Đang tải... (xem toàn văn)
Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình vi phân phức
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH: HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên - Năm 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở Đầu Lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna đ-ợc đánh giá thành tựu sâu sắc toán học kỷ hai m-ơi Đ-ợc hình thành từ năm đầu cña thÕ kû, lý thuyÕt Nevanlinna cã nguån gèc tõ công trình Hadamard, Borel ngày có nhiỊu øng dơng c¸c lÜnh vùc kh¸c cđa toán học Vào năm 1925, Nevanlinna đà phát triển lý thuyết phân phối giá trị với xuất phát điểm c«ng thøc nỉi tiÕng Jensen Lý thut cã néi dung chủ yếu định lý thứ nhất, định lý thứ quan hệ số khuyết Nội dung luận văn gồm hai ch-ơng: Ch-ơng I: Trình bày sở lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna Ch-ơng II: Trình bày số kết nghiệm toàn cục ph-ơng trình vi phân phức dựa báo nghiệm toàn cục số lớp ph-ơng trình vi phân phức tác giả Ping Li Kết luận văn: Cho P(f) đa thức vi phân f có đạo hàm ( víi hµm nhá cđa f z coi nh- lµ hệ số) có bậc không lớn n - , p1, p2 lµ hµm nhá cđa e vµ , số khác không Sử dụng lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna để tìm nghiệm toàn cục siêu việt ph-ơng trình vi phân phi tuyến tính không gian phức: f n z P f p1e1z p2e2 z Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn bảo tận tình GS TSKH Hà Huy Khoái Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thành kính đến Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Thầy, Thầy không h-ớng dẫn nghiên cứu khoa học mà Thầy thông cảm, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, khoa sau Đại học tr-ờng Đại học S- phạm thuộc Đại học Thái Nguyên, thầy cô Viện Toán học Việt Nam đà giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành khóa học luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu tr-ờng cao đẳng Công Nghệ Kinh Tế Công Nghiệp, đặc biệt đồng nghiệp khoa KHCB, gia đình, bạn bè đà quan tâm, giúp đỡ trình học hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2010 Học viên L-u Thị Minh Tâm S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch-¬ng I C¬ sở lý thuyết Nevanlinna 1.1 Hàm phân hình 1.1.1.Định nghĩa: Điểm a đ-ợc gọi điểm bất th-ờng cô lập hàm f(z) hàm f(z) chỉnh hình lân cận a, trừ điểm 1.1.2 Định nghĩa: Điểm bất th-ờng cô lập z = a hàm f(z) đ-ợc gọi f z cùc ®iĨm cđa f(z) nÕu lim z a 1.1.3 Định nghĩa: Hàm f(z) chỉnh hình toàn mặt phẳng phức đ-ợc gọi hàm nguyên Nh- vậy, hàm nguyên hàm điểm bất th-ờng hữu hạn 1.1.4 Định nghĩa: Hàm f(z) đ-ợc gọi hàm phân hình miền D hàm chỉnh hình D, trừ số điểm bất th-ờng cực điểm Nếu D = ta nói f(z) phân hình , hay đơn giản, f(z) hàm phân hình *Nhận xét: Nếu f(z) hàm phân hình D lân cận điểm z D, f z biểu diễn đ-ợc d-ới dạng th-ơng hai hàm chỉnh hình 1.1.5 Định nghĩa: Điểm z0 gọi cực điểm cấp m>0 hàm f(z) lân cận z0 , hàm f z z z0 m h z , ®ã h(z) hàm chỉnh hình lân cận z0 h z0 1.1.6 TÝnh chÊt: Nếu f(z) hàm phân hình D f(z) hàm phân hình D Hàm f(z) f(z) có cực điểm điểm nhS hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Đồng thời, z0 cực điểm cấp m>0 hàm f(z) z0 cực ®iĨm cÊp m+1 cđa hµm f’(z) *NhËn xÐt: Hµm f(z) đếm đ-ợc cực điểm D 1.1.7 Tính chất: Cho hàm f(z) chỉnh hình , điều kiện cần đủ để f(z) điểm bất th-ờng khác cực điểm f(z) hàm hữu tỷ 1.2 Định lý thứ nhÊt 1.2.1 C«ng thøc Poisson-Jensen f z hàm phân hình hình tròn Định lý: Gi¶ sư z R víi R Gi¶ sư a 1, 2, M không điểm, không điểm đ-ợc kể số lần bội nó, bv(v = 1,2,N) cực điểm f hình tròn đó, cực điểm đ-ợc kể số lần bội Khi z r.ei , r R , f z 0; f z th×: log f z 2 2 log f Re M R z a 1 R a z log i R2 r d R Rrcos r N R z bv v 1 R bv z log (1.1) Chứng minh *Tr-ờng hợp Hàm f(z) không điểm cực điểm z R Khi ta cần chứng minh: log f z 2 2 log f Re i R2 r d R Rrcos r (1.1a) + Tr-íc hÕt ta chøng minh công thức z = 0, nghĩa cÇn chøng minh: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn log f 2 2 log f Re d i Do f(z) kh«ng cã không điểm cực điểm hình tròn nên hàm log f(z) chỉnh hình hình tròn Theo định lý Cauchy ta cã: log f 2 i 2 log f Re d dz log f z z 2 z R i LÊy phÇn thùc ta thu đ-ợc kết z = log f 2 2 log f Re d i + Víi z tùy ý, xét ánh xạ bảo giác biÕn R thµnh vµ biÕn z thành Đó ¸nh x¹: R z R z Nh- vËy R t-¬ng øng víi Trªn R , ta cã: log log Nªn R z R z d R z d zd z R z R z Do log f(z) chỉnh hình log f z log R log z log R z d z (1*) z R , theo định lý Cauchy ta có: d log f 2 i R z Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn (2*) http://www.lrc-tnu.edu.vn Mặt khác zd d log f log f R2 2 i R R z 2 i R z Do z z R suy R , nên hàm log f R2 R2 R nghĩa điểm z z (3*) nằm vòng tròn R hàm chỉnh hình Nh- tích phân z vế phải (3*) Kết hợp với (1*) vµ (2*) ta cã: log f z R z log f 2 i R R z d z (1.2) i i Hơn nữa, R , R.e , d iRe d vµ R z R R re Re i z i rei Rei R Rrcos r KÕt hợp với (1.2) ta thu đ-ợc: log f Re R log f z 2 R i 2 r d Rrcos r Lấy phần thực hai vế đẳng thức (1.3) ta đ-ợc: log f z 2 2 log f Re R R i 2 r d Rrcos r Đây điều cần phải chứng minh S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.3) * Tr-ờng hợp 2: Hàm f(z) không điểm cực điểm bên z R , nh-ng có hữu hạn không điểm cực điểm cj biên R Với nhỏ tùy ý, ta đặt: D z R U j c j Gäi D chu tuyến D cung lõm vào D bao gồm phần đ-ờng tròn R với phần lõm vào đ-ờng tròn nhỏ bán kính tâm không điểm cực điểm f(z) R Gi¶ i sư z re miền z R , tồn đủ nhỏ cho R2 z log f z log f 2 i D R z z D Khi ®ã: d z (1.2a) Gi¶ sử z0 không điểm hay cực điểm f(z) R cung tròn ứng với z0 D Khi , f z c z z0 m ®ã m > z0 không điểm m < z0 cực điểm Suy log f z O log Nh- vËy: 2 1 O log M , M đại l-ợng bị chặn Ta thấy S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lµ 1 O log M Cho công thức (1.2a), tính tích phân thứ dần đến tích phân vế phải (1.3), tích phân thứ hai dần đến Nh- ta thu đ-ợc công thức (1.3) tr-ờng hợp từ suy (1.1) *Tr-ờng hợp Bây ta xét tr-ờng hợp tổng quát, tức f(z) có không điểm cực điểm z R đặt: f R a M N R bv v 1 R bv (1.4) R a Hiển nhiên không ®iĨm hc cùc ®iĨm z R NhvËy áp dụng công thức (1.1a) cho hàm Hơn nữa, i Re th× : R a R a R a a 1, R bv vµ R bv R bv bv 1, f nªn VËy log z 2 2 2 2 log Re R log f Re R R i R i 2 2 r d Rrcos r r d Rrcos r (1.5) Mặt khác: S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LƯU THỊ MINH TÂM NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHỨC Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn... hệ số khuyết Nội dung luận văn gồm hai ch-ơng: Ch-ơng I: Trình bày sở lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna Ch-ơng II: Trình bày số kết nghiệm toàn cục ph-ơng trình vi phân phức dựa báo nghiệm. .. phân phức dựa báo nghiệm toàn cục số lớp ph-ơng trình vi phân phức tác giả Ping Li Kết luận văn: Cho P(f) đa thức vi phân f có đạo hµm ( víi hµm nhá cđa f z coi nh- hệ số) có bậc không lớn n -