Đang tải... (xem toàn văn)
HÀM LỒI (a, E1, E2) - LỒI TRÊN TẬP (a, E1, E2)- LỒI
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỤC LỤC Trang Mục lục…………………………………………………………… . 1 Lời nói đầu…………………………………………………………. 2 Chương I. Tập 12,,EE-lồi…………………………………… . 4 1.1. Tập 12,,EE-lồi……………………………………………… 4 1.2 Các ví dụ . 8 1.3 Các tính chất của tập 12,,EE-lồi…………………………… 12 Chương II. Hàm 13,,EE-lồi………………………………… . 30 2.1 Hàm 13,,EE-lồi…………………………………………… . 30 2.1.1 Định nghĩa hàm 13,,EE-lồi……………………………… 30 2.1.2 Các ví dụ……………………………………………………… 33 2.1.3 Các tính chất hình học-đại số của hàm 12,,EE-lồi……… 36 2.2. Hàm 13,,EE-tựa lồi……………………………………… 49 Chương 3: Tối ưu hàm E-lồi…………………………………… . 58 3.1 Bài toán tối ưu một mục tiêu với hàm E-lồi…………………… 58 3.2 Một số kết quả cho bài toán EP………………… .… 59 3.3 Một số kết quả cho bài toán EP………………… .… 63 Kết luận…………………………………………………………… 69 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 70 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 LỜI NÓI ĐẦU Sau khi lý thuyết qui hoạch tuyến tính được hoàn thiện vào những năm 50 của thế kỉ trước, với nội dung cơ bản là thuật toán đơn hình của G. B. Dantzig, giải tích lồi đã được xây dựng và đóng vai trò quan trọng trong giải quyết các bài toán tối ưu lồi nói riêng và tối ưu phi tuyến nói chung. Mặc dù cho tới nay, nhiều nghiên cứu về giải tích lồi vẫn còn đang được tiến hành, nhưng có thể nói giải tích lồi đã trở thành lí thuyết hoàn chỉnh vào những năm 70 của thế kỉ trước với những cuốn sách kinh điển như Convex Analysis của R. T. Rockafellar (1970) và Nonlinear Programming của O. L. Mangasarian (1967), . Mặc dù là công cụ mạnh để giải quyết các bài toán tối ưu phi tuyến, nhiều bài toán thực tế vẫn không thể mô tả bởi các hàm lồi trên các tập lồi. Vì vậy, ngay trong giải tích lồi, các nhà toán học đã cố gắng mở rộng khái niệm hàm lồi. Bằng cách giữ lại một trong các tính chất cơ bản của hàm lồi làm định nghĩa hoặc tính chất cơ bản, lớp các hàm lồi suy rộng (hàm tựa lồi, hàm giả lồi, hàm lồi bất biến,…) đã được nghiên cứu sâu về mặt toán học và được áp dụng hiệu quả trong các bài toán thực tế. Một trong những suy rộng của hàm lồi được một số nhà nghiên cứu quan tâm trong khoảng mười năm trở lại đây là lớp hàm E-lồi do Ebrahim A. Youness đề xuất năm 1999 (xem [14]). Khái niệm hàm E-lồi là mở rộng khá tự nhiên của lớp hàm lồi. Trong luận văn này chúng tôi bước đầu nghiên cứu một lớp hàm mới là lớp hàm 13,,EE-lồi trên tập 12,,EE-lồi. Khái niệm 12,,EE-lồi cho phép thống nhất một số khái niệm trong giải tích E-lồi (tậpE-lồi, tập E-lồi mạnh, hàm E-lồi, hàm E-lồi mạnh, hàm semi hàm E-lồi,…). Bố cục luận văn gồm phần Mở đầu, Ba chương và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Tập 12,,EE-lồi. Chương 2: Hàm 13,,EE-lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 3: Tối ưu hàm E-lồi. Mặc dù những nghiên cứu trong luận văn mới chỉ ở dạng phác thảo, theo cảm nhận của chúng tôi, một số kết quả trong luận văn đã cho phép nhìn lại một số nghiên cứu về lớp hàm E-lồi, vì vậy khái niệm 12,,EE-lồi có lẽ cũng đáng được quan tâm. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Tạ Duy Phượng, nhân dịp này em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với Thầy. Em xin cảm ơn các thầy cô của Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học đã tận tình giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học. Tôi xin cảm ơn khoa Toán, khoa Sau Đại Học trường ĐHSP Thái Nguyên và trường Cao đẳng Kinh tế Kĩ thuật Thái Nguyên đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch học tập của mình. Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, ngày 19.8.2010 Ngô Thị Thu Trang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương I. TẬP 12,,EE– LỒI 1.1. Tập 12,,EE-lồi Ta đã biết, một tập nM được gọi là lồi nếu (1 )x y M với mọi ,x y M và 0,1. Nhằm mở rộng khái niệm tập lồi và hàm lồi với mục đích áp dụng giải bài toán tối ưu, Youness lần đầu tiên (1999, [14]) đã đưa ra khái niệm tập E-lồi. Ta có Định nghĩa 1.1 Cho tập nM và ánh xạ :nnE . Tập M được gọi là E-lồi trên tập E-lồi M(tương ứng với ánh xạ E) nếu với mọi ,x y M và 0,1 ta có ( ) (1 ) ( )E x E y M . (1.1) Rõ ràng, tập lồi là tập E-lồi với EI là ánh xạ đồng nhất (()I x x với mọi nx). Do đó, khái niệm E-lồi là mở rộng của khái niệm tập lồi. Ta có Mệnh đề 1.1 (Youness, 1999, [14], Proposition 2.2) Nếu M là tập E-lồi thì ()E M M. Ta có một số nhận xét sau. Nhận xét 1.1 Tập M lồi (theo nghĩa thông thường) có thể không lồi tương ứng với ánh xạ E nào đó. Nói cách khác, ánh xạ E có thể làm biến dạng tập M(làm mất những tính chất đẹp của tập E). Ví dụ 1.1 Tập Mlà hình vuông ABCD được cho bởi: 1 2 1 2, : 1 1; 1 1M x x x x x . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Ánh xạ :nnE được cho bởi công thức 1 2 1 21,,2E x E x x x x. Khi ấy EM là hợp của hai tam giác AOB và COD nên không là tập lồi (Hình 1.1). Tuy nhiên, vì M là tập lồi nên bao hàm thức (1.1) nghiệm đúng với mọi ,x y M và 0,1. Do đó M là tập E-lồi. Hình 1.1 Nhận xét 1.2 Tập Mvà ánh xạ E có thể rất đẹp, nhưng (1.1) có thể không được thỏa mãn. Nói cách khác, M không phải là E-lồi. Ví dụ 1.2 Tập Mlà hình tròn đơn vị (0,1)B tâm tại gốc 221 2 1 2, : 1M x x x x x Ánh xạ :nnE được cho bởi công thức 1 2 1 2, 2 ,2E x E x x x x. Khi ấy EM là hình tròn (0,2)B tâm tại gốc bán kính bằng 2 (Hình 1.2). Do E M M nên Mkhông phải là E-lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Hình 1.2 E. A. Youness và Tarek Emam đã đưa ra khái niệm tập E-lồi mạnh như sau. Định nghĩa 1.2 (Youness-Emam, 2005, [17]) Tập nM được gọi là E-lồi mạnh (tương ứng với ánh xạ :nnE ) nếu với mọi ,x y M, 0;1 và 0,1 ta có ( ) (1 ) ( )x E x y E y M . (1.2) Nhằm thống nhất một cách hợp lí các khái niệm E-lồi và E-lồi mạnh (tương ứng, khái niệm hàm E-lồi và hàm E-lồi mạnh trong Chương 2), chúng tôi đưa ra khái niệm tập 12,,EE-lồi sau đây. Định nghĩa 1.3 ([9]) Cho trước tập nM , hai ánh xạ 1,2:nnE và số . Tập M được gọi là 12,,EE-lồi nếu với mọi ,x y M và 0,1 ta có 1 1 2( ) (1 ) ( )x E x y E y E M . (1.3) Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với mọi 0;1 thì ta nói M là tập 12,EE-lồi mạnh. Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với 0 thì ta nói Mlà tập 12,EE-lồi . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Nhận xét 1.3 Nếu 12E E I và 0 thì (1.3) có dạng (1 )x y M với mọi ,x y M và 0,1. Vậy tập M là lồi theo nghĩa thông thường khi và chỉ khi nó là 0, ,II-lồi. Nói cách khác, khái niệm tập 12,,EE-lồi là một sự mở rộng của khái niệm tập lồi thông thường. Nhận xét 1.4 Nếu 2EI, 1EE với :nnE là một ánh xạ nào đó và 0 thì (1.3) có dạng ( ) (1 ) ( )E x E y M với mọi ,x y M và 0,1. Khi đó M là tập 0, ,EI-lồi khi và chỉ khi nó là tập E-lồi theo Định nghĩa 1.1. Như vậy, khái niệm tập 12,,EE-lồi là mở rộng của khái niệm E-lồi của Youness trong [14]. Nhận xét 1.5 Mọi tập bất kỳ đều là 00120, ,EE-lồi với 001 2 0E x E x x với mọi xM, trong đó 0x là một điểm bất kỳ nào đó của M. Nhận xét 1.6 Youness trong [14] đã định nghĩa tập E-lồi như sau. Định nghĩa 1.4 (Definition 2.1, [14]) A set nM is said to be E-convex iff there is a map :nnE such that 1 ( ) ( )E x E y M , for each ,x y M and 01. Theo Nhận xét 1.5, rõ ràng luôn luôn tồn tại ánh xạ :nnE ( 0E x x với mọi xM, trong đó 0x là một điểm bất kỳ nào đó của M), để ta có 1 ( ) ( )E x E y M với mọi ,x y M và 01. Do đó, theo Nhận xét 1.5 thì mọi tập M đều là E-lồi (với 0EE) theo Định nghĩa 1.4. Vì vậy, Định nghĩa của Youness trong [14] cần được sửa lại như Định nghĩa 1.1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Nhận xét 1.7 Nếu tập nM là 12,EE-lồi mạnh ( 12,,EE-lồi với mọi 01), với 1EE và 2EI thì Mlà E-lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2. Như vậy, tập 12,EE-lồi mạnh M là tập E-lồi mạnh (theo Định nghĩa 1.2) khi 2EI. 1.2 Các ví dụ Ví dụ 1.3 Cho 21 2 1 2; :1 4;1 4M x x x x là một hình vuông trong 2. Cho 221,2:E được xác định theo công thức 120,E x x; 2 1 22,E x x x với mọi 212,x x x; nghĩa là 1E là phép chiếu (vuông góc) từ 2 xuống trục tung, còn 2E là một ánh xạ tuyến tính giữ nguyên tọa độ 2x, tọa độ 1x được chuyển dịch sang trái 2 đơn vị ( 2 1 2,E x z z với 1 1 2 22;z x z x ). Ta có 21 1 2 1 2; : 0;1 4E M x x x x và 22 1 2 1 2; : 1 2;1 4E M x x x x . Vậy 1EM và 2EM là các tập lồi theo nghĩa thông thường và 12E M E M hay 1 1 2( ) (1 ) ( )E x E y E M với mọi ,x y M và 0,1. Vậy M là tập 120, ,EE-lồi. Tuy nhiên, M không phải là tập 121, ,EE-lồi. Thật vậy, ta chọn 4,1xM và 4,4yM. Khi ấy 10,1Ex; 10,4Ey. Chọn 12 (và 1 đã chọn) ta được 1 1 21 4,5x E x y E y E M . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Chứng tỏ M không phải là tập 121, ,EE-lồi. Chọn 12 và 0, 4,1xM và 4,4yM ta được 1151 0,2x E x y E y M . Chứng tỏ M cũng không phải là tập 10, ,EI-lồi, tức là Mkhông phải là tập 1E-lồi (khái niệm 10, ,EI-lồi trùng với khái niệm 1E-lồi). Do đó Mcũng không phải là tập 1E-lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2. Ví dụ 1.4 Cho 321 2 3 1 2 31321 2 3 1 2 31, , 0,0 2,1 0,3 ; , , 0, 1, , 0,0 0, 3 2, 1 , , , 0; 1 .iiiiM x y x yx y x y Khi ấy tập Mlà hợp của hai miền tam giác AOB và COD vậy Mkhông phải là tập lồi (Hình 1.3), nhưng là 10, ,EI-lồi (hay Mlà 1E-lồi). Cho 221:E , 120,E x x với 12,x x x hay 1E là phép chiếu (vuông góc) từ 2 xuống trục tung, 2EI với I x x mọi 2x . Thật vậy, ta có 21, , 0, 3 3E M x y x y M là một tập lồi. Với mọi ,x y M ta có 11E x E M và 11E y E M. Chứng tỏ với mọi 0,1 thì 1 1 10 ( ) (1 ) 0 ( ) ( )x E x y E y E M M hay M là tập 10, ,EI-lồi (hay 1E-lồi). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Hình 1.3 Ví dụ 1.5 Cho 221,2:E ; 2 1 1 21 1 224,;33x x x xE x x; 2 1 2 1 2, 2,E x x x x. Nhận xét rằng 1,2E là các ánh xạ tuyến tính. Tập M cho như trong Ví dụ 1.4. Khi đó ta có 2EM là hợp của hai miền tam giác ABC và ADE (Hình 1.4). Hình 1.4 [...]... nói hàm f là , E1, E3 -lồi chặt trên tập , E1, E2 -lồi M Hiển nhiên hàm , E1, E3 -lồi chặt là hàm , E1, E3 -lồi Nếu tập M là E1, E2 -lồi mạnh và bất đẳng thức (2.3) thỏa mãn với mọi 0;1 thì ta nói hàm f là E1, E3 -lồi mạnh trên tập E1, E2 -lồi mạnh M Hiển nhiên hàm E1, E3 -lồi mạnh là hàm E1, E3 -lồi với mỗi 0;1 Để ngắn gọn, nếu f là hàm 0, E1, E3... Như vậy, hàm , E1, E3 -lồi là hàm semi E -lồi với 0 , E1 E và E2 E3 I Khái niệm hàm , E1, E3 -lồi là mở rộng của khái niệm hàm semi E -lồi Lớp hàm E1, E3 -lồi mạnh là mở rộng của lớp hàm E -lồi mạnh và lớp hàm semi E -lồi mạnh Ta có Định nghĩa 2.4 (Youness-Emam, 2005, [17]) Hàm f : n được gọi là E -lồi mạnh ứng với ánh xạ E trên tập M nếu M là tập E -lồi mạnh và với mọi... E3 -lồi lần đầu tiên được nêu ra trong luận văn này cho phép thống nhất một số lớp hàm E -lồi ( E -lồi, E -lồi mạnh, semi E lồi, tựa E -lồi, ) đã được nghiên cứu trong [2], [3], [4], [6], [7], [11], [12], [1 3-1 9], 2.1 Hàm , E1, E3 -lồi 2.1.1 Định nghĩa hàm , E1, E3 -lồi Cho trước tập M n , các ánh xạ E1,2 ,3 : n n Trong Chương 1 ta đã định nghĩa, M n là tập , E1, E2 -lồi. .. khái niệm tập E -lồi và tập E -lồi mạnh Các tính chất của tập , E1, E2 -lồi được chứng minh trong chương này cho thấy, tập , E1, E2 -lồi đủ rộng và đủ tốt để có thể ứng dụng được vào trong các bài toán tối ưu Khái niệm tập , E1, E2 -lồi là cơ sở để xây dựng khái niệm hàm , E1, E2 -lồi trong chương 2 Một số khái niệm và kết quả khác của giải tích lồi ( E -bao lôi và E -nón) cũng... ) f ( y) (2.4) Vậy hàm lồi là hàm , E1, E3 -lồi với 0 và E1 E2 E3 I là các ánh xạ đồng nhất Khi 0 , E1 E3 E và E2 I thì tập , E1, E2 -lồi M là tập E -lồi, tức là E x 1 E y M với mọi x, y M và 0,1 và bất đẳng thức (2.3) trở thành bất đẳng thức (2.2) Vậy hàm E -lồi ( E -lồi chặt) là hàm , E1, E3 -lồi ( , E1, E3 -lồi chặt) với 0... Tập M là hợp của hai tập lồi rời nhau, do đó không phải là tập lồi Tuy nhiên, E1 M E2 M 0, x2 , x2 là tập lồi và E1 M M Chứng tỏ M không phải là tập E1 -lồi theo nghĩa Youness, nhưng là tập 0, E1, E2 - lồi Điều này nói lên rằng khái niệm tập , E1, E2 -lồi “uyển chuyển” hơn khái niệm tập E -lồi Kết luận Các ví dụ trên chứng tỏ một tập có thể là , E1, E2 -lồi. .. cho tập E -lồi (xem [6]) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương II Hàm , E1 , E3 -lồi Hàm lồi được nghiên cứu khá kĩ trong Giải tích lồi và có ứng dụng quan trọng trong các bài toán tối ưu Chương này chúng tôi trình bày những mở rộng của khái niệm hàm lồi và hàm lồi suy rộng cho lớp hàm , E1, E3 -lồi và lớp hàm E -lồi Khái niệm hàm , E1,. .. 1, x2 0 Tập M là hợp của hai tập lồi rời nhau, do đó không phải là tập lồi Tuy nhiên, E1 M E2 M 0, x2 , x2 là tập lồi và E1 M M Chứng tỏ M không phải là tập E1 -lồi, và do đó cũng không xây dựng được hàm E1 -lồi theo Định nghĩa 2.1 Tuy nhiên M là tập E1, E2 -lồi 2 Giả sử f ( x) f x1 , x2 x2 Khi ấy f ( x ) là hàm lồi và cũng là hàm E1, E1 -lồi Điều này... M hay f là hàm E1, E3 -lồi chặt 2.1.3 Các tính chất hình học-đại số của hàm , E1, E2 -lồi Có thể dễ dàng kiểm tra được tính chất hàm , E1, E3 -lồi là đóng với phép toán cộng và phép toán nhân với một số Ta có Mệnh đề 2.1 Cho M n , E1,2 ,3 : n n là các ánh xạ bất kì; bất kì Nếu các hàm f : M và g : M là , E1, E3 -lồi trên tập , E1, E2 -lồi M thì f... http://www.lrc-tnu.edu.vn Như vậy, hàm E1, E3 -lồi mạnh là E -lồi mạnh với E1 E3 E và E2 I Định nghĩa 2.5 (Youness-Emam, 2005, [17]) Hàm f : n được gọi là semi E -lồi mạnh ứng với ánh xạ E trên tập nếu M là tập E -lồi mạnh và với mọi 0;1 ; x, y M và 0,1 ta có f x E ( x) (1 ) y E ( y ) f ( x) (1 ) f ( y ) (2.7) Hàm E1, E3 -lồi mạnh là semi E -lồi . 12,,EE -lồi. Khái niệm 12,,EE -lồi cho phép thống nhất một số khái niệm trong giải tích E -lồi (tậpE -lồi, tập E -lồi mạnh, hàm E -lồi, hàm E -lồi mạnh, hàm. khái niệm E -lồi và E -lồi mạnh (tương ứng, khái niệm hàm E -lồi và hàm E -lồi mạnh trong Chương 2), chúng tôi đưa ra khái niệm tập 12,,EE -lồi sau đây.
