Thông tin tài liệu
1 SỞ GD – ĐT BẾN TRE KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG TRƯỜNG THPT BẾN TRE NĂM HỌC 2005 – 2006 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN THỜI GIAN: 180 PHÚT Bài 1 : ( Số học ) Cho 17 số tự nhiên mà mỗi số nguyên tố cùng nhau với ít nhất 13 số khác . Chứng tỏ rằng có thể chọn ra trong đó 5 số mà chúng đôi một nguyên tố cùng nhau . Bài 2 : ( Đại số ) Cho 2006 số thực : 1 2 2006 ; ; ;a a a thoả điều kiện : 1 2 2006 cos cos2 . .cos2006 1f x a x a x a x với mọi giá trò của x . Chứng minh : 1 2 2006 2006a a a . Bài 3 : ( Giải tích ) Tìm hàm số f(x) xác đònh trên R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây : (1) f(2006) = 2006 (2) f(x + y) = f(x) + f(y) , x, y R 2 (3) 2 1 Nếu x 0 thì f(x) = x . f ( ) x Bài 4 : ( Hình học phẳng ) Cho đường tròn (c) có tâm là O và đường thẳng ( ) không cắt (C ) . Từ một điểm M thay đổi trên ( ) kẻ tiếp tuyến MT và MH tới (C) . Gọi A là hình chiếu vuông góc của O lên ( ) và E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên MT,MH. Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố đònh . Bài 5 : ( Hình học không gian ) Cho tứ diện ABCD có AB =CD , AC =BD, AD = BC . Gọi ,, là các góc do các mặt ABD,ABC,ACD tạo với mặt BCD và hình chiếu của A trên (BCD) thuộc miền tam giác BCD . Tìm giá trò lớn nhất của 3 T cos cos .cos cos .cos .cos ĐÁP ÁN Bài 1 : ( Số học ) Cho 17 số tự nhiên mà mỗi số nguyên tố cùng nhau với ít nhất 13 số khác . Chứng tỏ rằng có thể chọn ra trong đó 5 số mà chúng đôi một nguyên tố cùng nhau . Xét số a tùy ý trong 17 số đã cho . a nguyên tố cùng nhau với iùt nhất 13 số khác là b 1 ,b 2 ,b 3 , … b 13 . 3 Do mỗi số không nguyên tố cùng nhau với nhiều nhất là 3 số khác nên b 1 sẽ nguyên tố cùng nhau với ít nhất 9 số khác trong các số b 2 , b 3 ,… b 13 . Giả sử b 1 nguyên tố cùng nhau với 9 trong 12 số đó là c 1 , c 2 ,….c 9 . c 1 sẽ nguyên tố cùng nhau với 5 số khác trong các số c 2 , c 3 ,……c 9 . Giả sử là d 1 , d 2 , ……d 5 . d 1 sẽ nguyên tố cùng nhau với ít nhất 1 trong 4 số d 2 , d 3 ,d 4 , d 5 . Giả sử là d 1 nguyên tố cùng nhau với số e trong 4 số trên . Ta có : 5 số a,b 1 ,c 1 ,d 1 , e là 5 số đôi một nguyên tố cùng nhau trong 17 số đã cho . Bài 2 : ( Đại số ) Cho 2006 số thực : 1 2 2006 ; ; ;a a a thoả điều kiện : 1 2 2006 cos cos2 . .cos2006 1f x a x a x a x với mọi giá trò của x . Chứng minh : 1 2 2006 2006a a a . Ta có : 2007 sin1003 .cos 2 cos cos2 cos2006 sin 2 = A (1,0 đ ) Mặt khác khi 2 2007 k ( Trong đó k = 1 ; 2 ; …… ; 2006 ) thì A = -1 (1,0 đ ) Thay 1 2 2006 2 4 4012 ; ; ; 2007 2007 2007 x x x , vào biểu thức ; f (x) ta có : 1 2 2006 2 4 4012 cos cos . cos 1 2007 2007 2007 a a a 1 2 2006 4 8 8024 cos cos . cos 1 2007 2007 2007 a a a ……………………………………………………………………………………………. 4 1 2 2006 4012 8024 4012.2006 cos cos cos 1 2007 2007 2007 a a a Cộng các đẳngthức trên ta được : 1 2 2006 . 2006a a a Vậy ta được : 1 2 2006 2006a a a . ( 2 đ ) Bài 3 : ( Giải tích ) Tìm hàm số f(x) xác đònh trên R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây : (4) f(2006) = 2006 (5) f(x + y) = f(x) + f(y) , x, y R (6) 2 1 Nếu x 0 thì f(x) = x . f ( ) x (2) cho x = y = 0 f 0 0 (4) (0,25 đ ) 0 f 1+ (-1) f(1) + f(-1) f(-1)= - f(1) (0,25 đ ) (1) và (2) : 2006 = f(1) + f(2005)=2f(1) + f(2004) = . 2006 f(1) Vậy f(1) = 1 và f(-1) = -1 (5) (0,25 đ ) Xét trường hợp x 0 ,x 1,ta có . x 1 x 1 f( ) f( ) f( ) f(1) 1 (6) x 1 x 1 x 1 (1,00 đ ) 2 2 x x x 1 f( ) . f( ) Do(3) x 1 x (x 1) 22 22 x x 1 x 1 hay f( ) f(1 ) f(1) f( ) x 1 x x (x 1) (x 1) 2 22 x x 1 f( ) 1 f(x) (7) x1 (x 1) x (1,00 đ ) 22 1 1 1 f( ) f(x 1) f(x) 1 (8) x1 (x 1) (x 1) (0,50 đ ) 5 2 2 2 2 x 1 1 (6),(7),(8) 1 f(x) f(x) 1 1 (x 1) x (x 1) Suy ra : f(x) x (0,25 đ ) Vậy f(x) = 0 nếu x 0 1 nếu x 1 x nếu x 0 , x 1 Hay f(x) x , x R (0,25 đ ) Bài 4 : ( Hình học phẳng ) Cho đường tròn (c) có tâm là O và đường thẳng ( ) không cắt (C ) . Từ một điểm M thay đổi trên ( ) kẻ tiếp tuyến MT và MH tới (C) . Gọi A là hình chiếu vuông góc của O lên ( ) và E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên MT,MH. Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố đònh . ĐÁP ÁN Gọi I,J lần lượt là giao điểm của OA , OM với TH Hạ AK vuông góc TH tại K (0,50 đ) Do A thuộc đường tròn ngoại tiếp THM nên E,F,K thẳng hàng (đường thẳng Simson) (0,50 đ) Ta có : 2 22 OT R OI.OA OJ.OM OT OI I cố đònh OA OA (1,00 đ) Gọi L là giao điểm của OA và EF LAK = AOM (so le trong) = AHM (cùng chắn AM) K T E M A F I J O L H 6 = AKF ( cùng chắn cung AF , đường tròn đường kính AH (1,00 đ) LAK cân LA LK KL làtrung tuyến IKA IKA vuông tại K (0,50 đ) L là trung điểm của IA (0,25 đ) Vậy EF đi qua điểm cố đònh L (0,25 đ) Bài 5 : ( Hình học không gian ) Cho tứ diện ABCD có AB =CD , AC =BD, AD = BC . Gọi ,, là các góc do các mặt ABD,ABC,ACD tạo với mặt BCD và hình chiếu của A trên (BCD) thuộc miền tam giác BCD . Tìm giá trò lớn nhất của 3 T cos cos .cos cos .cos . cos ĐÁP ÁN Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(BCD). Từ H kẻ HI BC , HJ CD ,HK BD, thì AKH AIH AJH S BDC = S HBD + S HCD + S HBC = S ABD cos + S ABC cos + S ACD cos Do tứ diện ABCD gần đều nên : S BDC = S ABD = S ABC = S ACD cos cos cos 1 và cos ,cos ,cos 0 A K B D I C H J 7 Đặt x cos ; y cos ;z cos ta có x,y,z 0 và x y z 1 3 Ta có T x xy xyz 3 11 x x.4y x.4y.16z 24 p dụng bất đẳng thức cô-si ta có : x 4y x.4y 2 3 x 4y 16z x.4y.16z 3 Do đó x 4y x 4y 16z 44 T x (x y z) 4 12 3 3 Dấu bằng xãy ra x 4y 4y 16z x y z 1 x 0 , y 0, z 0 16 x 21 4 y 21 1 z 21 Vậy 4 16 4 1 max T khi cos cos cos 3 21 21 21 . BẾN TRE KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG TRƯỜNG THPT BẾN TRE NĂM HỌC 2005 – 2006 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN THỜI GIAN: 180 PHÚT Bài 1 : ( Số học. và hình chiếu của A trên (BCD) thuộc miền tam giác BCD . Tìm giá trò lớn nhất của 3 T cos cos .cos cos .cos .cos ĐÁP ÁN Bài 1 : ( Số học
Ngày đăng: 13/12/2013, 21:15
Xem thêm: Tài liệu Đề thi và đáp án chuyên lý thi học sinh giỏi Bến Tre ppt, Tài liệu Đề thi và đáp án chuyên lý thi học sinh giỏi Bến Tre ppt