Đang tải... (xem toàn văn)
Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov dạng Razumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân và hệ phương trình có xung.
Mục lục1. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình vi phân hàm 11.1.Kiến thức chuẩn bị .11.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1.2. Ba định lý của Lyapunov về sự ổn định. . . . . . . . . . .41.1.3. Tiêu chuẩn so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.2. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình vi phân hàm . . .81.2.1. Các định lý về sự ổn định nghiệm của ph-ơng trình viphânhàm .122. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình sai phân và ph-ơngtrình động lực trên thang thời gian 172.1. Ph-ơng trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.1.1. Sai phân hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172.1.2. Ph-ơng trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . .182.1.3. Hệ ph-ơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất . . . . .202.1.4. Hệ ph-ơng trình sai phân tuyến tính không thuần nhấtvà công thức biến thiên hằng số Lagrăng . . . . . . . . .212.1.5. Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . .232.1.6. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân autonomous242.1.7. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân không au-tonomous .26i 2.1.8. Sự ổn định của mô hình rời rạc trong hệ động lực quần thể292.1.9. Tiêu chuẩn so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322.2. Ph-ơng trình động lực trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . .342.2.1. Các khái niệm cơ bản về thang thời gian . . . . . . . . .342.2.2. Đạo hàm và tích phân trên thang thời gian . . . . . . . .352.2.3. Các kết quả về tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . .37ii Lời mở đầuViệc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của ph-ơng trình vi phân và ph-ơngtrình sai phân đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm vì nó có nhiều ứng dụng trong cácngành khoa học kỹ thuật, đặc biệt là trong các mô hình chuyển động cơ học vàcác mô hình sinh thái. Tuy nhiên để mở rộng phạm vi ứng dụng của nó nhiềuh-ớng nghiên cứu mới của lý thuyết ổn định đã xuất hiện và nhận đ-ợc nhiềukết quả thú vị về cả lý thuyết và ứng dụng.Trong luận văn này chúng tôi cố gắng trình bày lại một số kết quả củaph-ơng pháp hàm Lyapunov cho các h-ớng nghiên cứu cơ bản mà gần đây đ-ợcnhiều ng-ời quan tâm là tính ổn định nghiệm của ph-ơng trình vi phân hàm(xem [3], [9], [14], [16]) và tính ổn định nghiệm của ph-ơng trình sai phân(xem [3], [7]).Trong phần cuối của luận văn chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả về sự ổnđịnh nghiệm của ph-ơng trình động lực trên thang thời gian. Trong đó ngoàiviệc chứng minh chi tiết các điều kiện đủ về tính ổn định mũ của hệ ph-ơngtrình động lực tuyến tính có nhiễu trên thang thời gian, chúng tôi đã cố gắngdành công sức vào việc xây dựng các ví dụ cụ thể. Trên cơ sở các ví dụ nàychúng tôi thấy rằng các kết quả nhận đ-ợc có thể áp dụng cho các mô hìnhquần thể sinh học mà hiện nay đang đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm.Nội dung của luận văn gồm có hai ch-ơng: trong ch-ơng 1, ngoài mộtsố kiến thức chuẩn bị về khái niệm và trình bày tóm tắt các kết quả cổ điển củaph-ơng pháp hàm Lyapunov cho hệ ph-ơng trình vi phân trongRn, chúng tôiđã trình bày lại các định lý cơ bản của ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơngtrình vi phân hàm.Ch-ơng 2 dành cho việc trình bày ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trìnhsai phân và ph-ơng trình động lực trên thang thời gian. Trong đó có sự đónggóp của tác giả vào quá trình chứng minh các kết quả mới và xây dựng ví dụ.Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo h-ớng dẫnPGS.TS Đặng Đình Châu đã tận tình h-ớng dẫn tác giả trong suốt quá trình làmluận văn. Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Giải tích trongiii khoa Toán - Cơ - Tin đã nhiệt tình giảng dạy và tổ chức các buổi xemina đầybổ ích, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã quan tâm, tạo điều kiệnthuận lợi và động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2009Tác giảNguyễn Ngọc Huyiv Bảng ký hiệuN := Tập hợp các số nguyên không âmR := Tập hợp các số thựcR+:= Tập hợp các số thực d-ơngRn:= Không gian véc tơ thực n chiềuCIP := Tập các hàm liên tục, tăng và nhận giá trị d-ơngMn(R):= Tập hợp các ma trận cấp n ì nT := Thang thời gian(t):= Toán tử nhảy tiến(t):= Toán tử nhảy lùià(t):= Hàm hạtf(t):= Đạo hàm của f tại tv Ch-ơng 1.Ph-ơng pháp hàm Lyapunov choph-ơng trình vi phân hàm1.1. Kiến thức chuẩn bị1.1.1. Các khái niệm cơ bảnGiả sử cho hệ vi phân phi tuyến thực:dydx= Y (t, y) (1.1.1)Trong đóY C(0,1)ty()và=[a, )ìG(G là tập mở trong không gian EuclidethựcnchiềuRn). Giả sửlà miền tồn tại duy nhất nghiệm, tức là tại mỗiđiểm(t0,y0) tồn tại và duy nhất nghiệmy = y(t, t0,y0)của hệ (1.1.1) thoảmãn điều kiện ban đầuy(t, t0,y0)=y0. Trong ch-ơng này ta giới hạn chỉ xétcác nghiệm thực.Giả sử = (t)(t0: t0>a) là nghiệm của hệ (1.1.1) (chuyển động khôngbị nhiễu) mà ta phải nghiên cứu tính ổn định của nó. Ký hiệuUH((t)) = {t0 t<; ||y (t)|| <H}.Ta đặt:x = y (t), (1.1.2)1 tứcxlà độ lệch của nghiệmyvới nghiệm(t).Vì:. Y (t, (t))nên ta nhận đ-ợc ph-ơng trình vi phân đối vớix:dxdt= X(t, x), (1.1.3)trong đó:X(t, x)=[Y (t, x + (t) Y (t, (t))] C(0,1)tx(Z),Z= {a<t<, x <H},hơn nữa rõ ràng:X(t, 0) 0. Do đó, hệ (1.1.3) có nghiệm tầm th-ờngx =0ứng với nghiệm đã cho = (t)trong không gianRny. Hệ (1.1.3) gọi là hệ rútgọn. Nh- vậy, việc nghiên cứu sự ổn định của nghiệm = (t)trong khônggianRnđ-ợc đ-a về nghiên cứu sự ổn định của nghiệm tầm th-ờngx =0trongkhông gianRn.Định nghĩa 1.1.1. Nghiệm tầm th-ờng x =0của hệ (1.1.3) đ-ợc gọi là ổn định(ôđ) theo Lyapunov khi t +, nếu với >0 , = (, t0) sao cho từ bất đẳngthức x(t0) <suy ra x(t) <với mọi t t0.Định nghĩa 1.1.2. Nghiệm tầm th-ờng x =0của hệ (1.1.3) đ-ợc gọi là ổn địnhtiệm cận (ôđtc) theo Lyapunov khi t +, nếu nó ổn định theo Lyapunov vàh>0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1.3) thoả mãn điều kiện x(t0) <hthìlimtx(t) =0.Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm tầm th-ờng x =0của hệ (1.1.3) đ-ợc gọi là ổn địnhđều (ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov khi t + nếu trong các định nghĩat-ơng ứng, số chọn đ-ợc không phụ thuộc vào t0.Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm tầm th-ờng x =0của hệ (1.1.3) đ-ợc gọi là ổn địnhmũ khi t + nếu đối với mỗi nghiệm x(t) x(t, t0,x0) của hệ đó ở trong miềnnào đó t0 t<, ||x|| h<Hthoả mãn bất đẳng thức:||x(t)|| N||x(t0)||e(tt0)(t t0) .trong đó N và là hai hằng số d-ơng không phụ thuộc vào sự lựa chọn nghiệm x(t).Ta dễ dàng thấy rằng, từ sự ổn định mũ của nghiệm x =0suy ra sự ổn định tiệmcận của nó. Thật vậy, đặt:||x(t0)|| <N= ,2 trong đó >0 tuỳ ý, ta có:||x(t)|| < với t t0,tức là nghiệm x =0ổn định theo Lyapunov, ngoài ra rõ ràng ta có:limt+x(t)=0,nếu ||x(t0)|| h. T-ơng tự, ta định nghĩa sự ổn định mũ đối với nghiệm không tầmth-ờng. Cụ thể là nghiệm (t) là ổn định mũ nếu với t t0, các nghiệm x(t) gầnnó thoả mãn bất đẳng thức:||x(t) (t)|| N||x(t0) (t0)||e(tt0), (t t0).trong đó N và là hai hằng số d-ơng nào đó.Xét hàm số:V = V (t, x) Ctx(Z0),trong đóZ0= {a<t<, ||x|| <h}.Tiếp theo ta đ-a ra một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và hàm códấu xác định.Định nghĩa 1.1.5. Hàm vô h-ớng thực liên tục V (t, x), đ-ợc gọi là không đổi dấu(có dấu d-ơng hay có dấu âm) trong Z0, nếu:V (t, x) 0 (hay V (t, x) 0),với (t, x) Z0.Định nghĩa 1.1.6. Hàm V (t, x) đ-ợc gọi là xác định d-ơng trong Z0nếu tồn tạimột hàm vô h-ớng W (x) C(||x|| <h) sao cho:V (t, x) W (x) > 0, với ||x|| =0, (1.1.4)V (t, 0) = W (0) = 0.T-ơng tự, hàm V (t, x) đ-ợc gọi là hàm xác định âm trong Z0nếu tìm đ-ợcW (x) C(||x||) <h) sao cho:V (t, x) W (x) < 0, nếu ||x|| =03 và:V (t, x)=W (0) = 0.Hàm xác định d-ơng hay xác định âm gọi là có dấu xác định về phía W (x), đôi khicó thể lấy:W (x) = inft|V (t, x)|Đặc biệt, V = V (x) là hàm có dấu xác định nếu (1)V (x) > 0, với ||x|| =0vàV (0) = 0, trong đó đối với hàm xác định d-ơng thì =0, còn đối với hàm xác địnhâm thì =1.Định nghĩa 1.1.7. Ta nói rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khix 0, nếu với t0>anào đó, ta có:V (t, x) 0theo t trên [t0, ) khi t 0, tức là đối với bất kỳ >0, tồn tại = () > 0 saocho:|V (t, x)| < (1.1.5)khi ||x|| <và t [t0, ).Nhờ bất đẳng thức (1.1.5), ta kết luận rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùngbé bậc cao khi x 0 sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó:t0 t<, ||x|| <h.Ta chú ý rằng nếu V (x) là hàm liên tục không phụ thuộc vào thời gian t, và sao choV (0) = 0, thì rõ ràng V (x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x 0.1.1.2. Ba định lý của Lyapunov về sự ổn định.Giả sửX(t, x) C(0,1)tx(Z),Z = {a<t<, x <H}và hệ vi phân:dxdt= X(t, x) (1.1.6)là hệ rút gọn, tức làX(t, 0) 0. Rõ ràng hệ (1.1.6) có nghiệm tầm th-ờng =0.Ta đặt:V V (t, x) C(1,1)tx(Z0),Z0= {a<t<; ||x|| h<H}Z4 vàX X(t, x)=column[X1(t, x), .Xn(t, x)]. Hàm:.V(t, x)=Vt+nj=1VxjXj(t, x) Vt+(gradV, X)đ-ợc gọi là đạo hàm (toàn phần) theotcủa hàmV (t, x)theo hệ (1.1.6).Nếux = x(t)là nghiệm của hệ (1.1.6) thì.V(t, x)là đạo hàm toàn phầntheo thời gian của hàm hợpV (t, x(t)), tức là:.V(t, x)=ddtV (t, x(t)).Đúng hơn, giả sử(t, x) Z0vàx(,t,x)là nghiệm của hệ (1.1.6) xác định bởiđiều kiện ban đầu:x(,t,x)=x. Khi đó:.V(t, x)=ddtV (,x(,t,x))=t. (1.1.7)Nếu.V(t, x) > 0vớiV (t, x)=Cthì các đ-ờng cong tích phânx = x(t)tại điểm(t, x)của mặt congV (t, x)=Csẽ đi từ phía âm của mặt đặc tr-ng bởi pháptuyếngradV, sang phía d-ơng của nó xác định bởi pháp tuyến+gradV. Khi.V(t, x) < 0ta có hình ảnh ng-ợc lại. Loại mặtV (t, x)=Cấy ta đ-ợc gọi làmặt không tiếp xúc đối với tr-ờng các đ-ờng cong tích phân của hệ (1.1.6).Chú ý.Khái niệm đạo hàm.V(t, x)theo hệ (1.1.6) có thể mở rộng đ-ợc. Cụthể, khi đó ta đặt:.V(t, x)=limh0+1h{V (t + h, x + hX(t, x)) V (t, x)}.Định lý 1.1.1. (Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định)Nếu đối với hệ rút gọn (1.1.6), tồn tại hàm vô h-ớng xác định d-ơng:V (t, x) C(1,1)tx(Z0), (Z0 Z),và hàm này có đạo hàm theo thời gian,.V(t, x) theo hệ đó có dấu âm không đổi, thìnghiệm tầm th-ờng x(t)=0, (a<t<) của hệ đã cho ổn định theo Lyapunov khit +.Ví dụ 1.1.1. Xét tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng của hệdxdt= (x 2y)(1 x2 3y2)dydt= (x + y)(1 x2 3y2)5 [...]... V(1.2.12)(t, ) Dựa vào phiếm hàm trên ta có một số định lí về sự ổn định sau: Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng phiếm hàm Lyapunov V = V (t, ) xác định trên miền = R+ ì C để nghiên cứu tính ổn định đều và ổn định tiệm cận đều của ph-ơng trình vi phân hàm (1.2.12), ta luôn giả thiết f (t, ) là hoàn toàn liên tục trên và f (t, 0) = 0 Định lý 1.2.5 (Định lý ổn định) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục (Lyapunov) ... nên nghiệm tầm th-ờng của hệ (2.1.10) là ổn định Tuy nhiên nếu c = 0 thì nghiệm tầm th-ờng của hệ (2.1.10) là không ổn định 2.1.7 Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân không autonomous Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng ph-ơng pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ sai phân u(k + 1) = f (k, u(k)), u(a) = u0, k N, (2.1.11) trong đó u và f là các vectơ (1 ì n) thành phần ui và. .. t+ 11 xt (t0, ) = 0 1.2.1 Các định lý về sự ổn định nghiệm của ph-ơng trình vi phân hàm Trong phần này, ta sẽ giới thiệu một số điều kiện đủ về sự ổn định và không ổn định của nghiệm tầm th-ờng x = 0 của ph-ơng trình (1.2.12) Đây là kết quả mở rộng của ph-ơng pháp thứ hai của Lyapunov đối với ph-ơng trình vi phân th-ờng Định nghĩa 1.2.13 (Phiếm hàm Lyapunov) Ta gọi phiếm hàm liên tục V : RìC R+ ,... một nghiệm riêng của ph-ơng trình trên và u là nghiệm tổng quát của ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng (2) Nghiệm tổng quát của (2) có dạng u = c1 un1 + c2 un2 + + ck unk trong đó un1 , un2 , , unk là k nghiệm độc lập tuyến tính của (2) và c1, c2 , , ck là các hằng số tuỳ ý Nếu (3) có k nghiệm phân biệt 1 , 2 , , k thì hệ {n , n , , n} là hệ k nghiệm 1 2 k độc lập tuyến tính của (2) và nghiệm tổng... phân cấp 0 của hàm un , cấp của ph-ơng trình sai phân chính là cấp lớn nhất của các sai phân (ở đây là bằng k) 18 Định nghĩa 2.1.17 Ph-ơng trình sai phân tuyến tính của hàm un là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm un tại các điểm khác nhau a0un+k + a1un+k1 + + ak un = fn Trong đó a0.a1, , ak với a0 = 0, ak = 0 là các hằng số hoặc các hàm số của n, đ-ợc gọi là các hệ số của ph-ơng trình. .. nghĩa 2.1.21 Nghiệm tầm th-ờng u(k) = 0 của hệ đ-ợc gọi là ổn định tiệm cận (ôđtc) theo Lyapunov, nếu nó ổn định theo Lyapunov và h > 0 sao cho mọi nghiệm u(k) của hệ thoả mãn điều kiện u0 < h thì lim u(k) = 0 k Định nghĩa 2.1.22 Nghiệm tầm th-ờng u(k) = 0 của hệ đ-ợc gọi là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov nếu trong các định nghĩa t-ơng ứng, số chọn đ-ợc không phụ thuộc vào a Định nghĩa... 0 Vậy ta có nghiệm tầm th-ờng của hệ là ổn định đều Nhận xét: T-ơng tự nh- ph-ơng trình vi phân th-ờng, ng-ời ta đã chứng minh các kết quả về tiêu chuẩn so sánh đối với ph-ơng trình vi phân hàm (xem [3]) 16 Ch-ơng 2 Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình sai phân và ph-ơng trình động lực trên thang thời gian 2.1 Ph-ơng trình sai phân 2.1.1 Sai phân hữu hạn Định nghĩa 2.1.14 Ta gọi sai phân hữu hạn... hữu hạn cấp một của hàm số u(n) = un với n Z là hiệu un = un+1 un Định nghĩa 2.1.15 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 2 của hàm u(n) = un là sai phân của sai phân cấp 1 của un , và nói chung sai phân cấp k của hàm un là sai phân của sai phân cấp k 1 của hàm số đó Nh- vậy, sai phân cấp 2 của hàm un là 2 un = (un) = un+1 un = un+2 un+1 (un+1 un ) = un+2 2un+1 + un ; Sai phân cấp 3 của hàm un là 3 un... nghiệm tầm k th-ờng của hệ (2.1.11) là không ổn định 2.1.8 Sự ổn định của mô hình rời rạc trong hệ động lực quần thể Các mô hình chúng ta đề cập ở đây có dạng (2.1.11) trong đó với mỗi i, 1 i n, ui (k) là không âm với mọi k N và fi là các hàm không âm của u1 , , un Trong ngữ cảnh quần thể sinh học, ui(k) biểu thị l-ợng cá thể của quần thể loài thứ i tại thời điểm k Để nghiên cứu tính ổn định của các. ..Chọn hàm V (x, y) = x2 + 2y 2 Rõ ràng hàm đó là xác định d-ơng Đạo hàm của hàm này theo t trong nghĩa của hệ là dV dt 0 với x, y đủ bé = 2(1 x2 3y 2 )(x2 + 2y 2 ) Vậy nghiệm tầm th-ờng x = 0, y = 0 của hệ đã cho là ổn định Định lý 1.1.2 (Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận) (1,1) Giả sử đối với hệ rút gọn (1.1.6), tồn tại hàm xác định d-ơng V (t, x) Ctx (Z0 ) có giới hạn . ph-ơng trình vi phân hàm . . .81.2.1. Các định lý về sự ổn định nghiệm của ph-ơng trình viphânhàm ...........................122. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov. hàm Lyapunov cho hệ ph-ơng trình vi phân trongRn, chúng tôiđã trình bày lại các định lý cơ bản của ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơngtrình vi phân hàm. Ch-ơng