Bộ giáo dục và đạo tạo Trờng đại học vinh Hoàng văn khanh Biểu diễn nửa nhóm và nhóm bởi cấu trúc đại số tự do tơng ứng Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2008 2 Bộ giáo dục và đạo tạo Trờng đại học vinh Hoàng văn khanh Biểu diễn nửa nhóm và nhóm bởi cấu trúc đại số tự do tơng ứng Chuyên ngành: đại số & lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: Pgs. Ts. Lê quốc hán Vinh - 2008 4 Mục lục Trang Lời nói đầu 1 Danh mục ký hiệu 3 Chơng I. Biểu diễn nửa nhóm bởi các cấu trúc đại số tự do 4 1.1. Nửa nhóm các từ. Nửa nhóm tự do 4 1.2. Vị nhóm tự do. Định lý khuyết 10 1.3. Biểu diễn các nửa nhóm. Định lý Evans 15 Chơng II. Biểu diễn nhóm bởi tập sinh và hệ thức xác định 21 2.1. Nhóm tự do. Định lý Neilsen - Schreier 21 2.2. Biểu diễn nhóm và ba bài toán cơ bản về thuật toán Dhen 27 2.3. Biểu diễn hữu hạn. Phép biến đổi Tietze 31 2.4. Phơng pháp Magnus. Định lý tự do 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 Lời nói đầu Cấu trúc đại số tự do là một trong những cấu trúc đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu cấu trúc đại số nói chung. Vào những năm đầu thế kỉ XX, các tác giả: Nielsen, Schreier, Magnus đã đạt đợc nhiều thành tựu khoa học trong việc khảo sát nhóm tự do. Một trong những kết quả đáng quan tâm là các tác giả đã chứng minh đợc Nhóm con của nhóm tự do là nhóm tự do, từ đó khảo sát các bài toán giải đợc liên quan đến nhóm con của nhóm tự do và biểu diễn của các nhóm qua cấu trúc thơng của các nhóm tự do. Tiếp đến, vào giữa thế kỉ XX, lớp nửa nhóm tự do tiếp tục đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Các vấn đề liên quan đến nhóm và nửa nhóm tự do đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu ở nhiều hớng khác nhau, nhng trong phạm vi của luận văn này chủ yếu chúng tôi khảo sát biểu diễn nửa nhóm và nhóm thông qua cấu trúc đại số tự do tơng ứng. Luận văn đợc chia làm 2 chơng 6 Chơng 1: Biểu diễn nửa nhóm bởi cấu trúc đại số tự do. Chúng tôi trình bày một số kiến thức về nửa nhóm tự do. Kết quả chính của chơng này là: chứng minh định lý khuyết Giả sử là một tập con hữu hạn các từ, và ( ) F là bao tự do của nó. Nếu X không phải là một mã (nghĩa là X không phải là cơ sở của một vị nhóm tự do nào đó) thì ( ) 1F X X (1.2.11); nêu lên một số ví dụ về biểu diễn nửa nhóm (1.3.5); chứng minh định lý Evans Giả sử S là một nửa nhóm đợc sinh bởi một tập đếm đợc. Thế thì S có thể nhúng đợc vào một nửa nhóm đợc sinh bởi hai phần tử (1.3.6). Chơng 2: Biểu diễn nhóm bởi tập sinh và hệ thức xác định. Chơng này chúng tôi trình bày các phơng pháp do Neilsen và Schreier nêu ra để chứng minh một trong những định lý quan trọng nhất của nhóm tổ hợp: nhóm con của nhóm tự do là nhóm tự do. Từ đó khảo sát các bài toán giải đợc liên quan đến nhóm con của nhóm tự do và biểu diễn của các nhóm qua cấu trúc thơng của các nhóm tự do. Kết quả chính của chơng này là: chứng minh định lý Schreier Giả sử X là một bảng chữ cái, H là một nhóm con tuỳ ý của nhóm tự do ( ) F F= . Tồn tại ít nhất một hệ Schreier các phần tử đại diện của F theo H. Nếu u u là hàm chọn tơng ứng thì H là nhóm tự do đợc sinh bởi các phần tử khác đơn vị có dạng 1 sxsx , trong đó s chạy khắp các phần tử đại diện đã chọn còn x chạy khắp X (2.1.9); nêu lên một số ví dụ biểu diễn nhóm (2.2.5); chứng minh định lý tự do Giả sử F là nhóm tự do với cơ sở X và r là phần tử đợc rút gọn xyclic của F sao cho r chứa một phần tử sinh x X . Khi đó mỗi phần tử không tầm thờng thuộc bao đóng chuẩn tắc của r trong F cũng chứa x (2.4.2). Luận văn đợc hoàn thành nhờ sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo PGS.TS. Lê Quốc Hán. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. 7 Tác giả xin trân trọng tỏ lòng biết ơn tới tất cả các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học Trờng Đại học Vinh đã quan tâm giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập cũng nh trong việc hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu Tr- ờng Đại học Vinh, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học và các phòng ban liên quan đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại trờng. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận đợc những đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Vinh, tháng 10 năm 2008. Danh mục ký hiệu Trong toàn luận văn này, trừ các trờng hợp đã đợc nói rõ trong các mục, còn lại chúng tôi sử dụng các ký hiệu : Lực lợng của tập hợp X. N F : N là ớc chuẩn của F. F : : Nhóm thơng của F theo quan hệ tơng đẳng : trên F. : ánh xạ hạn chế trên X. C : Tơng đẳng sinh bởi quan hệ . [ ] S : Nửa nhóm S đợc sinh bởi tập X. 8 9 Chơng I Biểu diễn nửa nhóm bởi các cấu trúc đại số tự do 1.1. Nửa nhóm các từ. Nửa nhóm tự do 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử A là một tập hợp các ký hiệu. Chúng ta sẽ gọi A là một bảng chữ cái và các phần tử của nó là các chữ cái. Một dãy hữu hạn các chữ cái gọi là một từ. Tập hợp tất cả các từ trên A đợc ký hiệu là + . Chúng ta sẽ viết u v nếu các từ u và v là nh nhau. Tập hợp + là một nửa nhóm, đợc gọi là nửa nhóm các từ trên A, khi tích đ- ợc xác định bằng cách ghép các từ liên tiếp vào nhau, nghĩa là tích của các từ 1 1 2 2 1 2 . , . ( , ) n m i j w a a a w b b b a b A là từ 1 2 1 2 1 2 . . n m w w w a a a b b b . Khi bổ sung vào + từ rỗng 1 (mà nó không có chữ cái nào), chúng ta nhận đợc vị nhóm các từ . Rõ ràng = + {1} với 1 + và 1. .1w w w= = với mọi w . 1.1.2. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Một tập con X của S đợc gọi là sinh ra S một cách tự do nếu [ ] S S = và mỗi ánh xạ 0 : X P (trong đó P là nửa nhóm bất kỳ) có thể mở rộng thành một đồng cấu : S P sao cho = 0 . Khi đó chúng ta sẽ nói rằng là một mở rộng đồng cấu của ánh xạ 0 . Nếu S đợc sinh tự do bởi một tập nào đó thì S đợc gọi là nửa nhóm tự do. 1.1.3. Ví dụ. 1) ( Ơ , +) là nửa nhóm tự do với { } 1 = là tập sinh tự do của nó. Nếu 0 : P là một ánh xạ, thì ta định nghĩa : P Ơ bởi ( ) ( ) 0 1 n n = . Khi đó = 0 và là đồng cấu vì 10