B GI O D C V O T OỘ Á Ụ À ĐÀ Ạ TR NG I H C VINƯỜ ĐẠ Ọ H PHÙNG THỊ VÂN BIỂU DIỄN CÁC NỬA NHÓM NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN VINH - 2010 2 MỤC LỤC Trang Mở đầu 1 Chương 1. Biểu diễn nửa nhóm ngược bởi các ánh xạ bộ phận một - một 3 1.1. Nửa nhóm chính quy. Nửa nhóm ngược .3 1.2. Tương đẳng trên các nửa nhóm ngược .7 1.3. Biểu diễn nửa nhóm ngược bởi các ánh xạ bộ phận một - một. .11 Chương 2. Biểu diễn các nửa nhóm ngược bởi cấu trúc tự do 16 2.1. Nửa nhóm ngược tự do .16 2.2. Biểu diễn mô tả các nửa nhóm .24 2.3. Biểu diễn các nửa nhóm ngược bởi cấu trúc tự do 29 Kết luận .34 Tài liệu tham khảo 35 3 MỞ ĐẦU Một nửa nhóm S được gọi là một nửa nhóm ngược nếu mỗi phần tử của S đều có một phần tử ngược duy nhất, nghĩa là với mỗi Sx ∈ đều tồn tại duy nhất phần tử Sx ∈ − 1 sao cho xxxx 1 − = và . 111 −−− = xxxx Để thấy được cấu trúc của các nửa nhóm ngược, người ta thường thông qua các biểu diễn của chúng. Có hai phương pháp biểu diễn nửa nhóm ngược: Biểu diễn nửa nhóm ngược bởi các ánh xạ bộ phận một - một và biểu diễn nửa nhóm ngược bởi cấu trúc tự do. Bản luận văn của chúng tôi là dựa trên các tài liệu [3] và [4] để tìm hiểu các biểu diễn của nửa nhóm ngược theo hai phương pháp trên. Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Biểu diễn nửa nhóm ngược bởi các ánh xạ bộ phận một - một. Trong chương này chúng tôi nhắc lại khái niệm và tính chất của nửa nhóm ngược. Sau đó trình bày phương pháp mô tả tương đẳng trên nửa nhóm ngược theo hạt nhân và vết của nó. Phần cuối chương trình bày chứng minh chi tiết Định lý biểu diễn nửa nhóm ngược bởi các ánh xạ một - một của Vagner - Presen. Chương 2: Biểu diễn các nửa nhóm ngược bởi cấu trúc tự do. Trong chương này trước hết chúng tôi trình bày khái niệm và các tính chất cơ bản của nửa nhóm tự do và nửa nhóm ngược tự do. Sau đó chúng tôi xét một số biểu diễn nửa nhóm theo nửa nhóm tự do và hệ thức xác định, đặc biệt mô tả tường minh biểu diễn của nửa nhóm xyclic hữu hạn. 4 Phần cuối luận văn trình bày biểu diễn nửa nhóm ngược theo nửa nhóm ngược tự do và áp dụng các phép biến đổi Tietze để mô tả tường minh biểu diễn của một lớp nửa nhóm ngược đặc biệt: nửa nhóm bicyclic. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Quốc Hán - Trường Đại học Vinh. Nhân dịp này tác giả xin được bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn đã dành cho tác giả sự hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS. TS. Ngô Sĩ Tùng, PGS. TS. Nguyễn Thành Quang và các thầy cô giáo trong chuyên nghành Đại số - Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT chuyên Lam Sơn, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả PHÙNG THỊ VÂN 5 CHƯƠNG 1 BIỂU DIỄN NỬA NHÓM NGƯỢC BỞI CÁC ÁNH XẠ BỘ PHẬN MỘT- MỘT 1.1. Nửa nhóm chính quy. Nửa nhóm ngược 1.1.1. Định nghĩa. i) Phần tử a của nửa nhóm S được gọi là phần tử chính quy nếu tồn tại phần tử Sx ∈ sao cho .axaa = ii) Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm chính quy nếu mọi phần tử của S đều là phần tử chính quy. 1.1.2. Ví dụ. 1) Mọi luỹ đẳng đều là phần tử chính quy . Nói riêng, nếu S có phần tử đơn vị thì phần tử ấy là phần tử chính quy. 2) Mọi nhóm đều là nửa nhóm chính quy. 3) Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ X T của tập hợp X khác rỗng là nửa nhóm chính quy. Nếu S là một nửa nhóm chứa luỹ đẳng thì tập hợp tất cả các luỹ đẳng của S được ký hiệu là S ESE ,)( hay E nếu không sợ nhầm lẫn. Nếu S là nửa nhóm chính quy thì .E ≠ ∅ 1.1.3. Bổ đề. (Bổ đề Lallement). Giả sử S là nửa nhóm chính quy, và giả sử : S P α → là một toàn cấu nửa nhóm. Nếu P Ee ∈ thì 1 ( ) , S e E α − ∩ ≠ ∅ nghĩa là tồn tại một luỹ đẳng S Ef ∈ sao cho ef = )( α . 6 Chứng minh. Giả sử x S ∈ thoả mãn điều kiện ex = )( α ( x tồn tại vì α là toàn ánh) và giả sử y là phần tử ngược của 2 x trong ,S ta có 222 yxxx = và yyxy 2 = . Đặt xyxf = . Khi đó )().().()( xyxf αααα = = eexxyxxxyx ===== 2222222 )()()()().().( αααααα , nghĩa là ef = )( α . Hơn nữa f luỹ đẳng vì 2 . .xyx xyx xyx yx xyx= = Từ Bổ đề Lallement trực tiếp suy ra: 1.1.4. Hệ quả. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm chính quy S và ρ SS l = . Nếu ∈ ρ x 1 S E tồn tại e S E ∈ sao cho ρρ ex = . 1.1.5. Định nghĩa. a) Giả sử S là một nửa nhóm và a S ∈ . Khi đó, phần tử x S ∈ được gọi là phần tử ngược của a nếu aaxa = và .xax x= b) Một nửa nhóm S được gọi là một nửa nhóm ngược nếu mỗi phần tử của S đều có một phần tử ngược duy nhất. Giả sử S là một nửa nhóm ngược và x là một phần tử bất kỳ của .S Khi đó phần tử ngược duy nhất của x được ký hiệu là 1 .x − Theo Định nghĩa, ta có x = x 1 − x x và 1 − x = 1 − x x 1 .x − 1.1.6. Ví dụ. 1) Nếu S là một nhóm thì S là một nửa nhóm ngược, và phần tử ngược của x S ∈ chính là phần tử nghịch đảo nhóm của x . 2) Nửa nhóm bicyclic là một nửa nhóm ngược. 3) Giả sử X là tập hợp tuỳ ý khác rỗng. Khi đó tập hợp X ℑ các phép biến đổi một - một từ X vào chính nó cùng với phép hợp thành ánh xạ là một nửa nhóm ngược. 7 1.1.7. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm ngược. Thế thì S E là một nửa nhóm con của .S Hơn nữa, S E là một dàn nghĩa là các luỹ đẳng của S giao hoán được với nhau. Chứng minh. Giả sử fe, . S E ∈ Xét phần tử ngược (duy nhất) 1 )( − = efx của .ef Thế thì . . . . . .ef ef x ef ef xe ef ef fx ef= = = (vì ee = 2 và ff = 2 ) và . . ; . . . ,xe ef xe xefxe xe fx ef fx f xefx fx= = = = nghĩa là fxxeefx === − 1 )( . Từ đó x S E ∈ , vì xxefxfxxex === . 2 và do đó ef S E ∈ , đối với mọi fe, S E ∈ , nghĩa là S E là một nửa nhóm con của .S Hơn nữa S E giao hoán. Thật vậy, đối với fe, S E ∈ có S Efeef ∈ , và efefefefeffeef === 2 )( . và ,)( . 2 fefefefefefefe === nghĩa là 1 ( ) .fe ef ef − = = 1.1.8. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương: i) S là nửa nhóm ngược. ii) S chính quy và các luỹ đẳng giao hoán. iii) Mỗi L -— lớp và mỗi R - lớp chứa một luỹ đẳng. Chứng minh. i) ⇒ ii) Theo Định lý 1.1.7. ii) ⇒ iii) Giả sử có (ii). Khi đó mỗi L -— lớp và mỗi R - lớp chứa một luỹ đẳng. Đối với tính duy nhất, giả sử f e L ∈ với fe, S E ∈ . Thế thì eL f và do đó tồn tại yx, 1 S ∈ sao cho xfe = và yef = . Từ đó .fyeyeefeefxffxfe ======= Tương tự, eR f kéo theo .fe = Do đó (ii) kéo theo (iii). iii) ⇒ i) Giả sử có (iii). Thế thì mỗi D – lớp chứa một luỹ đẳng , và do đó mỗi x S ∈ có một phần tử ngược. Giả sử y và z là các phần tử ngược của x . Thế thì ,yx zx S E ∈ với yx L x và zx L .x Do đó theo giả thiết, .zxyx = 8 Tương tự nếu sử dụng quan hệ R có xzxy = . Do đó ,y yxy zxz z= = = và do đó có (i). 1.1.9. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm. Thế thì các điều kiện sau đây là tương đương: i) S là một nhóm. ii) Với mọi x ,S ∈ tồn tại duy nhất x ′ S ∈ sao cho .x xx x ′ = iii) Với mọi x ,S ∈ tồn tại duy nhất x ′ S ∈ sao cho . S Exx ∈ ′ iv) S là nửa nhóm ngược thoả mãn điều kiện .yxyyxyxx =⇒= Chứng minh. i) ⇒ ii) Bằng cách chọn 1 .x x − ′ = ii) ⇒ iii) Là hiển nhiên vì nếu xxxx ′ = thì xxxxxx ′′ = ′ . với xx ′ S E ∈ . Ngược lại, giả sử rằng đối với một 1 − x duy nhất (trong trường hợp x 1 − x S E ∈ ) và S Exy ∈ . Thế thì . . . .xyx xy xy x xyx x x ′ = = và . . ,xyx xyx y xyx= do đó ,y x ′ = khi ii) được áp dụng với .xyx iii) ⇒ iv) Vì nếu xyxx = thì xy ∈ S E và từ đó xyxyxy . = , S E ∈ chúng ta nhận được yyxy = theo giả thiết về tính duy nhất, và ở đây . 1 − = ′ = xxy iv) ⇒ i) Vì 1111 . −−−− == xyyyyxxxxyy ⇒ 1 − x = 1 − x . . 1 − xyy 1 − x 1 1 1 1 1 . . . .x x yy x x xx xyy xyy − − − − − ⇒ = = = Tương tự 1 x yy x − = và do đó 1 − y là nghịch đảo nhóm của .x 1.1.10. Hệ quả. Giả sử S là một nửa nhóm ngược với luật giản ước phải. Thế thì S là một nhóm. Chứng minh. Giả thiết rằng . s xy E∈ Khi đó xyxyxy . = và do tính giản ước phải của ,S có ,x xyx= và khi đó yxyxyx = nên ,y yxy= nghĩa là 1 − = xy 9 vì S là nửa nhóm ngược nên mỗi phần tử có một nghịch đảo duy nhất, theo định lý 1.1.9 ii) ⇔ i), có S là một nhóm. 1.2. Tương đẳng trên các nửa nhóm ngược 1.2.1. Bổ đề. Giả sử S là một nửa nhóm ngược và PS → : α là một đồng cấu nửa nhóm. Thế thì )(S α là một nửa nhóm con ngược của .P Nói riêng, nếu α là toàn cấu thì P là nửa nhóm ngược. Chứng minh. Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 x xx x x x x α α α α α − − = = với mọi Sx ∈ nên )(S α là một nửa nhóm chính quy. Giả sử gh, ∈ E α(S) . Theo bổ đề Lallement, tồn tại S Efe ∈ , sao cho ( ),g e α = )( fh α = . Khi đó hgeffeeffegh ===== )().()()()().( αααααα nên các luỹ đẳng của )(S α giao hoán, do đó )(S α là nửa nhóm con ngược của .P 1.2.2. Hệ quả. Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm ngược .S Khi đó: i) ρ /S là một nửa nhóm ngược. ii) ).,( 11 Syxyxyx ∈⇔ −− ρρ 1.2.3. Chú ý. a) Nếu : S P α → là đồng cấu từ nửa nhóm ngược S lên nửa nhóm ngược P thì 11 )()( −− = xx αα , với mọi .Sx ∈ b) Giả sử T là một nửa nhóm con của nửa nhóm ngược S . Khi đó T được gọi là nửa nhóm con ngược nếu đối với mọi Tx ∈ , có , 1 Tx ∈ − trong đó 1 − x là phần tử ngược của x trong S . Cần chú ý rằng không phải mọi nửa nhóm con của một nửa nhóm ngược đều là nửa nhóm con ngược. Thật ra ta có: 10