Đang tải... (xem toàn văn)
Đa tạp phức với nhóm các tự đẳng cấu không compact
Bộ giáo dục đào tạo Trờng Đại học S phạm Hà Nội - Ninh Văn Thu Đa tạp phức với nhóm tự đẳng cấu không compact Luận án tiến sĩ toán học Hà Nội - 2010 Bộ giáo dục đào tạo Trờng Đại học S phạm Hà Nội - Ninh Văn Thu Đa tạp phức với nhóm tự đẳng cấu không compact Chuyên ngành: Hình học Tôpô MÃ số: 62.46.10.01 Luận ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Ng−êi h−íng dÉn khoa häc: GS.TSKH Đỗ Đức Thái Hà Nội - 2010 LI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án mới, cơng bố tạp chí Tốn học ngồi nước Các kết viết chung với GS TSKH Đỗ Đức Thái GS TSKH Fran¸cois Berteloot đồng ý đồng tác giả đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh: Ninh Văn Thu LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành quan tâm hướng dẫn tận tình GS.TSKH Đỗ Đức Thái Nhân dịp này, xin gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến GS.TSKH Nguyễn Văn Khuê PGS.TS Nguyễn Đình Sang, người bỏ cơng sức đọc thảo cho nhiều ý kiến chỉnh sửa quý báu để tơi hồn thành tốt luận án Tơi xin cám ơn chương trình Formath Việt Nam, Labo Emile Picard - Trường Đại học Paul Sabatier (Toulouse - CH Pháp) GS.TSKH Fran¸cois Berteloot giúp đỡ thực tập Labo thời gian làm luận án Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Phòng Sau đại học Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận án Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến thầy Khoa Tốn-Tin thuộc Trường ĐHSP Hà Nội, Khoa Toán- Cơ- Tin học thuộc Trường ĐHKHTN - ĐHQGHN, Trường THPT Hải Hậu B, thành viên Seminar Hình học phức thuộc Khoa Tốn - Tin Seminar Các phương pháp giải tích thuộc Khoa Toán - Cơ - Tin học, bạn đồng nghiệp động viên khích lệ trao đổi hữu ích suốt q trình học tập công tác Nghiên cứu sinh: Ninh Văn Thu Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mơc lơc………………………………………………………………………… Danh mơc c¸c ký hiƯu……………………………………………………………5 Më đầu.6 n Chơng 1: Đặc trng miền C nhóm tự đẳng cấu không compact.17 1.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 18 1.2 Ước lợng metric Kobayashi 25 1.2.1 Hệ tọa độ đặc biệt đa đĩa25 1.2.2 Co giÃn tọa độ.34 1.2.3 Ước lợng metric Kobayashi41 1.2.4 Tính chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình 44 n 1.3 Sự tồn mô hình miền C .46 n Chơng 2: Đặc trng miền lồi tuyến tính C nhóm tự đẳng cấu không compact 59 2.1 Hệ tọa độ đa đĩa cđa M Conrad………………………………… … 60 2.2 Scaling miỊn Ω ∩ U ………………………………………………… 66 2.3 TÝnh chn t¾c cđa hä ánh xạ scaling 69 Chơng 3: Giả thuyết Greene-Krantz ……………………………… 74 3.1 Mét sè kÕt qu¶ xung quanh gi¶ thuyết Greene-Krantz 74 3.2 Sự tồn điểm tụ quỹ đạo parabolic 77 Kết luận Và kiến nghị 79 Danh mục Các công trình tác giả Liên quan ®Õn luËn ¸n 91 tµi liƯu tham kh¶o 92 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • Aut(Ω): nhóm tự đẳng cấu miền Ω • C k (Ω): không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k Ω • H(ω, Ω) (hoặc Hol(ω, Ω)): tập ánh xạ chỉnh hình từ ω vào Ω • P2m : không gian tất đa thức giá trị thực xác định C với bậc ≤ 2m khơng chứa hạng tử điều hịa • H2m : không gian tất đa thức, giá trị thực, nhất, điều hòa C với bậc 2m • MQ = {z ∈ Cn : Re zn + Q(z1 ) + |z2 |2 + · · · + |zn−1 |2 < 0} với Q ∈ P2m • Ω1 ' Ω2 với nghĩa: Ω1 Ω2 song chỉnh hình • a b có nghĩa tồn số C > 0, độc lập với tham số (thường q tham số thực ) cho a ≤ Cb • a ≈ b có nghĩa tồn số C1 , C2 > 0, độc lập với tham số (thường q tham số thực ) cho C1 b ≤ a ≤ C2 b • τ (∂Ω, p): kiểu biên ∂Ω điểm biên p ∈ ∂Ω • TpC (M ): khơng gian tiếp xúc phức đa tạp phức M p • ∆r = Dr = {z ∈ C : |z| < r} • KΩ : giả metric Royden-Kobayashi miền Ω MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giả sử M đa tạp phức Nhóm tự đẳng cấu M (ký hiệu Aut(M )) tập hợp song chỉnh hình M với phép tốn hai ngơi hợp thành hai tự đẳng cấu Tôpô Aut(M ) tôpô hội tụ tập compact (tức tôpô compact-mở) Theo quan điểm F Klein, hình học lớp đối tượng hình học nhóm biến đổi Chẳng hạn Hình học Euclid hình học nhóm phép biến đổi đẳng cự, Hình học Affine hình học nhóm biến đổi Affine Vì thế, hình học đa tạp phức xem hình học nhóm tự đẳng cấu đa tạp phức Có hai tốn nghiên cứu hình học đa tạp phức: Bài tốn Tìm tính chất hình học bất biến qua nhóm tự đẳng cấu Bài toán Phân loại đa tạp phức dựa nhóm tự đẳng cấu chúng Luận án tập trung nghiên cứu Bài toán Cụ thể hơn, nghiên cứu mối quan hệ hình học miền Cn cấu trúc nhóm tự đẳng cấu nó, tức xét xem miền xác định nhóm tự đẳng cấu đến mức độ Nếu Ω miền bị chặn Cn Aut(Ω) nhóm Lie thực Tổng quát hơn, S Kobayashi [25] chứng minh rằng: Ω hyperbolic chiều nhóm Lie thực Aut(Ω) không vượt n2 + 2n Hơn nữa, nhóm có chiều dương thực khơng thể nhóm Lie phức Một câu hỏi hồn tồn tự nhiên đặt là: nhóm Lie thực xem nhóm tự đẳng cấu đa tạp phức? Năm 2004 J Winkelmann [38] cho trước nhóm Lie thực compact K ln ln tồn miền bị chặn giả lồi chặt Ω b Cn cho Aut(Ω) đẳng cấu với K Như vậy, toán phân loại miền với nhóm tự đẳng cấu compact giải trọn vẹn Đối với trường hợp nhóm tự đẳng cấu khơng compact, nhà tốn học phân loại thành công miền bị chặn Cn Cịn trường hợp miền khơng bị chặn Cn , toán phân loại giải số trường hợp đặc biệt Tiếp tục luồng nghiên cứu trên, chọn đề tài luận án là: "Đa tạp phức với nhóm tự đẳng cấu khơng compact" Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu toán phân loại miền khơng bị chặn Cn với nhóm tự đẳng cấu khơng compact Ngồi ra, luận án cịn nghiên cứu tính chất hình học địa phương điểm biên tụ quỹ đạo Đối tượng phạm vi nghiên cứu Như trình bày phần lý chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu luận án đa tạp phức, cụ thể miền Cn Trong luận án, tư tưởng xuyên suốt xét xem với điều kiện miền từ tính chất địa phương suy tính chất tồn cục Điều cho phép chúng tơi phân loại số lớp miền không bị chặn Cn nhờ tính khơng compact nhóm tự đẳng cấu Phương pháp nghiên cứu Để giải vấn đề đặt luận án, sử dụng phương pháp nghiên cứu kĩ thuật truyền thống Hình học phức, Giải tích phức, đặc biệt kĩ thuật scaling S Pinchuk, đồng thời sáng tạo kĩ thuật Các kết đạt ý nghĩa đề tài Luận án gồm ba chương Chương I trình bày đặc trưng miền Cn nhóm tự đẳng cấu không compact Trước hết, ta nhắc lại kết cổ điển H Cartan: Ω miền bị chặn Cn nhóm tự đẳng cấu Aut(Ω) khơng compact tồn điểm x ∈ Ω, p∞ ∈ ∂Ω dãy tự đẳng cấu ϕj ∈ Aut(Ω) cho lim ϕj (x) = p∞ Trong trường hợp này, ta gọi điểm biên p∞ điểm biên tụ quỹ đạo Các công trình 20 năm qua tính chất hình học địa phương điểm biên tụ quỹ đạo cho ta thơng tin tồn cục ... Cn nhóm tự đẳng cấu không compact Chương II: Đặc trưng miền lồi tuyến tính Cn nhóm tự đẳng cấu không compact Chương III: Giả thuyết Greene-Krantz Chương Đặc trưng miền Cn nhóm tự đẳng cấu không. .. học nhóm phép biến đổi đẳng cự, Hình học Affine hình học nhóm biến đổi Affine Vì thế, hình học đa tạp phức xem hình học nhóm tự đẳng cấu đa tạp phức Có hai tốn nghiên cứu hình học đa tạp phức: ... giả lồi chặt Ω b Cn cho Aut(Ω) đẳng cấu với K Như vậy, toán phân loại miền với nhóm tự đẳng cấu compact giải trọn vẹn Đối với trường hợp nhóm tự đẳng cấu khơng compact, nhà tốn học phân loại![f [D(u i, 1)] ⊂ Q(η0 ,K i 0) vớ ii ≤N− 1, trong đó D(u i, 1) là hình tròn trong mặt phẳng phức tâm tạiu ivà bán kính bằng 1. - Đa tạp phức với nhóm các tự đẳng cấu không compact](https://media.store123doc.com/figures/001/272/hinh-tron-mat-phang-phuc-taiu-ban-kinh-1272112.png)