Đang tải... (xem toàn văn)
Đề kiểm tra và lời giải môn học cơ học lượng tử
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN VẬT LÝ KỸ THUẬT Hà Nội, ngày 18 tháng 10 năm 2011 KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 1 NĂM HỌC 2011-2012 CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Đề 1 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1: Một hạt tự do có khối lượng m chuyển động một chiều dọc theo trục x , trạng thái của nó ở thời điểm 0 = t xác định bởi hàm sóng ( ) 2 exp)0,( xaAx −=Ψ Trong đó, a là một hằng số thực a) Tính hệ số chuẩn hóa A của hàm sóng. b) Tìm hàm sóng )0,(x Ψ trong biểu diễn xung lượng. c) Tìm ),( tx Ψ ở thời điểm 0 > t Bài 2: Trạng thái của một hạt có khối lượng m chuyển động trong trường thế một chiều )(xV cho bởi ( ) timxaAtx +−=Ψ )(exp),( 2 Trong đó, a là một hằng số thực. a) Tính hệ số chuẩn hóa A của hàm sóng b) Tìm biểu thức )(xV của trường thế c) Vẽ phác đồ thị của trường thế tìm được. Theo anh (chị) đó là trường thế nào? Đáp án và Thang điểm Bài 1: a) Chuẩn hóa hàm sóng )0,(x Ψ ở thời điểm 0 = t trong x - biểu diễn 4 1 2 2 22 2 2 )2(exp)0,(1 =↔=−=Ψ= ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− π π a A a AdxaxAdxx b) Hàm sóng ở thời điểm 0 = t trong p - biểu diễn: ∫ +∞ ∞− − − =Φ dxee a p xa xp i 2 4 1 2 2 1 )0,( π π Dùng công thức tích phân: ( ){ } =+− ∫ +∞ ∞− A B A dxxBxA 4 expexp 2 2 π Trong tích phân trên, aA = và p i B = . Do đó − = =Φ ∫ ∞+ ∞− − − 2 2 4 1 4 1 4 exp 2 2 12 2 1 )0,( 2 a p a a dxee a p xa xp i π π π π π Hay ( ) −=Φ − 2 2 41 2 4 exp2)0,( a p ap π c) Hàm sóng ở thời điểm 0 > t trong x - biểu diễn ( ) ( ) ( ) dpp ix p m it aa dpt m p x p i a p adpt m p x p iptx ∫ ∫∫ ∞+ ∞− +∞ ∞− +∞ ∞− − −− + +−= − −= −Φ=Ψ 2 24143 2 2 2 41 2 21 2 21 2 4 1 exp 1 )2( 11 2 exp 4 exp22 2 exp)0,(2),( π πππ Dùng công thức tích phân: ( ){ } =+− ∫ +∞ ∞− A B A dxxBxA 4 expexp 2 2 π Trong tích phân trên, ta có: += m it a A 2 4 1 2 và ix B −= . Do đó, ta có + − + = + +−=Ψ ∫ ∞+ ∞− m ti a x m ti a a dpp ix p m it aa tx 21 exp 21 1 )2( 1 2 4 1 exp 1 )2( 11 ),( 2 41 2 24143 ππ Hay + − + =Ψ m ti a x m ti a a tx 21 exp 21 1 )2( 1 ),( 2 41 π Bài 2: a) Chuẩn hóa hàm sóng ( ) timxaAtx +−=Ψ )(exp),( 2 ( ) ( ) ( ) ma AdxamxAdxitamxitamxA 2 2expexpexp1 2 2 2 22 2 π =−=+−−−= ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− 41 2 = π ma A b) Từ phương trình Schrodinger một chiều ),()( ),( 2 ),( 2 22 txxV x tx mt tx i Ψ+ ∂ Ψ∂ −= ∂ Ψ∂ Suy ra ∂ Ψ∂ + ∂ Ψ∂ Ψ = 2 22 2 1 )( x mt ixV Tính các đạo hàm: Ψ −= ∂ Ψ∂ Ψ−= ∂ Ψ∂ amxma x ia t 24 ; 2 222 2 2 . Thay các đạo hàm vào hệ thức trên ( ) 22 2 2222 2 22 2 24 2 1 2 1 )( mxa amxma m iai x mt ixV = Ψ −+Ψ− Ψ = ∂ Ψ∂ + ∂ Ψ∂ Ψ = Ta có 22 2)( mxaxV = c) Nếu đặt 2 ω = a , thế năng 22)( 2222 xmmxaxV ω == . Đó là hàm thế của dao động điều hòa một chiếu. Đồ thị sẽ là một parabola hướng phía lõm lên trên và đỉnh ở gốc hệ tọa độ