Đang tải... (xem toàn văn)
Nếu trên hình (H) có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì chúng chẳng những được biểu diễn bởi hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc[r]
(1)1 Mở đâu hình học khơng gian
Trong chương trình hình học lớp 10 Chương I lớp 11, ta nói đến hình mặt phẳng như: tam giác, đường trịn, vectơ,… Chúng gọi hình phẳng Mơn học nghiên cứu tính chất hình không nằm mặt phẳng gọi Hình học khơng gian
Mặt phẳng
Trang giấy, mặt bảng đen, mặt tường lớp học, mặt bàn, gương phẳng…cho ta hình ảnh phần mặt phẳng không gian
Điểm thuộc mặt phẳng
Ta biết cho điểm A đường thẳng a điểm A thuộc đường thẳng a, điểm A không thuộc đường thẳng a
Tương tự vậy, với điểm A mặt phẳng (P), có hai khả sảy ra: - Hoặc điểm A thuộc mp (P), ta kí hiệu A∈mp(P) hay A∈(P)
- Hoặc điểm A không thuộc mp (P), ta cịn nói điểm A ngồi mp (P)và ký hiệu A∉mp(P) hay A∉(P) Hình biểu diễn hình khơng gian
Để vẽ hình biểu diễn hình khơng gian, người ta đưa quy tắc thường áp dụng như:
- Đường thẳng biểu diễn đường thẳng Đoạn thẳng biểu diễn đoạn thẳng
- Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) biểu diễn hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau)
- Điểm A thuộc đường thẳng a biểu diễn điểm A’ thuộc đường thẳng a’, a’ biểu diễn cho đường thẳng a
- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường trông thấy dùng nét đứt đoạn (− − −)để biểu diễn cho đường bị khuất
2 Các tính chất thừa nhận hình học khơng gian Tính chất thừa nhận1
Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Tính chất thừa nhận 2
Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Tính chất thừa nhận 3
Tồn bốn điểm không nằm mặt phẳng Tính chất thừa nhận 4
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng
Tính chất thừa nhận 5
Trong mặt phẳng, kết biết hình học phẳng ĐỊNH LÝ
Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng nằm mặt phẳng
Ví dụ
Cho điểm O,A,B,C không đồng phẳng Trên đường thẳng $OA, OB, OC lấy điểm A’, B’, C’ khác O cho đường thẳng sau cắt nhau: BC B’C’, CA C’A’, AB A’B’
a, Hãy xác định giao điểm đường thẳng A’B’, B’C’, C’A’ với mp(ABC) b, Chứng minh giao điểm thẳng hàng
(2)a, Giả sử đường thẳng A’B’ cắt đường thẳng AB điểm H Khi điểm H thuộc hai đường thẳng A’B’ AB Mặt khác, đường thẳng AB nằm trongmp(ABC) nên H giao điểm đường thẳng A’B’ vớimp(ABC)
Gọi I, J giao điểm đường thẳng B’C’ BC, C’A’ CA I, J theo thứ tự giao điểm A’C’, C’A’ với mp(ABC)
b, Theo câu a ta có H, I, J thuộc đường thẳng A’B’, B’C’, C’A’ nên chúng thuộc mp(A ′B′C′) Mặt khác H, I, J thuộc mp(ABC) Theo tính chất thừa nhận điểm, ba điểm A, I, J thuộc giao tuyến Δcủa hai mặt phẳng phân biệt (ABC)và (A′B′C′)nên chúng phải thẳng hàng
CHÚ Ý
Qua ví dụ trên, ta thấy:
- Muốn tìm giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng (P), ta tìm đường thẳng nằm (P)mà cắt d Khi đó, giao điểm hai đường thẳng giao điểm cần tìm
- Muốn chứng minh điểm thẳng hàng ta chứng tỏ chúng điểm chung hai mặt phẳng phân biệt
3 Điều kiện xác định mặt phẳng
Một mặt phẳng xác định biết qua ba điểm không thẳng hàng
Mặt khác, đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng nằm mặt phẳng Từ từ điều kiện xác định mặt phẳng nói trên, ta cịn suy ra:
- Một mặt phẳng xác định biết qua đường thẳng điểm khơng thuộc đường thẳng
- Một mặt phẳng xác định biết qua hai đường thẳng cắt Kí hiệu:
- Mặt phẳng qua đường thẳng a điểm A không nằm a kí hiệu mp(a,A) mp(A,a) - Mặt phẳng qua đường thẳng cắt a b kí hiệu mp(a,b)
4 Hình chóp hình tứ diện Hình chóp
ĐỊNH NGHĨA
Cho đa giác A1A2 An điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa đa giác Nối S với
đỉnh A1,A2, ,An để n tam giác: SA1A2,SA2A3, ,SAnA1
Hình gồm n tam giác đa giác A1A2 An gọi hình chóp ký hiệu S.A1A2 An
Điểm S gọi đỉnh hình chóp Đa giác A1A2 An gọi mặt đáy hình chóp Các cạnh mặt đáy
gọi cạnh đáy hình chóp Các đoạn thẳng SA1,SA2, ,SAngọi cạnh bên hình chóp
(3)CHÚ Ý:
Tứ giác A’B’CD có cạnh nằm giao tuyến mặt phẳng (A′CD) với mặt hình chóp S.ABCD Tứ giác gọi thiết diện (hay mặt cắt) hình chóp S.ABCDkhi cắt mp(A ′CD).
Hình tứ diện
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC,ACD,ABD,BCDgọi hình tứ diện (hay ngắn gọn tứ diện) kí hiệu ABCD Các điểm A, B, C, D gọi đỉnh tứ diện Các đoạn thẳng AB,BC, CD, DA, CA, BD gọi cạnh tứ diện Hai cạnh khơng có điểm chung gọi hai cạnh đối diện Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi mặt tứ diện Đỉnh không nằm mặt gọi đỉnh đối diện với mặt
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
1, Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng
Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) Ta thấy có ba trường hợp sau sảy ra:
a, Đường thẳng a mp(P) có hai điểm chung phân biệt Khi đó, theo định lý 1, đường thẳng a nằm mp(P), tức a⊂mp(P)
(4)viết a∩(P)={A}hoặc a∩(P)=A
c, Đường thẳng a mp(P) điểm chung Khi ta nói đường thẳng a song song với mp(P), mp(P) song song với đường thẳng a, a (P)song song với nhau,
viết a∥(P)hoặc (P)∥a ĐỊNH NGHĨA
Một đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung 2 Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng
ĐỊNH LÝ 1
Nếu đường thẳng a không nằm mặt phẳng (P) song song với đường thẳng nằm (P) a song song với (P)
3 Tính chất ĐỊNH LÝ 2
Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng(P) mặt phẳng(Q) chứa a mà cắt (P) cắt theo giao tuyến song song với a
HỆ QUẢ 1
Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng mặt phẳng
HỆ QUẢ 2
Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng
ĐỊNH LÝ 3
Nếu a b hai đường thẳng chéo có mặt phẳng chứa a song song với b Ví dụ
Cho tứ diện ABCD Gọi M điểm nằm cạnh AB (M khác A B) Giả sử (P) mặt phẳng qua M song song với đường thẳng AC BD Hãy xác định thiết diện hình tứ diện ABCD cắt mặt phẳng(P) Thiết diện hình gì?
Giải
(5)HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1. Vị trí tương đối hai đường thẳng phân biệt ĐỊNH NGHĨA
Hai đường thẳng gọi đồng phẳng chúng nằm mặt phẳng Hai đường thẳng gọi chéo chúng không đồng phẳng
Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng khơng có điểm chung 2 Hai đường thẳng song song
Tính chất 1
Trong khơng gian qua điểm nằm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng
Tính chất 2
Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với ĐỊNH LÝ
Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song
HỆ QUẢ
Nếu hai mặt phẳng cắt qua hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng đo (hoặc trùng với hai đường thẳng đó)
Ví dụ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành a, Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB)và (SCD)
b, Xác định thiết diện hình chóp S.ABCDkhi cắt bới mặt phẳng(MBC)trong M điểm nằm hai điểm S A
Giải:
a, mp(SAB) mp(SCD)có điểm chung S qua hai đường thẳng song song AB CD nên chúng cắt theo giao tuyến △đi qua S song song với AB CD
(6)HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
1. Vị trí tương đối hai mặt phẳng phân biệt
Khi cho hai mặt phẳng phân biệt (P)và (Q), xảy hai trường hợp sau đây: A, (P)và (Q) có điểm chung Khi ta biết (P)và (Q)cắt theo đường thẳng
B, (P)và (Q)khơng có điểm chung Trong trường hợp này, ta nói chúng song song với (hoặc song song)
ĐỊNH NGHĨA
Hai mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung 2 Điều kiện để hai mặt phẳng song song
ĐỊNH LÝ 1
Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P)song song với(Q)
3 Tính chất TÍNH CHẤT 1
Qua điểm nằm mặt phẳng, có mặt phẳng song song với mặt phẳng
HỆ QUẢ 1
Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q)thì có mặt phẳng (P)chứa a song song với (Q)
HỆ QUẢ 2
Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ song song với TÍNH CHẤT 2
Nếu hai mặt phẳng (P)và (Q)song song mặt phẳng (R)đã cắt (P)thì phải cắt (Q)và giao tuyến chúng song song
4 Định lý Talet không gian ĐỊNH LÝ 2
Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
Ta thừa nhận định lý sau đây, gọi Định lý đảo
Cho hai đường thẳng chéo a a’ Lấy điểm phân biệt A, B, C a A’, B’, C’ a’ cho
ABA′B′=BCB′C′=CAC′A′
(7)5 Hình lăng trụ hình hộp ĐỊNH NGHĨA HÌNH LĂNG TRỤ
Hình hợp hình bình hành A1A2A′2A′1,A2A3A′3A′2, ,AnA1A′1A′n hai đa
giácA1A2 An,A′1A′2 A′ngọi hình lăng trụ hay lăng trụ, kí hiệu A1A2 An.A′1A′2 A′n
Mỗi hình bình hành nói gọi mặt bên lăng trụ Hai đa giác A1A2 An,A′1A′2 A′n gọi
mặt đáy lăng trụ Các cạnh đa giác gọi cạnh đáy; đoạn thẳng A1A′1,A2A ′2, ,AnA′ngọi cạnh bên lăng trụ Các đỉnh mặt đáy gọi đỉnh lăng trụ
Nếu đáy lăng trụ tam giác, tứ giác, ngũ giác lăng trụ tương ứng gọi lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, lăng trụ ngũ giác
Sau ta giới thiệu dạng đặc biệt hình lăng trụ, hình hộp Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp
(8)6 Hình chóp cụt
2. ĐỊNH NGHĨA
Cho hình chóp S.A1A2 Anvà mặt phẳng (P)không qua đỉnh, song song với mặt phẳng
đáy, cắt cạnh SA1,SA2, ,SAn A′1,A′2, ,A′n Hình hợp thiết diện A′1A′2 A′nvà
đáyA1A2 Ancủa hình chóp với tứ giác A′1A′2A2A1,A′2A′3A3A2, A′nA′1A1Angọi
hình chóp cụt, kí hiệu A′1A′2 A′n.A1A2 An( Hình 72 trang 66)
Đáy hình chóp gọi đáy lớn hình chóp cụt, cịn thiết diện A′1A′2 A′ngọi đáy nhỏ hình
chóp cụt Các tứ giácA′1A′2A2A1,A′2A′3A3A2,A′nA′1A1Angọi mặt bên hình chóp cụt Các
đoạn thẳng, A1A′1,A2A′2,…,AnA′ngọi cạnh bên hình chóp cụt
Tùy theo đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác,…, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác,…
TÍNH CHẤT
Vì hình chóp cụt cắt từ hình chóp nên ta dễ dàng suy tính chất sau Hình chóp cụt có:
a, Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song tỉ số cạnh tương ứng b, Các mặt bên hình thang
(9)PHÉP CHIẾU SONG SONG 1 Định nghĩa phép chiếu song song
Trong không gian cho mp(P) đường thẳng l cắt mp(P) Với điểm M không gian vẽ đường thẳng qua M song song trùng với l cắt mp(P) điểm M’
Phép đặt tương ứng điểm M không gian với điểm M’ mặt phẳng (P)như gọi phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l
Mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng chiếu, đường thẳng l gọi phương chiếu; điểm M’ gọi hình chiếu song song (hoặc ảnh) điểm M qua phép chiếu song song nói
Cho hình (H) Tập hợp (H’) gồm hình chiếu song song tất điểm thuộc (H) gọi hình chiếu song song (hoặc ảnh) hình (H) qua phép chiếu nói
2 Tính chất TÍNH CHẤT 1
Hình chiếu song song đường thẳng đường thẳng HỆ QUẢ
Hình chiếu song song đoạn thẳng đoạn thẳng tia tia TÍNH CHẤT 2
Hình chiếu song song hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song trùng TÍNH CHẤT 3
Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau)
3 Hình biểu diễn hình khơng gian ĐỊNH NGHĨA
Hình biểu diễn hình (H) khơng gian hình chiếu song song hình (H) mặt phẳng hình đồng dạng với hình chiếu
QUY TẮC (suy từ tính chất 3)
Nếu hình (H) có hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) chúng biểu diễn hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau), mà tỉ số hai đoạn thẳng phải tỉ số hai đoạn thẳng tương ứng hình (H)
CHÚ Ý
(10)trên hai đường thẳng song song tỉ số chúng khơng thiết phải giữ nguyên hình biểu diễn Cũng vậy, độ lớn góc hình H khơng thiết giữ nguyên hình biểu diễn
*/ Hình biểu diễn đường tròn Người ta chứng minh
Hình chiếu song song đường tròn đường elip đường tròn, đặc biệt đoạn thẳng