Đang tải... (xem toàn văn)
Mô hình tính toán song song giải các bài toán biên phức tạp dựa trên tư tưởng chia miền.pdf
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Cao Thị Anh Thư Mơ hình tính tốn song song giải toán biên phức tạp dựa tư tưởng chia miền Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 Luận văn thạc sỹ Khoa học máy tính Người hướng dẫn Khoa học: TS Vũ Vinh Quang Thái Nguyên - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC ĐẶT VẤN ĐỀ Chương 1: Các kiến thức giải số phương trình đạo hàm riêng 1.1 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN 1.2 THUẬT TOÁN THU GỌN KHỐI LƯỢNG TÍNH TỐN 1.2.1 Bài toán biên thứ 1.2.2 Bài toán biên thứ hai 12 1.3 ÁP DỤNG ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC 15 1.3.1 Bài toán biên Dirichlet 15 1.3.2 Bài toán biên hỗn hợp 16 1.4 PHƯƠNG PHÁP LẶP VÀ CÁC SƠ ĐỒ LẶP CƠ BẢN 18 1.4.1 Không gian lượng 18 1.4.2 Phương pháp lặp giải phương trình tốn tử 19 Chương 2: Cơ sở Toán học phương pháp chia miền 27 2.1 CƠNG THỨC ĐA MIỀN VÀ PHƯƠNG TRÌNH STEKLOV- POICARE 28 2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN CƠ SỞ 30 2.2.1 Phương pháp Dirichlet-Neumann 30 2.2.2 Phương pháp Neumann-Neumann 31 2.2.3 Phương pháp Robin 31 2.3 MỘT SỐ THUẬT TOÁN CHIA MIỀN 33 2.3.1 Thuật toán chia miền Patrick Le Talle 33 2.3.2 Thuật toán chia miền J.R.Rice, E.A Vavalis, Daopi Yang 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.3.3 Thuật toán chia miền Saito-Fujita 37 2.3.4 Phương pháp DQuangA-VVQuang 38 2.3.5 Phương pháp chia miền giải toán biên gián đoạn mạnh 40 Chương 3: Mơ hình tính tốn song song giải toán Elliptic dựa chia miền 43 3.1 CÁC BƯỚC LẶP TRÊN NHIỀU MIỀN CON 43 3.2 MƠ HÌNH TÍNH TỐN SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN GIÁN ĐOẠN MẠNH 45 3.2.1.Hướng tiếp cận hiệu chỉnh đạo hàm 46 3.2.2 Hướng tiếp cận hiệu chỉnh hàm 47 3.3 CÁC KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 49 3.4 ỨNG DỤNG MƠ HÌNH SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC 51 3.4.1 Sơ đồ song song theo hướng hiệu chỉnh đạo hàm 53 3.4.2 Sơ đồ song song theo hướng hiệu chỉnh hàm 57 3.4.3 Các kết thực nghiệm 60 NHẬN XÉT KẾT LUẬN 63 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 PHỤ LỤC 68 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu thực luận văn thạc sỹ chuyên ngành Khoa học máy tính, đến luận văn :"Mơ hình tính tốn song song giải toán biên phức tạp dựa tư tưởng chia miền" tơi hồn thiện đầy đủ Để có kết mong muốn nhận quan tâm, bảo giúp đỡ từ thầy giáo hướng dẫn: Tiến sĩ Vũ Vinh Quang - Phó trưởng Khoa Cơng nghệ thơng tin- Đại học Thái Nguyên Nhân dịp xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới thầy giáo, vị giáo sư Viện Công nghệ Thông tin, thầy cô giáo thuộc Khoa Công nghệ thông tin - Đại học Thái Nguyên truyền đạt kiến thức bổ ích cho học viên cao học khố nơi tơi học tập nghiên cứu suốt năm qua Tơi xin bày tỏ tình cảm lời cảm ơn chân thành tới đồng nghiệp Viễn thông Thái Nguyên, tới bạn bè người thân gia đình khích lệ, động viên, giúp đỡ thời gian qua Một lần xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Vũ Vinh Quang hướng dẫn, tạo điều kiện để tơi học tập nghiên cứu hồn thiện luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 30 tháng10 năm 2009 Học viên Cao Thị Anh Thư Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẶT VẤN ĐỀ Lý thuyết phương pháp chia miền phát triển vịng 20 năm qua, xuất phát từ cơng thức đa miền phương trình biên chung SteklovPoincare, phương pháp chia miền phát triển từ sơ đồ lặp như: Sơ đồ Dirichlet-Neumann, sơ đồ Neumann-Neumann sơ đồ Robin nghiên cứu tác giả giới Có thể thấy sở phương pháp xuất phát từ giá trị điều kiện biên phân chia từ xây dựng sơ đồ lặp dạng hai lớp phương trình tốn tử Việc nghiên cứu tính chất hội tụ sơ đồ lặp sử dụng kết khơng gian Sobolev tốn tử Steklov-Poincare Nội dung luận văn sở lý thuyết chia miền, luận văn đề xuất mơ hình tính tốn song song giải toán với điều kiện biên phức tạp tư tưởng chia miền, tiến hành cài đặt thử nghiệm mơ hình đồng thời ứng dụng mơ hình song song giải tốn môi trường vật lý bán dẫn Luận văn cấu trúc gồm chương: Chương 1: Đưa sở phương pháp lưới, thuật toán thu gọn khối lượng tính tốn giải phương trình lưới sở lý thuyết sơ đồ lặp tổng quát Chương 2: Trình bày tóm tắt sở tốn học phương pháp chia miền, sơ đồ lặp phương pháp chia miền Một số phương pháp chia miền tác giả giới đặc biệt sơ đồ lặp tư tưởng hiệu chỉnh hàm đạo hàm biên phân chia tác giả Việt Nam Nhật Bản, phương pháp chia miền toán biên gián đoạn mạnh Chương 3: Trên sở sơ đồ lặp theo hướng hiệu chỉnh hàm đạo hàm, luận văn đề xuất sơ đồ tính tốn song song dựa tư tưởng hiệu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chỉnh hàm đạo hàm, tiến hành tính tốn số so sánh hai sơ đồ tính tốn song song đồng thời áp dụng phương pháp song song giải toán học tác giả giới quan tâm Các kết lý thuyết kiểm tra chương trình thực nghiệm lập trình mơi trường MATLAB máy tính PC Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức liên quan đến việc giải số phương trình đạo hàm riêng bao gồm sở phương pháp lưới, thuật toán thu gọn khối lượng tính tốn lý thuyết phương pháp lặp giải phương trình tốn tử Những kiến thức sở kết tham khảo từ tài liệu [ 5, 10, 16, 21] 1.1 Phƣơng pháp sai phân Lƣới sai phân: u f , x , Xét toán x u g, (1.1) ( x, y) R2 , a x b, c y d , chọn số nguyên N > M >1, đặt h = (b a) / N gọi bước lưới theo x , k = (d c) / M gọi bước lưới theo y Đặt xi = a ih, y j = c jk , i N , j M Mỗi điểm ( xi , y j ) gọi nút lưới ký hiệu nút (i, j ) Tập tất nút ký hiệu hk Nút biên gọi nút biên; tập tất nút biên ký hiệu hk , tập hk = hk hk gọi lưới sai phân Hàm lƣới: Mỗi hàm số xác định nút lưới gọi hàm lưới, giá trị hàm lưới u ( x, y ) nút lưới (i, j ) viết tắt ui , j Mỗi hàm u ( x, y ) xác định ( x, y ) tạo hàm lưới u xác định ui , j Bài toán sai phân: Ký hiệu Lu f tập hàm số hai biến x, y có đạo hàm riêng đến cấp m liên tục = Giả sử tốn có nghiệm u C () , đó: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4u 4u max( x , y ) | ( x, y) | C1 = const , max( x , y ) | ( x, y ) | C2 = const x y Do theo cơng thức Taylor ta có: u ( xi 1 , y j ) = u ( xi ) h, y j = u ( xi , y j ) h u h2 2u h3 3u o(h ) hay x 2! x 3! x u ( xi 1 , y j ) 2u ( xi , y j ) u ( xi 1 , y j ) 2u = o( h ) h x Một cách tương tự: u k 2u k 3u u ( xi , y j 1 ) = u ( xi , y j k ) = u ( xi , y j ) k o( k ) y 2! y 3! y u k 2u k 3u u ( xi , y j 1 ) u ( xi , y j k ) = u ( xi , y j ) k o(k ) y 2! y 3! y Do đó: u ( xi , y j 1 ) 2u ( xi , y j ) u ( xi , y j 1 ) 2u = o( k ) k y Vậy ta có: u ( xi 1 , y j ) 2u ( xi , y j ) u ( xi 1 , y j ) u ( xi , y j 1 ) 2u ( xi , y j ) u ( xi , y j 1 ) = h2 k2 u o(h k ) Ta đặt: hk u ui 1, j - 2ui , j ui -1, j ui , j 1 - 2ui , j ui , j -1 -1 h2 k2 Khi chứng tỏ: khu = u o(h2 k ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hạng O(h +k ) vơ bé bậc hai Ta nói tốn tử kh xấp xỉ tốn tử , điều cho phép thay phương trình vi phân phương trình sai phân: hk u = fij , f ij = f ( xi , y j ), ( xi , y j ) hk tức là: ui 1, j 2ui , j ui 1 j ui , j 1 2ui , j ui , j f ( xi , y j ), ( xi , y j ) hk h2 k2 (1.2) đồng thời thay điều kiện biên điều kiện: uij g ( xi , y j ), ( xi , y j ) hk (1.3) Ta tốn sai phân hồn chỉnh: tìm hàm lưới u nút (i, j ) thoả mãn hệ phương trình sai phân (1.2) với điều kiện biên (1.3) Như việc tìm nghiệm xấp xỉ tốn vi phân (1.1) với độ xác cấp hai đưa việc giải toán sai phân (1.2) với điều kiện (1.3) phương pháp đại số 1.2 Thuật tốn thu gọn khối lƣợng tính tốn Được đề xuất Samarski-Nicolaev Bằng phép biến đổi đơn giản vec tơ ma trận, toán sai phân ln ln đưa hệ phương trình vec tơ điểm thuộc dạng sau đây: 1.2.1 Bài toán biên thứ Xét toán biên thứ phƣơng trình véc tơ ba điểm Yj 1 CYj Yj 1 = Fj , j N , Y0 = F0 , YN = FN (1.4) Trong Yj véc tơ cần tìm, C ma trận vuông, Fj véc tơ cho trước ý tưởng phương pháp rút gọn hoàn toàn giải (1.1) khử liên tiếp ẩn Yj với j lẻ, sau từ phương trình cịn lại khử Yj Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn với j bội 2, bội 4,… Mỗi bước khử giảm nửa số ẩn Như N = 2n sau số lần khử cịn lại phương trình chứa véc tơ ẩn YN / mà từ YN / tính qua Y0 YN Sau có Y0 ,YN / YN trình ngược lại việc tìm Yj với j bội N N bội ,… Rõ ràng, phương pháp rút gọn hoàn toàn biến thể phương pháp khử Gauss áp dụng cho tốn (1.4) việc khử biến thực theo thứ tự đặc biệt Sau đây, ta mô tả cụ thể phương pháp Giả sử N = 2n , n > Ký hiệu C (0) = C , Fj(0) = Fj ; j = 1,2, , N Khi (1.4) viết dạng Yj 1 C 0Yj Yj 1 = Fj(0) (1 j N 1) , Y0 = F0 , YN = FN (1.5) Bước khử thứ nhất: Từ phương trình đầu (1.5) ta khử Yj với j lẻ Muốn ta viết phương trình liên tiếp: Yj C (0)Yj 1 Yj = Fj(0)1 , Yj 1 C (0)Yj Yj 1 = Fj(0) , Yj C (0)Yj 1 Yj = Fj(0)1 Nhân vế phương trình thứ hai với C (0) vào bên trái cộng phương trình lại ta Yj 2 C (1)Yj Yj = Fj(1)1 , j = 2,4, , N , Y0 = F0 , YN = FN (1.6) đó: C (1) = (C( 0))2 E Fj(1) = Fj(0)1 c (0) Fj(0) Fj(0)1 , j = 2,4, , N Nhận xét hệ (1.6) chứa Yj với j chẵn, số véc tơ ẩn Yj N Do giải hệ Yj với j lẻ tìm từ phương trình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... thuyết chia miền, luận văn đề xuất mơ hình tính tốn song song giải toán với điều kiện biên phức tạp tư tưởng chia miền, tiến hành cài đặt thử nghiệm mơ hình đồng thời ứng dụng mơ hình song song giải. .. nghiên cứu thực luận văn thạc sỹ chuyên ngành Khoa học máy tính, đến luận văn :"Mơ hình tính tốn song song giải tốn biên phức tạp dựa tư tưởng chia miền" hồn thiện đầy đủ Để có kết mong muốn nhận quan... tính tốn song song giải tốn Elliptic dựa chia miền 43 3.1 CÁC BƯỚC LẶP TRÊN NHIỀU MIỀN CON 43 3.2 MƠ HÌNH TÍNH TOÁN SONG SONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN GIÁN ĐOẠN MẠNH 45
