TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 03 tháng 01 năm 2010 BÀI TẬP VỀ NHÀ Các bài toán chứng minh tính vuông góc. Bài 1 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA SB SC a = = = . 1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD). 2. Chứng minh SBD ∆ vuông tại S. Bài 2 : Tứ diện SABC có ( ) .SA mp ABC⊥ Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và SBC. 1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( ) ( ) SAC BHK ⊥ 2. Chứng minh ( ) HK SBC ⊥ và ( ) ( ) .SBC BHK⊥ Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm Ô và có cạnh SA vuông góc với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. 1. Chứng minh ( ) ( ) .SBD SAC⊥ 2. Chứng minh ( ) ||BD mp P Bài 4 : Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax ( S A ≠ ). Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh: ' , 'AB SB AD SD⊥ ⊥ và . ' . ' . 'SB SB SC SC SD SD = = Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC= 3a , mặt bên (SBC) vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD= 5a . a) Chứng minh: ( )SA ABCD ⊥ . Tính SA=? b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K,L của SB,SD với mặt phẳng (HIJ). CMR: ( )AK SBC ⊥ ; ( )AL SCD ⊥ . c) Tính diện tích tứ giác AKHL=? ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2 Page 2 of 10 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290 ………… , ngày ….tháng… năm … HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ LUYỆN BG SỐ 2 Quan hệ vuông góc trong không gian. (Các em tự vẽ hình vào các bài tập) • BTVN – 04/02/2010: Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA SB SC a = = = . 3. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD). 4. Chứng minh SBD ∆ vuông tại S. HDG: 1. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì SA SB SC a = = = nên ( ) SO mp ABCD ⊥ . Mà AC BD⊥ vì ABCD là hình thoi, nên O BD ∈ Có: ( ) ( ) ( ) ( ) ,SO SBD SO ABCD SBD ABCD ∈ ⊥ ⇒ ⊥ Bài 2: Tứ diện SABC có ( ) .SA mp ABC⊥ Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. 3. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và ( ) ( ) SAC BHK ⊥ 4. Chứng minh ( ) HK SBC⊥ và ( ) ( ) .SBC BHK⊥ HDG: 1. Vì H là trực tâm tam giác ABC BH AC∆ ⇒ ⊥ , theo giả thiết ( ) SA mp ABC BH SA⊥ ⇒ ⊥ . Nên ( ) BH mp SAC SC BH⊥ ⇒ ⊥ Do K là trực tâm SBC BK SC∆ ⇒ ⊥ Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) SC mp BHK mp BHK mp SAC⊥ ⇒ ⊥ (đpcm) 2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được: ( ) SB mp CHK SB HK⊥ ⇒ ⊥ Mà ( ) SC mp BHK SC HK⊥ ⇒ ⊥ . Do đó: ( ) ( ) ( ) HK mp SBC mp SBC mp BHK⊥ ⇒ ⊥ Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. 3. Chứng minh ( ) ( ) .SBD SAC⊥ Page 3 of 10 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010 4. Chứng minh ( ) ||BD mp P HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA vuông góc với (ABCD) nên ( ) ( ) ( ) SA BD BD SAC SBD SAC⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 2. Từ giả thiết suy ra: ( ) ( ) P SAC⊥ , mà ( ) ( ) ||BD SAC BD P⊥ ⇒ Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax ( S A≠ ). Qua A dựng mặt phẳng (Q) vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh: ' , 'AB SB AD SD⊥ ⊥ và . ' . ' . 'SB SB SC SC SD SD = = HDG: Từ giả thiết suy ra: ( ) , 'SA BC AB BC BC SAB BC AB⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Mà ( ) 'SC Q SC AB⊥ ⇒ ⊥ . Do đó ( ) ' 'AB SBC AB SB⊥ ⇒ ⊥ Ngoài ra ta cũng có , ' ' ' 'BC SB SC B C SBC SC B⊥ ⊥ ⇒ ∆ ∆: nên: . ' . ' ' ' SB SC SB SB SC SC SC SB = ⇒ = Chứng minh tương tự ta được 'AD SD⊥ và . ' . 'SD SD SC SC= Vậy ta có đpcm. Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, BC= 3a , mặt bên (SBC) vuông tại B và (SCD) vuông tại D có SD= 5a . a. Chứng minh: ( )SA ABCD ⊥ . Tính SA=? b. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB,CD lần lượt tại I,J. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K,L của SB,SD với mặt phẳng (HIJ). CMR: ( )AK SBC⊥ ; ( )AL SCD⊥ . c. Tính diện tích tứ giác AKHL=? Giải: a) Ta có: ( ) ( ) ( ) BC BA BC SAB BC SA BC BS SA ABCD DC DA DC SAD DC SA DC DS ⊥   ⇒ ⊥ ⇒ ⊥   ⊥   ⇒ ⊥  ⊥   ⇒ ⊥ ⇒ ⊥   ⊥   . Ta có: 2SA a= Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 4 Page 4 of 10 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290 ………… , ngày ….tháng… năm … b) Trong (SBC) gọi: { } ( )SB HI K K SB HIJ∩ = ⇒ = ∩ Trong (SAD) gọi: { } ( )SD HJ L L SD HIJ∩ = ⇒ = ∩ . Ta có: (1)BC AK⊥ mà: IJ IJ ( ) IJ SC ( IJ) (2) AC IJ SC SA SAC SC H SC AK AH ⊥   ⇒ ⊥ ⇒ ⊥   ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥    ⊥  Từ (1) và (2) ta có: ( )AK SBC⊥ . Tương tự cho ( )AL SCD⊥ c) Tứ giác AKHL có: ;AL KH AL LH⊥ ⊥ nên: 1 ( . . ) 2 AKHL AK KH AL LHS = + . Vậy : 2 8 15 a AKHLS = • BTVN – 06/02/2010: Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có SA h= và vuông góc với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của: 1. SB và CD 2. SC và BD HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông nên BC CD⊥ Page 5 of 10 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010 Lại có: ( ) ( ) ( ) BC AB BC SAB BC SB BC SA do SA ABCD ⊥   ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥ ⊥   Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD, và BC a = 2. Gọi O AC BD= ∩ ⇒ AC và BD vuông góc nhau tại O, mà SA BD⊥ ⇒ ( ) BD mp SAC⊥ . Trong tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD và OI vuông góc nhau do đó OI là đường vuông góc chung của SC và BD Ta có: ( ) 2 2 . 2 2 SA SC SA OC ah SAC OIC OI OI OC SC h a ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = = + : Bài 2: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3 ,a cạnh bên bằng 2 .a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. HDG: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M AG BC⇒ ⊥ Chóp S.ABC đều, mà G là tâm ABC∆ ABC nên ( ) SG ABC SG BC⊥ ⇒ ⊥ , từ đó suy ra ( ) BC SAG⊥ . Trong SAM∆ kẻ ( ) MN SA N SA MN BC⊥ ∈ ⇒ ⊥ . Do vậy MN là đoạn vuông góc chung của BC và SA. Ta có: 2 . 3 3 . 4 SAM S SG MA a MN SA SA ∆ = = = = Bài 3 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mp(ABC) và 2.SA a = . Đáy ABC là tam giác vuông tại B với BA=a. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SM và BC. HDG: Ta có ( ) SA BC BC SAB AB BC ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  tại B. Dựng ( )BH SM H SM ⊥ ∈ . Ta thấy: BH BC ⊥ . Vậy BH chính là đoạn vuông góc chung của SM và BC. Ta tính BH như sau: Vì 1 2 2 3 3 3 2 2 a BH BM BH a BH a SA SM a = ⇔ = = ⇒ = Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 6 Page 6 of 10 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290 ………… , ngày ….tháng… năm … Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh a và 3 . 3 a OB = Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho .SB a= Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD. HDG: Dễ chứng minh được ( ) BD SAC⊥ (vì ,BD AC BD SO⊥ ⊥ ) Trong mp(SAC) kẻ ( ) OI SA I SA⊥ ∈ ⇒ OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD. Ta có: 2 2 6 2 3 3 3 a a SO OA SA SO OA= = ⇒ = + = 2 . 3 . 3 SOA S SO OA a OI SA SA ∆ ⇒ = = = = Bài 5: Cho tứ diện ABCD với AB=CD=a, AC=BD=b, BC=AD=c. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Hãy tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và CD. HDG: Ta thấy ngay ABC ABD ∆ = ∆ nên 2 trung tuyến CI và BD bằng nhau hay ICD ∆ cân tại I. Nên ta có IJ CD ⊥ . CM tương tự ta có: IJ AB ⊥ vậy IJ chính là đoạn vuông góc chung của AB và CD. Tính IJ: Áp dụng công thức trung tuyến và ta tính IJ được kết quả là: 2 2 2 IJ 2 b c a+ − = • BTVN – 08/02/2010: Bài 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và BAC α ∠ = . Gọi M là trung điểm của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc . β 1. Chứng minh ' .C BC β ∠ = 2. Chứng minh tan os 2 c α β = là điều kiện cần và đủ để 'BM MC⊥ . Page 7 of 10 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010 HDG: 1. Trong mp(ACC’A’) kéo dài C’M cắt CA tại N, thì A là trung điểm của NC suy ra: 1 2 BA AC AN BA CN BCN= = ⇒ = ⇒∆ vuông tại B nên BN BC⊥ . Tương tự ta có 'BN BC⊥ Dễ thấy: ( ) ( ) 'BN mp MBC mp ABC= ∩ , từ trên suy ra ( ) ( ) ( ) · ' , 'C BC ABC MBC β ∠ = = 2. Vì BM là trung tuyến của 'BC N∆ nên: ' 'BM MC NBC⊥ ⇔ ∆ cân đỉnh B . os 2 ' os tan os 2 sin sin 2 2 BC c BC BH BC BN c c α α β α α β ⇔ = ⇔ = = ⇔ = (Với H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống cạnh AC) Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là .a Gọi E, F và M lần lượt là trung điểm của AD, AB và CC’. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM). Tính osc α HDG: Ta có: 2 2 2 2 2 2 6 A , 2 2 a a EF AE F ME MF MC CB BF= + = = = + + = Gọi I EF AC MI EF= ∩ ⇒ ⊥ . Mà ( ) ( ) ,MI EF AC MEF ABCD EF⊥ ⊥ ∩ = nên:góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM) là MIC α ∠ = Do đó: 2 2 3 3 11 4 os 11 IF AC IC c IM MF α = = = = − Bài 3: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng đoạn SA vuông góc với (P) tại A. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên BC, CD. Đặt , .BM u DN v = = Chứng minh rằng: ( ) 2 3 3a u v uv a + + = là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc 30 o . HDG: Ta có: 2 2 2 2 2 2 ;AM a u AN a v= + = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2MN a u a v a u v a u v = − + − = + + − + Dễ thấy góc giữa hai phẳng (SAM) và (SAN) là góc MAN α ∠ = Do đó: 2 2 2 30 os os30 2 . AM AN MN c c AM AN α α + − = ⇔ = = o o Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 8 Page 8 of 10 TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN A5+A6, 52 Nguyễn Chí Thanh Tel: 04.3775-9290 ………… , ngày ….tháng… năm … ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 . 3 3 3 a u v a u a v a uv a u v a u v uv a + ⇔ = + + ⇔ − = + ⇔ + + = Bài 4: Cho tam diện vuông góc Oxyz. Lần lượt lấy trên Ox, Oy, Oz ba đoạn OA=a, OB=b, OC=c. Gọi α, β, γ là số đo các nhị diện cạnh BC, CA, AB. a) CMR: 2 2 2 os os os 1c c c α β γ + + = b) CMR: 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ABC OBC OCA OAB S S S S ∆ ∆ ∆ ∆ = + + HDG: a) Kẽ .CH AB OH AB OHC γ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∠ = Ta có: 2 2 2 os os OH OH CH CH c c γ γ ⇔= = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 os a b b c c a a b CH OC OH c a b a b b c c a γ + + = + = ⇒ = + + + Tương tự và ta tính được: 2 2 2 os os os 1c c c α β γ + + = b) Áp dụng công thức diện tích hình chiếu ta có: 2 2 2 2 cos cos ( ) ( ) ( ) ( ) cos ABC OBC OCA OAB OBC ABC OCA ABC OAB ABC S S S S S S S S S S α β γ ∆ ∆ ∆ ∆  =  = ∆ ⇒ = + +   =  ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M,N thuộc CB và CD. Đặt CM=x, CN=y. Lấy ( )S At P ∈ ⊥ . Tìm hệ thức giữa x, y để: a) ( ) 0 ( ),( ) 45SAM SAN ∠ = b) ( ) ( )SAM SMN ⊥ HDG: a) ( ) ( ),( )SAM SAN MAN ∠ = ∠ Ta có: 2 2 2 2 . cosMN MA NA MA NA MAN = + − ∠ Ta tính được: 2 2 2 2 2 2 0 2 2 3 4 2 2 2 ( ) 45 4 ( ) 4 2 ( ) ( ) MN x y MA a a x MAN x y a x y a axy x y NA a a y  = +  = + − ⇒ ∠ = ⇔ + + = + −   = + −  Page 9 of 10 TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Hà Nội, ngày 29 tháng 01 năm 2010 b) Giả sử ( ) ( )SAM SMN ⊥ Kẽ ' ' ( ) 'NM SM NM SMA NM SA⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Nhưng SA MN ⊥ nên NM’ trùng với NM hay M’trùng với M 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )a a y a a x x y x a x y ⇒ + − = + − + + ⇔ = − ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 10 Page 10 of 10 . 2010 BÀI TẬP VỀ NHÀ Các bài toán chứng minh tính vuông góc. Bài 1 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và SA SB SC a = = = . 1. Chứng minh. hình vuông tâm Ô và có cạnh SA vuông góc với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. 1. Chứng minh ( ) ( ) .SBD SAC⊥ 2. Chứng minh (