 HK IK = Câu 5. Đk : - 1 ≤ x ≤ 5. Gọi f(x ) là hàm số ở VT, ta có : f’(x ) = () 33 4 4 11 1 1 1 . 2 2x 2 5 x (2x+2) 5x ⎡⎤ ⎡⎤ ⎢⎥ −+− ⎢⎥ ⎢⎥ +− ⎣⎦ − ⎣⎦ • 2x + 2 > 5 – x Ù x > 1 thì f’(x ) < 0 • 2x + 2 < 5 – x Ù x < 1 thì f’(x ) > 0 www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 3 Vậy f’(x ) = 0 Ù 2x + 2 = 5 – x Ù x = 1 Ta có BBT: x - 1 1 5 f’ + 0 - 32 6+ f 2( 4 66)+ 4 12 12+ Phương trình có 2 nghiệm Ù Câu 6. 1. 22 22 x (): 1 y H ab −= A B H P K xx Hai tiệm cận là bx + ay = 0 và bx – ay = 0 Ta có : cos30 22 0 2||= 22 ||1 2 ba ab − == + 22 ba − <=> 22 ab+ Ù b hay 2 3 2 a = 22 3ab= Đường chéo của hình chữ nhật cơ sở 4 Ù 2 22 8ab+ = Suy ra : ( a ) hay ( 2 2;= 2 6b = 2 6; a = 2 2b = ) 2. a) H = (1 + 2t ; 2 – t ; - 1 – t) => 2(1 + 2t) – (2 – t) – (- 1 – t) – 7 = 0 Ù 6t + 2 – 2 + 1 – 7 = 0 Ù t = 1 => H = ( 3 ; 1 ; - 2) b) B = (0 ; 0 ; - 7) . Mặt phẳng (Q) qua AB cắt (P) theo giao tuyến Bx . Kẻ HK vuông góc Bx thì góc AKH là góc của (Q) và (P). Ta có : cotAKH = HK/AH. Vì AH không đổi nên góc (P, Q) nhỏ nhất khi cotAKH lớn nhất, tức khi HK lớn nhất là bằng BH. Khi đó Bx vuông góc với mp(ABH) và (Q) là mp(ABx) BA JJJG = (1 , 2, 6) ) AH JJJG = (2 ; - 1; - 1) => n G (ABH) = (4 ; 13; - 5) => n G (Q) = [ n G (ABH) , BA JJJG ] = ( - 88; 29; 5) => (Q) : - 88 x + 29y + 5z + 35 = 0 Cách 2 : PT (Q) qua B : ax + by + cz + 7c = 0 Qua A(1; 2; - 1) : a + 2b + 6c = 0 Gọi α là góc (P) và (Q) : : cosα = 222 |2 | 6 abc abc − − + + Thế a = - 2b – 6c : 22 |5 13| co s 6 5 37 24 bc bcbc α −− = ++ * c = 0: cosα = 55 6 6. 5 = * c ≠ 0 : cosα = 2 |5 13| 6 5 24 37 k kk + ++ ( k = b/c) = 1 .( 6 ) f k www.saosangsong.com.vn Năm học 2009-2010 4 f(k) = 2 2 (5 13) 5243 k kk + ++ 7 => f’(k) = 22 (5 13)( 10 58) (5 24 37) kk kk +−+ ++ f’(k) = 0 Ù k = - 13/5 hay k = 58/10 = 29/5 = b/c Chon c = 5 : b = 29 và a = - 58 – 30 = - 88. 3. 22 2x 3 x 2 log (2x + x 6) log (2 x 3) 4 −+ −+ − ≥ Đk : x > 3/2 , ≠ 2 . PT Ù log 2 x – 3 ( 2 x – 3)(x + 2) + log x + 2 (2 x – 3) 2 ≥ 4 Đặt t = : Ù 1 + 1/ t + 2 t ≥ 4 x+2 log (2x - 3) Ù 2 123 124 tt t tt −+ ++ ≥<=> ≥ 1 0 Ù t ≥ 1 hay 0 < t ≤ 1/2 Ù log x + 2 (2x - 3) ≥ 1 hay 0 < log x + 2 (2x - 3) ≤ ½ (Chú ý x + 2 > 1 vì x > 3/2) Ù 2 x – 3 ≥ x + 2 hay 1 < 2 x – 3 ≤ x 2+ Ù x > 5 hay 2 < x < 13 57 8 + . A H 2 = AA’ 2 – AH 2 = 4a 2 – a 2 = 3a 2 => V = 3 13 .' 3 3 22 ABC a SAA aaa== b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ H’: K là đối xứng c a A qua H. Kẻ. hình lăng trụ ABC. A B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3. Biết A A = A B = A C = 2a a) Tính thể tích lăng trụ . b) Tính góc c a mặt bên BCC’B’