TRƯỜNG ĐHKHTN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 12 NĂM HỌC 2008-2009 KHỐI CHUYÊN TOÁN-TIN Ngày thi: 12/04/2009( thời gian: 180 phút) ------------------------------- ------------------------------------------- Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = x 4 – 8x 2 + 7 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). 2) Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx – 9 tiếp xúc với đồ thị hàm số (1). Câu II (2 điểm). 1) Giải phương trình: ) 4 sin( 2 2 1tan tantan 2 2 π += + + x x xx . 2) Giải hệ:        =−+ =−+ 2 1 2 1 2 1 2 1 x y y x Câu III (3 điểm). 1) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng d 1 , d 2 có phương trình; d 1 :      = = +−= tz y tx 1 21 d 2 : 1 3 1 1 2 1 − − = + = − + zyx và điểm I(0;3; - 1). Đường thẳn d đi qua I cắt d 1 tại A và cắt d 2 tại . Tính tỉ số IB IA . 2) Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 , DA = DB = DC.Biết rằng DBC là tam giác vuông. a) Tính thể tích tứ diện ABCD b) Gọi ϕ là góc phẳng nhị diện [B,AD,C]. Tính cos ϕ . Câu IV (2 điểm). 1) Tính tích phân: I = ∫ −+ 2 0 2cossin43 2sin π dx xx x 2) Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm thực )1(log)1(log 1616 33 −+ + xx = 2 x . Câu V (1 điểm). Giải phương trình ) 4 11 cos( 2 x− π = tanx. Hướng dẫn: Câu I. 3) Đường thẳng tiếp xúc đồ thị ⇔ Hệ    =− −=+− )2(164 )1(978 3 24 mxx mxxx có nghiệm. Thay (2) vào (1) được: 3x 4 – 8x 2 – 16 = 0 ⇔ x 2 =4 ⇔ x= ± 2. Thay x = ± 2 vào (2) được m=0. Câu II. 1) ĐK: cosx ≠ 0.Phương trình được biến đổi thành: cos 2 x. tanx.(tanx+1) = 1 2 ( sinx+cosx) ⇔ sinx(sinx+cosx) = 1 2 (sinx+cosx)         += += +−= ⇔    = =+ ⇔ π π π π π π 2. 6 5 2. 6 4 2/1sin 0cossin kx kx kx x xx . 2) ĐK: x;y ≥ ½. Từ hệ suy ra: x y y x 1 2 11 2 1 −+=−+ (1). . Nếu x>y thì yx 11 < và yx 11 < suy ra VT(1) < VP(1). Không thỏa mãn! . Nếu x< y tương tự cũng không thỏa mãn.Từ đó x=y.Thế vào một phương trình của hệ được: 2 1 2 1 =−+ x x ⇔ x=1. Hệ cho nghiệm: (x;y)=(1;1). Câu III. 1) A thuộc d 1 ⇔ A( - 1+2t; 1; t); B thuộc d 2 ⇔ B( -1 -2s; -1 + s; 3 – s). → IA=( -1+2t; - 2; 1+t) ; → IB =( -1-2s; -4+s; 4-s) là hai véc tơ cùng phương nên → IA= k. → IB từ đó giải ra được t = 1; s= -2 ; k= 1/3. Vậy: IA/IB= 1/3. 2) a) Gọi O là hình chiếu vuông góc của D lên mp(ABC) → O là trung điểm BC. ∆ DBC vuông cân tại D nên DO = 1 2 BC = a.Vậy: V DABC = 1 3 .DO.dt (ABC)= 6 3 3 a . b) Kéo dài CD cắt đường thẳng vuông góc với (ABC) tại B ở S. Ta có BS = 2a; DC = a 2 ; AD = a 2 và là trung tuyến của tam giác SAC.Gọi ϕ = [B,AD,C]. Kẻ BH ⊥ SA → BH ⊥ (SAC). Kẻ HE ⊥ AD → BE ⊥ AD. Khi đó ϕ = 180 0 - ∃ BEH.Tính được : tan ∃ BEH = 3 64 ; cos 2 ∃ BEH = 3/15. Vậy: cos ϕ = - 15 3 . Câu IV. 1) I = ln2 – 2 1 . 2) ĐK: x>1. Phương trình 3log3log 1616 )1()1( −++⇔ xx = 2 x (*). Vì 0< 3log 16 <1/2 nên VT(*) ≤ 2 3log 16 ] 2 )1()1( [ −++ xx = 2. 3log 16 x < 2 x =VP(*). V ậy phương trình vô nghiệm. Câu V. ĐK: cosx ≠ 0. pt ⇔ x x xx cos sin 2 )cos(sin 2 1 = − (1). Do vế trái (1) dương nên sinx và cosx cùng thuộc ( -1;0) hoặc (0;1).Xét hàm số f(t) = t t 2 1 2 có đạo hàm f’(t) = )2ln( 2 2 2 2 1 −tt t t < 0 . Từ đó phương trình ⇔ sinx = cosx ⇔ x = π π k+ 4 . . TRƯỜNG ĐHKHTN ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 12 NĂM HỌC 2008-2009 KHỐI CHUYÊN TOÁN-TIN Ngày thi: 12/04/2009( thời gian: 180 phút) -------------------------------. ------------------------------------------- Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = x 4 – 8x 2 + 7 (1) 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1). 2) Tìm các giá trị thực của tham số m để đường